最新-第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 精品

第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题复赛试题决赛第一试决赛第二试团体决赛口试初赛（1）请将下面算式结果写成带分数：[分析] 这是每位小学生都会算的题目，但初赛要求在30秒内计算出正确的结果，就需要在平时锻炼快算的技巧。

注意 0.5乘 236之积为118，仅比分母小1。

抓住这个特点，算起来便很快了。

[注] 华罗庚爷爷在四十年代给他的孩子出了一道题：“全家九口人，每人每日食半两油，问全家一个月30天要食几斤油？”当时一斤等于16两。

快速心算的思路是：每人一月食15两油，即一斤少一两。

全家九口人，一月食9斤少9两，即8斤7两。

列成算式是本题便是根据华爷爷的问题改编而成的。

（2）一块木板上有13枚钉子（右图）。

用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（下图）。

请回答：可以构成多少个正方形？[答案]共11个。

[分析]可以构成的正方形有好几种，大小和位置不一样。

要想无一遗漏地数出全部正方形，最好用分类法。

[解]依正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1。

面积为1的正方形，有5个（图a）；面积为2的正方形，有 4个（图b）；面积为4的正方形，有1个（图c）；还有1个面积比4大的正方形（图d）。

[讨论]本题也可以按其他特征来分类。

例如按正方形各边的方向的特征，如果各边是水平和竖直方向的，有6个（图a和图c）；各边都是倾斜的有5个（图b和图d）。

用分类法的关键是抓住事物的特征，给列举的类排序。

既要穷尽所有的可能性，以避免遗漏，又要注意每二类之间是否有共同的部分，如果有，则需要加以排除。

（3）这里有一个圆柱和一个圆锥（下图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。

请回答：圆锥体积与面积的比是多少？[分析]这是一道普通的体积计算题。

相信同学们都能记住圆柱和圆锥的比，π可以消去，再把各自的底面半径和高代入公式便行了。

列，排在中间的是哪个数？[分析]要比较分数大小，通常的做法是先通分，再比较分子的大小，这道题目的5个分母通分，公分母是个很大的数，算起来便复杂了。

我们可以换个方式：将5个分数的分子换成相同的数，再比较分母的大小。

也就是说，先找出分子的最小公倍数，再将这些分数进行等值变换。

[解]分子的最小公倍数是60。

给出的5个分数依次等于：[注]把这道题放在初赛中，目的是测验同学们快算技巧和灵活性。

如果按通常先找分母最小公倍数的做法，就不可能在60秒钟内解答完。

（5）现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。

用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不同的车速。

“希望牌”变速自行车主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。

问：“这种变速车一共有几档不同的车速？[答案]8档。

[分析]传动比=主轴齿轮齿数∶后轴齿轮齿数。

例如主轴齿轮48齿，后轴齿轮16齿，传动比=48∶16=3，也就是说如果主轴转一圈，轮子转3圈。

这道题目实际上是要求算出所有的传动比，再看看有几个不同的。

[解法]算出全部传动比，并列成表：将重复的传动比去掉，剩下8个不同的比，所以有8档不同的车速。

[讨论]现实生活中处处都有美妙的数学问题，本题只是一个例子。

出这道题的用意就是鼓励同学们留心注意周围的事物，并用课堂中学到的知识，去解决实际问题。

对于爱动脑筋，喜欢寻根问底的同学，大概不会满足于懂得解答本题。

他们也许会去找一辆真正变速车，实地数一数主轴和后轴齿轮的齿数。

他们会发现，这里边还有许多更有趣的数学问题哩！有一辆12速的山地车（实物），它的主轴有3个齿轮，齿数分别是48，38，28；后轴有6个齿轮，齿数分别是28，24，20，18，16，14。

如果按刚才的解法，列出下面的传动比：其中重复的传动比只有1个（2），去掉它，这辆车应该有17档不同的车速，为什么叫12速山地车？为了解答这个疑问，我们还可以做一些数学上的分析。

先将算出的传动比都化成小数，并保留小数后二位（四舍五入）：任意2个传动比，如果它们相差小于0.18，将被看成是近似地相同的。

上表中的2.71与2.67；2.38与2.4；1.75与1.71；1.56与1.58；1.4与1.36；相差都不大于0.18，这5对传动比作用差不多，可以看作近似地相同。

将重复的去掉，便只剩下12档不同的车速了。

有些年青人到商店买自行车，总希望车速越多越好。

车速越多，价格就越昂贵。

有些商店为迎合顾客的心理，将刚才分析的山地车标以“18速山地车”。

你问他们为什么是18速，他们会振振有词地说：3乘6等于18嘛！如果你懂得点数学知识，你大概就不会上当。

你也不会多花好多钱，去买一辆名义上许多档、实际上并非如此的昂贵自行车了。

（6）右图中的大正方形ABCD的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。

请问：阴影三角形的面积是多少？[解法]将小正方形各顶点标上字母如右图，很容易看出三角形JFG 面积=（7）在右边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。

问：被加数至少是多少？[答案]18[分析]从“被加数的数字和是和数的数字和的三倍”这句话，可以推断出两点：①被加数可以被3整除，和数也可以被3整除；②在加法运算时，个位数相加一定有进位，否则和数的数字和只会增加。

[解法]因为个位数相加必有进位，所以被加数的个位数只可能是7，8或9。

又出为被加数是3的倍数，它只能是下面几种情形：个位数是7，被加数可能是27，57，87，经验算，27满足题目要求。

个位数是8，被加数可能是18，48，78，经验算，18满足要求。

个位数是9，被加数可能是39，69，99，都不满足题目要求。

因此，满足题目的最小的被加数是18。

（8）筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。

问：有多少种分法？[答案]8种。

[分析]“每堆个数相同”和“偶数堆”二个条件合起来，就是要求60的偶因子的个数，因为每个偶因子对应于一种符合条件的分法。

[解法1]直接列举出 60的偶因子：2， 4， 6， 10，12，20，30，60。

共8个。

[解法2] 60的偶因子个数与30的因子个数相同。

30=2×3×5。

所以因子个数为：（1+1）×（1＋1）×（1+1）＝8。

（9）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，其中小猴得5分，套中小狗得2分。

小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。

小明套10次共得了61分。

问：小鸡至少被套中多少次？[答案]本题的解法看来没有太多技巧，只能用试凑法。

因为问小鸡至少被套中多少次，很自然会想到从多往少地试小鸡被套中的次数。

[解法1]设小鸡被套中次数为x。

x不能多于6，否则得分超过了61分。

x=6，套中小鸡得分为6×9=54，余下 4次套小猴和小狗，得分最少的情况是套中小猴1次，小狗 3次，得 5＋2×3=11分。

总得分 65，超过 16分，所以不可能套中小鸡6次。

x=5，套中小鸡5次得45分。

余下5次套小猴和小狗应该得16分。

如果套中小猴2次得10分，套中小狗3次得6分，符合要求。

因此，小明至多套中小鸡5次。

[解法2]设套中小鸡x次，套中小猴y次，那么套中小狗（10-x-y）次。

得分为61分，所以9x+5y+2（10-x-y）=61化简后得 7x=41-3y。

显然y越小，x越大。

将y=1代入得7x=38，无整数解。

若y= 2，7x=35，解得x=5。

因此，小明至多套上小鸡5次。

（10）车库中停放若干辆双摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是2∶5。

问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？[答案]3∶1[解法1]车库中，平均每2辆车有5个轮子。

也就是说，平均每4辆车有10个轮子。

用简单的试凑法可以知道，1辆小卧车和3辆摩托车恰好是10个轮子。

所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为3∶1。

[解法2]设有摩托车x辆，小卧车y辆。

由题意[讨论]本题其实是换一种形式描述的“鸡兔同笼”问题，而且只是求二种车数之比。

解法2是鸡兔同笼问题的列方程解法，在一般情况下都适用。

解法2中用试凑法，解本题时很方便，不懂得解方程的学生容易理解。

即使给出的数字变得复杂些，也不难算出结果。

例如在本题中，设车的辆数与车轮子数之比是41∶99，怎么算？平均每82辆车有198个轮子。

0辆小卧车和82辆摩托车共164个轮子。

每增加1辆小卧车（相应减少1辆摩托车），增加2个轮子。

（198-164）÷2=34÷2=17（小卧车）。

82-17=65（摩托车）。

摩托车辆数与小卧车辆数之比是65∶17。

（11）有一个时钟，它每小时慢25秒，今年3月21日中午十二点它的指示正确。

请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？[答案]1993年6月1日中午12点钟。

[解]当这个时钟总共慢12个小时的时候，它又指示12点，恰好是准确的时间。

先求出多少小时后慢12个小时。

因为每小时慢 25秒，而 1小时=60 ×60秒。

再求出它相当于多少天：最后求出3月21日后的72天是几月几日？注意3月份有31天，4月份有30天，5月份有31天，到6月1日中午，恰好是72天。

（12）某人由甲地去乙地。

如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车9小时，恰好到达乙地。

如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地。

问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？[答案] 15小时。

[分析]在分析行程问题时，一般部是在草稿纸上先画出粗略的示意图。

本题给出的两种行进方式是可以看出：摩托车走12-8＝4小时的路程，自行车要用21-9=12小时。

这就是解题的关链。

如果我们将第二次行进方式次序改一下，与第一次作比较，就可以看得更清楚了：[解]摩托车是12-8=4小时的路程，自行车要用21-9=12小时。

摩托车走完全程需要（13）下图的二个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。

二只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿二个圆爬行。

问：当小圆上的甲虫爬了几圈时，二只甲出相距最远？[答案]4圈。

[分析]圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远。

如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，二甲虫的距离便最远。

小圆周长为π×30=30π，大圆用长为48π，一半便是24π。

问题便变为求30π和24π的最小公倍数问题了。

30π和24π的最小公倍数，相当于30与24的最小公倍数再乘以π。

[解法] 30与24的最小公倍数是120，120÷30＝4120÷24＝5。

（14）某种少年读物，如果按原定价格销售，每售一本，获利0.24元；现在降价销售，结果售书量增加一倍，获利增加0.5倍。