2.1.3三角形的性质(国子监刘嵩)
三角形全等的性质
三角形全等的性质
三角形全等是几何学中最基本的性质之一，它
指的是任意三角形中三边相等，且三顶点不共线。
基于它，我们可以在任何三角形中推断出其它特
定性质。
三角形全等的解释是：在直角坐标系中存在三
条不同封闭路径，它们的距离都相等，如同边的
长度一样，称为三角形全等。
如果满足所有三条
路径都相等，则三角形也称为全等三角形。
又称
三角形等边，是一种特殊类型的三角形，它是等
边三角形的一种。
通常，三角形全等的情况是由等边三角形和等
腰三角形共同构成的。
等边三角形的三条边的长
度相等，而等腰三角形的两个相邻边的长度相等，并且与对角线的长度不相等。
三角形全等也是常用的几何图形中最重要的性
质之一，几何图形中存在着许多与三角形全等有
关的重要定理，比如勾股定理。
简言之，三角形
全等的特性是极其重要的，而几何性质有助于增
强我们对数学方面的理解能力。
因此，在基础教育中，我们更应该重视三角形
全等，以增强对几何学思想的理解。
只有当学生
掌握了围绕三角形全等的这些基础知识之后，才
能进一步深入地学习三角形的各种类别及其特性，探究各种三角形间的关系，从而更好地理解数学
概念。
三角形的全部定理
三角形的全部定理三角形作为几何学中最基本的图形之一，其性质和定理的研究对于几何学的发展起着重要的作用。
本文将介绍三角形的全部定理，包括重要定理和性质，并通过推导和实际例子展示其应用。
1. 三角形的基本性质三角形是由三条边和三个角组成的封闭图形。
其基本性质有：- 三角形的内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度。
- 外角和定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。
2. 三角形的重要定理2.1 三边关系定理- 斜边定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
- 角边关系定理（余弦定理）：在任意三角形ABC中，设a、b、c为边长，A、B、C为对应的内角，则有：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC- 角角关系定理（正弦定理）：在任意三角形ABC中，设a、b、c为边长，A、B、C为对应的内角，则有：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为三角形外接圆半径）2.2 三角形的相似定理- AAA相似定理：若两个三角形的三个对应角相等，则这两个三角形相似。
- AA相似定理：若两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
- SAS相似定理：若两个三角形具有一个对应两边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
2.3 直角三角形的性质- 勾股定理：直角三角形的两直角边平方和等于斜边平方，即a^2 + b^2 = c^2。
- 斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于其两直角边的一半。
3. 应用示例示例1：已知一个三角形的三个内角分别为50°、60°和70°，求其三条边的长。
解：根据角角关系定理可以得到：a/sin50° = b/sin60° = c/sin70°设a=1，代入上式可得b=√3，c=√3/2。
初中数学三角形性质
1、内心性质1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．6、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。
2、外心性质1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等3、重心性质三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
三角形的全等性质
三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。
其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。
本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。
一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。
全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。
二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。
2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。
3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。
4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。
通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。
例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。
2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。
通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。
3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。
4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。
我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。
三角形的性质知识点总结
三角形的性质知识点总结三角形是我们在数学学习中经常接触到的一个重要图形，它具有许多独特的性质。
下面我们就来详细总结一下三角形的各种性质。
一、三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
这三条线段就是三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
二、三角形的分类1、按角分类锐角三角形：三个内角都小于 90 度的三角形。
直角三角形：有一个内角等于 90 度的三角形。
钝角三角形：有一个内角大于 90 度小于 180 度的三角形。
2、按边分类不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
其中相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。
三、三角形的内角和三角形的内角和等于 180 度。
这是三角形的一个非常重要的性质，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，会形成一个平角，从而证明内角和为 180 度。
四、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
例如，在三角形ABC 中，∠ACD 是外角，它等于∠A ＋∠B。
五、三角形的三边关系1、三角形任意两边之和大于第三边。
这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
例如，三条线段长度分别为 3、4、5，因为 3 ＋ 4 ＞ 5，3 ＋ 5 ＞ 4，4 ＋ 5 ＞ 3，所以能组成三角形。
2、三角形任意两边之差小于第三边。
比如，有三条线段长度分别为 6、8、10，因为 10 6 ＜ 8，10 8 ＜ 6，8 6 ＜ 10，所以可以组成三角形。
六、三角形的稳定性三角形具有稳定性，这是三角形的一个重要特性。
在生活中有很多应用，比如三角形的车架、三角形的房梁等。
而四边形等其他多边形不具有稳定性。
七、等腰三角形的性质1、等腰三角形的两腰相等。
三角形的特性与性质
三角形的特性与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的特性和性质。
在本文中，将详细阐述三角形的特性和性质，包括其定义、分类、内角和外角特性、边长关系、面积计算等内容。
1. 定义三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
它是平面上最简单的多边形，有无数种可能的形状。
2. 分类根据边长和角度的关系，三角形可以分为三类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
- 等边三角形的三条边长相等，三个内角均为60度。
- 等腰三角形的两条边长相等，两个对角也相等。
- 普通三角形的三个角和三条边都不相等。
3. 内角和外角特性任何三角形的三个内角之和都等于180度。
如果将三角形的一个内角的补角称为外角，那么三角形的三个外角之和也等于360度。
- 对于等边三角形，每个内角均为60度，外角均为120度。
- 对于等腰三角形，底角相等，顶角为两倍底角。
4. 边长关系三角形的边长之间有一定的关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边，即a + b > c, a + c > b, b + c > a。
- 平面内任意三点可以组成一个三角形，三角形的任意两边之差的绝对值小于第三边的长度。
5. 面积计算三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 1/2 * 底边长 * 高。
- 对于普通三角形，底边可以是任意一条边，高是从底边到顶点的垂直距离。
- 对于等边三角形和等腰三角形，可以使用不同的公式来计算。
三角形是几何学中的重要概念，其特性和性质在各个领域得到广泛应用。
通过深入了解三角形的定义、分类、内角和外角特性、边长关系以及面积计算，我们可以更好地理解它的几何特征，并应用于实际问题的求解中。
通过本文对三角形的特性和性质的论述，相信读者对三角形会有更加深入的了解。
无论是在学习几何知识还是在日常生活中，了解三角形的特性都能为我们提供更多的帮助和启示。
初中数学知识归纳三角形的性质与定理
初中数学知识归纳三角形的性质与定理三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它具有丰富的性质与定理。
在本文中，我们将对初中数学中与三角形有关的性质与定理进行归纳总结。
一、三角形的基本性质1. 三角形的定义：一个平面内由三条不在同一直线上的线段所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的元素：三角形有三个顶点、三条边和三个内角。
3. 三角形的两个重要角度和角度和：三角形的角度和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
4. 三角形的边对应角：三角形的边与其对应角有对应关系，即边a对应∠A，边b对应∠B，边c对应∠C。
二、三角形的分类1. 三角形的按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如三边长都是5cm的三角形。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如底边长度为4cm，两腰边长度都是3cm的三角形。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 三角形的按角度分类：b. 直角三角形：一个内角是90度的三角形。
c. 钝角三角形：一个内角是钝角的三角形。
三、三角形的诱导性质与定理1. 等腰三角形的性质与定理：a. 等腰三角形的底边上的两个角相等。
b. 等腰三角形的两条腰相等。
c. 等腰三角形的两条腰上的两个角相等。
d. 等腰三角形的底角和顶角互补，即底角 + 顶角 = 180°。
2. 直角三角形的性质与定理：a. 直角三角形中，直角的两条直角边相等。
b. 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和，即c² = a² + b²。
c. 两个边长相等的直角三角形，两个锐角也相等。
3. 等边三角形的性质与定理：a. 等边三角形的三个角都是60度。
b. 等边三角形的三条边都相等。
4. 锐角三角形的性质与定理：b. 锐角三角形中，最长的一边是斜边，最长的一边的对角是最大的角。
5. 外角定理：三角形的一个外角等于其它两个内角的和。
6. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
B
3. 如图，∠CAD＝100°，∠B＝ 30°，求∠C 的度数. A 解 因为∠CAD是△ABC的外角， 所以 ∠B+∠C= ∠CAD ， B 30° C D
100°
如图2-15， 把△ABC的一边BC延长， 得到 ∠ACD. 像这样， 三角形的一边与另一边的延长线
所组成的角， 叫作三角形的外角（exterior angle）. A
对外角∠ACD来说， ∠ACB是 与它相邻的内角， ∠A， ∠B 是与它不相邻的内角. B C D
图2-15
探究
在图2-15 中， 外角∠ACD 和与它不相邻 的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
上述两种操作都是将三角形的 三个内角拼到一起构成一个平 角.
由此受到启发：
如图2-13， 将△ABC的边BC 所在的直线平移，
使其像经过点A， 得到直线B′C′.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 所以B′C′∥BC. 则∠B′AB ＝∠B，∠C′AC ＝∠C. 又∠B′AB +∠BAC +∠C′AC = 180°， 所以∠B +∠BAC +∠C ＝ 180°. B C B′ A C′
练习
1. 填空： （1） 在△ABC中， ∠A= 60°， ∠B=∠C， 则∠B= 60° ；
（2） 在△ABC中， ∠A－∠B= 50°，
∠C－∠B= 40°， 则∠B=
30°
.
2. 如图， AD是△ABC的角平分线， ∠B= 36°， ∠C= 76°， 求∠DAC的度数. 解 因为∠B= 36°， ∠C= 76° 又 ∠BAC+∠B＋∠C=180°， A
于是∠C = ∠CAD -∠B
= 100°-30°=70°
中考 试题
如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC
66.5 ° 和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______
解析
∵∠B=47°， ∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°， A ∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°，
图2-13
结论
三角形的内角和等于180°.
三角形内角和定理还有没有别的证法呢？ 多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功 能，将三个角转化成一个平 角.
例3
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3
倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °， 3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180. x ＝ 33.
D
又 AE和CE是角平分线，
∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
B C F
E
∴∠E=180°–113.5°=66.5.
小结
1.这节课我们研究的是什么？为什么要这么研究？
2.从方法上你有哪些收获？
3.“一题多解，多解归一”，需要把多种解法的共
性挖掘出来，归纳成解决一类问题的方法.
结
束
北京国子监中学 刘嵩
因为∠ACD +∠ACB = 180°， 我觉得可以利用“三角 ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 形的内角和等于180° ” 所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减 的结论 . 差相等）. 等量，
A
B
C
D
于是∠ACD =∠A +∠B.
图2-15
结论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
本课内容 本节内容 2.1
三角形
——2.1.3 三角形的性质
动脑筋
在小学， 我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼 等操作（如图2-12）， 知道三角形的内角和是 180°，你能说出这些方法的原理吗？
图2-12 折叠三角形纸板，可以把它 可以将∠A，∠B剪下并移 的三个角拼成一个角. 至顶点C处拼接成一个角.
从而有
解得
所以
3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
探究
三角形按角如何分类呢？
说一说
一个三角形的三个内角中， 最多有几个直角？
最多有几个钝角？
三角形的内角和等于180°，
因此最多有一个直角或一个 钝角.
三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，
有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角 是钝角的三角形叫钝角三角形， 如图2-14.
锐角三角形
直角三角形
图2-14
钝角三角形
直角三角形可用符号“Rt△” 来表示， 例如直角三 角形ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中， 夹直角的两边叫作直角边， 直角的对边叫作斜边. 两 条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.