一元二次方程的四种解法58960
一元二次求解方程
一元二次求解方程一元二次方程是高中数学中的一个重要概念，它是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多，下面我们将介绍一些常用的求解方法。
一、因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过将方程进行因式分解来求解。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2+bx+c=0进行因式分解，得到(ax+m)(x+n)=0，其中m和n是待定系数；2. 根据乘法法则，展开(ax+m)(x+n)得到ax^2+(m+an)x+mn=0；3. 将方程与原方程进行比较，得到a=m，b=m+an，c=mn；4. 根据以上关系，解方程组，求出m和n的值；5. 将m和n的值代入方程(ax+m)(x+n)=0，求出方程的解。
二、配方法当一元二次方程无法直接进行因式分解时，我们可以通过配方法来求解。
具体步骤如下：1. 对于方程ax^2+bx+c=0，我们将其转化为完全平方的形式，即a(x^2+(b/a)x+(c/a))=0；2. 将x^2+(b/a)x+(c/a)进行配方，得到(x+(b/2a))^2-(b^2/4a^2)+(c/a)=0；3. 化简得到(x+(b/2a))^2=(b^2-4ac)/4a^2；4. 对方程两边开方，得到x+(b/2a)=±√((b^2-4ac)/4a^2)；5. 移项得到x=-(b/2a)±√((b^2-4ac)/4a^2)；6. 化简得到x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)；7. 求出方程的解。
三、求根公式法求根公式是求解一元二次方程的一种常用方法，它是通过求解一元二次方程的根的公式来得到方程的解。
求根公式为：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2+bx+c=0与求根公式进行比较，得到a、b、c的值；2. 将a、b、c的值代入求根公式，得到方程的解。
解一元二次方程的四种方法
解一元二次方程的四种方法解一元二次方程的四种方法为：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±√p。
如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p，进而得出方程的根。
解一元二次方程的四种方法1、直接开平方法形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±√p。
如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p，进而得出方程的根。
2、配方法用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。
3、公式法把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。
4、因式分解法把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
一元二次方程成立条件一元二次方程成立必须同时满足三个条件：1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
2、只含有一个未知数。
3、未知数项的最高次数是2。
怎样快速学会一元二次方程学好一元二次方程，重要的是要学会背公式。
除了最主要的求根公式你要背上外，就是要学会总结不同方程解决形式。
一元二次方程的解法有哪些
一元二次方程的解法有哪些
一元二次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程。
一元二次方程的解法有开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法。
开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根;如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为(0);
②再把左边运用因式分解法化为两个(一)次因式的积;
③分别令每个因式等于零,得到(一元一次方程组);
④分别解这两个(一元一次方程),得到方程的解。
求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值(注意符号);
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。
解一元二次方程的方法与技巧
解一元二次方程的方法与技巧一元二次方程是数学中常见的类型之一，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程是求出满足该方程的解集，这需要一定的方法与技巧。
本文将介绍解一元二次方程的常用方法与技巧。
一、配方法配方法是解一元二次方程的常用且最基本的方法之一。
它的基本思想是通过变形将方程转化为完全平方的形式，从而便于求解。
具体步骤如下：Step 1: 通过系数a将方程两边都除以a，将一元二次方程化为标准形式，即x²+(b/a)x+(c/a)=0。
Step 2: 对方程两边进行配方，将x²+(b/a)x这一项转化为完全平方形式。
Step 3: 方程两边同时加上一个常数，使得方程等式两边的平方项形成完全平方。
Step 4: 将方程两边进行因式分解，使其左右两边可以化为(x+m)²=n 的形式。
Step 5: 求解方程(x+m)²=n，得出x的值。
二、因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过这种方法来求解方程。
这种方法基于因式分解的原理，将一元二次方程转化为两个一次方程，然后求解得结果。
具体步骤如下：Step 1: 将一元二次方程进行因式分解，得到(a₁x+b₁)(a₂x+b₂)=0。
Step 2: 让a₁x+b₁=0和a₂x+b₂=0分别求解，得到两个一次方程的解。
Step 3: 将两个一次方程的解合并，得到一元二次方程的解集。
三、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的另一种常用方法。
它适用于所有一元二次方程，无需考虑方程是否可以因式分解。
具体步骤如下：Step 1: 对一元二次方程ax²+bx+c=0，根据求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，计算出判别式D=b²-4ac的值。
Step 2: 根据判别式D的值进行分类讨论：a) 若D>0，方程有两个不相等的实数根；b) 若D=0，方程有两个相等的实数根；c) 若D<0，方程没有实数根，但可以有复数根。
一元二次方程 解法
一元二次方程解法一元二次方程解法一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法、求根公式法等。
1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过因式分解的方式求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为(ax + b)(cx + d) = 0的形式；（2）令ax + b = 0和cx + d = 0，解得x的值。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。
2. 配方法：当一元二次方程无法直接进行因式分解时，可以通过配方法将其转化为可以进行因式分解的形式。
具体步骤如下：（1）对于方程ax^2 + bx + c = 0，如果a ≠ 1，则将方程两边同除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0；（2）将方程左边的三项变形为(x + m)^2 + n的形式，其中m和n为待定系数；（3）展开(x + m)^2 + n并与原方程进行比较，确定m和n的值；（4）将方程化简为(x + m)^2 + n = 0的形式；（5）令x + m = 0，解得x的值。
例如，对于方程2x^2 - 5x + 3 = 0，可以通过配方法将其转化为(x - 1)(2x - 3) = 0，解得x = 1/2或x = 3/2。
3. 求根公式法：一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c为方程中的系数。
具体步骤如下：（1）带入a、b、c的值，计算出b^2 - 4ac的值；（2）如果b^2 - 4ac < 0，则方程无实数解；（3）如果b^2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数解，即x = -b / (2a)；（4）如果b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解，可以根据求根公式计算出x的值。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的方法主要有两种，分别是因式分解和求根公式法。
一、因式分解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，当a、b、c均为整数且方程存在因式分解时，我们可以使用因式分解法来求解。
步骤如下：1. 将方程进行因式分解，即将方程写成两个因式相乘的形式：(mx + n)(px + q) = 0，其中m、n、p、q为常数；2. 根据因式分解的性质得到两个方程：mx + n = 0和px + q = 0；3. 分别求解这两个一次方程，得到两组解；4. 将两组解合并，得到一元二次方程的解集。
举例说明：对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以进行因式分解如下：(2x + 1)(x + 3) = 0得到两个方程：2x + 1 = 0和x + 3 = 0分别求解得到x = -1/2和x = -3合并得到方程的解集{x: x = -1/2 或 x = -3}二、求根公式法当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用求根公式法来求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中x为方程的解，±表示两个可能的解，b^2 - 4ac称为判别式。
步骤如下：1. 计算判别式b^2 - 4ac的值；2. 根据判别式的值进行分类讨论：- 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；- 当判别式等于0时，方程有且仅有一个实数解；- 当判别式小于0时，方程无实数解；3. 根据求根公式计算实数解的值。
举例说明：对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以使用求根公式法进行求解，步骤如下：1. 计算判别式：b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 02. 判别式等于0，表示方程有且仅有一个实数解；3. 根据求根公式得到解：x = (-(-4) ± √(0)) / (2 × 1) = 2得到方程的解{x: x = 2}综上所述，一元二次方程的解法主要包括因式分解法和求根公式法。
解一元二次方程的四种不同方式
解一元二次方程的四种不同方式
一元二次方程是一个常见的数学问题，可以通过四种不同的方式来解决。
下面将详细介绍这四种方法。
1. 因式分解法
对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程，如果能够将其因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$ 的形式，那么方程的解即为 $x = -\frac{q}{p}$ 或 $x = -\frac{s}{r}$。
这种方法适用于方程能够进行因式分解的情况。
2. 公式法
一元二次方程有一个通用的求解公式：$x = \frac{-b \pm
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
其中，$\pm$ 表示两个不同的解。
通过将方程中的系数代入公式，可以分别得到方程的两个解。
3. 完全平方数法
对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程，如果能够将其
表示为完全平方的形式，即 $(mx + n)^2 = 0$，那么方程的解即为
$x = -\frac{n}{m}$。
通过将方程进行完全平方等式的转化，可以简
化求解过程。
4. 图像法
一元二次方程对应于图像上的一个抛物线。
通过观察方程在坐
标系上的图像特征，可以大致估计方程的根的范围，然后使用迭代
等方法逐步逼近根的具体值。
这种方法需要对图像特征有一定的了解，适用于无法直接求解的情况。
以上是解一元二次方程的四种不同方式。
根据具体的问题情况，选择合适的方法可以更高效地解决方程。
一元2次方程4种解法
一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。
本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。
这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。
第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。
通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
这种解法适用于无理数根的情况。
第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。
该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。
这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。
第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。
根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。
这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。
结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。
无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。
掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。
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复习：方程的解
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
应用公式法解一元二次方程的步骤:
1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.
2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，
4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
练习： 一、选择题
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
（二）、配方法
1、解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4)4x2+16x=-7
4．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______， 所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2 x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值．
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
例1：解方程：(1)(2x-1)2=5 (2)x2+6x+9=2 (3)x2-2x+4=-1
练习：一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
二填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
三、综合提高题
1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？
2、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
4、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程
两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式 → （x+3）2= 25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2=-8
可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.
教学难点: 灵活选用适当方法解一元二次方程
教学方法
讲解法 合作探究法
教学过程
一、一元二次方程的概念：
问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
4．配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x- ）2= B．（x- ）2=0 C．（x- ）2= D．（x- ）2=
5．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（ x-a）2=a
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x- =0
例2．解下列方程
（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0
练习:关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
三、一元二次方程的解法
（一）、直接开平方法
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
练习:一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- =0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、 一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时， 将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x=
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）．
A．x1= ，x2= B．x1=6，x2= C．x1=2 ，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
整理，得：________．
归纳：
（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3） 整式方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=± 或mx+n=± （p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生:年级九日期:星期:时段:
课题
一元二次方程的概念及解法
学情分析
教学目标与
考点分析
1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。2能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。