一元二次方程的基本解法
解一元二次方程的三种基本方法
解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。
在这里，我们将介绍三种基本的解法。
一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。
例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。
（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。
例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。
二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。
例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。
三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。
例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。
总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。
配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。
公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。
图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。
一元二次方程的几种解法
第一节解一元二次方程的几种方法
1.直接开平方法：利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。
例题1. 解方程(x+3)2=81
解：两边开平方，得x+3=8
即x+3=8或x+3=-8
所以x=5或x=-11
2.因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段求出方程解的方法。
例题2. 解方程x2+4x+3=0
解：原方程变形为（x+1）（x+3）=0
即x+1=0或x+3=0
所以x=-1或x=-3
3配方法：对于一个一元二次方程，首先利用恒等变形，通过配方把它花为一边含有未知数的完全平方形式，另一边是非负数，再用开平方法解方程的方法就是配方法。
例题3 解方程x2-6=4x
解：移项得x2+4x=6
配方得x2+4x+22=6+22
即（x+2）2=10
x+2=10
±
所以x=-12或x=8
4公式法：由一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，应用配方
法可推出一元二次方程的求根公式为X=
a ac
b b
2
4 2-
±
-例题4 解方程x2+5x+6=0
b2-4ac=52-4×6=1
x=(﹣5±1)/2
即x=﹣3或x=﹣2。
一元二次方程四种解法
一元二次方程解法【知识梳理】1. 对一元二次方程的概念及根的考察；2. 一元二次方程的求解；一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02（2）配方法：02=++c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ （3）求根公式法：条件()04,02≥-≠ac b a 且 aac b b x 242-±-= （4）因式分解法：()()021=--x x x x一元二次方程的求解直接开方法：由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解。
（注：两边同时开平方的时候记得不要忘记加上±号，两根相等时记得要写成x 1=x 2=…；而不是x= ） 例1：直接开方解方程：2x 2-8=0 3592=-x ()0962=-+x配方法：1)现将已知方程化为一般形式；2)化二次项系数为1；3)常数项移到右边；4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1：配方法解方程0462=++x x 03422=-+x x 0142=++x x例2. 试说明：无论x 取何值，代数式542+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式542+-x x 的值最小？最小值是多少？公式法（用公式法解一元二次方程是记得要先把方程化成一般式）要点：找出a,b,c 判断：ac b 42-=∆ 应用：aac b b x 242-±-= 例1、用公式法解下列方程（1）解方程x 2-2x-1=0 （2）解方程：-x 2+3x-2=0；变式：用公式法解下列方程（1）3x 2+2x-5=0 （2） x 222-x+1=0．不解方程说明方程根的情况（1） x 2+x-3=0 （2）x （x+8）=16．因式分解的方法：提公因式法、公式法和十字相乘法.1.乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+.2.十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成:()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22. 题型一：因式分解【例1】（1））（）（3x 3x x +=+； （2） 016x 2=— （3）09a 1242=++a ；题型二：十字相乘法分解因式【例1】（1）232x x ++=0； （2）212x x --=0； （3）2215x x +-=0.题型三：解一元二次方程【例1】用适当的方法解下列方程：（1）2410x x ++=； （2）210x x +-=； （3）22310x x -+=.【变式练习1】解下列一元二次方程：（1）21304x x ++=； （2）2420x x -+=；（3）2200x x --=； （4）24920x x -+=.【作业布置】（时间：20分；总分：60）用合适的方法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）x 2+2x-3=0．（3）x 2+35=12x （4）（x-3）2+9（x-3）=0（5）220x x -=； （6）2430x x +-=；(7） 22)3(4)23(-=+x x (8) )2(5)2(3+=+x x x。
一元二次方程的求解方法
一元二次方程的求解方法一元二次方程是一种常见的数学问题，它的解法有多种。
本文将介绍三种常用的求解一元二次方程的方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
通过这些方法，我们可以轻松解决一元二次方程，并找到它们的根。
1. 因式分解法一元二次方程一般形式为：ax²+ bx + c = 0。
当我们将方程化简后，可以尝试使用因式分解法求解。
例如，对于方程x² + 5x + 6 = 0，我们可以尝试将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
这样，我们就可以得到两个根分别为x = -2和x = -3。
2. 配方法如果无法通过因式分解法求解一元二次方程，我们可以尝试使用配方法。
该方法的核心思想是通过添加一个适当的常数使方程能够进行因式分解。
以方程x² + bx + c = 0为例，我们可以通过添加一个常数m，使得方程变为x² + bx + c + m = (x + p)² = 0的形式。
然后，我们可以通过p = b/2和p² = c + m的关系求解出m的值，并将其带入方程中求解x的值。
3. 求根公式法求根公式法是一元二次方程求解的基本方法之一。
一元二次方程ax² + bx + c = 0的两个根可通过求根公式得到。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)根据方程的三个系数a、b和c，我们可以直接将求根公式带入计算，找到方程的根。
总结：通过因式分解法、配方法和求根公式法，我们可以解决一元二次方程，并找到它们的根。
当方程可以通过因式分解法求解时，我们可以直接因式分解得到方程的根。
当无法因式分解时，我们可以尝试使用配方法，通过添加适当的常数来进行求解。
而求根公式法是一种基本的求解方法，适用于所有的一元二次方程。
根据方程的系数，我们可以直接带入求根公式，求得方程的根。
以上就是三种常见的求解一元二次方程的方法。
一元二次方程及其解法直接开平方法—知识讲解
一元二次方程及其解法直接开平方法—知识讲解一、一元二次方程的定义二、一元二次方程的解法之直接开平方法直接开平方法是一种求解一元二次方程的常用方法，它的基本思想是将方程变形为一个完全平方的形式，然后通过对等式两边进行平方根运算，得到方程的解。
具体的解题步骤如下：步骤一：将一元二次方程化为完全平方的形式首先将一元二次方程的形式写成(a x^2 + bx) + c = 0的形式，然后根据平方差公式将左侧的前两项变形为一个完全平方。
例如，设一元二次方程为2x^2+5x+3=0，首先将方程的形式写成(2x^2+5x)+3=0。
然后根据平方差公式，(2x^2+5x)可以变形为(√2x+√3)^2的形式，即(2x^2+5x)=(√2x+√3)^2步骤二：对等式两边进行平方根运算将方程的两边进行平方根运算，得到√(2x^2+5x)=±√(√2x+√3)。
步骤三：解出方程的根对于√(2x^2+5x)=±√(√2x+√3)这个方程，我们可以分别求出右侧的正负情况下的根。
首先，我们假设√(2x^2+5x)=√(√2x+√3)，则√2x+√3=(2x^2+5x)。
将方程两边展开并整理，得到2x^2+3–(2x^2+5x)=0，即-5x+3=0。
解这个一元一次方程，我们可以得到x=3/5接下来，我们假设√(2x^2+5x)=-√(√2x+√3)，则√2x+√3=-(2x^2+5x)。
将方程两边展开并整理，得到2x^2+3+2x^2+5x=0，即4x^2+5x+3=0。
解这个一元二次方程，我们可以得到x=-1/2或x=-3/2因此，一元二次方程2x^2+5x+3=0的解为x=3/5，x=-1/2，或x=-3/2三、总结直接开平方法是一种求解一元二次方程的常用方法，其基本思想是将方程变形为一个完全平方的形式，然后通过对等式两边进行平方根运算，得到方程的解。
根据正负情况，可以得到方程的不同解。
这种方法简单直观，适用于一般的一元二次方程求解。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
总结解一元二次方程的常用技巧
总结解一元二次方程的常用技巧解一元二次方程是数学中的基础知识之一，也是很多学生常常遇到的问题。
掌握解一元二次方程的常用技巧对于提高数学能力和解题速度具有重要意义。
本文将总结解一元二次方程的常用技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、一元二次方程的定义及基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
二、求解一元二次方程的常用技巧1. 通过因式分解法求解当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过解这两个一次方程来求解原方程。
例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3，即原方程的解为x = 2或x = 3。
2. 利用配方法求解当一元二次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
配方法的基本思路是通过添加合适的常数使得方程左边成为一个平方差的形式，从而方便求解。
具体步骤如下：a. 如果原方程为ax² + bx + c = 0，首先计算方程的判别式Δ = b² -4ac。
b. 如果Δ大于0，则可得到两个实根。
假设方程的根为x₁和x₂，则通过方程x₁ + x₂ = -b/a和x₁x₂ = c/a来求解。
c. 如果Δ等于0，则可得到两个相等的实根。
通过方程x = -b / 2a来求解。
d. 如果Δ小于0，则无实根，方程只有复数解。
举例说明：以方程x² - 4x + 4 = 0为例，使用配方法来求解：a. 计算Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 0。
b. 由于Δ等于0，方程有两个相等的实根x = -(-4) / 2*1 = 2。
即原方程的解为x = 2。
3. 利用求根公式求解一元二次方程还可以通过求根公式来求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
一元二次方程的解法(直接开平方、因式分解)
直接开平方与因式分解的比较
直接开平方
适用于方程有重根或可以通过移项整理成平方项系数为正数的情况。计算简单， 但适用范围有限。
因式分解
适用于所有一元二次方程，但需要一定的技巧和经验，对于复杂的一元二次方 程可能较难操作。
不同解法的适用范围
直接开平方法
引力问题
在引力问题中，一元二次方程可以 用来描述万有引力定律，如求解天 体之间的引力等。
在实际生活中的应用
经济问题
一元二次方程在经济中有着广泛 的应用，例如求解最优价格、最
大利润等。
金融问题
在金融领域中，一元二次方程可 以用来描述复利、保险等问题。
交通问题
在交通领域中，一元二次方程可 以用来描述车辆行驶的轨迹、速
避免错误
在因式分解过程中，需要 注意符号和运算的准确性， 避免出现错误。
检验
因式分解后需要进行检验， 确保分解结果是正确的。
03 一元二次方程解法的应用
在数学中的应用
代数问题
一元二次方程是代数中常见的基本方 程，通过解一元二次方程可以解决代 数问题，如求解未知数、证明不等式 等。
几何问题
函数与导数
在配方过程中，要保 证等式的平衡和等价 变换。
开平方时要注意正负 号的取舍，根据方程 的系数和判别式的符 号确定。
02 一元二次方程的因式分解
定义与性质
定义
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
性质
因式分解是整式乘法的逆运算， 即如果多项式等于几个整式的积 ，则这些整式是多项式的因式。
因式分解的步骤
01
02
03
提取公因式
将多项式中的公因子提取 出来，形成几个整式的积。
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第一讲：一元二次方程的基本解法
【知识要点】
① 一元二次方程及其标准形式：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。
形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。
任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。
② 一元二次方程的解法主要有：
直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。
一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a
ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值
【经典例题】
例1、直接开平方法
（1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0；
（3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0.
例2 、配方法：
（1）x 2－2x ＝0； （2）2
12150x x +-=
（3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+=
例3 、求根公式法：
(1) 1522-=x x (2) 052222
=--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).
例4 、因式分解法：
(1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2
＋19x －5＝0；
(3) ()()2232
-=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0.
例5、换元法解下列方程：
（1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1
(5)1(2=+---x x x x
例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于
4
5.
【随堂练习】
1.下列方程:①x 2=0, ②21x
-2=0, ③22x +3x=(1+2x)(2+x), ④32x =0, ⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( ) A.1个 B2个 C.3个 D.4个
2．要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A ．a≠0
B ．a≠3
C ．a≠1且b≠-1
D ．a≠3且b≠-1且c≠0
3.用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0,则方程可变形为( ).
A.(x-4)2=9
B.(x+4)2=9;
C.(x-8)2=16
D.(x+8)2=57
4.用配方法解关于x 的一元二次方程02
=++q px x 时，此方程可变形为（ ） A ．44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ B. 44222p q p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ C ．44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- D. 44222
p q p x -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛- 5．下面对于二次三项式-x 2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A ．恒大于0
B ．恒小于0
C ．不小于0
D ．可能为0
6..方程22x x =的解是（ ）
Ａ．2x = Ｂ．1x =，20x = Ｃ．12x =，20x = Ｄ．0x = 7.方程(3)3x x x +=+的解是（ ）
Ａ．1x = Ｂ．1203x x ==-， Ｃ．1213x x ==， Ｄ．1213x x ==-，
8．已知1=x 是一元二次方程0122=+-mx x 的一个解，则m 的值是（ ）
A ．1 B. 0 C. 0或1
D. 0或-1 9、关于x 的方程05)1(122=-++--x x a a a 是一元二次方程，则a=__________.
10．若-2是关于x 的一元二次方程（k 2-1）x 2+2kx+4=0的一个根，则k=________．
11．用配方法证明：34242
2++++y x y x 的值不小于1.
【课后强化】
1．关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）.
A ．0>a
B. 0≠a
C. 1=a
D. 0≥a 2.23360x +=的根（ ）.
（A ）（B ）-（C ）±（D ）无实根
3.27180x x --=的根是（ ）.
（A ）9x = （B ）2x =- （C ）19x =，22-=x （D ）19x =-，22x =
4.已知2是关于x 的方程23202
x a -=的一个解，则21a -的值是（ ）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
5、用适当的方法解下列方程：
（1）2x 2－6＝0； （2）3x 2＝4x ；
（3）x 2＋4x ＝2； （4）x 2－4x ＋3＝0.
（5）x 2＋3x ＋1＝0. (6)4x 2－12x －1＝0;
（7）（x -2）（x +5）＝8； （8（x ＋1）2＝2（x ＋1）.
（9）2
1（x ＋3）2＝2； （10）x 2＋(3＋1)x ＝0；。