如何培养学生在解不等式问题中的应变能力和研究对策

如何培养学生在解不等式问题中的应变能力和研究对策 湖南耒阳一中 谢正炎 徐松洋
不等式既是中学数学的一个重要内容，又是学好其它数学内容必须
掌握的一门工具，在高考中有很大比例。

所以，学好不等式是非常必要的。

但在做题当中，学生常因忽略不等式成立的条件而出现一些错误。

针对这种情况，教师若能培养学生思维的批判性。

一、 不等式性质应用中的易错题对策与研究
例1：已知(0)a b b >≠，则a
b
与1的大小关系为 。

误解：a b >，1a
b
∴>
分析与对策：由1a
a b b
>⇒>，是在a b >两边除以b 而得，但
未知0b >，所以应分为0b >与0b <两种情况。

正解：当0b >时，1a
a b b
>⇒
> 当0b <时，1a
a b b
>⇒<
例2：若022αβπ<-<，22
π
αβπ-
<-<，则α
β
+的取
值范围是 。

误解：
(2)(2)αβαβαβ+=---
2
π
αβπ∴
<+< 分析与对策：已知两个不等式是同向不等式，不能相减。

故结论是错误的。

可化为同向不等式，再相加。

正解：22
π
αβπ
-
<-<，22
π
π
βα∴-<-<
又02αβπ
<-<
3
2
παβπ∴-<+<
例3：下列命题正确的是（ ） A ．22
a
b a
c bc
>⇒>
B ．,0c c
a b c b a
<>⇒>
C ．22
,()()a b c d a b c d >>⇒->-
D ．0,0a b
a b c d d c
>>>>⇒
> 误解一：选A 误解二：选B 误解三：选C
分析与对策：选A 虽然注意到2
0c >，但忽视了0c =的情况；
选B 虽然注意到0c >且11b a <时有c c
b a
<，但由a b <无法推出
11
b a
<；选C 虽有a c b d +>+，即a b d c ->-，但只有0a b d c ->->时，才有22()()a b c d ->-，这里0a b ->，
0c d ->不能成立。

运用不等式性质解题，必须准确掌握这些性
质成立的前提。

正解：选D
二、 应用重要不等式求最值中的易错题对策与研究
例4：求函数1
y x x
=+的值域(0)x ≠。

误解：
12y x x =+≥=
所以1
y x x
=+(0)x ≠的值域为[2,)+∞。

分析与对策：
忽略重要不等式2
a b
+≥成立的条件：0a >，0b >。

正解：当0x >
时，12y x x =+
≥= 当且仅当1
x x
=
即1x =时取等号。

当0x <
时，11()2y x x x
x
=+=---≤-=-，
当且仅当1
x x
-=-即1x =-时取等号
所以1
y x x
=+(0)x ≠的值域为(,2][2,)-∞-⋃+∞。

例5：已知0a >，0b >，且a 、
b 为常数，x 、y 为正数，1a
b x y
+=，求x y +
的最小值。

误解：
1a b x y =+
≥⇒≥
x y ∴+≥≥
x y +
的最小值为
分析与对策：两次用基本不等式，但两次等号成立的条件不尽相
同，取等号的条件是，取等号的条件是x y =；
因此，x y +=成立必须a b
x y =且x y =，即x y =且a b =，而题中没有这个条
件，因此需另辟蹊径。

正解：
()()a b
x y x y x y
+=++
2
y x a b a b a b x y
+++≥++=+
当且仅当y x a b x y =
即y x =时取等号， 所以x y +
的最小值为2。

例6：
求2)y x R =∈的最小值
误解：22
2y x
=
=≥
y 的最小值为2。

分析与对策：等号不能成立。

因为当且仅当=
即
21
x =-时取等号，而2
1x =-在x R ∈时无解。

正解：
令(t t =≥
1
(y t
t t
∴=+≥
因为当[1,)t ∈+∞时为增函数（证明略）
所以t =即0x =时，y 2=。

例7：已知0a >，0b >，2
1a b =，求a b +的最小值。

误解：
0a >，0b >
a b ∴+≥a
b =时取等号
由21
a b a b =⎧⎨=⎩得 1a =，1b =
a b ∴+的最小值为2
分析与对策：上述解法错误在于忽略a b ⋅应为定值的条件。

欲求和的最小值，应构造积为定值。

正解：
0,0a b >>
22a a a b b ∴+=
++≥当且仅当2a b =
即a =
2
b =时取等号
三、 解不等式中的易错题对策与研究
例8：解不等式
2x --> 误解：将原解不等式两边平方，得22
4416x x x ++>-
解得5x >-
分析与对策：一是漏掉了2
160x -≥这个条件，二是没有考虑内含条
件20x -->的限制。

正解：原不等式等价于222160204416x x x x x ⎧-≥⎪
-->⎨⎪++>-⎩
解得4425x x x x ≤-≥⎧⎪
<-⎨⎪>-⎩
或
所以原不等式的解集为{}/54x x -<≤-
例9：解不等式2lg lg2lg 52
10103log 20x x +--< 误解：原不等式可化为2
lg lg25210103log 20x x --<
即2
2150x x --<
所以原不等式的解集为{}/35x x -<<
分析与对策：错误在于解答过程中忽视了lg x 中的x 应该大于零，所以得出了错误答案。

正解：原不等式可化为20
2150x x x >⎧⎨--<⎩
解得05x <<
所以原不等式的解集为{}/05x x <<
例10：解不等式 2
112
2
log (215)log 13x x x -->+（）
误解：
1
12
< 12
log x ∴为减函数
所以原不等式可化为
221513x x x --<+ 即(4)(7)0x x +-<
所以原不等式的解集为{}/47x x -<<
分析与对策：错误在于忽略了对数的真数必须大于零的条件，
即2
2150x x -->，130x +>，因此，发生了解答错误。

正解：原不等式等价于
22215013021513x x x x x x ⎧-->⎪
+>⎨⎪--<+⎩
解得351347x x x x <->⎧⎪
>-⎨⎪-<<⎩
或
437x x ∴-<<-<或5<
所以原不等式的解集为{}/437x x x -<<-<或5< 例11：
31-> 误解：
原不等式可化为以下两个不等式组
3203031x -≥⎧-≥-> 和
32030
3)1
x -≥⎧-<⎪-->⎩
即231136x x x ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩ （1） 和 231132x x x ⎧≥⎪⎪
⎪<⎨⎪<⎪⎪⎩
（2） 由（1）得6x >，由（2）得2
23
x ≤<
所以原不等式的解集为空集。

分析与对策：错误在于没有弄清楚不等式的解集应该是交集还是并集，所以给出了错误的结论。

正解：因为在解答的开始所给出的两个不等式组与原不等式是等
价的，最后求得的应是（1）、（2）的并集，所以正确解答是从上
述解答到“由（1）得6x >，由（2）得2
23x ≤<”
所以原不等式的解集为
2/623x x x ⎧⎫
>≤<⎨⎬⎩⎭
或。