一元二次方程的四种解法
二次方程四种解法
一元二次方程解法一、直接开平方法解一元二次方程 ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解两根例1.用直接开平方法解方程(1) ； (2) ； （3）3－（3x －1）2＝0； （4）（2x-5）2-2=0；例2.用配方法解方程配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例4.用因式分解法解方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（1）022=-x x （2） 092=-x (3)x （2x-3）=（3x+2）（2x-3） （4） 9)3(22=+-x x（5）01282=+-x x （6）3312+=-x x (7)361232=-x x （8） 03072=--x x23270x -=22 1.505x -=12242x x +=27304x x --=2483xx -=-2441018x x x++=-例4.用公式法解方程3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并不是最简单的，一定要注意方法的选用. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： . ③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例5.用适当方法求解（1）x (x －5)＋6＝0； （2）9x2－12x ＋4＝0； （3）(x －1)2－4（x ＋3）2＝0.（4）2（t-1）2+t=1 （5）014442=-x2230x x --=23290x x --=22y -=212016x x -+=112842+=++x x x 练习1.用直接开平方法解方程(1)8142=x (2) 169)5(2=+x （3）01492=-x(2) (4)2130)3-(2-2=+x （2）()162812=-x （3）()025122=-+x2.用公式法解方程（1）01032=-+x x（2）04122=--x x（3） （4）092432=+-x3.用配方法解方程（1）04322=--x x （2）016102=++x x （3）05632=++x x （4）01142=--x x(5)9642=-x x (6)x 2+4x -12=0 (7)x x 4232=- (8)01522=+-x x4.用因式分解法解方程（1）)1(4)1(3-=-x x x （2）016102=++x x （3）()()1314-=-x x x（4）0)23()32(2=-+-x x （5）()()03342=-+-x x x (6)x 2+4x -12=0（7） 0542=--x x （8） 03072=--x x (9) 0822=--x x4、任选方法解下列方程（1）01072=+-x x （2） x x 22= （3）0432=-y y。
一元二次方程四种解法例题
一元二次方程四种解法例题一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
下面是四种解法例题：1. 解法一：使用因式分解法例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。
根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。
在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。
观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。
因此，我们可以将方程进行因式分解：(x - 3)(x - 2) = 0根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解上述两个方程，得到：x = 3 或 x = 2所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。
2. 解法二：使用求根公式例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0解答：根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)= (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，我们得到两个解：x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。
3. 解法三：使用配方法例题：解方程x^2 + 4x - 5 = 0解答：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用配方法来求解。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c = 0(a ≠ 0),这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：21. 9X2-25= 0;2. (3x+2) 2-4= 0;3* (x+ 73)2 = 4V⅛4. (2x+3) 2= 3(4x+3).解：1 . 9X2-25= 09X2= 2525V2. (3x+2) 2-4= 0(3x+2) 2= 43x+2 = ± 23x = -2± 2—2 士2X ~…宜1 = 0, =—工(x+ √3) 2=4√3X;X2+ 2√3+ 3=4√3≡J2-2√3X+3=0当孤C异号时』两边同时开平方得琵=± ” -(X- √3) 2 = OE- 73= O• ∙ Xι X2 3.4. (2x+3) 2= 3(4x+3)4X2+12X+9=12x+94x2= 0• ∙ X1 X 0.【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）;把常数项移到方程的右边，如ax2+bx = -c;方程的两边都除-X=——;方程的两边都加上一次项系数一半的平方，⅛∏x a ÷—X以二次项系数，使二次项系数为 1 ,如x2+- ■+ （丄）i;把方程的左边变形为一次二项式的完2a a 2a全平方，右边合并或一个常数，如（"云）—一^厂；方程的两边同h 宀∕⅛⅛ 2 —4 津；时开平方.得到两个一元一次方程，;分别解这2a 2a两个一元一次方程，求出两个根,例：用配方法解下列方程：1. x2-4x-3 = 0; 2 . 6x2+x = 35;3. 4x2+4x+1 = 7; 4 . 2x2-3x-3= 0.2解：1 . X -4x-3= 0x2-4x = 32X -4x+4 = 3+4(X-2)2=7χ-2= + √7X = 2+ √7,-∖X I== 2 + r衍=2 一-/L2. 6x2+x= 35X + -X =—6 6 1 I o 35 16 6 14 ’ k 2 S41 仗卡——)2 =——' 12z 144 1 2912 ^ 121 29X — + 1Ξ ^1Ξ7 5 V — V •=—-=- Al λ Jl ATl ^'3. 4X 2+4X +1 = 73 √33—=+ -------4 一 4 3辰 4~ 4【公式法解一元二次方程】一元二次方程 ax 2+bx+c = 0(a-k 4- — 4sr 尹0),朋配方祛所求出的两WX l =和衍="纤瓦(b-4ac >0),有2a 1 √7X = ---- + ---2 2+T i 花__厂已4. 2X 2-3X -3= 0_ T 2 2广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a, b, C的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，耐巴怎二-- —-(b2~4ac≥0)叫做ax a +bx+ C二=0(a ≠ 0)的求根公式。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的几种解法
第一节解一元二次方程的几种方法
1.直接开平方法：利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。
例题1. 解方程(x+3)2=81
解：两边开平方，得x+3=8
即x+3=8或x+3=-8
所以x=5或x=-11
2.因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段求出方程解的方法。
例题2. 解方程x2+4x+3=0
解：原方程变形为（x+1）（x+3）=0
即x+1=0或x+3=0
所以x=-1或x=-3
3配方法：对于一个一元二次方程，首先利用恒等变形，通过配方把它花为一边含有未知数的完全平方形式，另一边是非负数，再用开平方法解方程的方法就是配方法。
例题3 解方程x2-6=4x
解：移项得x2+4x=6
配方得x2+4x+22=6+22
即（x+2）2=10
x+2=10
±
所以x=-12或x=8
4公式法：由一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，应用配方
法可推出一元二次方程的求根公式为X=
a ac
b b
2
4 2-
±
-例题4 解方程x2+5x+6=0
b2-4ac=52-4×6=1
x=(﹣5±1)/2
即x=﹣3或x=﹣2。
一元二次方程四种解法
一元二次方程解法【知识梳理】1. 对一元二次方程的概念及根的考察；2. 一元二次方程的求解；一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02（2）配方法：02=++c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ （3）求根公式法：条件()04,02≥-≠ac b a 且 aac b b x 242-±-= （4）因式分解法：()()021=--x x x x一元二次方程的求解直接开方法：由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解。
（注：两边同时开平方的时候记得不要忘记加上±号，两根相等时记得要写成x 1=x 2=…；而不是x= ） 例1：直接开方解方程：2x 2-8=0 3592=-x ()0962=-+x配方法：1)现将已知方程化为一般形式；2)化二次项系数为1；3)常数项移到右边；4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1：配方法解方程0462=++x x 03422=-+x x 0142=++x x例2. 试说明：无论x 取何值，代数式542+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式542+-x x 的值最小？最小值是多少？公式法（用公式法解一元二次方程是记得要先把方程化成一般式）要点：找出a,b,c 判断：ac b 42-=∆ 应用：aac b b x 242-±-= 例1、用公式法解下列方程（1）解方程x 2-2x-1=0 （2）解方程：-x 2+3x-2=0；变式：用公式法解下列方程（1）3x 2+2x-5=0 （2） x 222-x+1=0．不解方程说明方程根的情况（1） x 2+x-3=0 （2）x （x+8）=16．因式分解的方法：提公因式法、公式法和十字相乘法.1.乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+.2.十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成:()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22. 题型一：因式分解【例1】（1））（）（3x 3x x +=+； （2） 016x 2=— （3）09a 1242=++a ；题型二：十字相乘法分解因式【例1】（1）232x x ++=0； （2）212x x --=0； （3）2215x x +-=0.题型三：解一元二次方程【例1】用适当的方法解下列方程：（1）2410x x ++=； （2）210x x +-=； （3）22310x x -+=.【变式练习1】解下列一元二次方程：（1）21304x x ++=； （2）2420x x -+=；（3）2200x x --=； （4）24920x x -+=.【作业布置】（时间：20分；总分：60）用合适的方法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）x 2+2x-3=0．（3）x 2+35=12x （4）（x-3）2+9（x-3）=0（5）220x x -=； （6）2430x x +-=；(7） 22)3(4)23(-=+x x (8) )2(5)2(3+=+x x x。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
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一元二次方程综合龙文教育个性化辅导教案提纲
教师: 陈燕玲学生: 年级九日期: 星期: 时段:
课题
一元二次方程的概念及解法
学情分析
教学目标与
考点分析
1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。
2 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
教学重点
难点
教学重点: 掌握常用四种一元二次方程的解法。
教学难点: 灵活选用适当方法解一元二次方程
教学方法
讲解法合作探究法
教学过程
练习: 一、选择题
二、一元二次方程的解：
三、一元二次方程的解法
（一）、直接开平方法
（三）公式法
四、因式分解法:
例题：
五、选用适当的方法:
2(x－1)2=8 2x2+4x=0
4(2x+1)2=3(4x2－1)
(x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49 (x2－x+1)(x2－x+2)=12
六、综合题:
1、已知｜x2－3xy－4y2｜+=0，求3x+6y的值。
教学反思
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化
教师签字：。