概率论精彩试题和问题详解
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案概率论与数理统计是数学领域中的一个重要分支，它在科学研究、工程技术、经济管理等多个领域都有着广泛的应用。
以下是一套概率论与数理统计的试题及答案，供学习者参考。
一、选择题1. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，下列哪个选项是正确的？A. X的均值是σB. X的中位数是μC. X的众数是σD. X的方差是μ答案：B2. 某事件的概率P(A)为0.3，其补事件的概率P(A')是多少？A. 0.7B. 1.0C. 0.3D. 不能确定答案：A二、填空题1. 假设随机变量X和Y的协方差是-2，X的方差是4，Y的方差是9，那么X和Y的相关系数ρ(X,Y)等于______。
答案：-1/32. 某随机试验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，那么P(A∪B)等于______。
答案：0.7三、简答题1. 什么是大数定律？请简述其主要内容。
答案：大数定律是概率论中的一个重要概念，它描述了随着试验次数的增加，随机变量的样本均值会越来越接近其期望值。
具体来说，如果随机变量X1, X2, ..., Xn是独立同分布的，那么随着n的增大，样本均值(ΣXi/n)趋于X的期望值E(X)。
2. 什么是中心极限定理？它在实际应用中有何意义？答案：中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它指出在一定条件下，大量相互独立的随机变量之和经过标准化后趋近于正态分布，无论这些随机变量本身是否服从正态分布。
这一定理在统计推断、质量控制、风险管理等领域有着重要的应用价值。
四、计算题1. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=3)。
答案：P(X=3) = e^(-λ) * λ^3 / 3!2. 某工厂生产的零件长度服从均值为50，标准差为2的正态分布。
求长度在48到52之间的零件所占的比例。
答案：使用标准正态分布表或计算器，求Z分数为(48-50)/2和(52-50)/2的正态分布累积分布函数，然后求差值。
大学概率论试题及答案
大学概率论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0,1)，则P(X>1)为：A. 0.8413B. 0.1587C. 0.3446D. 0.5000答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，观察正面朝上的次数，该随机试验的样本空间Ω为：A. {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)}B. {0, 1}C. {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,0), (0,2)}D. {正面, 反面}答案：A3. 以下哪个事件是不可能事件？A. 连续抛掷一枚均匀硬币5次，至少出现一次正面B. 连续抛掷一枚均匀硬币5次，全部出现正面C. 连续抛掷一枚均匀硬币5次，全部出现反面D. 连续抛掷一枚均匀硬币5次，每次都是正面答案：D4. 设随机变量X服从泊松分布，参数为λ=2，则P(X=1)为：A. 0.2707B. 0.1353C. 0.5000D. 0.0707答案：B5. 以下哪个是二项分布的概率公式？A. P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)B. P(X=k) = C(n,k) * p^n * (1-p)^kC. P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^nD. P(X=k) = C(n,k) * p^(n-k) * (1-p)^k答案：A6. 随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布，那么Z=X+Y的分布为：A. 标准正态分布B. 平均值为0，方差为2的正态分布C. 平均值为0，方差为1的正态分布D. 平均值为2，方差为1的正态分布答案：B7. 设随机变量X服从指数分布，参数为λ=1，则P(X>2)为：A. 0.1353B. 0.2707C. 0.5000D. 0.7500答案：A8. 以下哪个是随机变量的期望值的定义？A. E(X) = ∑x * P(X=x)B. E(X) = ∑x * P(X≠x)C. E(X) = ∑x * P(X=x)，对于离散型随机变量D. E(X) = ∫x * f(x) dx，对于连续型随机变量9. 假设随机变量X服从二项分布，n=10，p=0.5，那么P(X≥6)为：A. 0.246B. 0.754C. 0.500D. 0.246答案：B10. 设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则Z=X+Y 的分布为：A. N(0,2)B. N(0,1)C. N(1,0)D. N(2,0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果随机变量X服从二项分布，参数为n=5，p=0.3，则P(X=3)为______。
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3解： 即 所以9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案： 解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得 1=λ，故3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ=41e -=-. 5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：解答： 似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为$1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）答案：（D ）. 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量X ()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1-ΦB ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-ΦD ）12(2)-Φ. （ ） 答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α====== ∴29α=， 19β=故应选（A ）.2,,n X X L 为来自X 的样本，则下列结论中 1（B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ） 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为即01232754368125125125125XPX 的分布函数为231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z =01z ≤≤时 00()222zzZ f z dx xz ===⎰ 故Z 的概率密度为六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.（1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰；22818x y edxdy π+-+∞-∞-∞=⎰⎰22882r r edr dr --+∞+∞-∞==⎰⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显着性水平为0.05）. （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t === 解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22(1)n αχχ≥-. 221515 1.6240.1S χ==⨯=，20.05(15)24.996χ= 因为 220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H . 《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：共 8页第8页。
概率论与数理统计试题(含答案)
概率论与数理统计期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷 闭卷A/B 卷A 课程编号2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。
2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。
4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论试题及标准答案
试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
(A) 取到2只红球(B)取到1只白球(C)没有取到白球(D)至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的实验, “出现正面”称为（）。
(A)随机事件(B)必然事件(C)不可能事件(D)样本空间3. 设A、B为随机事件，则（）。
(A) A (B) B(C) AB(D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
(A) 与互斥(B)与不互斥(C)(D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C)(D)6. 设相互独立，则（）。
(A) (B)(C)(D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。
(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D)0.78. 进行一系列独立的实验，每次实验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。
自考_概率论与数理统计(经管类)__真题及答案详解分析
1【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B.[快解] 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.2.【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择C。
【提示】分布函数的性质：① 0≤F（x）≤1；② 对任意x1，x2（x1<x2），都有P{x1<X≤x2}=F（x2）-F（x1）；③ F（x）是单调非减函数；④ ，；⑤ F（x）右连续；⑥ 设x为f（x）的连续点，则F‘（x）存在，且F’（x）=f（x）.3【答案】D【解析】由课本p68，定义3－6：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S>0. 如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为，则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布.本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=π，故选择D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。
若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）～.4.【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即λ=2，所以；又根据数学期望的性质有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择A.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：A. 两点分布① 分布列② 数学期望：E（X）=P③ 方差：D（X）=pq。
概率论权威试题及其答案详细解析
概率论与数理统计试题 A 卷 2007-2008学年 第二学期 2008.06一、填空题（每空3分，共18分）1. 事件A 发生的概率为0.3，事件B 发生的概率为0.6，事件A ，B 至少有一个发生的概率为0.9，则事件A ，B 同时发生的概率为____________2. 设随机向量（X ，Y ）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为,45,41,1,21cc c c 取其余数组的概率均为0，则c =__________3. 设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于y 的方程012=+-Xy y 无实根的概率为_______________. 4. 若)1,0(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______________5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,0,10,)1();(x x x f θθθ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，则待估参数）（-1>θθ的最大似然估计量为_____________. 6. 当2σ已知，正态总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为（样本容量为n ）___________二、选择题（每题3分，共18分）1. 对任意事件A 与B ，下列成立的是-------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0)((),()|(≠=B P A P B A P （B ）)()()(B P A P B A P += （C ）)0)((),|()()(≠=A P A B P A P AB P （D ）)()()(B P A P AB P =2. 设随机变量X ),(~p n B 且期望和方差分别为48.0)(,4.2)(==X D X E ，则----（ ）(A) 3.0,8==p n (B) 4.0,6==p n (C) 4.0,3==p n （D ） 8.0,3==p n 3. 设随机变量X 的分布函数为F X （x ），则24+=X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( ) (A) 1()22X F y + (B) 1(2)2X F y +(C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y -4. 若随机变量X 和Y 的相关系数0=XY ρ，则下列错误的是---------------------------------（ ）)1(~-n t S X (A) Y X ,必相互独立 (B) 必有)()()(Y E X E XY E = (C) Y X ,必不相关 （D ） 必有)()()(Y D X D Y X D +=+5. 总体)1,0(~N X ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------（ ）(A) ),0(~n N X n (B) (C) （D ）6. 设随机变量)2,1( =k X k 相互独立,具有同一分布, ,0=k EX ,2σ=K DX ,2,1=k ，则当n 很大时，1nkk X=∑的近似分布是--------------------------------------------------------（ ） (A) 2(0,)N n σ (B) 2(0,)N σ (C) 2(0,/)N n σ(D) 22(0,/)N n σ三、解答题（共64分）1. （本题10分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。
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试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（ ）。 (A) 取到2只红球 (B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。 (A) 随机事件 (B) 必然事件 (C) 不可能事件 (D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（ ）。 (A) A (B) B (C) AB (D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。 (A) 与互斥 (B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（ ）。 (A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则（ ）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7
8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。 (A) p2(1– p)3 (B) 4 p (1– p)3 (C) 5 p 2(1– p)3 (D) 4 p 2(1– p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1 (C) P (A) + P (B) – P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤ P (C) 三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。 求取到的两个球颜色不同的概率。
2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。 求能打开门的概率。
3. 一间宿舍住有6位同学， 求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。 4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个， 求至少取到一个次品的概率。
5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。 求该种零件的次品率。
6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。 求该产品的一级品率。
7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收， 求其中确实没有次品的概率。
8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验， 求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题（共6分） 设， 。证明
试卷一 参考答案
一、填空 1. 或 2. 出现的点数恰为5 3. 与互斥 则 4. 0.6
故 5. 至少发生一个，即为 又由 得
故
二、单项选择 1． 2. A 3. A
利用集合的运算性质可得.
4． 与互斥 故 5．
故 6． 相互独立
7. 且 则
8. 9. B 10. B
故 P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1 三、计算与应用题 1. 解： 设 表示“取到的两球颜色不同”，则 而样本点总数 故 2. 解： 设 表示“能把门锁打开”，则，而 故 3. 解： 设 表示“有4个人的生日在同一月份”，则 而样本点总数为 故 4. 解： 设 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品” 则 包含的样本点数为。而样本点总数为 故 5. 解： 设 “任取一个零件为次品” 由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格， 则 于是 6. 解： 设 表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品” 显然，则
于是 即 该产品的一级品率为 7. 解： 设 “箱中有件次品”，由题设，有， 又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
于是
8. 解： 依题意，该厂产品的合格率为， 于是，次品率为 设 表示“有放回取5件，最多取到一件次品” 则
四、证明题 证明 ， ， 由概率的性质知 则
又 且
故
试卷二 一、填空（每小题2分，共10分） 1. 若随机变量 的概率分布为 ，，则__________。 2. 设随机变量 ，且 ，则__________。 3. 设随机变量 ,则 __________。 4. 设随机变量 ，则 __________。 5. 若随机变量的概率分布为
则 __________。 二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。每小题2分，共20分) 1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。 (A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。 (A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。 (A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。 (A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（ ）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设服从二项分布，则（ ）。 (A) (B) (C) (D) 7. 设，则（ ）。 (A) (B) (C) (D) 8．设随机变量的分布密度为 , 则（ ）。 (A) 2 (B) 1 (C) 1/2 (D) 4 9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ）。 (A) 二项分布 (B) 指数分布 (C) 正态分布 (D) 泊松分布 10．设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。 (A) 9 (B) 6
(C) 4 (D) -3
三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 盒有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。 求抽取次数的概率分布。
2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时有12分钟需用小吊车。 求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？ （2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为 求（1）常数； （2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。 求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率； （2），使电池寿命在的概率不小于0.9。
5. 设随机变量。 求 概率密度。
6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。 求 。
7. 设随机变量的概率密度为。 求 和。
8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红 或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。 求（1）的概率分布； （2）。
四、证明题（共6分） 设随机变量服从参数为2的指数分布。 证明：在区间上，服从均匀分布。
试卷二 参考答案 一、填空 1. 6 由概率分布的性质有 即 ， 得 。 2. ，则
3. 0.5
4. 5. 0.25 由题设，可设
即 0 1 0.5 0.5 则
二、单项选择 1. () 由分布函数的性质，知 则 ，经验证只有满足，选 2. () 由概率密度的性质，有 3. () 由概率密度的性质，有 4. ()