初中数学一元二次方程的解法

解一元二次方程:

例1 x 2-4-(2x+4)=0

（因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0

(x+2)[(x-2)-2]=0

(x+2)(x-4)=0

所以 x 1=-2 ， x 2=4.

（配方法）解：x 2-2x-8=0

X 2-2x=8

X 2-2x+(-1)2=8+(-1)2

即(x-1)2=9

X-1=±3

所以 x 1=4 , x 2=-2.

（公式法）解：x 2-2x-8=0

→Δ=(-2)2-4×1×(-8)

=36>0

所以 x 1,2=1236

)2--⨯±（

即x 1=4 , x 2=-2.

（“x 2+(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法）

解：x 2-2x+(-4)2⨯=0

(X-4)(x+2)=0

所以 x 1=4 , x 2=-2.

1

例2 用配方法解下列一元二次方程：

(1) x 2-6x+5=0; (2) 2x 2+4x-3=0;

(3) 9x 2+6x-1=0;

(4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）.

解：(1) x 2-6x=-5

X 2-6x+(-3)2=-5+(-3)2

即(x-3)2=4

X-3=±2

所以 x 1=5 , x 2=1.

(2) x 2+2x=23

X 2+2x+12=23

+12

(X+1)2=25

X+1=±210

所以 x 1=-1+210

, x 2=-1-210

(3) (3x)2+2×3x=1

(3x)2+2×3x ×1+12=1+12

(3x+1)2=2

3x+1=2±

所以x 1=32

1-+ ,x 2=-32

1+.

2

(4) (2x)2-2×2x ×3=-m

(2x)2-2×2x ×3+32=-m+32

(2x-3)2=9-m

所以 ①当9-m ≥0即m ≤9时 ，2x-3=m -9±

X 1=2-93m

+ , x 2=2-9-3m

;

②当9-m<0即m>9时 ，方程无实根.

例3 用公式法解下列一元二次方程：

(1) 2x 2-3x+1=0; (2) 3x 2+1=2x;

(3) x(1-2x)+3=0； (4) x 2-2x=t (t 为任意实数）. 解：(1)由一元二次方程的一般式知 a=2,b=-3,c=1; →Δ=b 2-4ac

=(-3)2-4×2×1

=1>0

所以 x 1,2=221

3--⨯±）（

即x 1=1 , x 2=2

1.

(2)方程整理为3x 2-2x+1=0

→Δ=(-2)2-4×3×1

=-8<0

所以 方程无实根.

3

(3) 方程变形为2x 2-x-3=0

→Δ=（-1）2-4×2×（-3） =25>0

所以 x 1,2=2225

1--⨯±）（

即x 1=2

3 , x 2=-1. (4) X 2-2x-t=0

→Δ=(-2)2-4×1×(-t)

=4(t+1)

① 当Δ≥0即t ≥-1时，x 1,2=

121)t 42--⨯+±（）（ 即x 1=1+1t + , x 2=1-1t +. ② 当Δ<0即t<-1时，方程无解.

例4 用因式分解法解下列方程：

(1) (2x+3)2-2x=3; (2) (y-1)2+2y(y-1)=0;

(3) (2x-1)2-1=x 2-2x; (4) t 2-5t-6=0. 解: (1) 原方程可变形为(2x+3)2-(2x+3)=0 (2x+3)[(2x+3)-1]=0

即2(2x+3)(x+1)=0

故 2x+3=0 或 x+1=0

所以 x 1=-2

3 , x 2=-1. (2) 提取公因式得(y-1)[(y-1)+2y]=0

即(y-1)(3y-1)=0 4

故y-1=0 或3y-1=0

1.

所以y1=1 , y2=

3

(3) 原方程移项，整理得(2x-1)2-(x2-2x+1)=0

(2x-1)2-(x-1)2=0

[(2x-1)+(x-1)][(2x-1)-(x-1)]=0

即x(3x-2)=0

2.

所以x1=0 , x2=

3

(4) (变形1）t2-1-5t-5=0

(t+1)(t-1)-5(t+1)=0

提取公因式得(t+1)[(t-1)-5]=0

即(t+1)(t-6)=0

所以t1=-1 , t2=6.

(变形2）t2+t-6t-6=0

t(t+1)-6(t+1)=0

提取公因式得（t+1)(t-6)=0

所以t1=-1 , t2=6

5