高二寒假 第十二讲 复数基础篇 学生版(文科)
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
高考数学：一轮复习配套讲义：第12篇 第5讲 复数
第5讲 复 数[最新考纲]1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．辨析感悟1．对复数概念的理解(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)2i比i大．(×)(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)2．对复数几何意义的认识(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)(6)(2013·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数z＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×)3．对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)1i＝－i.(√)(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)[感悟·提升]1．两点提醒一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)．2．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.学生用书第213页考点一复数的概念【例1】(1)(2013·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()．A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为()．A．－4 B．－45C．4 D.45解析(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝52－i＋3＝5(2＋i)(2－i)(2＋i)＋3＝5(2＋i)5＋3＝5＋i，∴z＝5－i.故选D. (2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5.∴z＝53－4i＝3＋4i5，∴z的虚部为45.答案(1)D(2)D规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【训练1】(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()．A．0 B．－1 C．1 D．－2解析(1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋bi＝a－b i不一定为纯虚数，但如果a＋bi＝a－b i为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.(2)∵z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋z2的虚部为0.答案(1)B(2)A考点二复数的几何意义【例2】(1)(2013·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)复数z＝(2－i)2i(i为虚数单位)，则|z|＝()．A．25 B.41 C．5 D. 5解析(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限．(2)∵z＝4－4i－1i＝3－4ii＝(3－4i)ii·i＝4＋3i－1＝－4－3i，∴|z|＝(－4)2＋(－3)2＝5.答案(1)B(2)C规律方法要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．【训练2】(1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的点是()．A．A B．B C．C D．D(2)(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析(1)设z＝－a＋b i(a，b∈R＋)，则z的共轭复数z＝－a－b i，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数z＝a＋b i与点(a，b)一一对应．∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.答案(1)B(2)－2＋3i学生用书第214页考点三复数代数形式的四则运算【例3】 (1)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.(2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝________.(3)已知复数z 满足iz ＋i＝2－i ，则z ＝________. 解析 (1)法一 |z |＝|3＋i||(1－3i )2|＝12，z ·z ＝|z |2＝14. 法二 z ＝3＋i －2(1＋3i )＝－34＋i4，z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－i 4＝14. (2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝22(1＋i )3i (5－4i )(5－4i )(1－i )＝22(1＋i )4i 2＝2i(1＋i)4＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.(3)由i z ＋i ＝2－i ，得z ＝i 2－i －i ＝i (2＋i )5－i ＝25i －15－i ＝－15－35i.答案 (1)14 (2)－42i (3)－15－35i规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 【训练3】 (1)(2014·临沂模拟)设z ＝1＋i ，则2z ＋z 2等于( )． A ．1＋i B ．－1＋i C ．－i D ．－1－i(2)(2013·安徽卷)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i解析 (1)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋2i＝2(1－i )2＋2i ＝1－i ＋2i ＝1＋i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z i ＋2＝(a ＋b i)·(a －b i)·i ＋2＝2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，故2＝2a ，a 2＋b 2＝2b 解得a ＝1，b ＝1 即z ＝1＋i. 答案 (1)A (2)A1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i ，－12＋32i 的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．思想方法12——解决复数问题的实数化思想【典例】 (2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析 (a ＋i)·(1＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i 则⎩⎨⎧a －1＝0a ＋1＝b 解得a ＝1，b ＝2.所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案 1＋2i[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法． 【自主体验】1．(2014·滨州模拟)已知a －2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，则a －b ＝( )．A ．1B ．2C ．－1D ．－3解析 a －2i ＝b i ＋i 2＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝－2，∴a －b ＝1. 答案 A2．(2012·湖北卷)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 解析 由已知得3＋b i ＝(1－i)(a ＋b i)＝a ＋b i －a i －b i 2＝(a ＋b )＋(b －a )i ， 根据复数相等得⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，b －a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.答案 3对应学生用书P387 基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 答案 D2．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )．A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析由已知条件得z＝2＋4ii＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.答案 C3．(2014·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为()．A．－2 B．2 C．－2i D．2i解析z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.答案 B4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i解析由题意得z＝2i1－i＝2i·(1＋i)2＝－1＋i，故选A.答案 A5．(2013·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()．A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立．B中，z1＝z2，则z1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z22＝4，z21≠z22.答案 D二、填空题6．(2013·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．解析∵z＝(2－i)2＝3－4i，∴|z|＝32＋(－4)2＝5.答案 57．(2014·郑州模拟)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 18．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析 由题意知⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案 －2 三、解答题9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.10．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎨⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·陕西师大附中模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝( )． A ．－i B ．i C ．－1 D ．1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－i )2(1＋i )(1－i ) 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝(－i)2 104＝i 2 014＝i 4×503＋2＝－1. 答案 C2．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )． A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i 解析 法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i.法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 二、填空题3．(2014·北京西城模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ，则y ＝________.解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝(1－i )22＝－i.所以y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 10＝－2. 答案 －2 三、解答题4.如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.基础回扣练——推理证明、算法、复数 (对应学生用书P389)(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2013·湖北卷)在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 z ＝2i1＋i＝1＋i ，z ＝1－i ，对应点(1，－1)在第四象限．答案 D2．(2013·辽宁卷)复数z ＝1i －1的模为( )． A.12 B.22 C. 2 D ．2 解析 z ＝1i －1＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案 B3．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )． A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i解析 由M ∩N ＝{4}知4∈M ，所以z i ＝4，z ＝－4i ，选C. 答案 C4．(2014·佛山二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( )． A ．－ 3 B.3i C ．±3i D ．±3解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1， ∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝±3. 答案 D5．(2014·青岛一模)某程序框图如图所示，若a ＝3，则该程序运行后，输出的x 值为( )．A．15 B．31 C．62 D．63解析第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.此时不满足条件，输出x＝31.答案 B6．(2014·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()．A．6 B．5 C．4 D．3解析第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.答案 C7．(2013·江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为()．A．S＝2]B.S＝2]D.S＝2]解析i＝2，S＝5；i＝3，S＜10，排除D；i＝4，S＝9；i＝5，S＜10，排除A和B，故选C.答案 C8.(2014·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为()．A．k≤6? B．k＞4?C．k＞5? D．k≤5?解析当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S ＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B.答案 B9．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()．A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案 D10．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()．A ．S2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. 答案 A 二、填空题11．(2013·重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i，则|z |＝________. 解析 z ＝5i1＋2i ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋i ，∴|z |＝ 5.答案512．(2014·茂名一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a ＝________. 解析1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i ， 由题意知：2－a5＝0，∴a ＝2. 答案 213．(2014·湖南十二校二联)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10 000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是________．解析 由已知得，输出的数据为体育锻炼时间超过20分钟的学生数6 200，故锻炼时间不超过20分钟的学生数为10 000－6 200＝3 800，由古典概型的概率计算公式可得，P ＝3 80010 000＝0.38.故所求频率是0.38. 答案 0.3814．(2014·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值为________．解析 第一次：n ＝3×5＋1＝16，k ＝1； 第二次：n ＝162＝8，k ＝2； 第三次：n ＝82＝4，k ＝3；第四次：n ＝42＝2，k ＝4； 第五次：n ＝22＝1，k ＝5， 此时满足条件，输出k ＝5. 答案 515．(2013·宝鸡二检)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×ba (a ，b 为正整数)，则a ＋b ＝________.解析 观察分数的分子规律得b ＝9，则a ＝b 2－1＝80，故a ＋b ＝89. 答案 8916．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.答案 127 三、解答题17．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立． (1)求a 2的取值范围；(2)判断数列{a n }能否为等比数列，并说明理由． 解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]． (2)数列{a n }不能为等比数列． 用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1. 因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n ≥q n .①因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞2. 因为1＋1n ≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n ，与①矛盾，故假设不成立． 18．(2013·常德模拟)设a ＞0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a. 猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N *)．(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确， 即a k ＝a(k －1)＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a(k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a ＝a (k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a.。
高中数学复数(DOC)
复 数知识回顾:一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方：4414243*i1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数．3. 复数相等如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．4. 共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-．二、复数的分类正整数有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数复数C 无理数i(,)R z a b a b =+∈纯虚数（0a =）虚数（0b ≠）非纯虚数（0a ≠）i z a b =+是实数0b z z ⇔=⇔=．i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ⇔=≠⇔+=≠．三、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．3. 复数的向量表示在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．我们也把复数i a b +看作向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．四、复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照一下规定的法则进行：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z +=+② 结合律：123123()()z z z z z z ++=++（3） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算．设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．（2） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z ⋅=⋅② 结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅③ 分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=+4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．（2） 性质① m n m n z z z+⋅= ② ()m n mn z z =③ 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数i a b +除以复数i(i 0)c d c d ++≠的商是指满足(i)(i)i c d x y a b ++=+的复数i x y +，记作i ia b c d ++． 一般通过“分母实数化”进行除法运算，即11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅．6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+，22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-，1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =． （5） 2z z z ⋅=，z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z =五、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．1的平方根是i ±．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω．12ω=-，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=．（2） 1-的立方根：111,22z z -=+=． 六、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-±∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3） 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。
高二数学选修12~第3章复数小结与复习
的思想方法
19.07.2020
专题三：复数代数形式的四则运算
例5（2013.山东高考） 复数 z (2i)2 （i是虚数单位）则 Z （ C ） i
A.25
B. 41
C.5
D. 5
解后反思：复数z=a+bi(a,b∈R)的模 zabi a2b2
故要求复数的模，关键是求复数的实部和虚部，若复
数不是代数形式，则应先通过代数运算化为代数形式
复数 z、z 所对应的点关于实轴对称
19.07.2020
要点·疑点·考点 6.复数的代数运算法 则
已知z 1两 a b(a 个 ,ib R )复 z ,2 c d 数 (c ,id R ),
则 z 1 z 2 ( a c ) ( b d ) i z 1 z 2 ( a b c) d ( b a c) id
，再利用公式求解
19.07.2020
19.07.2020
19.07.2020
作业
❖A组 B组
P55 2、3、5题 P55 2、3、5题任选两题
19.07.2020
（B ）
A.11i
B.11i
2
2
C.11i
D.11i
2
2
解后反思：在复数的四则运算中，加减法相当于“合并同
类项”，乘法相当于“多项式乘多项式”，除法采用的方
法是“分母实数化”，即分子、分母同乘分母的共轭复数
，类似于分母有理化的方法。另外，一要注意出i2现 时1用
二要注意“复数问题实数化”是解决复数问题最基本
若 a,b,c,dR,
a c
ab icd i b d
注：1) abi0a0且b0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
(最新整理)高二复数复习课件
设条件把复数整理成z= ab(ia,bR)
的形式，明确复数的实部与虚部，由实部 与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等 式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到 解决问题的目的.
2021/7/26
12
【练习1】
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2
1
13
2.复数的相等
解析：∵ (2 i)4 i8 i4 i24 8 ，i
复数的一般形式复数的分类复数相等共轭复数复数的运算复数执行能力是反映一个公司的管理水平和运作效率的重要标志加强中基层管理人员的管理能力是提升公司竞争力的重要措施
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1
复数
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2
教学目标
只管大胆发言
对错都给加分
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3
教学目标——高考要求
1.复数的概念
复 数 （1）理解复数的基本概念.
（2）理解复数相等的充要条件. （3）了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 （1）会进行复数代数形式的四则运算. （2）了解复数代数形式的加、减运算的几 何意义.
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4
教学重、难点
复 数 1.复数的有关概念、运算法则的梳
理和具体应用. 2.复数的知识结构的梳理.
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5
知识梳理——思维导图
复数的几何意义
复
数
复数
的
概
念
复数的运算
复数的一般形式 复数
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6
小试身手
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7
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第12章复数章末题型归纳总结 高考数学
又∠ ∈ , ，所以∠ = .
故答案为：
−
，
= ，
试卷讲评课件
例11.(2024 ⋅高一·江苏·专题练习)在复平面内，O是原点，向量OZ对应
的复数是−1 +
− 2
复数为_____.
π
i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的
4
【解析】如图，由题意可知 = −, ，与
经典题型六：复数的三角表示
模块三：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③
数形结合的思想
试卷讲评课件
模块一：本章知识思维导图
试卷讲评课件
模块二：典型例题
经典题型一：复数的概念
例1.(2024
z
⋅高三·河南商丘·阶段练习)若复数z满足 为纯虚数，且
2+i
z = 1，则z的虚部为(
√
2 5
A.±
若 = ，则有 = , = , ∴ = ，反之由 = ，
推不出 = ，如 = ＋, = − 时， = ，故C正确；
D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴
错.
选.
试卷讲评课件
【解析】复数 = + ，则 = +
= − + = −，
−=
又是实数，因此
，解得 = −，
= −
所以实数的值是−.
试卷讲评课件
z1
z1
(2)若 是纯虚数，求
z2
z2
+
z1 2
z2
+
z1 3
高中数学-复数的基础知识
复数基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi(a ，b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a ，b ∈R)，a 称实部记作Re(z)，b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将（a,b ）作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式;如果将(a ，b ）作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1，连接OZ,设∠xOZ=θ，|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r （cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r （cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg （z ）。
r 称为z 的模，也记作|z|,由勾股定理知｜z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式.3．共轭与模，若z=a+bi,(a,b ∈R ），则=z a —bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：(1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅;(3)2||z z z =⋅;（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5)||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =;（7)|｜z 1|—|z 2|｜≤|z 1±z 2｜≤|z 1｜+｜z 2｜；（8)|z 1+z 2|2+｜z 1—z 2｜2=2｜z 1｜2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高二文科数学必修三知识点
高二文科数学必修三知识点一、复数复数是由实部和虚部组成的数，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
1. 复数的表示复数可以表示为一对有序实数，即(a, b)，其中a为实部，b为虚部。
也可以表示为复数的代数形式a+bi。
2. 复数的运算(1) 加法：将实部和虚部分别相加。
(2) 减法：将实部和虚部分别相减。
(3) 乘法：将实部和虚部分别进行乘法运算后相加。
(4) 除法：将实部和虚部分别进行除法运算后相除。
二、函数函数是一种特殊关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
数学中常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
1. 线性函数线性函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
线性函数的图像是一条直线。
2. 二次函数二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是抛物线。
3. 指数函数指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的图像是递增或递减的曲线。
4. 对数函数对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
对数函数的图像是一条水平渐进线和一个拐点。
三、概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生规律以及数据的收集、分析和解释。
1. 概率概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的数表示。
其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
2. 随机变量随机变量是用来描述随机事件结果的变量。
分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
3. 概率分布概率分布描述了随机变量各个取值发生的概率。
常见的概率分布有均匀分布、正态分布等。
4. 统计统计是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。
常见的统计方法包括样本调查、抽样调查、数据分析等。
四、三角函数三角函数是研究三角形和周期现象中的基本数学工具。
主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
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复数辅导教案
1已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则()．
A.x＝5，s2<2
B.x＝5，s2>2
C.x>5，s2<2
D.x>5，s2>2
2以下四个命题，其中正确的是()．
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
^＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预③在线性回归方程y
^平均增加0.2个单位；
报变量y
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
A．①④B．②④C．①③D．②③
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
(2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i )
＝________. (3)已知复数z 满足i z ＋i
＝2－i ，则z ＝________. 规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
1．23(1)
i -等于（ ） A.32
i B.3
2i - C.i D.i -
2．复数z 满足()()25z i i --=，则z =（ ）
A.22i --
B.22i -+
C.22i -
D.22i +
3．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（ ）
A ．3-
B ．1
C ．1-
D ．3
5．在复平面内，复数2i i
-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
6．复数等于
A. B ． C. D.
7．复数z 满足()1i 2i Z +=，则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．把复数z 的共轭复数记为z ,已知i z i 34)21(+=+,则z 等于( )
A ．i 21+
B ．i 21-
C ．i -2
D ．i +2
z i z i +=-3)21(z 37-i 37-57i 5
7(1)i i -1i +1i -+1i --1i -
9．2014
52i i
=-( ) A.2i -+ B.2i -- C.12i -- D. 12i -+
10．复数(1)z i i =-+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A ．1i +
B ．1i - C.1i -+ D ．1i --
11．已知i 为虚数单位，则＝（ ）
A ．
B ．
C . D.
12．复数11z i =+ 的模为（ ）
A.1
B.2
C.2
D.3
13．在复平面内，复数31i z i
-=+（i 为虚数单位）等于( ) A ．12i + B ．12i - C ．13i + D ．13i --
14．已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ___________．
15．若复数2
13i z =+，其中i 是虚数单位，则||z = _________ ．
1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
3．要记住一些常用的结果，如i ，－12＋32i 的有关性质等，可简化运算
步骤提高运算速度．
1．把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若2z i =+，则
2+)z z ⋅=（i
1i +1i
2-1i
2+1i
2--1i
2-+z z i。