指派问题_匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
指派问题的匈牙利法
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线， 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的0元素，为此转第四步。
√
l =m=4 < n=5
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 ◎0 2 3 0Ø 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
0Ø ◎0 3 0Ø 3 1 6 0◎ 2 Ø0 3 2 0Ø 0◎ 3 2 Ø0 2 3 ◎0 ◎0 4 4 0Ø 6
28
此问题有多个最优解
0◎ 0Ø 3 0Ø 3 1 6 0Ø 2 ◎0 3 2 0◎ 0Ø 3 2 ◎0 2 3 0Ø 0Ø 4 4 0◎ 6
Ø0 0Ø 3 ◎0 3 1 6 0Ø 2 ◎0 3 2 0◎ 0Ø 3 2 ◎0 2 3 0Ø 0◎ 4 4 0Ø 6
15 14 6 6 10
4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2
2
3
0
0
指派问题的匈牙利算法
摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。
然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。
指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。
这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。
在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。
在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。
通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。
与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。
最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。
关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型AbstractIn business, the company's operations and management, managers always want the best distribution of the staff to maximize their efficiency, reduce costs and improve efficiency. However, if there is no scientific method is difficult to achieve optimal management, which we introduced the assignment problem. Multi-assignment problem is to get the project working hours at least, and in many cases people do not care about how much the total project work, but only care about whether the project can be completed within the shortest possible time, that lasted for at least the assignment problem. Such problems is the n individual execution of tasks n, the number of people to perform each task and assign the total number of items are restricted to two people, requiring the optimal assignment. Integer programming in operations research for solving the assignment problem is usually solved by Hungarian algorithm, but the assignment problem can be reduced to a 0-1 integer programming problem, this paper first to make a statement on the assignment problem, leads to the solution of practical problems. Assignment problem in the background to fully understand the problem description, the first assignment problem using Hungarian algorithm, and then a 0-1 integer programming model and compiler using matlab and the lingo of the problem to be compiled using the software solution model problem Ultimately in the assignment of the application in practical problems. By using the Hungarian algorithm and the 0-1 integer programming to solve assignment problems simultaneously, we found that 0-1 integer programming method to solve a more simple and easier to read and understand the program. At the same time, we also 0-1 integer programming problem in-depth study by the integer data to a decimal data. Finally, an example to illustrate the use of matlab, lingo compiler to solve the integer programming problem is simple and effective.Keywords:assignment problem; Hungarian algorithm; 0-1 integer programming;matlab model; lingo model目录1. 问题陈述 (1)2. 指派问题的背景 (1)3. 指派问题的描述 (1)3.1 指派问题的一般形式 (1)3.2 问题的数学模型一般形式 (2)3.3 目标函数极大化的指派问题 (2)4．指派问题实现 (3)4.1 匈牙利算法 (3)4.1.1 匈牙利算法的理论基础 (3)4.1.2 匈牙利算法的实现步骤 (3)4.1.3 匈牙利算法实现指派问题 (4)4.2 0-1整数规划 (5)4.2.1 模型假设 (6)4.2.2 模型建立 (6)4.2.3 模型求解 (7)5. 问题的深入（0-1整数规划） (10)5.1 模型建立 (10)5.2 模型求解 (11)5.2.1 用matlab求解问题 (11)5.2.2 用lingo求解问题 (12)6. 结论 (14)6.1 总结概论 (14)6.2 具体分工.................................. 错误！未定义书签。
匈牙利法求解指派问题
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 000 Ø 8350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。
在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表
示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。
问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。
算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。
具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。
2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。
如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。
3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。
增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。
4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的
非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。
5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。
匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。
该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。
总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。
通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。
求解指派问题的匈牙利算法.doc
3.2 求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。
算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。
若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。
由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。
下面通过一例子来说明该算法。
例7 求解指派问题，其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。
有时问题会稍复杂一些。
例8 求解系数矩阵C 的指派问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下∨∨∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----- 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。
指派问题的匈牙利法
4 0 2 3
5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
4 0 2 3
5 4 0 1 0 4 0 4 3 7 1 0
第二步，试指派： 第二步，试指派：
－5
举例说明 1）表上作业法 2）匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示， 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
任务1 工人1 工人2 工人3 工人4 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
任务4 7 8 11 9
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、 例二、 有一份中文说明书，需译成英、 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
文字，分别记作A、 、 、 。现有甲、 文字，分别记作 、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四 人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
Байду номын сангаас
减去最小元素
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
√
调整可行解
7 4 0 11 0
0 2 0 3 0 0 8 3 5 8 0 0 4 1 4
2 0 0 10 3
指派问题与匈牙利算法
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
7 0 C ′＝ 8 4
0 19 2 8 17 0 7 11 0 0 10 2
0 9 2 8 7 0 7 1 0 0 0 2
1 1 最优解： 最优解： X＝ 1 1
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。 总分为： ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ 总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2011年5月9日星期一 Page 6 of 12
用匈牙利法求解：
10 3 22 0 8 17 C ′＝ 13 12 16 9 5 15 7 0 C ′＝ 8 4
5 0 5 7
则 与
′ m w = ∑∑cij xij in
i j
m z = ∑∑cij xij ax
i j
的最优解相同。
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2011年5月9日星期一 Page 5 of 12
【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 例 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
2011年5月9日星期一 Page 4 of 12
求最大值的指派问题 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0 设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值 将其变换为求最小值 令
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mm
min f ( x) aij xij
i1 j1
m
xij
1
i 1,2, ,m
imj11xij 1 j 1,2, , m
xij 0,1
7
任务分配问题的数学模型
模型中：xij 为第 i 个工人分配去做第 j 项任务； aij 为第 i 个工人为完成第 j 项任务时的工时消耗； {aij}mm 称为效率矩阵
• 整数规划的最优解不会优于其松弛问题的最优解
n
max(min) f (x) c j x j
j 1
s.t.
n
aij
j 1
x
j
(,)bi ,
i 1,2, ,m
x j 0 且为整数 , j 1,2, ,n
2
4.2 整数规划的分枝定解法
4.2.1 思路与解题步骤
• 只解松弛问题
1、在全部可行性域上解松弛问题
2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标
记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该列有二个以上未标记的
零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；
逐
逐
行 检
3
x1, x2 0 且为整数
2x1 4x2 13
问题II
2x1 x2 7 x1 3
x1, x2 0 且为整数
5
表4.2.3 分枝问题的松弛解
问题 I
x1
2
x2
9/4
f(x)
21
问题 II 3 1 22
问题II的解即原整数问题的最优解
可能存在两个分枝都是非整数解的情况，则需要两边同时继续 分枝，直到有整数解出现，就可以进行定界过程 当有很多变量有整数约束时，分枝即广又深，在最坏情况下相 当于组合所有可能的整数解 一般整数规划问题属于一类未解决的难题，NP-complete，只有 少数特殊问题有好的算法，如任务分配问题、匹配问题
1 当第i个工人分配去做第j项任务 xij 0 当第i个工人未分配去做第j项任务
i, j 1,2, , m
运输问题是任务分配问题的松弛问题 任务分配问题不但是整数规划，而且是01规划
任务分配问题有2m个约束条件，但有且只有m个非零解， 是自然高度退化的 任务分配是两部图的匹配问题，有著名的匈牙利算法
– 行变换：找出每行最小元素，从该行各元素中减去之 – 列变换：找出每列最小元素，从该列各元素中减去之
10 9 (7) 8 行 3 2 0 (1) 列 3 2 0 0
变
变
(5) 8
5 (2)
(4) 3
7 6 4
7 5
换
0 1 0
3 0 1
2 2 2
2 1 3
换
函数优于问题 1 枝)，其整数解为界，
对问题 2 继续分枝
情况 2, 4, 5 找到最优解 情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 问题 1 的整数解作为界被保留，用于以后与问题 2 的后 续分枝所得到的整数解进行比较，结论如情况 4
4
4.2.2 分枝定界法举例
例4.1.1 max f ( x) 6x1 4x2
证明：略
清华算法的基本思路：
• 根据定理 1 变换效率矩阵，使矩阵中有足够多的零。若 矩阵中存在 m 个不同行不同列的零，就找到了最优解
• 若覆盖变换后的效率矩阵零元素的直线少于m 条，就尚 未找到最优解，设法进一步变换矩阵，增加新的零
9
清华算法的步骤：例4.6.1
第一步：变换效率矩阵，使每行每列至少有一个零
0 1 0
3 0 1
2 2 2
1
0 2
第二步：检查覆盖所有零元素的直线是否为m条
划线规则
1、逐行检查，若该行只有一个未标记的零，对其加( )标记，将 ( )标记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该行有二个以上 未标记的零，暂不标记，转下一行检查，直到所有行检查完；
10
清华算法的步骤：例4.6.1
2x1 4x2 13
2x1 x2 7
x1, x2 0 且为整数
解：松弛问题的最优解为 x1=2.5, x2=2, OBJ=23 由 x1=2.5 得到两个分枝如下：
max f ( x) 6x1 4x2
max f ( x) 6x1 4x2
2x1 4x2 13
问题I
2x1 x2 7 x1 2
下面介绍一种适合手算的算法(出自清华教科书) 8
4.6.1 清华算法
定理 1 如果从效率矩阵{aij}mm中每行元素分别减去一个常数 ui， 从每列元素分别减去一个常数 vj ，所得新的效率矩阵{bij}mm 的任务分配问题的最优解等价于原问题的最优解。
证明：略
定理 2 若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖方 阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、不同列的零 元素的最多个数。
6
4.6 任务分配问题
例4.6.1 有四个熟练工人，他们都是多面手，有四项任务要他 们完成。若规定每人必须完成且只完成一项任务，而每人 完成每项任务的工时耗费如表4.6.1，问如何分配任务使完 成四项任务的总工时耗费最少？
任务
工时 A B C D 人员 人员
甲 10 9 7 8 1 乙 5877 1 丙 5465 1 丁 2345 1 任务 1 1 1 1
– 若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的 最优解
2、分枝过程
– 若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整数部分
– 构造两个新的约束条件 xk bk 和 xk bk +1，分 别加于原松弛问题，形成两个新的整数规划
3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程
– 设两个分枝的松弛问题分别为问题 1 和问题 2 ，它
©管理与人文学院 忻展红
1999，4
第四章 整数规划
整数规划的难度远大于一般线性规划
4.1 整数规划简介
• 要求所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划 • 要求部分 xj 的解为整数，称为混合整数规划 • 对应没有整数解要求的线性规划称之为松弛问题
• 整数规划的解是可数个的，最优解不一定发生在极点
们的最优解有如下情况
3
表4.2.1 分枝问题解可能出现的情况
序号
问题 1
问题 2
说明
1
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
2
无可行解
整数解
此整数解即最优解
3
无可行解
非整数解
对问题 2 继续分枝
4
整数解
整数解
较优的一个为最优解
5 整数解，目标函 非整数解
问题 1 的解即最优解
数优于问题 2
6
整数解
非整数解，目标 问 题 1 停 止 分 枝 (剪