北师大版数学九上同步练2.5 一元二次方程的根与系数的关系2
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系
2.5一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【作业稿】1、已知：,2,522==+ab b a 那么=+2)(b a ，=-2)(b a2、已知：,2,15)(2==+ab b a 那么=+22b a ，=-2)(b a3、一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），它的根是 （公式）4、若一元二次方程x 2-ax+1=0有两个相等的实数根，则a 的值是5、.解下列方程（1）03722=+-x x （2）01322=+-x x （3）01032=--x x6、已知方程0122=-+kx x 的一个根是3，求它的另一个根及k 的值。
7、如图3，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长为10cm. 求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积.【预习稿】 2.5一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。
【学习重点】观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 【学习难点】对根与系数这一性质进行应用。
一、合作探究：1观察上面的表格，思考以下问题：（1）每个方程的两根之和与它的什么关系？（2）每个方程的两根之积与它的系数有什么关系？（3）猜想：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解：关系：1x +2x ＝ ，12x x ⋅＝ 证明如下：∵20(0)ax bx c a ++=≠当240b ac -≥时根为：2b x a-±=∴设12b x a -+=，22b x a --=，∴1x +2x ＝＝＝=21x x【学案稿】 2.5一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：如果方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根为1x ，2x ， 那么=+21x x ，=21x x二、定理应用：例1：不解方程，求下列方程0672=++x x 的两根和与两根积： 1、对应练习：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积： （方程两根为x 1，x 2、k 是常数）（1）2x 2-3x-1=0 x 1+x 2= __ _ x 1x 2= _ __ （2）3x 2+5x=0 x 1+x 2= __ _ x 1x 2 _ __ （3）220x -= x 1+x 2= __ _ x 1x 2= _ __ （4）1)13(=-x x x 1+x 2= __ _ x 1x 2= ___例2：已知方程0122=-+kx x 的一个根是3，求它的另一个根及k 的值。
北师大初中数学九上《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》课件 (二)
2 = -1.
1-2 = 1,
答案
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则 m=
.
关闭
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4.一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6,那么这个一元二次方
程为.关闭 Nhomakorabeax2 -4x-2=0
答案
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5.已知 x1,x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根,利用根与系数的关系,求
31 x2+x1 32 的值.
分以下两种情况:
-1
=5,x1 -x2=1,
2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
1 + 2 = 5,
= 3,
解这个方程组,得 1
2 = 2.
1-2 = 1,
-1
=-1,x1 -x2=1,
2
②当 m 2=-1 时,x1+x2=
组成方程组
1 = 0,
1 + 2 = -1,
)
A.-10
B.4
C.-4
D.10
关闭
C
答案
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2.已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则
a=
.
关闭
±2
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北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题含答案
北师⼤版数学九年级上册《⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系》同步练习题含答案第⼆章⼀元⼆次⽅程 2.5 ⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系1．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )A. 8B. 9C. 10D. 122. 设x1，x2是⽅程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为( )A. －4B. －3C. －2D. －323. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知a，b是⽅程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )A. 20B. 22C. 23D. 255. 设m，n是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )A. 9B. 7C. 5D. 36. 已知⼀元⼆次⽅程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=( )A. 4B. 3C. -4D. -37. 判断⼀元⼆次⽅程式x2-8x-a=0中的a为下列哪⼀个数时，可使得此⽅程式的两根均为整数？( )A. 12B. 16C. 20D. 248. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜19. 已知x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )A. -3B. 0C. 3D. 510. 如果⼀元⼆次⽅程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )A. -3B. 3C. -1D. 111. 若关于x的⽅程x2+3x+a=0有⼀个根为-1，则另⼀个根为12. 设x1，x2是⼀元⼆次⽅程-2x-3=0的两根，则 =13. 设α，β是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是14. 若m，n是⼀元⼆次⽅程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是15. 关于x的⽅程x2－ax＋2a＝0的两根的平⽅和是5，则a的值是16. 已知x1，x2是关于x的⽅程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是17. 已知关于x的⽅程x2＋3x＋a＝0有⼀个根为－2，则另⼀个根为18. 已知m，n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝19. 若关于x⼀元⼆次⽅程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满⾜（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为20. 已知⽅程x2+mx+3=0的⼀个根是1，则它的另⼀个根是_______，m的值是_______21. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______22. 在解⽅程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得⽅程的根为x1＝1，x2＝－3；⼄同学看错了q，解得⽅程的根为x1＝4，x2＝－2，则⽅程中的p＝______，q＝________．23. 已知直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是_________24. 关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.25. 设x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)x 12＋x 22－3x 1x 2.26. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满⾜x 1＝3x 2，试求出⽅程的两个实数根及k 的值．27. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果⽅程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．。
北师大新版数学初三上册《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习(有解析)
北师大新版数学初三上册《2一．选择题（共12小题）1．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则那个方程的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定2．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有实数根，则k的取值范畴为（）A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣3．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范畴是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠04．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．假如关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范畴是（）A．k＜B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k ≠06．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范畴在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定8．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．9．下列一元二次方程中，只有方程（）的根为1与﹣2．A．x2﹣x﹣2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2+x+2= 010．若函数y=kx﹣3的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情形是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．012．已知α，β满足α2+2α﹣1=0，β2+2β﹣1=0，则的值为（）A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6二．填空题（共10小题）13．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根差不多上整数，则a 的值等于．14．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．15．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则=16．假如关于x的一元二次方程x2+bx+c=0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值能够是b=，c=．17．若实数a、b、c满足，b+c﹣1=0，a﹣bc﹣1=0，则a的取值范畴是．18．假如关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数根，那么m的取值范畴是．19．若a＞b＞c＞0，一元二次方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+（c﹣a）=0的两个实根中，较大的一个实根等于．20．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x 1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．21．关于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为an、bn，则++…+=．22．若，若x1，x2是一元二次方程kx2+ax+b=0的两个实数根且满足，则k=．三．解答题（共6小题）23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，（1）若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直截了当写出3个k的值）25．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范畴；（2）假如k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x 2+mx﹣1=0有一个相同的根，求现在m的值．26．已知关于x的方程x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：不管m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．27．已知关于x一元二次方程x2﹣4x+c=0．（1）当c=1时，试解那个方程；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12﹣2x1x2+x22=0，求c的值．28．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．①小明同学说：不管k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是那个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．B．4．C．5．D．6．C．7．B．8．C．9．B10．A．11．D．12．C．二．填空题13．0或16．14．m=4．15．﹣．16．b=2，c=3．答案不唯独．17．a≤．18．m≤3．19．1．20．8．21．﹣22．﹣2或1．三．解答题23．证明：（1）△=b2﹣4ac=[﹣2（2m﹣3）]2﹣4（4m2﹣14m+8）=8 m+4，∵m＞0，∴8m+4＞0．∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式得：∵方程有两个整数根，∴必须使为整数且m为整数．∴2m+1必是奇数，∴是奇数又∵12＜m＜40，∴25＜2m+1＜81．∴5＜＜9．∴m=24．24．（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．25．解：（1）△=（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2+4=﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，解得，k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k是符合条件的最大整数，x2﹣4x=0，x=0或4，当x=0时，x2+mx﹣1=0无意义；当x=4时，42+4m﹣1=0m=．26．（1）解：把x=﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0得1+5﹣m2﹣2m ﹣7=0，解得m1=m2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．27．解：（1）当c=1时，原方程为x2﹣4x+1=0，解得：x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．（2）∵x12﹣2x1x2+x22=0，∴（x1﹣x2）2=0，∴x1=x2，∴△=（﹣4）2﹣4c=16﹣4c=0，解得：c=4．∴c的值为4．28．解：（1）∵△=（k+2）2﹣4×1×2k=k2+4k+4﹣8k=k2﹣4k+4=（k ﹣2）2≥0，∴方程不管k取何值，总有实数根，∴小明同学的说法合理；（2）①当b=c时，则△=0，即（k﹣2）2=0，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴C△ABC=5，S△ABC=；②当b=a=1，∵x2﹣（k+2）x+2k=0．∴（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x=2或x=k，∵另两边b、c恰好是那个方程的两个根，∴k=1，∴c=2，∵a+b=c，∴不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，△ABC的周长为5．。
数学北师大版九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系
《一元二次方程的根与系数关系》课后作业
是方程
是一元二次方程
）
为何值时，关于的一元二次方程
、在解方程
与
、一元二次方程
、
第三边的长为二次方程的一根
1．已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（）
A．－3或1 B．－3 C．1 D．3
2．若是方程的两个实数根，则的值为（）A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010
3．已知一元二次方程x2－2x－1=0的两个根是x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ，
x12+x22= ；
4.若是m，n方程x2+2002x－1=0的两个实数根，则m2n+mn2－mn的值为
5、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程
为。
(其中二次项系数为1)
6、已知关于的方程
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设、是方程的两根，且，求的值。
北师大版-数学-九年级上册-2.5 一元二次方程的根与系数的关系 名优练习
一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的一般形式是；2. 一元二次方程的两个根是， .【探究】1. 解下列一元二次方程，完成下列问题：（1），得，，因此，.（2），得，，因此，.（3），得，，因此，.观察你的结果，你能发现，与一元二次方程的系数有什么关系吗？即：※（韦达定理）一元二次方程的两个根若为，则有：， .2. 你能证明你的结论吗？※推论：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是【自主完成】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：（1） （2）（3）练习. 不解方程，求下列方程两根的和与积：（1）(2) （3）【当堂巩固】1.已知方程22=+x x ，则下列说法中，正确的是（ ）A. 方程两根和是1B. 方程两根积是2C. 方程两根和是1-D. 方程两根积比两根和大22．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝____；c ＝_ _．3.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是__ ____.4.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.【课后训练】1. 已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x .2．已知是方程的两个根，则 _____ _____. 3. 一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于__ __.4. 已知1x ，2x 是方程2630x x++=的两实数根，则2112x xx x+的值为_____.5. 关于x的方程20x px q++=的两根同为负数，则（）A.且B.且C.且D.且6. 若关于x的一元二次方程22430x kx k++-=的两个实数根是12,x x,且.则k的值为（）A. －1或34B. －1C.34D. 不存在7. 若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版数学九年级上册：2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.-32C.32D.-22.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<03.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=04.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2B.-2或2C.-2D.2二、填空题5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为.6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式x12-2x1+2x2的值等于.三、解答题8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x-11=0;(2)3x2-1=2x2-5x.9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:(1)α2+β2;(2)1α+1β.10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.11. 已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.详解详析1.A[解析] 由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,由根与系数的关系,得x1+x2=-ba =--31=3.故选A.2.A[解析] A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.∵a的正负不确定,∴B项不一定正确.C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.D项,∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,D项错误.故选A.3.A4.D[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.当k=2时,原方程为x2-x=0,∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,∴该方程有两个不相等的实数根,∴k=2符合题意;当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,∴Δ=32-4×1×4=-7<0,∴该方程无解,∴k=-2不合题意,舍去.故k=2.故选D.5.-2[解析] ∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2=ca=-2.∵关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根为1, ∴另一个根为-2÷1=-2. 故答案为-2.6. m>12 [解析] 设x 1,x 2为关于x 的方程x 2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得{Δ>0,x 1x 2<0,即{4-4(1-2m )>0,-2m +1<0, 解得m>12. 故答案为m>12.7.2028 [解析] ∵x 1,x 2是方程x 2-4x-2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12-4x 1-2020=0,即x 12-4x 1=2020,则原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028. 故答案为2028. 8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11, Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-11. (2)原方程可变形为x 2+5x-1=0. a=1,b=5,c=-1,Δ=b 2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=-5,x 1x 2=-1. 9.解:由根与系数的关系,得α+β=13,αβ=-13. (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=132-2×-13=19+23=79.(2)1α+1β=α+βαβ=13-13=-1.10.解:(1)证明:∵在方程x 2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t 2-6t+9=(t-3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根.(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.理由:设方程的两个根分别为m,n.∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t-1=0,解得t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.11.[解析] 首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到x12+x22=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k-1)2-4(k2+3)>0,.∴-4k-11>0,∴k<-114令方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5, ∴x12+x22=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,即(1-2k)2-2(k2+3)=25,∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.∵k<-11,∴k=-3.4把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.。
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2.5 北师版数学八年级上册
2.6
2.7 一元二次方程的根与系数的关系
回顾一元二次方程根与系数的关系，又快又准地完成下列各题。
1. 如果x x 12、是方程4x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
2. 如果x x 12、是方程x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
3. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ）
A. x x 2230+-=
B. x x 2230-+=
C. 22302x x --=
D. 3610
2x x -+= 4. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（
） A. 3，2 B. --32， C. 32，- D. -32，
请同学们结合方程根（解）的概念及利用根与系数的关系，偿试完成下列各题。
5、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b .
6、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k = .
7. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，则求出下列代数式的值。
①11
12x x +
②x12x2+x1x22 ③x21+x22
8、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是
9、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝ 。
10、已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则1112422
1++x x 的值为。