-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案

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考试报2012-2013版高中数学选修2-1第5-8期答案专页.FIT)

1 cos 60毅= . AC · 2
B
D
寅
寅寅 1 寅寅寅寅寅（OC 原OB）所以OG ·BC = （OA +OB+ OC） · 4 2 2
x y 1 8 2 =1，则 + =3 ，解得k =1. 1 8 k k k k
2 2 2 2
设点M （x1， y1）， N （x2， y2），则x1+x2=
距离，所以r=
3援设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2 ， 10. 8姨 3 3 由题意知， PF1 + PF2 =4c ，整理得（ PF1 + · PF2 =4c ，则两式相加可得4a1+4a2=8c ，两边同除以4c ，整理得
2 2 2 2 2 2
姨b +a
2
bc -a伊0
2 2 2 3b c =2a，又a =b +c ，从而可得e = = a a 2
3 2 2姨 3 c， e越 . 3 4
扇设设设设设设缮设设设设设设墒
x=
D1A 1，所以 OB 原OC 越OA 1原OD1.所以于是假命题. 二、填空题： 7. 5 9. 3 8. 7
寅 2 2 2 寅 2 2 2 寅 2 寅 2 寅 2 寅寅寅寅
寅
寅
2
姨3 . 3
（c ， 2援圆的半径是右焦点 0）到渐近线 y =
b x的 a
4，故p +q =7.
（1， -1， 3）， A C= （p -1， -2， q +2）， A， 8.由已知得 AB = B， C一定共面. 寅寅 p -1 -2 q +2 2 2 2 2 2 寅寅寅寅 2 寅寅寅又因为 AB 椅 A C ，所以 = = ，所以p =3， q= 寅 1 -1 3 （A B+A D+A A 忆）=AB +A D +AA 忆 5. AC忆 =A C忆 = 1寅 1 寅 1寅 OC原 OA 原 9.设AB的中点为D，则DG= DC= 3 3 2

重庆市南开中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试卷有答案

重庆南开中学高2015级高一（下）期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1.在等差数列{}n a 中，若30a a a 531=++，则=3a =（）A 、7B 、8C 、9D 、102.已知向量a ,b 满足，|a |=2，|b |=1， a ⊥b ，则|a ＋2b | =（）A 、22B 、3C 、8D 、93.在△ABC 中，若a=3，b=2，A=60°，则B=（）A 、30°B 、45°C 、90°D 、120°4. 向量a =（2,3），b =（1,2），若b a 2+ 与b a m + 平行，则m =（）A 、2－B 、2C 、 21－ D 、21 5.已知9,,,121a a 四个实数成等差数列，9,,,,1321b b b 五个数成等比数列，则)(122a a b -等于（）A 、8B 、－8C 、±8D 、89 6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=S ，149=S ，则=12S （）A 、80B 、30C 、26D 、167.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，若C A sin sin 2=,222,,b c a 成等差数列，则B=( )A 、 30°B 、60°C 、120°D 、150°8.等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，01＞a ，2012a ，2013a 是方程0)1()1(222=+-++-λλλx x 的两根，则满足n S ＞0的n 的最大正整数为（）A 、4023B 、4024C 、4025D 、40269.如图四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD 。

新课标2012-2013学年高二上学期期中考试数学及答案201315

2012—2013学年度上学期期中考试高二数学试题【新课标】本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间100分钟。

第I 卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若222c b a <+，则ABC ∆的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形2、等比数列{}n a 是递增数列，若51a a 60-=，42a a 24-=则公比q 为A ．21 B ．2 C ．221-或 D ．212或 3、下列判断正确的是A ．a=7，b=14，A=30o ，有两解B ．a=30，b=25，A=150o ，有一解C ．a=6，b=9，A=45o ，有两解D ．a=9，b=10，A=60o ，无解4、设110a b <<，则下列不等式成立的是A ．22a b >B．a b +> C ．11()()22ab> D ．2ab b <5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤-110y y x x y ，表示的平面区域的面积是A ．49B ．29 C ．89D ．36、在ABC ∆中，三边c b a ,,与面积S 的关系是4222c b a S -+=，则∠C 的度数为A ．030B ．060C ．045D ．0907、在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为A ．b an- B ．1b an -+ C ．1b an ++ D ．2b an -+8、在ABC ∆中，b=8，3,c = 060A =则此三角形的外接圆的面积为A ．1963B ．1963π C ．493π D ．4939、关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,53 B ．()1,1- C ．(]1,1-D ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,53 10、数列12,,,,1-n x x x 的前n 项和为A ．xx n --11B ．x x n ---111C ．xx n --+111D ．以上均不正确11、已知不等式0322<--x x 的解集为A ；不等式062>+--x x 的解集为B ；不等式02<++b ax x 的解集为A B ，则b a +的值为A ．3-B ．1C ．1-D ．312、已知数列}{n a 的通项公式为*)(21log 2N n n n a n ∈++=，设其前n 项和为S n ，5-<n S 成立的自然数n A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值32第II 卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知数列{}n a 的通项公式是n a n 226-=，若此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为14、设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+01y x y y x ，则y x z +=2的最大值为 ;15、已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为 ; 16、已知三个数成等比数列，它们的和是13，它们的积是27，则这三个数为．三、解答题（本大题共5小题，共56分。

数学-如皋市2012～2013学年度第一学期期中调研考试高三数学试卷 (理)

如皋市20１２～201３学年度第一学期期中调研考试高三理科数学试卷一、填空题：1．已知,{|10}U R A x x ==-≤<，则 ______U C A =．2．“22x x =+”是“||2x x =+”的__________条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”．）3．函数ln 1xy x=-的定义域为__________． 4．函数sin()yA x ωϕ=+(,,A ωϕ为常数，0,0)A ω>>的图象如图所示，则ω= ．5．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且137,,a a a 成等比数列，则1_____a d=． 6．当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，_______x =． 7．已知实数,x y 满足1x y +=，则22x y +的最小值为_____________．8．设,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，1,6,PA PB ==3PC =，则球O 的体积为___________．9．已知函数21()21x xm f x --=+是奇函数且2(2)(3)f a a f ->，则a 的取值范围是____． 10．已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()______63x x ππ-+-=． 11．正项等比数列{}n a 中，若1≤2a ≤2，2≤3a ≤3，则5a 的取值范围是 __________．12．在ABC 中，2460AB BC B ︒==∠=，，．设O 是ABC 的内心，若AO pAB =qAC +，则qp 的值为________________．13．已知(),,0,a b c ∈+∞，满足()1,()().abc a b c S a c b c ++==++ 当S 取最小值时，c的最大值为________________．14．已知各项均为正数的两个数列{},{}n n a b 由表下给出：n1 2 3 4 5 n a 1 5 3 12n b162xy定义数列{}n c ：10c =，111,(2,3,4,5),nn n n n n n n nb c a n c c a b c a --->⎧==⎨-+≤⎩，并规定数列{},{}n n a b 的“并和”为1255ab S a a a c =++⋅⋅⋅++．若15ab S =，则y 的最小值为____________.二、解答题：15．（本小题满分14分）在锐角三角形ABC 中，，3sin 5A =，1tan()3A B -=-． ⑴ 求tan B 的值.⑵ 若AC AB mBA BC ⋅=⋅, 求m 的值.16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A BC -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥． ⑴设点M 是棱1BB 的中点，求证：平面1AMC ⊥平面11AAC C ； ⑵设点E 是11BC 的中点，过1AE 作平面α交平面1ADC 于l ，求证：1//A E l .ＡＡ１ＢＣＢ１ＥＭＤＣ１17. （本小题满分14分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费，汽油费费用共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，….依等差数列逐年递增.⑴ 设该车使用n 年的总费用（包括购车费用）为()f n ，试写出()f n 的表达式； ⑵ 求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）18. （本小题满分16分）已知函数22()2(2)ln 41f x x ax x x ax =--++.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在(,())e f e 处的切线方程(e 是自然对数的底); (2)求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分16分）已知数列{}n a 满足()*1111n n n n a a n n N a a +++-=∈-+，且26a =.（1）设1(2),3(1)nn a b n b n n =≥=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）设()*,nn a u n N c n c=∈+为非零常数，若数列{}n u 是等差数列，记12,2nn n n nu c S c c c ==+++ ，求.n S20.（本小题满分16分）设()(1)xf x e a x =-+.(1) 若0,a >()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值. (2) 设()()x ag x f x e=+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点. 若对任意的1a ≤-，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；⑶ 是否存在正整数a ，使得13(21)()1nnnn en an e ++⋅⋅⋅+-<-对一切正整数n 均成立?若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案及评分标准一．填空题题号 12 34567答案 (,1)[0,)-∞-⋃+∞ 充要(0,1)2 256π 12题号 891011121314 答案323π (3,)(,1)+∞⋃-∞-191633516m +≤21-3二．解答题15. 解：（1）A ∠ 为锐角，3sin 5A =. 2sin sin 3tan .cos 41sin A A A A A ∴===-13tan()tan 1334tan tan[()]131tan()tan 9134B A A B B A A B A A +-+∴=-+===---⨯--------------7分（2）313tan tan 7949tan tan[()]tan()3131tan tan 3149A B C A B A B A B π++=-+=-+=-=-=--⨯C A C Bm B A B C ⋅=⋅. ∴cos cos CA CB C mBA BC B ⋅⋅=⋅⋅.即cos cos CA C mBA B ⋅=⋅由正弦定理知，sin sin CA BAB C =. 13tan 139.79tan 2373B mC ∴===------------------------------------------14分16. 证明：（1）111ABC A BC - 为正三棱柱. ∴1BB ⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC . 1AD BB ∴⊥.又 1AD C D ⊥,11,BB C D ⊂平面11BCC B ，1BB 与1C D 相交.∴AD ⊥平面11BCC B .------------------------------------------------------------4分 (2)连接DE .AD ⊥平面11BCC B ,BC ⊂11BCC B . ∴A D B C ⊥.又 ABC ∆为正三角形. ∴D 为BC 中点. 又 E 是11BC 的中点. ∴1C D C E =. 又 1//CD C E .∴四边形1DEC C 是平形四边形. ∴1//DE CC ,1DE CC =.又 1111//,AA CC AA CC =.∴11//,AA DE AA DE =. ∴四边形1ADEA 是平形四边形. 1//A E AD ∴.又 1A E ⊄平面1ADC ,AD ⊂平面1ADC .∴1//A E 平面1ADC .-------------------------------------------------------------------------8分(3) M 为1BB 的中点时，平面1AMC ⊥平面11AAC C .--------------------------------10分取AC 的中点F ，1AC 中点G . 连接,,.BF FG MGF 为AC 中点，G 为1AC 中点.∴111//,2FG CC FG CC =.又 111//,2BM CC BM CC =.∴//,.FG BM FG BM =∴四边形BFGM 是平行四边形. ∴//BF GM .1CC ⊥平面平面ABC ，BF ⊂平面ABC . ∴1CC BF ⊥. ∴1CC MG ⊥.又 ABC ∆为正三角形，F 为AC 中点. ∴BF AC ⊥. ∴MG AC ⊥.又 1,AC CC ⊂平面11AAC C ，1AC CC C ⋂=. ∴MG ⊥平面11AAC C . 又 MG ⊂平面1AMC .∴平面1AMC ⊥平面11AAC C .-------------------------------------------------------14分 17. 解：（1）依题意，()14.4(0.20.40.60.2)0.9f n n n =++++⋅⋅⋅++ 0.2(1)14.40.92n n n +=++ 20.114.4()n n n N *=++∈----------------------------7分（2）设该车的年平均费用为S 万元，则有()f n S n=20.114.4n n n++=14.412 1.441 3.410n n=++≥+= 当且仅当14.4,10n n =即12n =时，等号成立. 故汽车使用12年报废最合算.--------------------------------------------14分18. 解：（1）当0a =时，22()2ln 1f x x x x =-+.'()4ln f x x x =.曲线()y f x =在(,())e f e 处的切线方程为 24310ex y e --+=.-----------------4分（2）'()4()ln f x x a x =---------------------------------------------------------------------6分①当0a ≤时，单调递增区间为(1,)+∞,()f x 的单调递减区间为(0,1). ------------9分 ②当01a <<时，单调递增区间(0,)a 和(1,)+∞，()f x 的单调递减区间为(,1)a --------------------------------------------------------------------------------------------12分③当1a =时，单调递增区间(0,)+∞，无单调减区间.--------------------------------13分 ④当1a >时，单调递增区间(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,).a --------------16分19. 解：(Ⅰ)132a =， 234313,,,444a a a ∴===⋅⋅⋅ --------------3分()3,123,241,214n n a n k k N n k *⎧=⎪⎪⎪∴==∈⎨⎪⎪=+⎪⎩----------6分(Ⅱ) ⑴()31212t t t S a a a a ++=++⋅⋅⋅++()()34313t t t t a a a a ++-+++⋅⋅⋅++12111111222t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅++- ⎪⎝⎭ 1212112t a t +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭------------------------------------------------------------------------10分（2）)112,2t t a +⎡∈⎣， )1122,22t t a a -⎡∴=∈⎣，)211322,22t t a a --⎡=∈⎣，… ，1211,122t t a a ++⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭．--------12分 1321112t t t a a a +++∴=-=-．------------14分由题意，1111122t t a a ++=-即12t a =，故12ta =，min 2M t =+． -------------16分 20. 解：（1）当1x ≤-时，对任意0,a >()0f x >.当1x >-时，由()0f x ≥，得1xe a x ≤+.令()(1)1x e h x x x =>-+，则2'()(1)x e x h x x =+.当(1,0)x ∈-时，'()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0h x >. 故max ()(0)1h x h ==.所以1a ≤,a 的最大值为1.--------------------------------------------------------4分（2）设12,x x 是任意两个实数，且12,x x <则2121()()g x g x m x x ->-.故2211()()g x mx g x mx ->.所以函数()()F x g x mx =-在(,)-∞+∞上单调递增.---------------------------7分所以'()'()0F x g x m =->恒成立.即对任意的1,a ≤-任意的x R ∈，'()m g x <恒成立.又'()xx a h x e a e =--22()2(1)13x x a e a a a a e≥⋅--=-+-=-+-≥ 当且其当0,1x a ==-时两个等号同时成立.故 3.m <-------------------------------------------------------------------------------10分（3）存在，a 的最小值为2. 下面给出证明：由（2）知， 1.xe x ≥+故201(1,3,...,21).2i ni e i n n-<-≤=- 所以22()(1,3,...,21).2i nn i e i n n--≤=--------------------------------------13分于是2123251222211221113521()()()()2222(1)111n n n nn n n nn n n n ne eeee e e ee e e -------------+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+-=<=----------------------------------------------------------------------------------------16分注：第（2）问直接写'()m g x <的扣3分.。

河南省洛阳市2012-2013学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)(必修3)(word版)

6 97 3 88 1 3 4 9 8 010 0洛阳市2012-2013学年第二学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 2．已知某高一学生期末考试9科成绩的茎叶图如图，则该生的平均成绩为A ．81B ．82C ．83D ．843．用秦九韶算法计算多项式5432()54321f x x x x x x =+++++当5x =的值时，乘法运算和加法运算的的次数分别为A ．4，5B ．5，5C ．5，6D ．6，6 4．下列说法：①为了使样本具有好的代表性，在进行简单随机抽样时，最重要的是要将总体“搅拌均匀”，即使每个个体有同样的机会被抽中；②由于频率分布折线图是随着样本容量和分组情况的变化而变化的，所以不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线；③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；④线性回归方程ˆybx a =+表示的直线必经过定点()x y ．其中错误的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知四个数：①(3)10121，②(5)412，③(10)119，④(8)146，这四个数中最小数的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④（第9题）（第7题）（第6题）6．读下面的程序，若程序运行的结果是4，则输入的实数x 值的所有可能是 A ．0 B ．0，2或2- C ．0，4或4- D ．2或47．某程序框图如图所示，若输出的p 的值是29，则①处可以填的条件是A ．6n =B ．21p >=C ．5n >D ．33p =8．已知在正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 恰在该正方体内切球内的概率为A ．78 B ．12 C ．3π D ．6π 9．已知上面的程序，若输入的,m n 分别为297,75，则此程序的功能和输出的结果是 A ．求297被75除的商，3 B ．求297被75除的余数，3 C ．求297与75的最小公倍数，7425 D ．求297与75的最大公约数，310．从3名男同学和2名女同学中任选3名参加某项活动，与事件“至少选2名男同学”互斥的事件为A ．至少选1名女同学B ．选1名男同学2名女同学C ．至多选2名男同学D ．选3名男同学11．已知a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则使得关于x 的。

2012-2013(秋)高等数学(A)期中考试试题解答

2012-2013(秋)高等数学(A)期中考试试题解答D(A)()f x 在0x 处连续 (B)()f x 在0x 处可微分(C)()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆存在 (D) ()0'lim x x fx →存在1． 1x =是函数()1sin x f x xπ-=的( A )间断点. (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡2．设函数()f x 在闭区间[]0,1 上()0f x ''>,那么(0),(1),(1)(0),(0)(1)f f f f f f '--几个数的大小顺序为( B ). (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-． (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->． (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>． (D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->．5．设()()[]2x x f ψ='，其中()x ψ在()∞+∞-，上恒为正值，其导数()x ψ'为单调减少函数，且()00='x ψ，则( D )．()A ()0x f 是()x f 在()∞+∞-，上的最小值； ()Bx x =是函数()x f 的极大值点；()C 曲线()x f y =在()∞+∞-，上是凹的()D 曲线()x f y =在点()()00x f x ，处有拐点．三、填空题（每题3分，共15分）1.如果33lim ()3,lim ()2,x x f x g x →→==-()g x 在3x =连续，则3lim (())x g f x →=(2)- ． 2．设xx x y arcsin 12-+=，则dy =（2(2.1-dx x ） 3．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dxdy （322.1x yy +）4．设()x f 为可导的奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f （5）． 5．函数()22sin x x ex f x+--=在区间()∞+∞-，上的最小值为（1-）．四．（本题满分16分，每小题4分） 1. 设0>>a b ，()2a a f ='，求极限()()ab a f b f ab ln ln lim--→．解：()()()()()'3limlim .ln ln 1ln ln limb a b a b a f b f a f b f a f a b a a b a b a b a a→→→---===---2. 求22111x x x e x x →-++解：()()22200111111lim limlim .2221x x x x x x x x x x e x e e x e xe xxx xx→→→→-+-++-====+3. 求()()31lim 1sin sin sin .x x x x →+-解：()()()()()()()3332220ln 1sin sin sin sin sin sin 1limlimsin cos 1cos sin 12limlim 336lim 1sin sin sin .x x x x x x x x xx x x x x x xx x x eeeee →→→→+--→-+-=====2240cos e 4.limx x x x -→-24424440111111()1()2!4!2!2!4lim x x x o x x x o x x→⎡⎤⎡⎤-++--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=121)(!241!41lim 4440-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=→x x o x x ．五、计算(本题满分16分，每小题4分)1. ()ln tan cos ln tan 2x y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求'y .解:()22'sec sec 2sin ln tan cos tan 2tan 2xx y x x xx x =+- =()sin ln tan x x . 2.()y y x =是参数方程2ln 1arctan x t y t⎧⎪=+⎨=⎪⎩确定的函数,求22d y dx .解:221111dy dy dt t dx t dx t dt t +===+22222231111111dy d d d d y dt t t dx t t dx dx dx dx dt dx t t t t dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-=-=-.3. 设函数()()()ln 00,0xx e x f x a ax ⎧+>⎪=>⎨≤⎪⎩问a 取何值时()'0f 存在?解:显然()f x 在0处连续.又因为()()'10;0ln +-'==ff a e.由1ln a e=,得1ea e =.4．设xy x e -=,求()(0)n y解：(1)x x x y e xe x e ---'=-=-, (1)(2)x x xy e x e x e ---''=---=--,()1(1)()n n xy n x e --=--, ()1(0)(1)n n yn-=-⋅六、（8分）证明: 当0x >时有xeex ≥,且仅当x e =时成立等式.证明:令()ln f x x e x =-,则()'1e f x x=-,所以()0,x e ∈时,()f x 严格下降; (),x e ∈+∞时,()f x 严格上升.而()0f e =.所以0x >时,ln x e x≥,且仅当x e =时成立等式.所以当0x >时有x ee x ≥,且仅当x e =时成立等式.七、（10分）求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nn 322的最大项() ，，，321=n ．（已知41.05.1ln ≈）解：设()xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=322 ()+∞<≤x 1，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='23ln 232x x x f x，令()0='x f ，得()x f 在()1+∞，内的唯一驻点为9.423ln 20≈=x当23ln 21<≤x 时，()0>'x f ；当x <23ln 2时，()0<'x f ．所以23ln 20=x 是函数()xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=322在区间()+∞<≤x 1上的极大值点，也是最大值点．由于59.423ln 240<≈=<x ，且()44232163244⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=f ，()()4323503255452f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nn 322的最大项为()2438005=f ．八、(6分 ) 设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(),a b 内有二阶导数.如果()()f a f b =且存在(),c a b ∈使得()()f c f a >,证明在(),a b 内至少有一点ξ使得()"0f ξ<.证明:由中值定理,()()()()'1f c f a f c a ξ-=-,()()()()'2f b f c f b c ξ-=-,所以()()''120f f ξξ>>.再由中值定理, ()()()()''"2121f f f ξξξξξ-=-,而且()"0f ξ<.九、（本题满分4分）设函数()x f 在闭区间[]a b ，上二阶可导，且()()f a f b =，证明：存在(),,a b ξ∈使得()()'"2009.f f b ξξξ=-证明：由()()f a f b =，根据罗尔定理得存在(),c a b ∈，使得()'0.f c =构造辅助函数()()()2009',g x fx b x =-它在区间[],c b 上满足罗尔定理的条件，故存在(),,c b ξ∈使得()()()()()20092008'"'20090,g f b f b ξξξξξ=---=所以()()'"2009.f f b ξξξ=-。

高等数学(下)期中考试题及答案

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期中数学文试题

杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（文科）参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式 24S R π= V Sh=球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高334R V π=台体的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线56y x π=+的斜率为A.B. C. 56π D. 6π2.直线cos sin 4x y αα+=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定3．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是 A. 1(,2)(,)3-∞-+∞ B. 1(,)(2,)3-∞-+∞ C. 1(,2)3- D. 1(2,)3-4. 若实数x y 、满足不等式组2502700,0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则31x y ++4的最小值是A ．12 B.13 C.14 D.255．两条异面直线在同一平面的射影不可能的是A.同一直线B.两条平行线C.两条相交直线D.一点和一条直线6.已知n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：①,,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥； ②若//,//,,m n m n αβ⊥则//αβ；③若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβ；④若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥．A其中正确的命题的序号是 A. ① ③ B. ② ③ C. ①④ D. ②④7．如图,在四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， AD DC ⊥，2PD AD DC AB ===，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为A.B.C.D. 8．直线1:220l x y --=关于直线2:0l x y +=对称的直线3l 的方程为A.220x y --=B. 220x y -+=C. 210x y --=D. 210x y -+= 9. 直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于M ，N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A. 3(,][0,)4-∞-+∞B. 1[,0]3-C. 1(,][0,)3-∞-+∞D. 3[,0]4- 10．与原点O 及点)4,2(A 的距离都是1的直线共有A.4条B. 3条C. 2 条D. 1条二、填空题：本大题有7小题, 每小题4分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 11．已知直线l 经过点(3,1)P ，且与直线41y x =-平行，则直线l 的一般式方程是 .12．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心，则a 的值为 . 13．在正方体ABCD -1111A B C D 中，直线1BC 与平面D D BB 11 所成角的大小为 .14. 如图，已知可行域为ABC ∆及其内部，若目标函数z kx y =+ 当且仅当在点A 处取得最大值，则k 的取值范围是 . 15.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 3．16．球面上有四个点P 、A 、B 、C ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是 .17.已知实数,x y 满足222440x y x y +-++=，则2x y -的最小值为 .杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学（文）答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）求过直线20x y +=与圆2220x y x +-=的交点A 、B ，且面积最小的圆的方程.19．（本小题10分）已知直线1l 和2l 在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又直线1l 过点)3,3( P .如果点)2,2(Q 到2l 的距离为1，求2l 的方程.20．（本小题12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知 PA ⊥平面ABCD ， //AB DC ，90DAB ∠=，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：MC ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值．21．（本小题12分）设圆22(2)(2)4x y -+-=的切线l 与两坐标轴交于点(,0),(0,),A a B b0ab ≠.（Ⅰ）证明： (4)(4)8a b --=；（II ）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若4,4,a b >>求△AOB 的面积的最小值．杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.4110x y --= 12.1 13.30 14. 12k >15. 16 16. 3π 17. 5三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）解：联立方程组2220(1)20(2)x y x y x +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，把（1）代入（2），得21245400,5y y y y +=∴==-，故2112805,045x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩，则所求圆的直径为2R AB ===圆心为AB 中点42(,)55C -,所以，所求面积最小的圆的方程是22424()()555x y -++=另解：设过已知直线与圆的交点的圆系方程为 222(2)0x y x x y λ+-++=（1）其圆心的坐标为2(,)2λλ--- ，把它代入直线20x y += （2）得 222025λλλ---=∴=（3）把（3）代入（1），则所求面积最小的圆的方程是2284055x y x y +-+=. 19．（本小题10分）解：直线2l 的方程为()y k x a =-，则直线1l 的方程为()y k x a =--则1= （1）又因为1(3,3)P l -∈，则(3)3k a += （2）由（2）得33ka k =-，代入（1）211225120k k =∴-+=.解得43k =，或34. 则当43k =时，34a =；当34k =时，1a =. 所以直线0334:2=+-y x l 或 0343=--y x20．（本小题12分）解：（Ⅰ ）如图，取P A 的中点E ，连接ME ，DE ，∵M 为PB 的中点，∴EM//AB ,且EM= 12AB . 又∵//AB DC ，且12DC AB =，∴EM//DC ，且EM =DC ∴四边形DCME 为平行四边形,则MC ∥DE ，又MC ⊄平面PAD, DE ⊂平面PAD所以MC ∥平面P AD（Ⅱ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又22222AC BC AB AC BC +=+=∴⊥,∴BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC,所以，平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅲ）取PC 中点N ，则MN ∥BC 由（Ⅱ）知BC ⊥平面PAC ，则MN ⊥平面PAC 所以，MCN ∠为直线MC 与平面PAC 所成角，1122NC PC MC PB ====，cos NC MCN MC ∴∠==21．（本小题12分）解：（Ⅰ）直线l 的方程为1=+bya x ，即0=-+ab ay bx .则圆心（2，2）到切线l 的距离r d =，24()80ab a b =⇒-++=,(4)(4)8a b ∴--=.（II ）设AB 的中点为M （x ，y ），则2222a x a xb b y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，代入(4)(4)8a b --=，得线段AB 中点M 的轨迹方程为(2)(2)2(0)x y xy --=≠. （Ⅲ）由(4)(4)84()8a b ab a b --=⇒=+- 又4,4,a b >>12AOB S ab ∆∴=2[(4)(4)6]6)4(3a b =-+-+≥=+（当且仅当4a b ==+,所以，△AOB面积的最小值是12+。

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-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案
2012—2013学年第一学期
《高等数学(2-1)》期中试卷
（工科）
专业班级
姓名
学号
开课系室基础数学系
考试日期 2012年11月25日
页号一二三四五六
总分
本页满分32 18 10 16 16 8
本页得分
阅卷人
注意事项：
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；
B ．(0)f 是()f x 的极小值；
C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；
D ．(0)f 是()f x 的极大值.
3. 当x →∞时，若21ax bx c
++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数；
C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.
4.
设220()(),0x x f x x g x x ⎧>=≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在 0x =处（ D ）. A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导. 5. 设()f x 在0x 可导且01()2
f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.
A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低
阶无穷小.
三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）
1.
求极限0x →解：
（方法一）200sin 12lim lim 11cos 2
x x x x
x x
→→==-；
（方法二）001lim 11cos x x x →→==-；（方法三）洛比达法则
001sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x x x x
x x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.
解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有
1cos()()ln y xy y xy y x x
-''+=+，又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.
3. 设3arctan 6x t t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dy dy t dt t dx dx dt t +===+++； 22222
()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241
d y t dx ==.
本页满分
10分
本页
得
分
4. 求极限2
1
)(cos lim x x x →. 解：（方法一）221
1cos 1cos 100
lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+- 20cos 11
lim 2x x x e e →--==；（方法二）22222111sin 1222sin 2200lim(cos )lim (cos )lim(1sin )x
x x x x
x x x x x x e ---→→∞→==-=；（方法三）洛比达法则sin 2cos 2201
11ln(cos )lim 200lim(cos )lim x x x x x x x x x x e e e -→-→→===.
四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）
1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩
在0x =处可导，
试求出a 与b .
解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故
(0)(0)(0)0f f f -+===，又000()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x
++++→→→++-+-==+=+-，
可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -
+''=，又 01(0)lim ax x e f a x
--→-'==，本页满分16分本页得
分
22
002
00()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim 1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--，故1,3a b =-=.
2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.
解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于
2211()33
V R h r h x ππ=--，又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h x r R h
-=，可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x h
h πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dx h x dt dt h
π=-，由已知条件25dV dt =，2h x =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s R
π. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根.
解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则 1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a =，列表如下： x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' + 0 — 本页满分
16分
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得
分
()f x 最大值
1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，讨论如下：（1）当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，方程ln x ax =有唯一的实根；（2）当10a e <<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，又由于 00
lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞； ln lim ()lim ()x x x f x x a x
→+∞→+∞=-=-∞，故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内；当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，方程ln x ax =没有实根. 五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）
1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.
证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.
本页满分
8分
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2．证明：当0>x 时，x x x x <+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得
ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x x
x <+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.
（方法三）：利用函数的单调性. 得
分。