动规c++版

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“贪心算法“：
和dp很相似，它使用的问题也具有最优子结构。 显著区别：贪心采用的“自顶向下”的方式使用最优 子结构的。贪心算法：先做选择，在当时看起来是最优的 选择（只顾眼前利益），然后再求一个结果子问题，而不 是和dp一样：先寻找子问题的解，然后做出选择。 “先选择，再求解子问题”
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动态规划的术语：
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分析1：从前往后 A[i]:保存数列的第i个数。 F[i]:以a[i]为结尾(a[i]是最后一个元素,即包含a[i])的最长递增子 序列的序列长度。
F[i]=max{f[j]}+1 条件：1<=j<i并且a[j]<a[i]
边界：f[1]=1; 目标：max{f[i]} ;1<=i<=n
输入： 8 2 7 1 9 10 1 2 3 输出： 4 {f[i]:1 2 1 3 4 1 2 3} 28
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int max(int a,int b) {if (b>a) return b;else return a;}
void work1(){顺推} { f[1][1]=a[1][1]; for (int i=2;i<=n;i++) for (int j=1;j<=i;j++) f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]; ans=f[n][1]; for (int i=2;i<=n;i++) if (f[n][i]>ans) ans=f[n][i]; cout<<ans<<endl; }
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方法2：依次求从起点(1,1)到点（i，j）的最大值。//正向 设F[I,j]为从a[1,1]到达a[I,j]时取得的最大值． 根据题意可得出递推关系： f[i][j]=max{f[i-1][j-1],f[i-1][j]｝+a[I][j] 初始：f[1][1]:=a[1][1]; 目标：max{f[n][i]} 1=<i<=n
f[1]=1; max=f[1]; for (i=2;i<=n;i++) { for (j=1;j<=i-1;j++) if ((a[j]<a[i]) & (f[j]>f[i])) f[i]:=f[j];{找最大的f[j]} f[i]=f[i]+1;{如果前边没有比a[i]大的则f[i]=1否则为f[i]+1} if (max<f[i]) max=f[i]; } printf(“%d”,max); fclose(stdout); end.
输出f1[A]； 21
状态转移方程：
前一阶段的终点是后一阶段的起点，对前一阶段的状态作出某 种决策产生后一阶段的状态，这种描述k阶段到k+1阶段状态的变化 规律称为状态转移方程。
fk[x]=min{fk+1[y]+dk[x,y]} (倒推法)
一般形式： U：状态； X：策略 倒推： f[Uk]=opt{f[Uk+1]+L[Uk,Xk]}
阶段3
3
D3
4
阶段1 阶段2
C4
阶段4
用k表示阶段，按路径选择的策略划分，共有4个阶段： 第1阶段：1个初始状态（起点）A，终点B1,B2 第2阶段：2个初始状态（起点） B1,B2 ，终点:C1,C2,C3,C4 第3阶段：4个初始状态（起点） C1,C2,C3,C4 ，终点:D1,D2,D3 第4阶段：3个初始状态（起点） D1,D2,D3 ，终点:E
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用dk(xk,xk+1)表示在第k阶段由初始状态xk到下一阶段的初始状 态xk+1的距离。 用fk(xk)表示从第k阶段的状态xk到终点E的最短距离。 初始：f5(E)=0; K=4: f4(D1)=3; f4(D2)=4 ;f4(D3)=3 K=3: F3(C1)=min{d3(C1,D1)+f4(D1),d3(C1,D2)+f4(D2)} =min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=8
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动态规划的一般顺推程序格式为：
f[U1]=初始值； for k←1 to n do {枚举每一个阶段} for U取遍所有状态 do for X取遍所有决策 do f[Uk]=opt{f[Uk-1]+L[Uk-1,Xk-1]}}； { L[Uk-1,Xk-1]}：状态Uk-1通过策略Xk-1到达状态Uk 的费用} 输出：f[Un]:目标
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2、动态规划问题的特征：
动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的3个重要性质： “最优子结构”性质和“子问题重叠”性质以及“无后效性原则”。 1）、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时， 称该问题具有最优子结构性质。也称最优化原理。
“整体最优则局部最优。”反之不一定成立 2）、重叠子问题： （在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不 总是新问题，有些子问题被反复计算多次。） 动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个 子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多 地利用这些子问题的解。
1、 阶段： 把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便 于按一定的次序去求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的 变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用k表示。
阶段的划分一般根据时间和空间来划分的。
2、状态： 某一阶段的出发位置成为状态，通常一个阶段有多个状态。 状态通常可以用一个或一组数来描述，称为状态变量。 3、决策： 一个阶段的状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某个状态的 一种选择（行动）称为决策。描述决策的变量称决策变量 4、策略和最优策略 所有阶段的决策有序组合构成一个策略。 最优效果的策略叫最优策略。
二维数组a[i][j]存储数字三角形。 void dfs(int sum,int i,int j) {从a[1][1]到走到第i行第j列即a[I][j]时所取得的值为sum} { if (i==n) { if (sum>max) max=sum; return; } dfs(sum+a[i+1][j],i+1,j); {向左下方走} dfs(sum+a[i+1][j+1],i+1,j+1); {向右下方走} }
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3）、无后效性原则：
“已经求得的状态值，不受未求的那些状态的影响”
结合：数字三角形
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一个问题满足最优化原理： 子问题的性质： 1）、子问题可以递归的求解。
2）、这些子问题是有重叠的，即有些子问题需要求解多次。
如果符合上述条件我们可以考虑使用动态规划的方式高效的求 解。把子问题及其解记录下来，同样的子问题只求解一次，从而 大大的提高了效率。
F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=11
F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=6 K=2: f2(B1)=9 f2(B2)=10
K=1: f1(A)=13
最短路径：AB2C4D3E 最短距离：13
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也可以按照状态来划分阶段：
C1
1 5
A B1
5 6
D1
6
3
C2
3
D2
（ L[Uk,Xk]}：状态Uk通过策略Xk到达状态Uk+1 的费用）
初始f[Un]；结果：f(U1)
顺推：f[Uk]=opt{f[Uk-1]+L[Uk-1,Xk-1]}
（ L[Uk-1,Xk-1]}：状态Uk-1通过策略Xk-1到达状态Uk 的费用）
初始f[U1]；结果：f(Un)
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2
1
5
A C1
5 6
D1
B1
6 3
C2
3
D2
5
4 3
E
3
B2
8
C3
8
D3
4
C4
3
阶段1
阶段2
阶段3
阶段4
阶段5
不具备无后效性原则： 倒推时：第3阶段的状态C1到E的距离受到第二阶 段的状态B1的影响 23
设计动态规划法的步骤：
1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征； 2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）； 3、以自底向上的方式计算出最优值；
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3、动态规划求解
动态规划以“自底向上”的方式来利用最优子结构：首先 找到子问题的最优解，解决子问题，然后找到问题的一个最优 解。寻找问题的一个最优解需要在子问题中做出选择，即选择 哪一个来求解问题。问题解的代价是子问题的代价加上选择本 身带来的开销。 “先解决子问题，再做选择”
Dp的编程实现方法：
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例：最短路径问题
1 5
A B1 C1
5 6
D1
6 3
C2
3
D2
5
4 3
E
3
B2
8
C3
8
D3
4
C4
3
现在，我们想从城市A到达城市E。 怎样走才能使得路径最短，最短路径的长度是多少？
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用倒推法（从后向前）A到E的最短距离:
5
A
B1
1 6 3
C1
5
6
C2 5 C3
D1
3
D2 4 E
3
8
B2
8 3
1）、递归（记忆化搜索），直接。在递归求解时，先判断该 子问题是否求过，如果求过，就直接返回之前记录下来的解， 否则再递归的求解，并在最后保存这个解，以后备用。 2）、递推：先求小的子问题，再计算大的子问题，最终把目 标问题解决。 关键：在求某个子问题时，他需要用的子问题都必须是已经 求解了的，否则有可能出错。正推 ，逆推