一元二次方程的解法全
一元二次方程的解法(知识梳理)
一元二次方程的解法
1、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
2、方法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±
.
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+
x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+
x+(
)2=-
+(
)2方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=
(这就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=
(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。
2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。
3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。
4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。
5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。
6.通过求平方根或其他方法求解方程。
例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。
2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。
4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。
5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。
在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。
一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。
通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。
最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
通过求根公式，可以直接计算出方程的解。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
其中，a、b、c为方程的系数。
将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。
四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。
通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。
最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。
五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。
通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。
一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。
将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。
六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。
因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：3．(m2+1)x2＝0； 4．16x2-25＝0．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝0 6x2＝25。
(完整版)一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
一元二次方程的解法全 ppt课件
x1
2 3
,
x2
1 2
2020/10/22
15
例 解方程x2 4 0。
解: (直接开平方法):
x 4,
x1 2, x2 2.
2020/10/22
16
例2：解方程x2- 4=0. 另解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
x+2=0 或 x－2=0
我们观察可以
23
拓展练习1：辨析
(1)、x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个不等于零的
2数020/，10/22所得的方程与原方程 同解。
24
2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在 哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为
(x 5)(x 2) 3 6 ( )
由x 5 3，得x 8;
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
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25
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2
(2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
2020/10/22
2020/10/22
10
方程 a2 xc0a0一定有解吗?
a 0 x 2 a c;
1当ac0时，方程 x的 根 ac;
2当ac 0时，原方程无实
提问：下列方程有解吗？
( 1 )x 4 2 3 ;(2 3 x 1 ) 2 3 ;
2020/10/22
11
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0；2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7；4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
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3x(x ? 2) ? 5(x ? 2) ? 0
(x? 2)(3x ? 5) ? 0
x+2=0或3x－5=0
∴
x1=-2
,
x2=
5 3
(2)9 x2 ? 6x ? 1 ? 0
解：原方程可变形为
（3x ? 1）2 ? 0
所以3x ? 1 ? 0.
所以 x1
?
x2
=-
1 3
.
归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤
(b≥0）的形 式,再求解
再显身手
例2 解方程:
(1) ?x ? 1?2 ? 4 ? 0
将方程化成
(x ? a)2 ? b
(b≥0）的形 式,再求解
(2) 12(2 ? x)2 ? 9 ? 0
解下列方程：
?1?x2 ? 9 ? 0;
?2?t2 ? 45? 0
?3?16x2 ? 49? 0; ?4??2x? 3?2 ? 5;
0 x1
?
?
2 3 , x2
?
1 2
例 解方程x2 ? 4 ? 0。
解: (直接开平方法):
x ? ? 4,
? x1 ? 2, x2 ? ?2.
例2：解方程x2- 4=0. 另解：原方程可变形为
(x+2)(x －2)=0
x+2=0 或 x－2=0
我们观察可以
发现 x2 ? 4? 0
可以使用平方 差公式
1 . 方程右边不为零的化为 零 。 2 . 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 . 至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 . 两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x －1)=5 解：原方程可变形为 方程x2右+2边x－化8为=零0
左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是 2的整式方程 叫做一元二次方程。
2、一元二次方程通常可写成如下的 一般形式：
a≠0
ax2+bx+c=0
3、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把 握三点： ①：方程是整式方程；②：只含有一个未知数 ③：可化为 ax2+bx+c=0（ a≠0 ）的形式
?5??x? 5?2 ? 36? 0; ?6??6x?1?2 ? 25;
1、用直接开方法解方程：
你会变 吗？
3?2x ? 5?2 ? 12 ? 2?2x ? 5?2 ? 4
2、用直接开方法解方程：
9?3m ? 5?2 ? 3 ? 0
?3m ?
5?2
?
?
1 3
? 无论m取何值，?3m ? 5?2 ? 0;
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
1）2x2 ＋3x－1＝0 x
2） x 2－y＝0
3）ax2＋bx ? c＝0 4）(m2 ? 1)x 2 ? 2x - 3＝0
2．m何值时，方程 (m ? 1) x 4m ? 2 ? 27 mx ? 5 ? 0 是关于χ的一元二次方程?
合作学习 共同回顾 ?
所以 x ? ? 4
x ? ?2
? x1 ? 2 ; x2 ? ? 2
以上解某些一元二次方程的方法叫 做直接开平方法。
初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 ? 121? 0 ;
（2） x2 ?2 ?0
(3) 16x2 ? 25 ? 0
（4） 2 x 2
?
1 2
?
0;
将方程化成
x2 ? b
解方程 (x ? 5)(x ? 2) ? 18 解： 原方程化为
? (x ? 5)(x ? 2) ? 3? 6 ( )
由x ? 5 ? 3，得x ? 8; 由x ? 2 ? 6，得x ? 4. ? 原方程的解为x1 ? 8或x2 ? 4.
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
两个一元∴一次x方1=程2 的,x解2=就-4是原方程的解
拓展练习1：辨析
(1)、x2 ? x
解：方程的两边同时除 以x，得 x ? 1.
? 原方程的解为x ? 1.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的
数，所得的方程与原方程 同解。
2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在 哪？
(3) 2 y2=3y
(4) (4x－3)2=(x+3)2
x2 ? 3 x(3 ? 2x) x(3x ? 1)
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x 2 ? b ?b ? 0?或 ?x ? a ?2 ? b ?b ? 0?.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x 2 ? b ?b ? 0?或 ?x ? a ?2 ? b ?b ? 0?;
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根，
所以当b<0时，原方程无解。
知识回顾
大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？
(1)x(x ? 2)A?B0=0? A=0x或1 ?Ｂ0＝, ０x2 ? 2
(2)(x ? 2)(x ? 3) ? 0 x1 ? ?2, x2 ? 3
(3)(3x ?
2)(2x ? 1) ?
∴ x1=-2 ,x2=2
x2－4=（x－2）（x＋2）
以上解某些一元二次方程的方法叫 做因式分解法。
初试锋芒 解下列方程：
（1）16 x2 ? 25 ? 0
（2）4x2 ? 9 ? 0
例3 解下列方程：
(1)3x(x ? 2) ? 5(x ? 2)
(2)9 x2 ? 6x ? 1 ? 0
(1)3x(x ? 2) ? 5(x ? 2)
? 此方程无解。
方程 ax2 ? c? 0 ?a? 0? 一定有解吗?
?
a?0 ?
x2
?
?
c a
;
?1?当 ?
c a
?
0时，方程的根是 x
?
?
?
c a
;
?2?当 ?
c a
?
0时，原方程无实数根。
提问：下列方程有解吗？
(1) ?x ? 4?2 ? 3; (2) ?3x ? 1?2 ? ?3;
归纳 小结
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什 么？
即 x2 ? a （a≥0）则x叫做a的平
方根，表示为： x ? ? a
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它
的平方根吗?
25 ;
0
;
25 16
; 2;-3;3 4
例题解析： 例1 解方程 先移项，得
x2 ? 4 ? 0
x2 ? 4
可见，上面的
x 2 ? 4 实际 上就是求4的平 方根。