吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学(文科)六模试题(wd无答案)
【精准解析】吉林省梅河口市第五中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题
A. 每个正方形的对角线都不相等
B. 存在不是正方形的四边形对角线不相等
C. 存在对角线不相等的正方形
D. 每个不是正方形的四边形对角线都相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题得到答案.
【详解】解：命题：“正方形的两条对角线相等”可改写为“所有的正方形，其两条对角线
相等”是全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条
所以切线的倾斜角的取值范围是
4
,
反之，若 Sn1 Sn ，则当 n 1 时， S2 S1 ，即 a2 0 ．
-4-
因此，“ a2 0 ”是“ Sn1 Sn ”的充要条件.
故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理 能力，属于中等题.
9.曲线 y x3 x 3 上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）ຫໍສະໝຸດ “ Sn1 Sn ”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由 Sn1 Sn 得出 an1 0 ，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 Sn1 Sn an1 0 ，
由 an 是公差大于零的等差数列，且 a2 0 ，可得 an1 0 ，即 Sn1 Sn ；
（） A. 2 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 3
C. -2
D. -3
根据 f (1) 3 求出 a 2, 再根据 (1, a b) 也在直线 y 3x 2 上，求出 b 的值，即得解. 【详解】因为 f (x) 1 a ，所以 f (1) 3
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(文科)(有解析)
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数z=(1+i)2(2−i)的虚部为()A. −4B. 2C. 4D. 4i2.已知集合A={x|x>2}，B={x|x2−3x<0}，则A∪B=()A. (0,3)B. (2,3)C. (0,+∞)D. (2,+∞)3.如图，是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150,170)内的学生人数为()A. 16B. 20C. 22D. 264.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则C=()A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π66.方程√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2=6的化简结果为()A. x216−y29=1 B. x29−y216=1C. D.7.若实数x，y满足不等式，且的最大值为5，则实数m的值为()A. 0B.C.D.8.函数f(x)=(21+e x−1)cosx的部分图象大致为()A.B.C.D.9. 将函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π410. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变．经科学测定， 14C 的半衰期为5730(设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ，即f(5730)= 12.现有一古物，测得 14C 为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年?( )(参考数据：√123≈0.7937，√125730≈0.9998)A. 1910B. 3581C. 9168D. 1719011. 设椭圆x 2a 2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．则e =( )A. √32B. 12C. √22D. √3−112. 已知f(x)=|3x −1|+1，若关于x 的方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0有三个实根，则实数a 的取值范围是( )A. 1<a <2B. a >2C. 2<a <3D. a >1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)= ______ ．14. 已知曲线f(x)=(x +a)lnx 在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y +2=0平行，则实数a =______ ．15.给出下列等式：√2=2cosπ4,√2+√2=2cosπ8,√2+√2+√2=2cosπ16,......,请从中归纳出第n个等式：___________．16.曲线y=(x−1)e−x在点(0,−1)处的切线方程为__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.正项数列{a n}满足：a n2−(2n−1)a n−2n=0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n=1(n+1)a n ，求数列{b n}的前n项和T n.并求使T n>511成立的最小正整数n的值．18.在6件产品中，有3件一等品，2件二等品，1件三等品，产品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算：(1)两件中至多有1件是二等品的概率；(2)两件产品的等级不同的概率．19.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．20.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，且抛物线的焦点到准线的距离为2．(Ⅰ)求抛物线的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y=2x+1与抛物线相交于A、B两点，求|AB|．21.设函数f(x)=lnx−(a+1)x,(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当函数f(x)有最大值且最大值大于3a−1时，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cos θy =2sin θ(θ为参数)已知点Q(4,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(2)已知直线l:y =kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求k 的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x +2|．(1)求不等式f(x)≤2的解集M ．(2)当x ∈M 时，|f(x)|>a 2−a ，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵z=(1+i)2(2−i)=2i(2−i)=2+4i，∴z=(1+i)2(2−i)的虚部为4．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的并集运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．解一元二次不等式化简集合B，再利用并集的定义求解即可．解：集合A={x|x>2}，B={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，则A∪B={x|x>0}．故选C．3.答案：B解析：根据频率分布直方图求出对应的频率，再计算对应的频数即可．本题考查了根据频率分布直方图求频率以及频数的应用问题，是基础题目．解：根据频率分布直方图得，身高在区间[150,170)内的频率为：(0.01+0.03)×10=0.4，所求学生的人数为：50×0.4=20．故选：B．4.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：B解析：本题考查正弦，余弦定理，属于基础题． 由正弦定理化简可得a =53b ，c =7b 3，结合余弦定理可解C 的值．解：由正弦定理3sinA =5sinB ，可得3a =5b ，a =53b ， 代入b +c =2a ，c =7b 3，由余弦定理，，．故选B ．6.答案：C解析：本题考查了双曲线的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．设A(−5,0)，B(5,0)，|PA|−|PB|=6，故点P 到定点A(−5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6，由双曲线的定义可得答案．解：设A(−5,0)，B(5,0)，由于动点P(x,y)的轨迹方程为√(x +5)2+y 2−√(x −5)2+y 2=6， 则|PA|−|PB|=6，故点P 到定点A(−5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6， 则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支， 由于2a =6，c =5，则b 2=c 2−a 2=25−9=16，故M 的轨迹的标准方程为：．故选C ．7.答案：D解析： 【试题解析】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题． 画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数的最大值为5，确定约束条件中m 的值即可．解：画出约束条件{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥m，的可行域，如图：x −y 的最大值为5，由图形可知，z =x −y 经过可行域的A 时取得最大值5， 由{x −y =5x +y =1⇒A(3,−2)是最优解， 直线y =m 过点A(3,−2)，所以m =−2， 故选D ．8.答案：B解析：解：函数f(x)=(21+e x−1)cosx =1−e x1+e x ⋅cosx ， 可知：f(−x)=1−e −x 1+e−x cos(−x)=−e x −1e x +1⋅cosx =−f(x)，函数是奇函数．排除A 、C ，当x ∈(0,π2)时，f(x)<0，排除D ， 故选：B ．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的图形的常用方法．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位， 可得到的函数y =sin[2(x +π8)+φ)]=sin(2x +π4+φ)的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+φ=kπ+π2，即φ=kπ+π4，k ∈z ， 则φ的一个可能取值为π4， 故选：B ．由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值． 本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：A解析：解：设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ， 由题意可知：f(5730)=12，即a 5730=12， ∴a =√125730，令f(x)=0.7937，得：a x =0.7937， ∴x =log a 0.7937=lg0.7937lga=lg √123lg√12=13lg 1215730lg 12=57303=1910，∴该古物距今约1910年． 故选：A ．由f(5730)=12可得a =√125730，令f(x)=0.7937，得x =log a 0.7937，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出x 的值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题．11.答案：B解析：本题考查了椭圆的性质，考查了椭圆的离心率的求法，是基础题．把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF |+1|OA |=3e|FA |，转化为关于a ，c 关系式，进而求得c 值，进一步求出a 值，则椭圆的离心率e 可求． 解：设F(c,0)，由1|OF |+1|OA |=3e|FA |， 即1c +1a =3ca (a−c )，可得a 2−c 2=3c 2， 又a 2−c 2=b 2=3， ∴c 2=1，因此a 2=4． ∴e 2=c 2a 2=14，则e =12．故选：B ．12.答案：A解析：方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0的解为f(x)=2或f(x)=a ，作出函数f(x)的图象，观察即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题． 解：方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0的解为f(x)=2或f(x)=a ， 作函数f(x)=|3x −1|+1的草图如下，由图可知，f(x)=2有一个解，则f(x)=a有两个解，故1<a<2．故选：A．13.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．14.答案：1解析：本题考查导数的几何意义，求切线的斜率，考查两直线平行的条件，斜率相等，正确求导是解题的关键，求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相等，解方程即可得到所求值，属于基础题．解：f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+ax，曲线f(x)=(x+a)lnx在点(1,f(1))处的切线斜率为k=ln1+1+a=1+a，由切线与直线2x−y+2=0平行，可得1+a=2，解得a=1．故答案为：1．15.答案：解析：本题考查合情推理中的归纳推理，属简单题．解：第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：，⋯⋯⋯故可归纳出第n个等式：，故答案为．16.答案：y=2x−1解析：本题考查求曲线的切线方程，导数的几何意义，属于基础题．结合导数的几何意义先求切线斜率，再写切线方程即可．解：因为y=(x−1)e−x=x−1e x，y′=2−xe x，当x=0时，y′=2，所以切线的斜率为2，切点为(0,−1)，所以切线的点斜式方程为y+1=2x，即y=2x−1．故答案为y=2x−1．17.答案：解：(1)∵a n2−(2n−1)a n−2n=0，∴(a n−2n)(a n+1)=0，又∵各项为正，∴a n=2n．(2)∵b n=1(n+1)a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)，若T n >511，即12(1−1n+1)>511，解得n >10，即使T n >511成立的最小正整数n =11．解析：(1)根据数列的递推关系，即可求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求出b n =1(n+1)an 的通项公式，利用裂项法即可得到结论．本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键． 18.答案：解：(1)两件中至多有1件是两件中没有二等品或两件中恰有1件二等品，两件中没有二等品的概率p 1=C 42C 62=25， 两件中恰有1件二等品的概率p 2=C 21C 41C 62=815，∴两件中至多有1件是二等品的概率p =p 1+p 2=25+815=1415．(2)两件产品的等级不同的概率：p 2=C 31C 21+C 31C 11+C 21C 11C 62=1115．解析：(1)两件中至多有1件是两件中没有二等品或两件中恰有1件二等品，由此能求出两件中至多有1件是二等品的概率．(2)先求出从这6件产品中任意抽检2件的基本事件个数，再求出两件产品的等级不同的基本事件个数，由此能求出两件产品的等级不同的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和等可能事件概率计算公式的合理运用．19.答案：证明：(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，由于点E 为侧棱AS 的中点，Q 为SD 的中点，故在△DAS 中，QE = //12AD ， 由于F 是BC 的中点故BF=//12AD，则QE=//BF，故BFQE为平行四边形，故BE//QF，又QF⊂平面SDF，BE⊄平面SDF，故BE//平面SDF；解：(Ⅱ)由DS⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD，故D S⊥AB又AB⊥AD，AD∩DS=D，AD，DS⊂面ADS，故AB⊥面ADS，又BC//面ADS，故F到面ADS的距离为AB的长，即为5．设点E到平面SDF的距离为h．又V F−SED=V E-SDF，故53×12×12SD×5=13ℎ×12SD×5√52，解得ℎ=√5，所以点E到平面SDF的距离ℎ=√5．解析：本题考查线面平行的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取SD的中点Q，连接QF、QE，证明BFQE为平行四边形，可得BE//QF，即可证明：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，利用等体积方法求点E到平面SDF的距离．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．∴抛物线标准方程为：x2=4y；(Ⅱ)直线l：y=2x+1过抛物线的焦点F(0,1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2，联立{y =2x +1x 2=4y，得x 2−8x −4=0， ∴x 1+x 2=8，∴|AB|=y 1+y 2+2=2x 1+1+2x 2+1+2=2(x 1+x 2)+4=20．解析：本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，正确运用抛物线的定义是解答本题的关键，属基础题．(Ⅰ)利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线的标准方程．(Ⅱ)直线l ：y =2x +1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB 的长度． 21.答案：解：(Ⅰ)由题得函数f (x )的定义域为，，①当a +1≤0，即a ≤−1时，f′(x )>0，函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增；②当a +1>0时，令f′(x )=0，解得x =1a+1，当0<x <1a+1时，f′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1a+1时，f′(x )<0，f (x )单调递减，综上，当a ≤−1时，f (x )在区间(0,+∞)内单调递增； 当a >−1时，f (x )在区间(0,1a+1)内单调递增，在区间(1a+1,+∞)内单调递减；(Ⅱ)由(1)得，当a >−1时，，则， 即， 令， 因为g (0)=0，且g (a )在区间(−1,+∞)内单调递增，所以由得，故a 的取值范围为(−1,0)．解析：本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题． (Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；(Ⅱ)先求出函数的最大值，再构造函数，根据函数的单调性即可求出a 的范围． 22.答案：解：(1)设P(2cosθ,2sinθ)，M(x,y)，因为点Q(4,0)，点M 为PQ 的中点， 所以整理得(x −2)2+y 2=1．即x 2+y 2−4x +3=0，化为极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．(2)设直线l ：y =kx 的极坐标方程为θ=α．设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即4ρ1=3ρ2． 联立整理得ρ2−4cosα·ρ+3=0， 则， 解得． 所以，则k =±√157．解析：本题考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用，属于中档题．(1)利用中点坐标公式，与同角三角函数的平方关系，消去参数可得曲线C 2的普通方程，由互化公式ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x,ρsinθ=y 再化为极坐标方程；(2)联立直线与C2的极坐标方程，整理得ρ2−4cosα·ρ+3=0.则，解得，由，求得k．23.答案：解：(1)f(x)=|x−1|−|x+2|={3,x⩽−2−2x−1,−2<x<1−3,x⩾1,当x≥1时，f(x)≤2恒成立，当−2<x<1时，由−2x−1≤2得x⩾−32，当x≤−2时，3≤2不成立，综上所述，不等式f(x)≤2的解集M为{x|x⩾−32}．(2)由(1)得，当x∈M时，f(x)≤2，那么|f(x)|≥0，从而可得a2−a<0，即实数a的取值范围是(0,1)．解析：本题考查绝对值不等式．属中档题．(1)将f(x)写成分段函数，分别求解即可；(2)当x∈M时，f(x)≤2，那么|f(x)|≥0，从而可得a2−a<0，解得实数a的取值范围．。
2020届吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
所以 1 m 1
1
1 2n 1 1 2 2,
mn m
n
mn
那么 1 2 mn
1 2 m 2n 5 2n 2m 5 2 2n 2m 9 ，当且仅当
mn
mn
mn
1 m n 时取得等号，
3
所以 1
m1
1
2
1
2 9 2 7 ，即
m1
的最小值为 7，
m n mn
mn
故选 :C.
【点睛】
本题主要考查基本不等式 ,关键在于先化简已知表达式，巧用 “1”构造基本不等式，属于
2020 届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期 中数学（文）试题
一、单选题。
1．已知集合 A
x | x2 5x 0 ，则 C R A （）
A ． { x | 0 x 5} B． { x | x 0}
C． { x | x 5}
D． { x | 5 x 0}
【答案】 A
【解析】 求出集合 A 后，根据补集定义求得结果 .
ED1 A1D , ED1 CD 且 A1 D CD D , 可判断 ③；由 VF CDB1 VB1 CDF ，可判断 ④ ，
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
B
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A．4
B． 13
C． 40
D ． 41
【答案】 C
【解析】 运行程序，进行计算，当 A 5 时退出循环，输出 B 的值 .
【详解】
B 1， A 2 ； B 4 ， A 3； B 13， A 4 ； B 40 ， a 5 .因为 5 4 ，所以 输出 B 40 .
，
则m n
错误； D. 若
2020届吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|50A x x x =->，则C R A =（） A ．{|05}x x ≤≤ B ．{|0}x x < C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】求出集合A 后，根据补集定义求得结果. 【详解】{}{2500A x x x x x =-=<或}5x > {}05R C A x x ∴=≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A ．35B ．35-C ．35iD ．35i -【答案】B【解析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数z ，再得复数z 的共轭复数，得解. 【详解】因为(2)1z i i -=+，1(1)(2)1332(21)(2)555i i i i z i i i i ++++∴====+--+, 所以复数z 的共轭复数为1355i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为35-， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题. 3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【解析】运行程序，进行计算，当5A >时退出循环，输出B 的值. 【详解】1B =，2A =；4B =，3A =；13B =，4A =；40B =，5a =.因为54>，所以输出40B =. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果. 4．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51C ．28D ．18【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解. 【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: 21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1133a d =⎧⎨=-⎩，则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282S a d ⨯=+=⨯+⨯-=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题. 5．已知，，，若，则（ ）A ．-5B ．5C ．1D ．-1【答案】A【解析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果. 【详解】 由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.7．已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝ A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】C【解析】利用诱导公式化简得sin 2 θ，再利用22 1sin cos θθ+=，可得sin2222 sin cos sin cos θθθθθ=+，分子分母同时除以2cos x 即可得解. 【详解】 ∵tan θ＝3，∴cos 322πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 22222263 sin cos 1915sin cos tan tan θθθθθθθ====+++， 故选C. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用22sin cos 1θθ+=解题，属于基础题.8．若0,0,21,m n m n >>+=则11m m n++的最小值为 A ．4B ．5C ．7D ．6【答案】C【解析】由已知得12m n =-代入11m m n ++中化简得122m n+-，而()12122225n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式可得最小值，得解. 【详解】由已知，m ，0n >，21m n +=，得12m n =-， 所以()121111122n m m n m n m n-+++=+=+-,那么()1212222559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m n ==时取得等号， 所以11122927m m n m n ++=+-≥-=，即11m m n ++的最小值为7，故选:C. 【点睛】本题主要考查基本不等式,关键在于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题。
2024-2025学年吉林省通化市梅河口五中高三上学期9月月考数学试题及答案
高三数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或x >2}B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤2.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A. B.CD.3.椭圆()222210+=>>x y a b a b的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A.12B.C.4-D.14.已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）.A.()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C.()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象5.用一个边长为4正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A.πB. C.4πD.6.若112025sin ,cos ,tan 202520252025a b c ===︒，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（）的A.12B.35C.716D.11168.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n = 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n = 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（ ）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9 已知函数()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-10. 已知点()()0,0,M m m F ≠为抛物线2:4C y x =焦点，,N Q 为C 上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN （直线MN 斜率存在且不为0）与C 仅有唯一交点N ，则（）.的A.C 的准线方程为1x =-B.若线段MF 与C 的交点恰好为MF中点，则m =±C.直线MN 与直线MF 垂直D.若3QF =，则OQ =11.如图所示曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O 为坐标原点）动点P 到点()()121,0,1,0F F -的距离满足：2121214PF PF F F =，则（ ）A.|OP |B.若()00,x y是曲线上一点，且在第一象限，则00y >C.Γ与tan y x =有1个交点D.1OPF 面积的最大值是14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF =，2BF =，则p =___________．13.若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，则a =________．14.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为12．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，已知a =，且cos sin 2tan b Cb C B-=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC V 面积的最大值．16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.（1）求数列{a n }的通项公式；的（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.18.正四棱柱1111OABC O A B C -中OB =，点,,P Q R 分别在111,,AA BB CC 上，且,,,O P Q R 四点共面.（1）若OP OR =，记平面OPQR 与底面的交线为l ，证明：AC ∥l ；（2）已知,AOP COR ∠α∠β==，若π4αβ+=，求四边形OPQR 面积的最大值.19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点()()*,0P n n ∈N 处，他每步走动都会有p *的概率向左移动1个单位，有1p *-的概率向右移动一个单位，原点()0,0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(),0P n 开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点()1,0P 处，且13p *=．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；（ⅲ）已知()*111233n n n p p p n -+=+∈N ，若01p =，求n p ；（2）已知1p 是关于p *的连续函数．（ⅰ）分别写出当0p *=和1p *=时，1p 的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求1p 关于p *的表达式．高三数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或x >2}B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤【答案】A 【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.【详解】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，{}{201B x x x x x =->=>或}0x <，则{}R,12A B A B x x ⋃=⋂=<≤，所以()A B A B ⋃⋂=ð{1x x ≤或x >2}.故选：A.2.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，()f x 的定义域为{}0xx ≠∣，又因为224cos()4cos ()()11()22x x f x f x x x x x --===-+⋅-+，所以，()f x 为偶函数．当π02x <<时，()0f x >，当π3π22x <<时，()0f x <，当3π5π22x <<时，()0f x >.故选：C ．3.椭圆()222210+=>>x y a b a b的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A.12B.C.4-D.1【答案】D 【解析】【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，由此建立a ，c 的齐次式，进而可得结果.【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，∴2AF =，∴)1212AF AF c a +==，∴1c e a===-，故选：D.4.已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）A.()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎭C.()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象【答案】C 【解析】【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A ，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：由图可知1A =，32882T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，解得2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数过点3,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即13388sin 2f ππϕ⎡⎤⎛⎫=⨯+= ⎛⎫-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以2,2328k k Z πϕππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝-+∈⎭，解得52,4k k Z πϕπ=+∈，因为ϕπ<，所以34πϕ=-，所以()3sin 24f x x π⎛=-⎫⎪⎝⎭，故A 错误；因为23sin 88412sin f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= =⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎭，所以函数关于8x π=对称，故B 错误；令3222,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移58π个单位得5sin 2cos 248i 23s n 2y x x x πππ⎤⎛⎡⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，故D 错误；故选：C5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A.π B. C.4πD.【答案】A 【解析】【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，计算比较即可.【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2所以两个圆锥体积的最大值为112π13V =⨯⨯=．方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，，母线长为，所以两个圆锥体积的最大值为2212ππ3V=⨯⨯=．12V V=>=，故选：A．6.若112025sin,cos,tan202520252025a b c===︒，则,,a b c的大小关系为（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】D【解析】【分析】结合结论若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tanααα<<，证明1>ab，由此可得a b>，再证明1a c<=，由此可得结论.【详解】若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tanααα<<，且112025sin0,cos020252025a b=>=>，所以1sin11202520252025tan20251120252025cos2025ab==>⨯=，所以a b>，因为112025sin2025120252025<⨯=，tan2025tan451︒=︒=，所以c a>，所以c a b>>，故选：D．7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（）A.12B.35C.716D.1116【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到摘取的次数为2,3,4次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为2,3,4次，结合独立重复实验的概率计算公式，可得：当两次摘完时，可得概率为21124⎛⎫= ⎪⎝⎭；当三次摘完时，可得概率为31211C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭；当四次摘完时，可得概率为41313C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11311441616P =++=.故选：D.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n = 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n = 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（ ）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A 【解析】【分析】根据题意分析，不难得到231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出910p p ,即可判断.【详解】由题意可知231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥，则456783,5,8,13,21r r r r r =====，99101134,34,55,89r r r r ====，则①正确；显然1n n r r +>，故②正确；因为1189r =，经过数字5的路线共有51365⨯=条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有51365⨯=条.则58965248989p -==，故③正确；同理可得91089342218955134,,89898989p p -⨯-⨯====即有910p p <，故④错误.故选:A ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 区间ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A ：ππππ2024sin 22024sin 20246662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =对称，A 说法正确；选项B ：5π5ππ2024sin 22024sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 说法正确；选项C ：当ππ66x -<<时，πππ2662x -<+<，因为sin y x =在ππ,62⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，C 说法错误；选项D ：当ππ32x -≤≤时，ππ7π2266x -≤+≤，因为sin y x =在π7π,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,1-，所以()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-，D 说法正确；故选：ABD10.已知点()()0,0,M m m F ≠为抛物线2:4C y x =的焦点，,N Q 为C 上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN （直线MN 斜率存在且不为0）与C 仅有唯一交点N ，则（ ）A.C 的准线方程为1x =-B.若线段MF 与C 的交点恰好为MF中点，则m =±C.直线MN 与直线MF 垂直D.若3QF =，则OQ =在为【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线准线的定义即可判断A ；求出线段MF 的中点坐标，代入抛物线方程，即可判断B ；设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，联立方程，根据0∆=，结合直线的斜率公式即可判断C ；根据焦半径公式即可判断D.【详解】对于A ，由抛物线抛物线2:4C y x =，得C 的准线方程为1x =-，故A 正确；对于B ，F (1,0)，则线段MF 的中点坐标为1,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则224m =，解得m =±B 正确；对于C ，设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，联立24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消x 得204k y y m -+=，则Δ10km =-=，所以1km =，则1MF MN k k m k ⋅=-⋅=-，所以直线MN 与直线MF 垂直，故C 正确；对于D ，设()00,Q x y ，则013QF x =+=，所以02x =，所以208y =，所以OQ ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O 为坐标原点）动点P 到点()()121,0,1,0F F -的距离满足：2121214PF PF F F =，则（ ）A.|OP |B.若()00,x y 是曲线上一点，且在第一象限，则00y >C.Γ与tan y x =有1个交点D.1OPF 面积的最大值是14【答案】ACD 【解析】【分析】根据对称性可知P 运动到x 轴上时，此时|OP |最大，即可求解A ，根据特殊位置法即可求解B ，利用y x =与Γ的交点，即可结合π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >求解C ，利用判别式可得12y ≤，即可求解D.【详解】由双纽线的对称性可知：当P 运动到x 轴上时，此时|OP |最大，不妨设此时P 在x 轴的正半轴上，设此时OP t =，由21212114PF PF F F ==，得()()111t t +-=，解得t =，故|OP |A 正确，设P (x,y )1=，令1x =1=，解得22y =-，而此时222x =，不满足y >，故B 错误，1=与y x =1=，解得0x =，故直线y x =与曲线Γ只有一个交点，而π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，由A 易知双纽线中x ⎡∈⎣，根据对称性，只需研究x ⎡∈⎣上Γ与tan y x =的交点情况，显然只有原点这1个交点，C 正确，对于D 1=可得()422242220x y x y y +-++=，令2x t =，则()22242220t y t y y +-++=，该方程有实数根，故()()2224Δ22420y y y =--+≥，解得214y ≤，故12y ≤，11111112224OPF P P P S OF y y y ==⨯=≤ ，故D 正确，故选：ACD1=与y x =的交点，结合π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，可判断Γ与tan y x =的交点，由二次型方程()22242220t y t y y +-++=的根，利用判别式可求解最大的纵坐标.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF =，2BF =，则p =___________．【答案】125##2.4【解析】【分析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，根据抛物的定义表示出1x ，2x ，再根据三角形相似得到21121294y x y x ==，即可求出p .【详解】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为2px =-，因为3AF =，2BF =，根据抛物线的定义可得132p x =-，222px =-，过点A 作1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 作1BB x ⊥轴于点1B ，则11AFA BFB ∽，所以1132AA AF BB BF==，所以211121222924y px x y px x ===，即439222p p ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125=p ．故答案为：125．13.若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，则a =________．【答案】8【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与2(2)1(0)y ax a x a =+++≠，消元，根据0∆=计算可得.【详解】由ln y x x =+，所以1y x x'=+，则1|2x y ='=，所以曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线为()121y x -=-，即21y x =-；又21y x =-与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，由2(2)121y ax a x y x ⎧=+++⎨=-⎩，可得()2200ax ax a ++=≠，则280a a ∆=-=，解得8a =或0a =（舍去），故答案为：814.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为12．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．【答案】6481【解析】【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为32453455552121264C C C 3333381P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭.故答案为：6481.四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a =，且cos sin 2tan b Cb C B-=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，进而可得面积的最大值.【小问1详解】cos cos sin sin b B C b C a B ⎫-==⎪⎭，sin cos cos )sin B C B C A -=，)sin B C A A +==，tan A =，0πA << ，π3A ∴=；【小问2详解】由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc +-=，则22122b c bc bc +=+≥，12bc ∴≤，当且仅当b c =时，等号成立．11sin 1222S bc A ∴=≤⨯=，ABC ∴面积的最大值为16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）123()n n a n N -+⋅=⋅∈（2）1(21)3344n n n T +-⋅=+【解析】【分析】（1）由,n n a S 的关系可得1131n n S S ++=+，求出n S ，再由,n n a S 的关系，得到n a ，进而根据等比定义求得{a n }的通项公式；（2）3nn b n =⋅，由错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．小问1详解】()111122,131,31n n n n n n n S S S S S S S ++++-=++=+=+,{}1n S +为首项是3，公比为3的等比数列，31n n S =-，【当2n ≥时，()111313123---=-=---=⋅nn n n n n a S S ，当1n =时，112a S ==，符合上式，()123n n a n -+∴=⋅∈N 【小问2详解】2323,3,n n n n n b na n b n ==⋅∴=⋅ 231231323333n n n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅++⋅ ，234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，231233333n n n T n +-=++++-⋅ ，1(21)3344n n n T +-⋅=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得()3S a c l =+-，再由基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为24cos cos tan Sa B ab A B=+，所以214si n cos 2cos cos si n ac B Ba B ab AB⨯=+，即2cos cos cos c B a B b A =+，由正弦定理，得()2sin cos sin cos sin cos sin C B A B B A A B =+=+，因为A B C π+=-，所以2sin cos sin C B C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，又()0,B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac =+-，所以()293a c ac =+-，即()2193ac a c ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，因为1sin 2S ac B ==，3l a c =++，所以S l ==，所以()3S a c l =+-，又()24a c ac +≤（当且仅当a c =时取等号），所以()2293a c ac =+-≥（当且仅当3a c ==时取等号），所以6a c +≤（当且仅当3a c ==时取等号），所以()()363S a c l =+-≤⨯-=（当且仅当3a c ==时取等号），即S l18.正四棱柱1111OABC O A B C -中OB =，点,,P Q R 分别在111,,AA BB CC 上，且,,,O P QR 四点共面.（1）若OP OR =，记平面OPQR 与底面的交线为l ，证明：AC ∥l ；（2）已知,AOP COR ∠α∠β==，若π4αβ+=，求四边形OPQR 面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接,AC PR ，利用已知可得四边形APRC 是平行四边形，进而可得//PR 平面OABC ，由线面平行的性质可得//AC l ；（2）以O 为坐标原点，1,,OA OC OO 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形OPQR 是平行四边形，进而可得·sin OPRQS OP OR POR =∠ ，结合已知计算可求四边形OPQR 面积的最大值.【小问1详解】连接,AC PR ，由正四棱柱1111OABC O A B C -，可得111////OO A C A C ，AO OC =，90PAO RCO ∠=∠=︒，又因为OP OR =，所以由勾股定理可得AP CR =，又11//AA CC ，所以RC AP P ，所以四边形APRC 是平行四边形，所以//PR AC ，又AC ⊂平面OABC ，PR ⊄平面OABC ，所以//PR 平面OABC ，又平面//OPQR 平面OABC ，平面OPQR ⋂平面OABC l =，所以//PR l ，所以//AC l ；【小问2详解】以O 为坐标原点，1,,OA OC OO 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为OB =，又底面OABC 是正方形，所以1OA OC ==，又,AOP COR ∠α∠β==，所以tan ,tan AP CR αβ==，所以(1,0,tan ),(0,1,tan ),(0,0,0)P R O αβ，所以(1,0,tan ),(0,1,tan )OP OR αβ== ，所以(1,0,tan )(0,1,tan )1001tan tan tan tan OP OR αβαβαβ==⨯+⨯+=，||||OP OR ==== 由正四棱柱1111OABC O A B C -，可得平在面11//OCC O 11ABB A ，又,,,O P Q R 四点共面，过,,,O P Q R 有唯一平面OPQR ，又平面OPQR ⋂平面11O OR OCC =，平面OPQR ⋂平面11A PQ ABB =，所以//OR PQ ，同理可得//OP QR ，所以四边形OPQR 是平行四边形，又π4αβ+=，所以π1tan tan tan()41tan βαββ-=-=+，所以tan tan 1tan tan αβαβ+=-，又tan 0,tan 0αβ≥≥，所以1tan tan αβ≤-，解得0tan tan 1αβ≤≤-，所以|||sin |||||OPRQ OP OR POR OP OR S ∠==========≤，所以四边形OPQR .19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点()()*,0P n n ∈N 处，他每步走动都会有p *的概率向左移动1个单位，有1p *-的概率向右移动一个单位，原点()0,0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(),0P n 开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点()1,0P 处，且13p *=．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；（ⅲ）已知()*111233n n n p p p n -+=+∈N ，若01p =，求n p ；（2）已知1p 是关于p *的连续函数．（ⅰ）分别写出当0p *=和1p *=时，1p 的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求1p 关于p *表达式．【答案】（1）（ⅰ）107243；（ⅱ）12；（ⅲ）12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）（ⅰ）当*0p =时，10p =；当*1p =时，11p =；（ⅱ）***1*1,01211,12p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【解析】【分析】（1）应用全概率公式分互斥事件计算概率，再根据递推公式构造数列，计算得出等比数列结合累加法得出通项公式；（2）针对定义域分段求解函数表达式.【小问1详解】（ⅰ）设事件A ：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件B ：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件C ：“这个人在第5步掉入陷阱”，的则他在5步内掉入陷阱的概率()()()231211211072333333243p p A p B p C ⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（ⅱ）他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率为1p ，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以2111233p p =+，由此可得11p =（舍去）或112p =．（ⅲ）由（ⅱ）可知，112p =，方法一：由111233n n n p p p -+=+，得()1112n n n n p p p p +--=-，所以{}1n n p p --是以1012p p -=-为首项，12为公比的等比数列，则11111222n nn n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则1022111,21,21,2nn n p p p p p p -⎧-=-⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩累加得011122111212nn n p p ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-=- ⎪⎝⎭-，所以12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．方法二：由111233n n n p p p -+=+，得111101111,02222n n n n n n p p p p p p p p +-+-=--=-=，即112n n p p +=，所以{}n p 是以112p =为首项，12为公比等比数列，所以12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．的【小问2详解】（ⅰ）由题意得，当*0p =时，10p =；当*1p =时，11p =．（ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以()**2111p p p p =+-，即()()**11110p p p p ⎡⎤---=⎣⎦，得()**1*11p p p p =≠-或11p =．因为1p 是关于*p 的连续函数，所以当*10,2p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，*1*1p p p =-，当*1,12p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11p =．所以***1*1,0,1211, 1.2p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【点睛】关键点点睛：根据递推公式构造数列，计算得出等比数列，结合累加法得出通项公式.。
吉林省梅河口市第五中学2020届高三第六次模拟考试数学(理)试题
吉林省梅河口市第五中学2020届高三第六次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知复数()2z a i i a i =+--在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的最小正整数值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知集合1203x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，则 R A =（ ）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．已知等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，则{a n }中一定为零的项是（ ）A ．a 6B ．a 7C ．a 8D ．a 94．从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，以AC 为直径作半圆，再以AB 为直径作半圆AMB ，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与AOB 面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．41π+ B ．11π+ C D ．21π+ 5．已知圆1C ：22870x x y -++=的圆心是双曲线2C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的一个焦点，且双曲线2C 的渐近线与圆1C 相切，则双曲线2C 的虚轴长为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．6．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．32-D ．127．有如下四个函数图象：有四个函数①2sin y x =，②2cos y x =，③2sin y x =，④2cos y x =，则图象与函数的对应顺序为（ ）A ．①③②④B ．①②④③C ．④①②③D ．④①③②8．已知实数x ，y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =+的最大值为2019，则实数k 的值为（ ）A ．20192B ．673C ．504D ．201959．如图，是一块木料的三视图，将它经过切削，打磨成半径最大的球，则该木料最多加工出球的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．将函数()3sin 22f x x x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图像，已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 11．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点)M 的直线与抛物线相交于A ，B两点，与抛物线的准线相交于点C ，3BF =，则BCF △与ACF 面积的比BCF ACF SS =（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67 12．已知函数()()21log 2,115,1a x x f x x a x ⎧+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩（0a >，且1a ≠）在区间(),-∞+∞上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．12,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1313,5520⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D ．1213,5520⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．已知向量()2m x =,1，(),2n x =满足m n m n ⋅=，则实数x 的值为________． 14．已知()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，则2a =______. 15．已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，6ADC BDC π∠=∠=，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______.16．已知数列{}n a 满足3a ，6a ，9a ，，3n a ，，是首项为1，公比为2的等比数列，32-n a ，31-n a ，3n a 是公比为12-的等比数列，则数列{}n a 的前20项的和为________．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a Bb Ac +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆，求b c +的值． 18．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1~13分别对应2018年11月~2019年11月）根据散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：（1）请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区(70160)m m ≤≤平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i ）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额=房款+税费，房屋均价精确到0．001万元/平方米）（ii ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格=房款）进行征收的．房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140平方米以上或非首套为3%．参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln17 2.83≈，ln19 2.94≈1.41≈1.73≈，4.12≈4.36≈．参考公式：相关指数()()221211n i i i ni i y y R y y ==-=--∑∑．19．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD 是边长为4的正三角形，E 为BC 的中点，平面ADE ⊥平面BCD ，二面角A BC D --，三棱锥A BCD -的体积为（1）求证：平面ADE ⊥平面ABC ；（2）求二面角C AD B --的余弦值．20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）1F ，2F 分别为E 的左、右焦点，过E 的右焦点2F 作x 轴的垂线交E 于A ，B 两点，1F AB（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l 与E 交于C ，D 两点，且弦CD 的垂直平分线过E 的右焦点2F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()()e 10x f x x x-=>．（1）若函数()y f x =的图象与直线y x m =+相切，求m 的值；（2）求证：对任意0x >，()2ln 2f x x e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>恒成立． 22．在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为15x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为232cos 2ρθ=+． （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）求2C 上的动点到1C 距离的取值范围．23．已知函数()21f x x x =+-．（1）解不等式()0f x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()2f x a ≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】先将复数化简整理，然后利用复数在得平面内对应的点在第四象限，列不等式组，求出a 的取值范围，可求得实数a 的最小正整数值.【详解】解：()22(1))2(2a i a z a i i a i i a a i i =+-+=-++-=-- 因为复数()2z a i i a i =+--在复平面内对应的点在第四象限，所以1020a a ->⎧⎨-<⎩，解得2a >， 所以实数a 的最小正整数值为3故选:C【点睛】此题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.2．C【解析】【分析】将分式不等式化为一元二次不等式，解得集合A ，再根据补集的运算可得结果.【详解】由1203x x -<+，得(21)(3)0x x -+>，3x <-或12x >， 所以{|3A x x =<-或12x ⎫>⎬⎭，所以 R A =1|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集的运算，属于基础题.3．A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得到结果.【详解】由4a 3＝3a 2得，4(a 1+2d )=3(a 1+d )，解得：a 1+5d =0，所以，a 6=a 1+5d =0.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.4．D【解析】【分析】月牙形面积等于半圆AMB 面积减去弓形部分的面积，从而确定月牙形AMB 面积和AOB S 面积的关系，而AOB S 面积可求，从而求出阴影部分的面积，再求出整个图形的面积，由几何概型的概率计算公式求解即可.【详解】不妨设2AB a =，则AC =，则如图，月牙形的面积2211)24AMB AOB AOB S a S S ππ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦，所以月牙形的面积和三角形的面积相等，而)2212AOB S a =⨯=.整个图形的面积)2221(1)2S a a ππ=⨯⨯+=+. 阴影部分的面积为222AOB S a =， 由几何概型的概率计算公式得：所求概率为21π+. 故选：D.【点睛】 本题考查几何概型的概率公式，考查几何图形面积的求法，属于基础题.5．B【解析】 【分析】求得圆C 的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d r =，由4c =，可得b ，进而得到虚轴长2b ． 【详解】解：圆1C ：22870x x y -++=即()2249x y -+=，圆心坐标为()4,0，半径3r =双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由直线和圆相切的条件：d r =，3=，由题意可得4c =，由222c a b =+，可得3b =， 即有双曲线的虚轴长为26b =． 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的虚轴长，注意运用直线和圆相切的条件：d r =，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】执行上述程序框图，可知：0,0S i ==， 第1次循环，11,0cos32i S π==+=，不满足判断条件； 第2次循环，122,cos023i S π==+=，不满足判断条件； 第3次循环，3,01i S cos π==+=-，不满足判断条件；第4次循环，134,122i S ==--=-，不满足判断条件； 第5次循环，315,122i S ==-+=-，不满足判断条件；第6次循环，6,110i S ==-+=，不满足判断条件； 第7次循环，117,022i S ==+=，满足判断条件，输出12.故选：D. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7．D 【解析】 【分析】根据函数的值域以及自变量0的函数值进行排除，可以得出答案. 【详解】①2sin 0y x =≥，排除图（1）和图（3），且0x =时，0y =，排除图（4），故其对应图（2），②2cos 0y x =≥，排除图（1）和图（3），且0x =时，1y =，排除图（2），故其对应图（4），③2sin y x =[1,1]∈-，排除图（2）和图（4），当0x =时，0y =，排除图（1），故其对应图（3），④2cos y x =[1,1]∈-，排除图（2）和图（4），且0x =时，1y =，排除图（3），故其对应图（1）. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的图象的识别，考查了正余弦函数的值域，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】依题意画出可行域，数形结合判断目标函数何时取得最大值，代入求值即可； 【详解】解：画出线性约束条件2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩表示的可行域如图所示，目标函数2z x y =+，即2y x z =-+，显然当直线经过点(),C k k 时z 取得最大值，又2z x y =+的最大值为2019，所以22019k k +=，解得673k =故选：B 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r ．然后判断球的个数． 【详解】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r ， 则4﹣r+3﹣r ＝5，∴r＝1．球的直径为2，两个球的直径和为4，棱柱的高为5， 所以则该木料最多加工出球的个数为2． 故选B ．【点睛】本题考查三视图，考查三棱柱的内切球，考查学生的计算能力，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()g x 的解析式，根据正弦函数的最值条件求得12x x +的最小值． 【详解】函数()13sin2cos22226f x x x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，将()f x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向左平移6π个单位，得到函数()3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，1232x k πππ∴+=+k Z ∈，2232x n πππ+=-n Z ∈．则122223x x k n πππ+=+-，故当0k n +=时，12x x +取得最小值为23π， 故选B ． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x 的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩. 11．D 【解析】 【分析】根据BCF ACFBCS SAC=，进而由两三角形相似，得出11BC BB AC AA =，再由抛物线的定义求得11BB BFAA AF =，根据3BF =的值求得点B 的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把24y x =代入，即可得点A 的坐标，从而求得BF AF 的值，则三角形的面积之比可得. 【详解】解：如图过A ，B 两点分别作准线:1l x =-的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 因为 1B BC ∽1A AC ，所以11BC BB AC AA =， 由抛物线定义得，113BB BF AA AFAF ==， 因为BCF ACFBCS SAC=，所以3BCF ACFSS AF=， 因为13BB BF ==，所以2Bx =，B y =-所以AB k =，所以直线AB的方程为y x =， 将24y x =代入上式得，2(4y y =，解得y =y =-所以A y =52A x =， 所以 157122AF AA ==+=，所以36772BCF ACFBF SSAF===， 故选：D【点睛】此题考了抛物线的应用，抛物线的简单性质，考查了基础知识的综合运用和综合分析问题的能力，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可求得115a ≤<，根据函数|()|y f x =的图象与直线2y x =+有两个不同的交点，可得1313,5520⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.【详解】因为函数()f x 在区间(),-∞+∞上为单调函数，且()f x 在(1,)+∞上为单调递增函数，所以()f x 在(,1]-∞上也为单调递增函数，因为|2|y x =-在(,1]-∞上为单调递减函数，所以01a <<，且21log |12|(11)5a a +-≤-+，即15a ≥，所以115a ≤<，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则函数|()|y f x =的图象与直线2y x =+有两个不同的交点，作出函数|()|y f x =的图象与直线2y x =+，如图：由图可知，当125a +≥，即1355a ≤≤时，符合题意； 当125a +<，即35a >时，直线2y x =+与抛物线2(1)5y x a =-+相切， 联立直线2y x =+与抛物线2(1)5y x a =-+，消去y 得23510x x a -+-=，所以94(51)0a ∆=--=，解得1320a =，符合. 综上所述：实数a 的取值范围是1313,5520⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，考查了函数的零点，考查了化归思想和数形结合思想，属于中档题. 13．0或12【解析】 【分析】根据向量的数量积和模的计算公式，发别求得,,m n m n ⋅，结合条件列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量()2m x =,1，(),2n x =，则2322m n x x x ⋅=⋅+=+，421,4m x n x =+=+，因为m n m n ⋅=，可得3|2|x +整理得2222(441)(21)0x x x x x -+=-=，解得0x =或12. 故答案为：0或12. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算及应用，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．10 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值. 【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为10 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 15．2 【解析】 【分析】由直径所对圆周角为直角可求出2,AC BC AD BD ====，设h 为点A 到底面BCD 的距离，分析可知当h 最大时三棱锥A BCD -的体积最大，当平面ADC ⊥平面BDC 时h 最大为CAD 斜边上的高，等面积法求出h 即可求得三棱锥A BCD -的体积的最大值. 【详解】如图所示，因为DC 为球的直径，所以90DAC DBC ∠=∠=，根据已知条件可得2,AC BC AD BD ====设h 为点A 到底面BCD 的距离，则133A BCD BCD V S h h -=⋅=， 故当h 最大时，三棱锥A BCD -的体积最大，当平面ADC ⊥平面BDC 时，h 最大为CAD 斜边上的高，因为球的直径4DC =,2,AC AD ==所以114222ADCSh =⨯⨯=⨯，解得h =此时三棱锥A BCD -的体积取最大值23A BCD V -==. 故答案为：2 【点睛】本题考查三棱锥的外切球问题、三棱锥的体积，考查空间想象能力，属于中档题. 16．317 【解析】 【分析】由已知先求出3n a ，再由32-n a ，32-n a ，3n a 是公比为12-的等比数列，求出32-n a 和32-n a ，然后利用分组求和求解. 【详解】解：因为3a ，6a ，9a ，，3n a ，，是首项为1，公比为2的等比数列，所以113122n n n a --=⨯=，因为32-n a ，31-n a ，3n a 是公比为12-的等比数列， 所以+1322n n a -=，312n n a -=-，所以14732,,,,,n a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅是以4为首项，2为公比的等比数列，2531,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅是以2-为首项，2为公比的等比数列， 所以数列{}n a 的前20项的和为141925203618()()()a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+7764(12)2(12)12121212----=++--- 7764(21)2(21)21=---+-317=故答案为：317 【点睛】此题考查等比数列的有关计算，考查分组求和，属于中档题. 17．(1)4A π=.(2)2b c +=. 【解析】分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得A 的值； （2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b c +的值. 详解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ sin cos sin BsinA A B ∴=，sin 0sin cos B A A ≠∴=()0,4A A ππ∈∴=(2)11sin 2242ABCSbc A bc bc ===∴=又()(22222cos 22a b c bc A b c bc =+-∴=+-+所以，()24, 2.b c b c +=+=．点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18．（1）模型二拟合效果好；（2）（i ）2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）；（ii ）最大面积为94平方米； 【解析】 【分析】（1）根据相关指数2R 的意义，通过简单估算即可解决问题；（2）()i 通过散点图确定2020年4月对应的x 的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息， 选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解；()ii 先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用()i 中相应的结论求解．【详解】解：（1）模型一中，ˆ0.9369y=+0.000591， 相关指数为0.00059110.9230.006050-≈；模型二中，ˆ0.95540.0306ylnx =+的残差平方和为0.000164， 相关指数为0.00016410.9730.006050-≈；∴相关指数较大的模型二拟合效果好些；（2）通过散点图确定2020年4月对应的18x =， 代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算0.95540.0306ˆ18yln =+ 0.95540.0306(223)ln ln =+⨯+ 0.95540.0306(0.692 1.10)=+⨯+⨯1.044≈（万元/平方米）； 则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）；()i 设该购房者应支付的购房金额h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，①当7090m 时，契税为计税价格的1%， 故 1.044(1%1) 1.05444h m m =⨯⨯+=；②当90144m <时，契税为计税价格的1.5%， 故 1.044(1.5%1) 1.05966h m m =⨯⨯+=； ③当144160m <时，契税为计税价格的3%， 故 1.044(3%1) 1.07532h m m =⨯⨯+=；1.05444,70901.05966,901441.07532,144160m m h m m m m ⎧⎪∴=<⎨⎪<⎩；∴当7090m 时购房金额为1.05444m 万元，当90144m <时购房金额为1.05966m 万元， 当144160m <时购房金额为1.07532m 万元；()ii 设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t 平方米，由()i 知，当7090m 时，应支付的购房金额为1.05444t ， 又1.05444 1.0544490100t ⨯<；又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以100t <，所以90100t <， 由1.05966100t ，解得1001.05966t，且10094.41.05966≈， 所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米． 【点睛】本题以购房问题为背景，以散点图、相关指数2R 为载体，考查回归分析、数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，属于中档题． 19．（1）见解析（2）1125【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可以证明.（2）根据棱锥的特性可知ACD ABD ≅，过C 作CF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则BF ⊥AD ，所以BFC ∠为二面角C AD B --的平面角.由三棱锥的体积可求出顶点A 到底面的距离，根据二面角A BC D --的余弦值可计算出正弦值，进而计算AE 的长，通过勾股定理可知边AC 、AB 的长，再通过三角形面积相等计算CF 和BF 的值，从而通过余弦定理计算所求. 【详解】（1）BCD ∆为等边三角形，E 为BC 的中点，所以有DE BC ⊥，又平面ADE ⊥平面BCD ，平面ADE 平面BCD DE =，BC DE ⊥，所以BC ⊥平面ADE （面面垂直的性质定理），又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADE （线面垂直的判定定理），得证.（2）因为AB AC =，BD CD =，AD AD =，所以ACD ABD ≅过C 作CF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则BF ⊥AD ，所以BFC ∠为二面角C AD B --的平面角.即cos BFC ∠即为所求.设三棱锥A BCD -的高为h，则有111633A BCD BCDV S h h -=⋅⋅=⋅=h =由（1）可知，AED ∠为二面角A BC D --的平面角，所以cos AED ∠=，则sin 7AED ∠=，则sin h AE AED ===∠，所以5AC AB ==. 由余弦定理可得：2222cos 21AD DE AE DE AE AED =+-⋅⋅∠=，AD ∴=.在ACD △中，由余弦定理可知：2221cos 22AC CD AD ACD AC CD +-∠==⋅，60ACD ∠=则有11sin 6022AC CD ADCF ⋅⋅=⋅，所以7CF =，同理7BF =，又4BC =，所以由余弦定理可知11cos 25BFC ∠=.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直的判定定理，考查求二面角的平面角的余弦值以及已知二面角的平面角求相关量，考查三棱锥的体积公式，考查学生分析问题和转化问题的能力，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20．（1）2212x y +=，（2）不存在，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率得2c a =，根据1F AB ．得21222b c a ⨯⨯=，从而解得221.2b a ==，可得椭圆E 的方程；（2）假设存在与x 轴不垂直的直线l 满足题意，设:(0)=+≠l y kx m k ，代入2212xy +=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，根据判别式可得2212k m +>，根据韦达定理得弦CD 的中点坐标，可求得弦CD 的垂直平分线方程，将2F 代入可得212k m k+=-，将其代入2212k m +>，得210k +<无解，故不存在符合题意的直线l . 【详解】（1）依题意c a =，22||b AB a =，所以21222b c a ⨯⨯=，即21b =，所以2221a c b -==，所以22112a a -=，所以22a =， 所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）假设存在与x 轴不垂直的直线l 满足题意，设:(0)=+≠l y kx m k ，将其代入2212x y +=，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->，所以2212k m +>， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122412kmx x k +=-+，则1212y y kx m kx m +=+++2122242()221212k m mk x x m m k k =++=-+=++， 所以CD 的中点为M 222(,)1212km mk k-++， 所以弦CD 的垂直平分线方程为2212()1212m kmy x k k k -=-+++， 因为弦CD 的垂直平分线过E 的右焦点2F (1,0)， 所以22120(1)1212m kmk k k-=--++， 所以212k m k+=-，将其代入2212k m +>，得2222(12)12k k k ++>， 化简得210k +<，此不等式不成立， 所以不存在符合题意的直线l . 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.21．（1）2m e =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，写出曲线在该点处的切线方程，与已知切线方程比对，列出方程组，即可解得m 的值；（2）构造函数，首先证明()2f x x e ≥+-，然后证明22ln()2x x e e +-≥+，由不等式的传递性即可证明不等式. 【详解】（1）由题意知21'()x xe x f x x -+=，设切点坐标为00(,)x y ，则0000201'()x x e x f x x -+=，0001()x e f x x -=， 所以函数()y f x =的图象在点00(,)x y 处的切线方程为0000020011()x x x e x e y x x x x -+--=-， 即000000200122x x x x e x e x e y x x x -+--=+， 所以000002001122x x x x e x x e x e m x ⎧-+=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩， 由000211x x e x x -+=，得002001x x x e e x -+=，即000(1)(1)0x x e x ---=， 令()1xg x e x =--，则'()1xg x e =-，当0x >时，'()0g x >，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以0x >时，()0>g x ，即0010xe x -->， 故由000(1)(1)0x x ex ---=解得01x =，所以2m e =-；（2）令()1(2)x h x e x x e =--+-，则'()22xh x e x e =-+-，令()22xH x e x e =-+-，则'()2xH x e =-，令'()0H x >，得ln 2x >，令'()0H x <，得ln 2x <， 所以)'(h x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，因为'(0)30h e =->，'(ln 2)22ln 2242ln 20h e e =-+-=--<， 所以存在0(0,ln 2)x ∈，使得0'()0h x =， 又'(1)0h =，所以当00x x <<时，'()0h x >， 当01x x <<时，'()0h x <，当1x >时，'()0h x >，即()h x 在0(0,)x 和(1,)+∞上单调递增，在0(),1x 上单调递减，又(0)0,(1)0h h ==，所以当0x >时，()0h x ≥，当1x =时等号成立，即当0x >时，1(2)0xe x x e --+-≥，12x e x e x-≥+-，于是()2f x x e ≥+-，当1x =时等号成立， 令2()2[ln()](0)2x m x x e e x =+--+> 则()22ln(0)2x m x x x =-->，2'()(0)x m x x x-=>， 当02x <<时，'()0m x <，当2x >时，'()0m x >， 所以()m x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以()(2)0m x m ≥=，所以当0x >时，有22[ln()]02xx e e +--+≥， 即22ln()2x x e e +-≥+，当2x =时等号成立， 又因为()2f x x e ≥+-，当1x =时等号成立，所以，对任意0x >，()2ln 2f x x e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>恒成立. 【点睛】该题考查函数图象的切线以及函数的单调性，考查函数最值以及不等式的证明，考查学生分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题目.22．（1）221240,:13y C x y C x -+=+=：.（2）【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消去参数t ，能求出直线1C 的普通方程；曲线2C 的极坐标方程转化为222cos 23ρρθ+=，由此能求出曲线2C 的直角坐标方程．（2）设(cos )M θθ，则|2sin()4|d πθ-+==，由此能求出曲线2C 上的点到1C 的距离的取值范围． 【详解】（1）∵直线1C 的参数方程为15x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴消去参数t ，能求出直线的普通方程为40x y -+= ． ∵曲线2C 的极坐标方程为232cos 2ρθ=+．∴222cos 23ρρθ+=，即22222(cos sin )3ρρθθ+-=∴曲线2C 的直角坐标方程为22222()3x y x y ++-= ，即2213y x += ．（2）曲线2C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），设(cos )M θθ，则|2sin()4|d πθ-+==∵[]2sin()2,26πθ-∈- ，∴曲线2C 上的点到1C的距离的最大值为，所以取值范围为.【点睛】本题查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．（1）]1(1,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭，，（2）14a - 【解析】【分析】（1）由题意可得|21|||x x +，再利用两边平方整理化成一元二次不等式即可解决问题；（2）先由()2f x a ≤得2|21|||a x x +-，令()|21|||g x x x =+-，下面求得()g x 的最小值，从而所求实数a 的范围． 【详解】（1）由()0f x 得|21|||x x +，两边平方整理得23410x x ++，解得1x -或13x -， ∴原不等式的解集为]1(1,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭，， （2）令()|21|||g x x x =+-，则11,21()31,021,0x x g x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+⎪⎪⎩，故11()()22min g x g =-=-，从而所求实数a 的范围为122a -，即14a -， ∴实数a 的取值范围是14a -. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法、函数存在性问题．对于函数存在性问题，处理的方法是：利用分离参数法转化为求函数的最值问题解决．。
2020届吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期中数学（文）试题一、单选题。
1．已知集合{}2|50A x x x =->，则C R A =（） A ．{|05}x x ≤≤ B ．{|0}x x < C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】求出集合A 后，根据补集定义求得结果. 【详解】{}{2500A x x x x x =-=<或}5x > {}05R C A x x ∴=≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A ．35B ．35-C ．35iD ．35i -【答案】B【解析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数z ，再得复数z 的共轭复数，得解. 【详解】因为(2)1z i i -=+，1(1)(2)1332(21)(2)555i i i i z i i i i ++++∴====+--+, 所以复数z 的共轭复数为1355i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为35-， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题. 3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【解析】运行程序，进行计算，当5A >时退出循环，输出B 的值. 【详解】1B =，2A =；4B =，3A =；13B =，4A =；40B =，5a =.因为54>，所以输出40B =. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果. 4．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51C ．28D ．18【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解. 【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: 21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1133a d =⎧⎨=-⎩，则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282S a d ⨯=+=⨯+⨯-=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题. 5．已知，，，若，则（ ）A ．-5B ．5C ．1D ．-1【答案】A【解析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果. 【详解】 由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.7．已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝ A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】C【解析】利用诱导公式化简得sin 2 θ，再利用22 1sin cos θθ+=，可得sin2222 sin cos sin cos θθθθθ=+，分子分母同时除以2cos x 即可得解. 【详解】 ∵tan θ＝3，∴cos 322πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 22222263 sin cos 1915sin cos tan tan θθθθθθθ====+++， 故选C. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用22sin cos 1θθ+=解题，属于基础题.8．若0,0,21,m n m n >>+=则11m m n++的最小值为 A ．4B ．5C ．7D ．6【答案】C【解析】由已知得12m n =-代入11m m n ++中化简得122m n+-，而()12122225n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式可得最小值，得解. 【详解】由已知，m ，0n >，21m n +=，得12m n =-， 所以()121111122n m m n m n m n-+++=+=+-,那么()1212222559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m n ==时取得等号， 所以11122927m m n m n ++=+-≥-=，即11m m n ++的最小值为7，故选:C. 【点睛】本题主要考查基本不等式,关键在于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题。
2020届吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|50A x x x =->，则C R A =（） A ．{|05}x x ≤≤ B ．{|0}x x < C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】求出集合A 后，根据补集定义求得结果. 【详解】{}{2500A x x x x x =-=<或}5x > {}05R C A x x ∴=≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A ．35B ．35-C ．35iD ．35i -【答案】B【解析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数z ，再得复数z 的共轭复数，得解. 【详解】因为(2)1z i i -=+，1(1)(2)1332(21)(2)555i i i i z i i i i ++++∴====+--+, 所以复数z 的共轭复数为1355i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为35-， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题. 3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【解析】运行程序，进行计算，当5A >时退出循环，输出B 的值. 【详解】1B =，2A =；4B =，3A =；13B =，4A =；40B =，5a =.因为54>，所以输出40B =. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果. 4．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51C ．28D ．18【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解. 【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: 21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1133a d =⎧⎨=-⎩，则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282S a d ⨯=+=⨯+⨯-=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题. 5．已知，，，若，则（ ）A ．-5B ．5C ．1D ．-1【答案】A【解析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果. 【详解】 由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.7．已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝ A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】C【解析】利用诱导公式化简得sin 2 θ，再利用22 1sin cos θθ+=，可得sin2222 sin cos sin cos θθθθθ=+，分子分母同时除以2cos x 即可得解. 【详解】 ∵tan θ＝3，∴cos 322πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 22222263 sin cos 1915sin cos tan tan θθθθθθθ====+++， 故选C. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用22sin cos 1θθ+=解题，属于基础题.8．若0,0,21,m n m n >>+=则11m m n++的最小值为 A ．4B ．5C ．7D ．6【答案】C【解析】由已知得12m n =-代入11m m n ++中化简得122m n+-，而()12122225n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式可得最小值，得解. 【详解】由已知，m ，0n >，21m n +=，得12m n =-， 所以()121111122n m m n m n m n-+++=+=+-,那么()1212222559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m n ==时取得等号， 所以11122927m m n m n ++=+-≥-=，即11m m n ++的最小值为7，故选:C. 【点睛】本题主要考查基本不等式,关键在于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题。
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吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文科）六模试题
一、单选题
(★) 1. 已知集合 ， ，则 （）
A．， B． C． D．
(★)
2. 2019年9月14日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言通道，
为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为01，02，…，25的号码中选取5个幸运
号码，选取方法是从下方随机数表第1行第24列的数字开始，从左往右依次选取2个数字，
则第5个被选中的号码为（）
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A．13 B．23 C．24 D．09
(★★)
3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，
下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的
屋脊状的楔体，下底面宽3丈､长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该
楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为（）
A．3丈 B．6丈 C．8丈 D．丈
(★★)
4. 已知第四象限内抛物线 上的一点 到 轴的距离是该点到抛物线焦点距离
的 ，则点 的坐标为（）
A． B． C． D．
(★)
5. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， 与 的等差中项为2，则 的值
为（）
A．6 B．-2 C．-2或6 D．2或6
(★)
6. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、
艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任
取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）
A． B． C． D．
(★★★)
7. 已知函数 ，若 ， ， ，
则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
(★★★)
8. 如图，已知圆 中，弦 的长为 ，圆上的点 满足 ，那么
在 方向上的投影为（）
A． B． C． D．
(★★★)
9. 阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之
一：若动点 与两定点 ， 的距离之比为 ( ，且 )，则点 的轨迹就是圆，事
实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点 ，点 为圆 ：
上的点，若存在 轴上的定点 和常数 ，对满足已知条件的点 均有
，则 （）
A．1 B． C． D．
(★★)
10. 已知 是定义在 上的偶函数，函数 满足 ，又已知
，则 （）
A．0 B．1 C． D．2
(★★★★)
11. 已知长方体 内接于半球 ，且底面 落在半球的底面上，
底面 的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3， ，则该长方体体积的
最大值为（）
A． B．
C．48 D．72
(★★★★★)
12. 已知函数 的导函数 是偶函数，若方程
在区间 (其中 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值
范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
(★★)
13. 欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，
而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表
示的复数在复平面中位于第______象限.
(★★★) 14. 设数列 满足 ， ___________．
(★★)
15. 甲､乙､丙､丁､戊五名同学写了五张卡片，并进行交换，最终每个人都没有拿到
自己的卡片，且没有出现相互交换的情况(例如甲拿到乙的，乙拿到甲的)，同时知道如下信息：
甲拿到的不是乙的，也不是丁的；乙拿的不是丙的，也不是丁的；丙拿的不是乙的，也不是戊
的；丁拿的不是丙的，也不是戊的；戊拿的不是丁的，也不是甲的.因此丙拿到的卡片是
________的.
(★★★)
16. 已知 ， 分别是双曲线 ( ， )的左､右焦点，过 且斜率
为 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心率
为________.
三、解答题
(★★)
17. 已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 的对边，
，点 在边 上， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的值.
(★★★★)
18. 某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量 ，（ ，单
位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50
元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调
拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为 元.
（1）求商店日利润 关于需求量 的函数表达式；
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间 内的概率.
(★★★)
19. 如图，在三棱柱 中，已知 平面 ， ， ，
.
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 的距离.
(★★★)
20. 已知点 Q是圆 上的动点，点 ，若线段 QN的垂直平
分线 MQ于点 P.
(I)求动点 P的轨迹 E的方程
(II)若 A是轨迹 E的左顶点，过点 D（-3，8）的直线 l与轨迹 E交于 B， C两点，求证：直线
AB、 AC的斜率之和为定值.
(★★★) 21. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处切线方程；
（2）当 时，求证：存在 ，使得对任意的 ，恒有 .
(★★)
22. 在以原点 O为极点； x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 1的极坐标方程
为 ，曲线 C 2的极坐标方程为
（1）求曲线 C 2的直角坐标方程；
（2）过原点 O且倾斜角为 的射线 l与曲线 C 1， C 2分别相交于 A， B两点（ A，
B异于原点），求 ・ 的取值范围
(★★★) 23. 已知 .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.