【配套K12】高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1.2.1.2

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高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制答案和解析

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A ．143πB ．143π-C ．718πD ．718π-3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403π B ．203π C ．2003πD ．4003π4．把114π-表示成θ＋2kπ(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A ．2π B ．3π C D6．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．二、双空题 7．12rad ＝________度，________ rad ＝－300°.8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．三、填空题9．已知圆心角为60的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为___． 10．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad .四、解答题 11．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．13．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .参考答案1．D 【解析】【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度， D 的说法错误，很明显ABC 的说法正确. 本题选择D 选项. 2．B 【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为73-×2π＝143π-. 本题选择B 选项.点睛：一定要注意角的正负，特别是表的指针所成的角为负角. 3．A 【解析】24042401803ππ==，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 本题选择A 选项. 4．A 【解析】令－114π＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－114π－2kπ(k ∈Z )．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝34π； k ＝－2时，θ＝54π，|θ|＝5344ππ>；k ＝0时，θ＝－114π，|θ|＝11344ππ>. 本题选择A 选项. 5．C【解析】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为2lrα===C.考点：弧长公式.6．C【解析】分析：分k为偶数和k为奇数讨论，即可得到答案.详解：由集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈，当k为偶数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限；所以集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k为偶数和k为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．1553π-【解析】由题意有：180151212π==，53003001803ππ-=-⨯=-.8．180π1【解析】(1)因为|α|＝1°＝180π，l＝1，所以1180180lrπαπ===米.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以1lr α==米.9．32π 【分析】现将60转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】60转化为弧度制是π3，故扇形的面积为2211π3π32232r α=⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10．6π-【解析】由题意可知，一小时时针顺时针旋转：3603012=，据此可得时针转过的弧度为：301806rad ππ-=-. 11．(1)10109αππ=+；(2)469π.【解析】试题分析：(1)由题意首先将2 000°化为360°的整数倍，然后转化为弧度制可得10109αππ=+； (2)由题意可知θ＝2kπ＋109π，k ∈Z ，结合角的范围可知，取2k =，此时469πθ=.试题解析：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝.12．(1)5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；(2)|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】试题分析：(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为6π-，且57512π=，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭； (2)由题意可知：730,21066ππ==，则终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋6π，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋2π，k ∈Z ，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.试题解析：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：{}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角a 的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.13．103π；503π⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：由题意可知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝3π.则弧长l ＝103π，由扇形面积公式可得其面积为50=3S 扇形π，据此计算可得弓形的面积为5032π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝. 所以弧长l ＝a ·r ＝×10＝，所以S 扇形＝lr ＝××10＝，又S △AOB ＝·AB ·5＝×10×5＝，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

【专业资料】新版高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数 1.2.2 含解析

1.2.2同角三角函数的基本关系课时过关·能力提升基础巩固1已知cos α=23,则sin2α等于()A.59B.±59C.√53D.±√53解析:sin2α=1-cos2α=5 9 .答案:A2已知α为锐角,sin α=35,则tan α等于()A.45B.54C.43D.34解析:∵α为锐角,∴cosα=√1-sin2α=4 5 .∴tanα=sinαcosα=34.答案:D3化简√1-cos2190°的结果为()A.cos 190°B.sin 190°C.-sin 190°D.-cos 190°解析:原式=√sin2190°=|sin190°|=-sin190°.答案:C4已知在△ABC中,tan A=−512,则cos A的值是()A.1213B.−1213C.513D.−513解析:∵tan A=−512,且A是△ABC的内角,∴A是钝角.∵sinAcosA=−512,∴sin A=−512cos A.又sin2A+cos2A=1,∴25 144cos2A+cos2A=1,cos2A=144169,cos A=−1213.答案:B5若sinα-2cosα3sinα+5cosα=−5,则tan α的值为()A.-2B.2C.2316D.−2316解析:sinα-2cosα3sinα+5cosα=sinαcosα-23sinαcosα+5=tanα-23tanα+5=−5,解得tanα=−2316.答案:D6若sin θ=−1213,tan θ>0,则cos θ= . 解析:∵sin θ=−1213<0,tan θ>0, ∴θ是第三象限角,∴cos θ<0,则cos θ=−√1-sin 2θ=−√1-(-1213)2=−513. 答案:−5137已知sin x=2cos x ,则sin 2x= .解析:∵sin x=2cos x ,∴sin 2x=4cos 2x.∴sin 2x=4(1-sin 2x ).解得sin 2x =45.答案:458已知A 为锐角,且lg(1+cos A )=m ,l g11-cosA =n,则lg sin A 的值为 . 答案:m -n 29求证:tanαsinαtanα-sinα=tanα+sinαtanαsinα. 证明左边=sin 2αcosαsinαcosα-sinα=sin 2αsinα-sinαcosα=1-cos 2αsinα(1-cosα)=1+cosαsinα,右边=sinαcosα+sinαsinαcosα·sinα=1cosα+1sinαcosα=1+cosαsinα. 左边=右边.故原式成立.10已知2cos 2α+3cos αsin α-3sin 2α=1.求下列各式的值:(1)tan α;(2)2sinα-3cosα4sinα-9cosα. 解(1)2cos 2α+3cos αsin α-3sin 2α=2cos 2α+3cosαsinα-3sin 2αsin 2α+cos 2α=2+3tanα-3tan 2α1+tan 2α, 则2+3tanα-3tan 2α1+tan 2α=1, 即4tan 2α-3tan α-1=0.解得tan α=−14或tan α=1.(2)原式=2sinαcosα-3cosαcosα4sinαcosα-9cosαcosα=2tanα-34tanα-9, 当tan α=−14时,原式=720;当tan α=1时,原式=15.能力提升1已知tan α>0,且sin α+cos α<0,则( )A .cos α>0B .cos α<0C .cos α=0D .cos α符号不确定解析:∵tan α=sinαcosα>0, ∴sinαcosα>0,即sin α与cos α符号相同. 又sin α+cos α<0,则cos α<0.答案:B2若α∈[0,2π),且√1-cos 2α+√1-sin 2α=sin α−cos α,则角α的取值范围是( )A .[0,π2]B.[π2,π]C .[π,3π2]D.[3π2,2π) 解析:由已知√1-cos 2α+√1-sin 2α=√sin 2α+√cos 2α=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,∴sin α≥0,cos α≤0.又α∈[0,2π),∴α∈[π2,π].答案:B3若非零实数m ,n 满足tan α-sin α=m ,tan α+sin α=n ,则cos α等于( )A .n -m m+n B.m -n 2 C .m+n 2 D.m -n n+m 解析:已知条件中的两等式联立,得{tanα-sinα=m ,tanα+sinα=n ,解得tan α=m+n 2,sinα=n -m 2,则cos α=sinαtanα=n -m n+m . 答案:A★4已知θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59,则sin θcos θ的值为( ) A .√23B.−√23C.13D.−13解析:由sin 4θ+cos 4θ=59,得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59.∴sin 2θcos 2θ=29.∵θ是第三象限角,sin θ<0,cos θ<0,∴sin θcos θ=√23.答案:A5化简sin 2α+sin 2β-sin 2αcos 2β-sin 2αsin 2β的结果为 .解析:原式=(sin 2α-sin 2αcos 2β)+(sin 2β-sin 2αsin 2β)=sin 2α(1-cos 2β)+sin 2β(1-sin 2α)=sin 2αsin 2β+sin 2βcos 2α=sin 2β(sin 2α+cos 2α)=sin 2β.答案:sin 2β6已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦,则实数m 的值为 .答案:√37已知sin θ=a sin φ,tan θ=b tan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ=√a 2-1b 2-1.证明由题意知a =sinθsinφ,b =tanθtanφ=sinθcosφcosθsinφ.右边=√sin 2θsin 2φ-1sin 2θcos 2φcos 2θsin 2φ-1=√sin 2θ-sin 2φsin 2φsin 2θcos 2φ-cos 2θsin 2φcos 2θsin 2φ,整理,得右边=√sin 2θ-sin 2φsin 2φ·cos 2θsin 2φsin 2θ-sin 2φ=|cos θ|.因为θ为锐角,所以右边=cos θ=左边.★8已知sin α+cos α=13,其中0<α<π,求sin α−cos α的值.解∵sin α+cos α=13,∴(sin α+cos α)2=19,即1+2sin αcos α=19,∴sin αcos α=−49.∵0<α<π,且sin αcos α<0,∴sin α>0,cos α<0.∴sin α-cos α>0.又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=179,∴sin α-cos α=√173.。

高一数学人教A版必修四练习：第一章三角函数1.1.2含解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！ )一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．将－ 300 °化为弧度数为 ( )A ．－ 4πB ．－ 5π33C ．－ 7πD ．－ 7π64π5分析：－ 300°＝－ 300× 180＝－ 3π. 答案：B2．以下与 9π的终边同样的角的表达式中，正确的选项是()49πA ． 2k π＋ 45°B ． k ·360°＋ 45π C ．k ·360 °－ 315 °(k ∈ Z )D ． k π＋ 4 (k ∈ Z)9π9π分析：与2k π＋ 4 (k ∈ Z )，可是角度制与弧度制不可以混用，4 的终边同样的角能够写成因此只有答案 C 正确．答案： C3．已知 α＝－ 3，则角 α的终边所在的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限π分析：因为－π＜－ 3＜－ 2，因此 α在第三象限．答案：C4．一扇形的面积是3π，半径为1，则该扇形的圆心角是()83π3π A. 16B. 83π3π C. 4D. 21分析：∵ l ＝ θR， S ＝ 1lR ，∴ S ＝θ 3 3π2× R 2＝ π，∴ θ＝4.2 8答案：C二、填空题 (每题 5 分，共 15 分)5．在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是 ________弧度，扇形面积是 ________．分析：|α|＝ l 123r ＝ 8 ＝ 2，S ＝12l ·r ＝ 12×12× 8＝ 48.答案：3 4828π的终边同样，则在 [0，2π )上，终边与角α6．若角 α的终边与角的终边同样的角是54________．分析：由题意，得 α＝85π＋2k π(k ∈ Z)，α2k π因此 4＝ 5π＋ 2 (k ∈ Z )．令 k ＝ 0， 1， 2，3，α2 9 7 19得 4＝ 5π，10π，5π，10π.2 9 7 19答案： 5π，10π，5π， 10 π 7．假如一扇形的弧长变成本来的 3倍，半径变成本来的一半，则该扇形的面积为原扇形2面积的 ________．1分析：因为 S ＝ 2lR ，31若 l ′＝ 2l ， R ′＝ 2R ，1 1 3 1 3 则 S ′＝l ′R ′＝× l × R ＝ S.22 224答案：34三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )8．已知 α＝－ 800 °.(1)把 α改写成 β＋ 2k π (k ∈ Z ， 0≤ β＜ 2π )的形式，并指出 α是第几象限角；2(2)求γ，使γ与α的终边同样，且γ∈ －π，π. 2214分析：(1) ∵－ 800°＝－ 3× 360°＋ 280°， 280°＝9π，∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.14π∵ α与9角终边同样，∴ α是第四象限角．14π(2)∵与α终边同样的角可写为2kπ＋9， k∈ Z 的形式，而γ与α的终边同样，∴ γ＝14π2kπ＋9， k∈ Z .又γ∈ －π π，∴ －π14ππ2，22＜ 2kπ＋9＜， k∈ Z ，214π4π解得 k＝－ 1，∴γ＝－ 2π＋9＝－9 .9．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120 °，半径长为6，求弓形ACB 的面积．分析：∵ 120°＝120180π＝23π，2∴l ＝6×3π＝4π，∴ AB 的长为 4π.11∵S 扇形OAB＝2lr ＝2× 4π× 6＝ 12π，△OAB 1× AB× OD( D 为 AB 中点 ) ＝1× 2× 6cos 30°× 3＝ 9 3.如下图，有 S＝22∴S 弓形ACB＝ S 扇形OAB－ S△OAB＝ 12π－9 3.∴弓形 ACB 的面积为 12π－9 3.3。

人教版A版高中数学必修4课后习题解答

第一章三角函数 1．1任意角和弧度制练习（P5）1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.2、三，三，五说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上. 题目联系实际，把教科书中的除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”（这里余数是3）来确定7k 天后、7k 天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答. 3、（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角. 4、（1）305°42′第四象限角；（2）35°8′第一象限角；（3）249°30′第三象限角. 5、（1）{130318+360,}k k Z ββ'=︒⋅︒∈，49642'-︒，13642'-︒，22318'︒；（2）{225+360,}k k Z ββ=-︒⋅︒∈，585-︒，225-︒，135︒. 练习（P9）1、（1）8π；（2）76π-；（3）203π.2、（1）15°；（2）240-︒；（3）54°.3、（1）{,}k k Z ααπ=∈；（2）{,}k Z απ∈.4、（1）cos0.75cos0.75︒>；（2）. 说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制. 注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置. 如求cos0.75︒之前，要将角模式设置为DEG （角度制）；求cos0.75之前，要将角模式设置为RAD （弧度制）.5、3πm. 6、弧度数为1.2.习题1.1 A 组（P9） 1、（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）23650'︒，第三象限；（4）300°，第四象限. 2、{180,}S k k Z αα==⋅︒∈.3、（1）{60360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，300-︒，60︒；（2）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒；（3）{82430360,}k k Z ββ'=-︒+⋅︒∈，10430'-︒，25530'︒；（4）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒；（5）{90360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，270-︒，90︒；（7）{180360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，180-︒，180︒；（8）{360,}k k Z ββ=⋅︒∈，360-︒，0︒.说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角. 4、︒，所以0︒（2）D . 说明：因为36090360,k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈，所以18045180,2k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角. 6、不等于1弧度. 这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长.7、（1）5π；（2）56π-；（3）7312π；（4）8π.8、（1）210-︒；（2）600-︒；（3）80.21︒；（4）38.2︒. 9、64°. 10、14 cm.. 习题1.1 B 组（P10）1、（1）略；（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-. 可得0.618(2)θπθ=-，则0.764140θπ=≈︒.说明：本题是一个数学实践活动，题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足120.618S S =2、（1）时针转了120-︒，等于23π-弧度；分针转了1440-︒，等于8π-弧度. （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数.因为分针旋转的角速度为26030ππ=（rad ∕min ）时针旋转的角速度为21260360ππ=⨯（rad ∕min ）所以()230360t n πππ-=，即72011t n =因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ）所以720144011n ≤，于是22n ≤.故时针与分针一天内只会重合22次. 2、864°，245π，151.2π cm.说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864205π⨯︒=︒=rad.由于大齿轮的转速为3 r ∕s所以小齿轮周上一点每1 s 转过的弧长是483210.5151.220ππ⨯⨯⨯= （cm ）1．2任意角的三角函数练习（P15）1、71sin62π=-，7cos 62π=-，tan 2、5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5tan 12θ=-. 345、（1）正；（2）负；（3）零；（4）负；（5）正；（6）正. 6、（1）①③或①⑤或③⑤；（2）①④或①⑥或④⑥；（3）②④或②⑤或④⑤；（4）②③或②⑥或③⑥.7、（1）0.8746；（2；（3）0.5；（4）1.练习（P17）1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同正切线长分别为2.5cm ，4.3cm ，2.9cm ，其中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）.3.5sin 2250.75︒=-=-， 3.5cos 2250.75︒=-=-， tan 2251︒=；sin3300.5︒=-， 4.3cos3300.865︒==， 2.9tan 3300.585︒=-=-.4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念. 与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值4、（1）原式=sin cos sin cos θθθθ⋅=；（2）原式=22222222222cos (cos sin )cos sin 1(cos sin )2sin cos sin αααααααααα-+-==+--. 5、（1）左边=222222(sin cos )(sin cos )sin cos αααααα+-=-；（2）左边=222222sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα++=+=.习题1.2 A 组（P20）1、（1）17sin()32π-=，171cos()32π-=，17tan()3π-=（2）21sin42π=-21cos 42π=-，21tan 14π=；（3）231sin()62π-=，23cos()6π-=，23tan()6π-=；（4）sin1500︒=1cos15002︒=，tan1500︒=2、当0a >时，4sin 5α=，3cos 5α=，4tan α=；当0a <时，4sin 5α=-，cos α=43=.3、（1）10-；（2）15；（4）94-.4、（1）0；（2）2()p q -；（3）2()a b -；（4）0.5、（1）2-；（2）26、（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负.7、（1）正；（2）负；（3）负；（4）正.8、（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045.9、（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<.当角θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，则sin tan 0θθ⋅<；当角θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，则sin tan 0θθ⋅<，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<. 再证如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角.因为sin tan 0θθ⋅<，所以sin 0θ>且tan 0θ<，或sin 0θ<且tan 0θ>，当sin 0θ>且tan 0θ<时，角θ为第二象限角；当sin 0θ<且tan 0θ>时，角θ为第三象限角；所以如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角. 综上所述，原命题成立.（其他小题同上，略）（1）解：由22sin cos 1αα+=得2221cos 1sin 1(4αα=-=-= ∵α为第四象限角 ∴1cos 2α=sin tan 2cos 2ααα==-=（2）解：由22sin cos 1αα+= 得2225144sin 1cos 1()13169αα=-=--= ∵α为第二象限角 ∴12sin 13α=sin 121312tan ()cos 1355ααα==⨯-=-（3）解：∵tan 0α< ∴α是第二或第四象限角 ∵sin 3tan cos 4ααα==- ∴3sin cos 4αα=- ∵22sin cos 1αα+= ∴229cos cos 116αα+=∴216cos 25α=（1）当α是第二象限角时4cos 5α=-3343sin cos ()4455αα=-=-⨯-= （2）当α是第四象限角时4cos 5α=3343sin cos 4455αα=-=-⨯=-（4）解：∵cos 0α>且cos 1α≠ ∴α是第一或第四象限角∵22sin cos 1αα+=∴222sin 1cos 10.680.5376αα=-=-=（1）当α是第一象限角时sin 0.73α=≈sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα=≈≈（2）当α是第四象限角时sin 0.73α=≈-sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα-=≈≈-10、cos 34x13、（1）左边=2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin 1tan x x x x xx x x x x---=+-+；（2）左边=222222221sin sin (1)sin sin sin tan cos cos x x x x x x x-==⋅=⋅；（3）左边=2212cos cos sin 22cos ββββ-++=-；（4）左边=2222222(sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x +-⋅=-⋅.习题1.2 B 组（P22）1、原式=22222sin (1)cos cos sin 1cos ααααα+⋅=+=. 2、原式1sin 1sin cos cos αααα+--. ∵α为第二象限角.∴原式=1sin 1sin 11tan tan 2tan cos cos cos cos ααααααααα+--=--+-=---.3、∵tan 2α=，∴sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.4、又如4422sin cos 12sin cos x x x x +=-⋅也是22sin cos 1x x +=的一个变形；211tan x =+是22sin cos 1x x +=和sin tan x x =的变形；等等.1、（1）4cos 9π-；（2）sin1-；（3）sin 5π-；（4）cos706'︒.2、（1）12；（2）12；（3）0.6428；（4）-3、（1）2sin cos αα-；（2）4sin α. 4、5、（1）2tan 5π-；（2）tan7939'-︒；（3）5tan 36π-；（4）tan3528'-︒.6、（1）-（2）2；（3）0.7587；（5（6）0.6475-.7、（1）2sin α；（2）2cos α+习题1.3 A 组（P29）1、（1）cos30-︒；（2）sin8342'-︒；（3）cos6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）cos7534'-︒；（7）tan8736'-︒；（8）tan 6π-.2、（1）2；（2）0.7193-；（3）0.0151-；（4）0.6639；（5）0.9964-；（6）3、（1）0；（2）2cos α-4、（1）sin(360)sin()sin ααα︒-=-=-360；（2）（3）略习题1.3 B 组（P29）1、（1）1；（2）0；（3）0.2、（1）12；（2）2αα⎨⎪-⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角；（3）12-；（4）αα⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角.1、可以用单位圆中的三角函数作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象. 两条曲线形状相同，位置不同，例如函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象，可以通过将函数cos y x =，3[,]22x ππ∈-的图象向右平行移动2π个单位长度而得到.2、两个函数的图象相同. 练习（P36）1、成立. 但不能说120°是正弦函数sin y x =的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立，例如sin(20120)sin 20︒+︒≠︒.2、（1）83π；（2）2π；（3）2π；（4）6π. 3、可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域. 练习（P40） 1、（1）(2,2),k k k Z πππ+∈；（2）(2,2),k k k Z πππ-+∈；（3）(2,2),22k k k Z ππππ-++∈；（4）3(2,2),2k k k Z ππππ++∈.2、（1）不成立. 3cos 12x =>.（2）成立. 因为2sin 0.5x =，即sin 2x [1,1]-，[1,1]2±∈-. 3、当{2,}2x x x k k Z ππ∈=+∈时，函数取得最大值2；当{2,}2x x x k k Z ππ∈=-+∈时，函数取得最大值2-.4、B .5、（1）sin 250sin 260︒>︒；（2）1514coscos89ππ>；（3）cos515cos530︒>︒；（4）5463sin()sin()78ππ->-.6、5[,],88k k k Z ππππ++∈ 练习（P45）1、在x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆. 作垂直于x 轴的直径，将1O e 分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作1O e 的切线，然后从圆心1O 引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于3π-，π-，π-，0，π，π，3π等角的正切线.相应地，再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数tan y x =，(,)22x ππ∈-的图象.2、（1）{,}2x k x k k Z πππ<<+∈；（2）{,}x x k k Z π=∈；（3）{,}2x k x k k Z πππ-+<<∈.3、{,}63k x x k Z ππ≠+∈ 4、（1）2π；（2）2π. 5、（1）不是. 例如0π<，但tan0tan 0π==.（2）不会. 因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有()2k k Z ππ+∈这样的数，那么函数tan ,y x x A =∈是增函数；如果A 至少含有一个()2k k Z ππ+∈这样的数，那么在直线2x k ππ=+两侧的图象都是上升的（随自变量由小到大）.6、（1）tan138tan143︒<︒；（2）1317tan()tan()45ππ-<-. 习题1.41、（1）2、（1）使y 取得最大值的集合是{63,}x x k k Z =+∈，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{6,}x x k k Z =∈，最小值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{,}8x x k k Z ππ=+∈，最大值是3； 3π（3）使y 取得最大值的集合是{2(21),}3x x k k Z π=++∈，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{4,}3x x k k Z ππ=-+∈，最小值是12-. 3、（1）3π；（2）2π.4、（1）sin10315sin16430''︒>︒；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508sin144︒<︒；（4）cos760cos(770)︒>-︒. 5、（1）当[2,2],22x k k k Z ππππ∈-++∈时，1sin y x =+是增函数；当3[2,2],22x k k k Z ππππ∈++∈时，1sin y x =+是减函数. （2）当[2,2],x k k k Z πππ∈-+∈时，cos y x =-是减函数；当[2,2],x k k k Z πππ∈+∈时，cos y x =-是增函数. 6、{,}3x k k Z ππ≠+∈. 7、2π8、（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519tan1493︒>︒；（3）93tan 6)tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86πππ<.9、（1）{,}42x k x k k Z ππππ-+≤<+∈；（2）{,}32xk x k k Z ππππ+≤<+∈.10、由于()f x 以2为最小正周期，所以对任意x R ∈，有(2)()f x f x +=.于是：2(3)(12)(1)(11)0f f f =+==-=273331()(2)()(1)22224f f f =+==-= 11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为(,0)k π，k Z ∈. 正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k Z ππ=+∈.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z ππ+∈，xy-2-1214321O xy 3π4π2ππ-1-2-3-44321Ox yπ22π3π3π6-0.50.5-0.10.1O对称轴的方程是,x k k Z π=∈；正切曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z π∈. 正切曲线不是轴对称图形.习题1.4 B 组（P47） 1、（1）2{22,}33xk x k k Z ππππ+≤≤+∈；（2）33{22,}44x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.2、单调递减区间5(,),8282k k k Z ππππ++∈. 3、（1）2；（2）(1)y f x =+的图象如下：（3）2,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.1．5函数sin()y A x ωϕ=+的图象练习（P55） 1 2、（1）C ；（2）B ；（3）C .3、23A =，4T π=，14f π=24231sin sin()sin()42421sin(324y x y x y x y x ππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变4、12π. 把正弦曲线在区间[,)12π+∞的部分向左平移12π个单位长度，就可得到函数sin(),[0,]12y x x π=+∈+∞的图象.习题1.5 A 组（P57） 1、（1）C ；（2）A ；（3）D . 2、（1）（2）第3（2）题（3）（4）3、（1）8A =，8T π=，8πϕ=-48sin sin()sin()8488sin()8sin()[0,)4848y x y x y x y x x y y x πππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−→=-∈+∞向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标伸长到原来把轴左侧的8倍，横坐标不变的部分抹去，（2）13A =，23T π=，7πϕ=713sin sin(+)sin(3+)7711sin(3+)sin(3+)[0,)3737y y x y x y x y x y x x πππππ=−−−−→=→=−−−−−−→=−−−−→=∈+∞向左平移个单位纵坐标缩短到原来把轴左侧的部分抹去的倍，横坐标不变，4、（1）150T =，50f =，5A =，3πϕ= （2）0t =时，i =；1600t =时，5i =；1150t =时，0i =； 7600t =时，5i =-；160t =时，0i =； 5、（1）2T =；（2）约24.8cm 习题1.5 B 组（P58）1、根据已知数据作出散点图.由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin(),[0,)62x y x t ππ=-∈+∞ 2、函数2sin()4h t π=+在[0,2]π上的图象为点P 的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ. 1．6三角函数模型的简单应用练习（P65）1、乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处.2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象. 根据曲线不难回答题中的问题. 习题1.6 A 组（P65） 1、（1）30︒或150︒；（2）135︒；（3）45︒；（4）150︒.2、（1）43π或53π；（2）32π；（3）2π或32π；（4）4π或54π.3、5.5天；约3.7等星；约4.4等星.4、先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案.习题1.6 B 组（P66） 1、略； 2、略.第一章复习参考题A 组（P69）1、（1）79{2,},,,4444k k Z ππππββπ=+∈-；（2）22410{2,},,,3333k k Z ββπππππ=-+∈-；（3）128212{2,},,,5555k k Z ββπππππ=+∈-；（4）{2,},2,0,2k k Z ββπππ=∈-. 2、周长约44 cm ，面积约为21.110⨯2cm .3、（1）负；（2）正；（3）负；4、解：∵cos 0ϕ>且cos 1ϕ≠∴ϕ为第一或第四象限角 ∵22sin cos 1ϕϕ+= ∴2215sin 1cos 16ϕϕ=-= （1）当ϕ为第一象限角时6、222222224=sin (sin 1)cos sin (cos )cos cos (sin 1)cos ααααααααα-+=-+=-+=原式22222722sin 2cos 2sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos (1sin )2cos (1sin )cos (1sin cos )αααααααααααααααα=-+-=++-+-=-+-+=-+=、(1)原式右边222222222sin (1sin )sin cos cos cos (sin cos )sin 1αββαββααβ=-++=++==(2)原式右边8、（1）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯；（2）2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110αααααααα====+++；（3）22222222(sin cos )(tan 1)(31)8(sin cos )sin cos tan 1315αααααααα++++====+++. 9、（1）0；（2）1.0771.10、（1）当α为第一象限角时，cos(2)πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)πα-=；（2）当α为第一象限角时，tan(7)απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-=.11、（1）tan11110.601︒=，sin378210.315'︒=，cos642.50.216︒=；（2）sin(879)0.358-︒=-，33tan()0.4148π-=-，13cos()0.58810π-=-；（3）sin30.141=，cos(sin 2)0.614=.12、13、（1）因为cos x =或cos x =1>,1-，所以原式不能成立. （2）因为sin x =1<，所以原式有可能成立.14、（11π，此时x 的集合为{2,}2x x k k Z ππ=+∈.1π，此时x2,}2k k Z ππ=-+∈.（2）最大值为5，此时x 的集合为2,}k k Z π∈. 最小值为1，此时x 的集合为{2,}x x k k Z π=∈. 15、（1）3{2}2x x ππ≤≤；（2）{}2x x ππ≤≤；（3）{0}2x x π≤≤；（4）3{}2x x ππ≤≤.16、（1）（2）（3）（4）17、（1）（图略）（2）由sin()sin x x π-=，可知函数sin ,[0,]y x x π=∈的图象关于直线2x=对称，据此可得函数sin ,[,]2y x x ππ=∈的图象；又由sin(2)sin x x π-=-，可知sin ,[0,2]y x x π=∈的图象关于点(,0)π对称，据此可得出函数sin ,[,2]y x x ππ=∈的图象.（3）先把y 轴向右（当0ϕ>时）或向左（当0ϕ<时）平行移动ϕ个单位长度，再把x 轴向下（当0k >时）或向上（当0k <时）平行移动k 个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0,2]π之外的部分，便得出函数sin(),[0,2]y x k x ϕπ=++∈的图象.18、（1）21,,56A T ππϕ===. 165sin ,sin(+),sin(5+),67y x x R y x x R y x x R πππ=∈−−−−→=∈−−−−−−→=∈向左平移横坐标缩短到原来个单位的倍，纵坐标不变（2）2,12,0A T πϕ===.621sin ,2sin ,6y x x R R y x x R =∈−−−−−−→∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来纵坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变的倍，横坐标不变第一章复习参考题B 组（P71）1、（1）342k k παπππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限；（2）9012030901203k k α︒+⋅︒<<︒+︒+⋅︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限；（3）34244k k ππαππ+<<+,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y 轴的负半轴上. 2、约143︒3、解：原式1sin 1cos cos sin cos sin cos sin αααααααα--==⋅+⋅∵α为第二象限角∴原式1sin 1cos cos ()sin 1sin 1cos sin cos cos sin αααααααααα--=⋅-+⋅=-++-=-. 4、（1）12sin 2cos tan 25315cos sin 5tan 165()3αααααα-+++===----；（2）2222221()11sin cos tan 110312sin cos cos 2sin cos cos 2tan 132()13αααααααααα-+++====+++⨯-+. 5、左边22sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos αααααααα++++=++2(sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )(sin cos 1)1sin cos sin cos αααααααααααααα+++=+++++=++=+=右边. 6、将已知条件代入左边，得：左边=22222222222tan 1sin 1sin 1cos cos cos cos a b a b θθθθθθθ--=-== 7、将已知条件代入左边，得：左边=22222[(tan sin )(tan sin )]16tan sin θθθθθθ+--= 再将已知条件代入右边，得：右边=16(tan sin )(tan sin )θθθθ+-2216(tan sin )θθ=-2222222sin sin cos sin sin 1616cos cos θθθθθθθ-⋅=⨯=⨯ 2216tan sin θθ=⋅. 所以，左边=右边8、（1）2[,],63k k k Z ππππ++∈；（2）272[,],43123k k k Z ππππ++∈.9、（1）表示以原点为圆心，r 为半径的圆. （2）表示以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆.第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、2AD =u u u r .6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6对，与AM u u u u r反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r；（2）CB u u u r . 4、（1）c r ；（2）f u r ；（3）f u r ；（4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略.水流方向CDA B 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r反向. 3、（1）2b a =r r ；（2）74b a =-r r ；（3）12b a =-r r ；（4）89b a =r r .4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -r r ；（2）111123a b -+r r；（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走102km ；（4）向西南走52km ；（5）向西北走102km ；（6）向东南走102km.2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以222282217AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ；（2）AB u u u r ；（3）BA u u u r；（4）0r ；（5）0r ；（6）CB u u u r ；（7）0r . 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ；（2）102210a b c -+r r r ；（3）132a b +r r；（4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，（第11题）34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r ，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即AB ∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ；（2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ；（4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ；（2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ；（4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-；故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，157(1,2)(,)222OP OA AB =+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)5,4)OP OA AB =-=-u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以(7,8)P . 2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线. 3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r 2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r ()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(,55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是)55e =-r或(55e =-r . 习题2.4 B 组（P108） 1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--r r，所以()0a b c ⋅-=r r r 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r .3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r.cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r4、AB AC ⋅u u u r u u u r的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r（2）因为1()2AE a b =+u u u r r r所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r；（2）v r 在A v u u r方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u ru u r .4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθu u r ，最大投掷距离为20sin 2v gθu u r .2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v vθθα==u rrr ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r.ODFEAB C（第2题）（第4题）将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()22()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r，1()2AD a b =+u u u r r r4、略解：213DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r2233AD a b =+u u u r r r，1133BC a b =+u u u r r r1133EF a b =--u u u r r r，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u ur r rCE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ；（3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r.6、AB u u u r 与CD u u ur 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u ur 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）。

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1．解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 D解析当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′．而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ．二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________．答案－π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2．当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。

高一数学人教A版必修四练习：第一章三角函数1.2.1 第二课时含解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．答案： C2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．答案： C3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析： ∵78π是第二象限角，∴sin 78π＞0，cos 78 π＜0，∴MP ＞0，OM ＜0， ∴MP ＞0＞OM . 答案： D4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三角限的角平分线上解析：作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案： 16．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM . 显然MP ＞OM ，即sin 1＞cos 1. 答案： sin 1＞cos 1 7．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．解析：由图可知sin 3π4＝22，sin 3π2＝－1，22＞sin θ＞－1，即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22.答案： ⎝⎛⎭⎫－1，22三、解答题(每小题10分，共20分)8．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3.解析： (1)因为5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin5π6，有向线段OM ＝cos 5π6，设过A (1，0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示，交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′、OM ′、A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x ； (2)y ＝tan x －1 解析： (1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x ＞0，所以sin x ＜22，所以角x终边所在区域如图所示，所以2k π－5π4＜x ＜2k π＋π4，k ∈Z .所以原函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π－5π4＜x ＜2k π＋π4，k ∈Z. (2)要使tan x －1有意义，则tan x －1≥0，∴tan x ≥1，所求角x 终边区域如图所示，∴π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z . 即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .。

高一数学人教A版必修四练习：第一章三角函数1.2.1 第一课时含解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知角α的终边经过点P (－1，2)，则cos α的值为( )A ．－55B ．－ 5 C.255 D.52 解析： cos α＝－1（－1）2＋22＝－55. 答案： A 2．若sin αcos α<0，则角α的终边在( )A ．第二象限B ．第四象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限解析：若sin α>0，cos α<0，则α是第二象限角；若sin α<0，cos α>0，则α是第四象限角．答案： C3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝( ) A ．－8B ．－4C ．±8D ．±4 解析： sin θ＝y 16＋y 2＝－255，∴y <0且y 2＝64，从而y ＝－8. 答案： A4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为( )A ．－2<a <3B ．－2<a ≤3C ．－2≤a <3D ．－3≤a <2解析： ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上．∴3a －9≤0且a ＋2>0.∴－2<a ≤3.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．如果α的终边过点P (2sin 60°，－2cos 60°)，则sin α＝________．解析： ∵2sin 60°＝3，－2cos 60°＝－1，∴P (3，－1)，∴sin α＝－1（3）2＋（－1）2＝－12. 答案：－126．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ________．解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋sin αcos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案： 0 7．设α为第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________________________________________________________________________象限角．解析： ∵α为第三象限角，∴α2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴sin α2<0. 故α2为第四象限角．答案：四三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)．求2sin α＋cos α的值．解析： ∵r ＝|OP |＝（4a ）2＋（－3a ）2＝5|a |， ∴当a >0时，sin α＝y r ＝－3a 5|a |＝－35，cos α＝x r ＝4a 5|a |＝45.∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.当a <0时，sin α＝－3a 5|a |＝35，cos α＝4a 5|a |＝－45.∴2sin α＋cos α＝65－45＝25.∴2sin α＋cos α＝⎩⎨⎧25，a <0，－25，a >0.9．求下列三角函数值：(1)cos (－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4.解析： (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos (－1 050°)＝cos (－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32.(2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22.。

高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)

1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一)及其应用．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k ·2π)＝______，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z .一、选择题1．sin 780°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－122．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．55．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3}6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4二、填空题7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______. 8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.三、解答题11．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积． 3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)答案知识梳理 1.y r x ryx3.相等 sin α cos α tan α作业设计 1．A 2.B3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]4．A [r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.]5．D [若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1.∴函数f (x )的值域为{－1,3}．]6．D [由任意角三角函数的定义，tan θ＝y x ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.故选D.]7．－7138．－2<a ≤3 解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. 9．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0， n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.12．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝73.13．C [∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4 (n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ， cos 2θ有可能取负值．]14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝－15a 2＋8a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.。

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第2课时三角函数线
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列各式正确的是( )

A.sin 1>sinπ3B.sin 1C.sin 1=sinπ3D.sin 1≥sinπ3
解析:1和π3的终边均在第一象限,且π3的正弦线大于1的正弦线,则sin1π
3
.

答案:B

2角π7和角8π7有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
解析:结合图象易知正切线相同.
答案:C

3如果MP和OM分别是4π5的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是( )
A.MPC.OM<0解析:由图易知OM<0答案:C
4若α是第一象限角,由三角函数线知sin α+cos α的值与1的大小关系是( )
A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1
C.sin α+cos α<1 D.不确定
解析:设角α的终边与单位圆交于点P.作出正弦线MP、余弦线OM,则MP>0,OM>0,OP=1,且线段
MP,OM,OP构成直角三角形,∴MP+OM>OP=1.

即sinα+cosα=MP+OM>1.
答案:A

5已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,则角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
答案:B

6已知tan x=√3,则𝑥= .
答案:kπ+
π
3
,𝑘∈Z

7不等式sin x≥√32的解集是 .
解析:如图,画出单位圆,作x轴的平行直线y=√32,交单位圆于两点P1,P2,连接OP1,OP2,分别过点P1,P
2

作x轴的垂线,画出如图的两条正弦线,易知这两条正弦线的值都等于
√
3
2
.

在[0,2π)内,sin
π3=sin2π3=√32.由于sinx≥√3
2
,

则满足条件的角x的终边在图中阴影部分,
故不等式的解集为{𝑥|
π3+2𝑘π≤x≤2π
3
+2𝑘π,𝑘∈Z}.

答案:{𝑥|
π3+2𝑘π≤𝑥≤2π
3
+2𝑘π,𝑘∈Z}

8若θ∈
(

3π4,3π

2
)
,则sin 𝜃的取值范围是 .

解析:由图可知sin
3π4=√22,sin3π2=−1,√22>sinθ>-1,即sinθ∈(-1,√2
2
).

答案:(-1,
√
2
2
)

9在单位圆中画出满足cos α=√32的角𝛼的终边,并写出角𝛼组成的集合.
解如图,作直线x=√32交单位圆于点M,N,连接OM,ON,则OM,ON为α的终边.
由于cosπ6=√32,cos11π6=√32,则M在π6的终边上,N在11π6的终边上,则α=
π6+2𝑘π或𝛼=11π
6
+

2𝑘π,𝑘∈Z.
所以α组成的集合为

S={𝛼|𝛼=
π6+2𝑘π或𝛼=11π
6
+2𝑘π,𝑘∈Z}.

10求函数y=√-1-2cos𝑥的定义域.
解要使函数有意义,自变量x的取值需满足
-1-2cosx≥0,得cosx≤−
1
2
,

则
2π3+2𝑘π≤x≤4π3+2𝑘π,𝑘∈Z.所以函数的定义域是{𝑥|2π3+2𝑘π≤𝑥≤4π
3
+2𝑘π,𝑘∈Z}.

能力提升
1已知θ∈
(

π3,π

2
)
,在单位圆中角𝜃的正弦线、余弦线、正切线分别是𝑀𝑃,𝑂𝑀,𝐴𝑇,

则它们的大小关系是( )
A.MP>OM>AT B.AT>MP>OM
C.AT>OM>MP D.MP>AT>OM
解析:画出角θ的正弦线、余弦线、正切线,由图知OM答案:B

2若α是三角形的内角,且sin α+cos α=
2
3
,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形

解析:若α是锐角,则sinα+cosα>1,与sinα+cosα=23矛盾,若α是直角,则sinα+cosα=1.所以α是钝角.
答案:D
3已知cos α≤sin α,则角α的终边落在第一象限内的范围是( )
A.(0,
π
4
]

B.[
π4,π
2
)

C.[2𝑘π+
π4,2𝑘π+π
2
)
,𝑘∈Z

D.(2𝑘π,2𝑘π+
π
4
],𝑘∈Z

解析:如图,由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可知,角α的终边落在图中的阴影区域,故选C.
答案:C

4函数y=log2(sin x)的定义域是 .

解析:如图,MP是角x的正弦线,由题意有sinx=MP>0.
∴MP的方向向上,
∴角x的终边在x轴的上方.
∴2kπ即函数y=log2(sinx)的定义域是{x|2kπ答案:{x|2kπ

5若0<α<2π,且sin α<
√
32,cos 𝛼>1
2
.利用三角函数线,

得到角𝛼的取值范围是 .
解析:利用三角函数线得α的终边落在如图∠AOB区域内(不含x轴非负半轴),所以α的取值范围是
(0,π3)∪(
5π
3
,2π).

答案:(0,
π3)∪(5π
3
,2π)

6画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
(1)
π6; (2)2π3; (3)−5π6; (4)−9π
4
.

分析作角α的正弦线、余弦线、正切线的关键是先画出单位圆和角α的终边,再按三角函数线的定
义画出.

解如图,各个单位圆中的MP,OM,AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.
★7求证:当α∈(0,
π
2
)
时,sin 𝛼<𝛼

证明如图,

设角α的终边与单位圆相交于点P,单位圆与x轴正半轴交点为A,过点A作圆的切线交OP的延
长线于点T,过点P作PM⊥OA于点M,连接AP,则

在Rt△POM中,sinα=MP;在Rt△AOT中,tanα=AT.
又根据弧度制的定义,有𝑙
𝐴𝑃
⏜

=𝛼·OP=α,

易知S△POA1
2
𝑂𝐴·AT,即sinα<α