最新2018年长宁区高考数学二模含答案
2018年上海市长宁区初三二模数学试卷
长宁区2017学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）2018.4考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数21y x =-的图像不经过（ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ）（A ） 236a a a +=； （B ）824x x x ÷=； （C ） 12a； （D ）2361()a a --=-．3 ）（A （B ； （C ； （D 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ）（A ） 若AB=CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC=∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若AO CO OBOD=，则四边形ABCD 一定是矩形；（D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：0sin30(3)︒--= ． 8．方程x -的解是 ． 9． 不等式组303(1)12x x -+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩的解集是 ．10．已知反比例函数ky x=的图像经过点()2017,2018-，当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x的方程20x m -=有两个相等的实数根，则m 的值是 ．12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取 一张，抽到中心对称图形的概率是 ． 13．抛物线225y mx mx =++的对称轴是直线 ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC 的度数为 ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC=CD=4，52=AD ，若AD a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，用a r 、b r 表示DB =u u u r．17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高 三角形，且斜边5AB =，则它的周长等于 ．18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ．第18题图DCBA 第16题图DCBADCBAFE 第15题图 第14题图（注：每组内只含最小值，不含最大值）通话时间（分）三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：22213431121x x x x x x x +++-÷+--+，其中x ．20．（本题满分10分）解方程组：22560 2 1 x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点D 在BA 的延长线上，BC=24， 5sin 13ABC ∠=． （1）求AB 的长；（2）若AD=6.5，求DCB ∠的余切值．第21题图DCBA22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AD BFBE AG=． （1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG=GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．第23题图GFEDCBA第22题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点()1,0B -、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．备用图第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC x =，ACOOBDS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．图1 OABOAB CDDCB AO 图2图3第25题图长宁区参考答案和评分建议一. 选择题1. B2. D3. C4. A5. D6. C 二. 填空题7. 12- 8. 2x =- 9. 3x > 10. 增大 11. 34- 12. 35 13. 1x =- 14. 0.7 15. 140°16. 2b a -+r r17. 5+5+18.三. 解答题19. 解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20． 解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分）把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分） 整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分） 分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分） 设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分）∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分） 代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GF BE AD = ∴AGGF BG DG = （1分）∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24. 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分）②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25. 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ， 过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ， 过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷
一元二次方程的根的分布与系数的关系
中点坐标公式
【解析】
（I）根据导数的几何意义求出切线方程；
根据直线方程分别求出 ， 的纵坐标，得出 的值．
【解答】
解： 由 可得 ，直线 的斜率 ，
所以直线 的方程 ，
即 .
由题意得，点 的纵坐标 ，所以 中点坐标为 ，
设 ， ，直线 的方程为 ，
∴ ．
证明：令 得 ，
设 ，
则函数 在 上单调递减，且 ， ，
所以存在 ，使 ，即 ，
所以 ，
所以 ，且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以 ．
如图，过抛物线 上一点 （点 不与原点 重合）作抛物线 的切线 交 轴于点 ，点 是抛物线 上异于点 的点，设 为 的重心（三条中线的交点），直线 交 轴于点 ．
2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知集合 ， ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据集合交集的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵ ， ，
∴ .
故选 .
2.设 ，若 （ 是虚数单位），则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
∴ ,
∵ ， ，
∴函数 的最小正周期是 ，最大值是 .
因为 ，
令 ，
求得 ，
所以单调递减区间为 ．
如图，在等腰三角形 中， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上一点，且 ，沿直线 将 翻折至 ，使 ．
证明：平面 平面 ；
2018届高考模拟试卷二参考答案 .doc
2018届高考模拟试卷二参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 0 . 由{}0,1A B ⋂=,可得21x =，所以，0x =2. 1. 法一：由()(1i)1i (1)(1)i z a a a =+-=++-，所以z =222(1)(1)2a a ++-=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==法二：由(1i)1i 2z a =+-=，所以212a +=，所以21a =，即1a =±， 所以20162016()()1ai i ==.3. 45-. 因为tan 2=α，所以，22220162sin cos 2tan 4sin(2)sin 23sin cos 1tan 5παααααααα-=-=-=-=-++. 4. 600. 设高二女生人数为x 人，所以，0.192000x=，即380x =，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600人。
5.()1,3-. 根据偶函数的性质，可得2323x x -<-<，从而可得13x -<<，从而不等式的解集为()1,3-.6. 6. 根据算法流程图， 2112(13)12(1333)6(31)201713k k k s --=++++==-≥-，所以6k =故输出结果为6. 7.34. 所有基本事件共12个：(2,1)--，(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，(1,2)-， (0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2). 其中，b a A B -∈的事件共有9个，分别为(2,1)--，(2,0)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2).所以，概率93()124P E ==. 8.1008. 显然数列{}n a 中通项0n a ≠，由1111n n n n n n a a a a a a --++-=-可得，1111n n n n n n n n a a a aa a a a -+-+⋅⋅=-- 两边取倒数可得：111111n n n n a a a a -+-=-,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,首项1112a =,公差d =11122-=， 所以()1111222n nn a =+-=,即2n a n =，所以，由20172n a a =可得2222016n =⨯，所以1008n =. 9. 73π.()sin 2sin()3f x x x a x a π=-=+-，函数在区间[]0,2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a =令sin()3x π+=，所以233x k πππ+=+或者233x k ππππ+=+-，所以2x k π=或者23x k ππ=+，所以10x =，23x π=，32x π=，即12373x x x π++=.10.22143x y +=.依题意知()21,0F ，设()11,M x y ，由椭圆的定义可得253MF =，由抛物线定义得21513MF x =+=，即123x =，将123x =代入抛物线方程得1y =，进而由2222231a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=及221a b -=，解得224,3a b ==，故椭圆1C 的方程为22143x y +=.11.102m -≤<.法一：由题意得：当0m ≥时，函数2()222f x x mx =+-的对称轴02m -≤，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞没有零点.所以，0m ≥不符合 题意．当0m <时，函数2()221f x x mx =+-的对称轴02m->，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1 上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞至多有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点， 则要求012221020m m m ⎧<-≤⎪⎪+-≥⎨⎪+>⎪⎩，解之可得102m -≤<.综上：102m -≤<法二：由题意得：x ＝0不是函数f (x )的零点.当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得12m x x=-，此时函数12y x x =-在(]0,1上单调递减，从而1122y x x =-≥-，所以，当m ≥－12时，f (x )在(]0,1上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得2m x =-，此时函数2y x=-在()1,+∞上单调递增，从而()22,0y x=-∈-，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在()1,+∞上有且只有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点，则要求1220m m ⎧≥-⎪⎨⎪-<<⎩，解之可得102m -≤<.综上，102m -≤<.12.32.令2,2(0,0)x y m x y n m n +=+=>>，则问题转化为6,m n +≤求41m n+的最小值，而41()()9m n m n ++≥，即41932m n m n +≥≥+故知最小值为32.13.5.以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设BM CN BCCD==λ（0≤λ≤1），所以，BM λ=，2CN λ=，所以，(2)2M λ+，)23,225(λ-N ，所以，2535444AM AN λλλλ⋅=-+-+2225(1)6λλλ=--+=-++，因为[01]λ∈，，所以，[25]AM AN ⋅∈，，所以AM AN ⋅的取值范围是]52[，，即最大值为5.14.1a ≥.仅考虑函数()f x在0x >时的情况，可知3312()12x x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩，，≥函数()f x 在2x =时，取得极大值16．令31216x x -=，解得，4x =．作出函数的图象（如右图所示）．函数()f x 的定义域为[0,]m ，值域为2[0]am ，，分为以下情况考虑：（1）当02m <<时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m =-，因为02m <<，所以4a >；（2）当24m ≤≤时，函数的值域为[016]，，有216am =，所以216a m=，因为24m ≤≤，所以14a ≤≤；（3）当4m >时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m =-，因为4m >，所以1a >；综上所述，实数a 的取值范围是1a ≥．二、解答题15．（11sin()62C π-=，因为()0,C π∠∈，所以5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66C ππ-=或56π,即3C π=或π（舍去）.（2）因为2sin cR C=，所以24R =, 要使三角形周长最大，即要求a b +最大.所以，2(sin sin )4(sin sin())3a b R A B A A π+=+=++14(sin sin ))26A A A A π=+=+因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当3A π=时，a b +有最大值.此时，ABC∆为等边三角形，c =所以12ABCS=⨯=.16．（1）连AC交BD于O，连CO；因为AB∥CD，2AB DC=，所以2AO CO=，又因为2EM CM=，所以，AE∥MO，又因为AE⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以AE∥面BDM.（2）设1DC=，因为DC⊥BC，1BC=，所以BD，在梯形ABCD中，//AB CD，所以45ABD BDC︒∠=∠=，因为2AB DC=，所以在ABD∆中，由余弦定理知AD因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以，AD⊥BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，BD⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂面ABCD 所以BD⊥平面ADEF，因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.17.（1）过O作直线OE AB⊥于E，则10,OE=设,EOAα∠=则3,(),442EOBπππαα∠=-<<故310tan,10tan(),4AE BEπαα==-3sin()3sin410tan tan()10()34cos cos()4ABπαπαααπαα-=+-=+-310sin4,3cos cos()4ππαα=⋅-又31cos cos()cos()sin(2)424ππαααααα⋅-=⋅+=-，由42ππα<<，得32(,),444πππα-∈故max32cos cos()44παα⋅-=，当且仅当32,428πππαα-==时取等号．此时，AB有最小值为1)．即两出入口之间距离的最小值为1) .（2）由题意可知直线AB是以O为圆心，10为半径的圆O的切线，根据题意，直线AB与圆C要相离，其临界位置为直线AB与圆C相切，设切点为F此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线． 因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xoy 由CF=5，OE=10，因为圆O 的方程为22100x y +=，圆C 的方程为22(30)25x y ++=， 设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，则10,(1)5,(2)==，所以，（1）/（2）得230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，所以此时(20,0)A -或(60,0)A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON时，OA =综上，(60,).OA ∈+∞即设计出入口A 离市中心O的距离在到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 18．（1）设点P (x ，y )，x 2 + y 2 = 4，P A = (x - a)2 + (y - 2)2，PB = (x - m)2 + (y - 1)2，因为PAPB= k ，所以(x –a )2 + (y –2)2 = k 2[(x –m )2 + (y –1)2]，又x 2 + y 2 = 4，化简得2ax + 4y – a 2 – 8 = k 2(2mx + 2y – m 2 – 5)，因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎨⎧2a = 2mk24 = 2k2a2 + 8 = k2(m2 + 5)，又m > 0，k > 0，解得⎩⎨⎧k = 2a = 2m = 1，所以常数k = 2．（2）法一：设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0 – 2，2y 0 – t )，又MN 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x02 + y02 = 1(2x0 -2)2 + (2y0 - t)2 = 1有解，化简得⎩⎨⎧x02 + y02 = 18x0 + 4t y0 - t2 - 7 = 0有解，即直线n ：8x + 4t y –t 2– 7 = 0与圆C ：x 2 + y 2 = 1有交点， 则d o -n =|t2 + 7|64 + 16t2≤1，化简得：t 4 – 2t 2 – 15 ≤0，解得t ∈[5，5]．法二：设过E 的切线与圆C 交于切点F ，EF 2 = EM ·EN ， 又M 是线段NE 的中点，所以EN = 2MN ，EM = MN ，所以EF 2 = 2MN 2， 又EF 2 = EO 2 – OF 2 = 22 + t 2 – 1 = t 2 + 3，所以MN ≤ 2，t 2 + 3 ≤ 8，所以t ∈[-5，5]．19．(1)由已知，得f '(x )1221x a x=---+，据题意，f '(1) = 0，得到1a =-.所以2()ln f x x x x =-++， f '(x )(21)(1)121x x x xx+-+=-++=.由0x >，令f '(x )0>，得01x <<，令f '(x )0<，得1x >，所以函数()f x 在1x =处取得极值，所以1a =-， ()f x 的单调增区间为(0)，1，()f x 的单调减区间为(1+)，∞.(2)257()()ln 22x x g x f x b x x b =-+=-++-，(0,2016)x ∈.则g '(x ) 7122x x =-++， 令g '(x )0=，得2x =，负舍.当02x <<时，g '(x )0>，g (x )在(02)，上递增， 当22016x <<时，g '(x )0<，g (x )在(22016)，上递减，所以函数5()()2g x f x b x =-+在区间(0,2016)上只有一个零点，等价于(2)0g =，解得ln23b =+. (3) 由条件可得2ln ()x kh x x x x=-- 因为12()()0h x h x ==，所以2211222ln 2ln x x x x -=-令2()2ln x x x ϕ=-，所以222(1)()2x x x x x-'ϕ=-=当01x <<时，()0x 'ϕ>，当1x >时，()0x 'ϕ<，所以()x ϕ在()0,1上递增，在()1,+∞上递减， 所以()x ϕ在1x =处有极大值，所以1201x x <<< 令()()()2s x x x =--ϕϕ，()0,1x ∈， ()()242440222s x x x x x '=->-=-+-⎛⎫⎪⎝⎭()s x 在()0,1上单调递增，()()10s x s <=有()()21x x =ϕϕ()12x <-ϕ，因为，()x ϕ在()1,+∞上递减，且211,21x x >->所以211222x x x x >-⇒+>． 20．（1）①因为211112a a a a =+∆=-，322114a a a a =+∆=-，且{}n a 为等比数列. 所以2213a a a =⋅，即211111()()24a a a -=-，解得113a =.当113a =时，当2n ≥时，1n n a a -=∆+……111111()1()11122()13321()2n n a a --⎡⎤---⎢⎥⎣⎦+∆+=+=⋅---. 1n =适合上式，所以{}n a 为等比数列，即113a =.②因为n m a a -=1n a -∆+……m a +∆11()1()21122[()()]13221()2m n m n m -⎡⎤---⎢⎥⎣⎦==⋅-----所以||n m a a -=211|()()|322n m ⋅---211[()()]322n m ≤⋅+41()32m ≤⋅， 令41()32m t ⋅≤，则24log 3m t ≥， 故可取k 不小于24log 3t的正整数， 则对任意,,n m k n N m N **>≥∈∈，||n m a a -41()32m t ≤⋅≤.（2）因为n a ∆=21n a -∆+ (12)1113(13)2(1)13n a a n a --+∆+∆=--+∆-131222n n a =-++∆231222n n a =-+-. 由23-20n n a ∆=>知 {}n a ∆递增，所以4n a a ≥对n N *∈恒成立当且仅当满足23234300a a a a a a ∆=-≤⎧⎨∆=-≥⎩，即22070a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得2-70a ≤≤. 所以2a 的取值范围是[7,0].-2018届高考模拟试卷一参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1.22.四3.284.35.8π 6.a ＞2 7.6π 8.54 9.6π10.3π11.448 12.2 13.24 14.()5333， 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF为梯形，EF ∥CD ，FB FD =．（1）若2CD EF =，求证：OE ∥平面ADF ； （2）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ．【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连接OG 、FG ，因为O 为对角线AC 与BD 的交点，则O 为AC 中点， 所以OG ∥CD ，且12OGCD =． 又因为EF ∥CD ，且2CD EF =，所以OG ∥EF ，OG EF =，则四边形OGFE 为平行四边形，----------3分 所以OE ∥FG ．又因为FG ⊂平面ADF ，OE ⊄平面ADF ，OE ∥FG ，所以OE ∥平面ADF ；-------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以OC BD ⊥，--------------------------7分又因为FB FD =，O 是BD 的中点，所以OF BD ⊥，------------------8分又有OFOC O OF =⊂，平面ACF ，OC ⊂平面ACF ,所以BD ⊥平面ACF ，----------------------------------------------12分 又因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面ACF⊥平面ABCD ．----------------------------------------14分16．（本小题满分14分）已知函数()2sin()cos 6f x x x π=-.（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且c =，1()2f C =，若sin 2sin B A =，求边a ，b 的值.【解析】（Ⅰ）因为)2()2sin()cos 612cos cos 2cos cos 1cos 2221sin(2)62f x x xx x x x x x x x x ππ=-=-=-+=-=---------------------------------------------------------------------4分当且仅当,3x k k Z ππ=+∈时，max 1()2f x =--------------------------------------6分 最小正周期分别为和22T ππ==.------------------------------------------------7分 （Ⅱ）因为11()sin(2)622f C C π=--=，即sin(2)16C π-=，因为0C π<<，所以 112666C πππ-<-<，于是262C ππ-=，即3C π=.------------------------------10分 因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，-------------------------------------12分 由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2212a b ab +-=，联立22212b aa b ab =⎧⎨+-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩.-------------------------------------------14分17．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；-（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD PQ λ=，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，求实数λ的值.【解析】17.解:(1)因为点222，在椭圆C 上，则222112a b+=，------------------------------1分 又椭圆C 的离心率为32，可得32ca，即32ca ， 所以2222223124bacaa a ，代入上式，可得22221a a +=， 解得24a ，故22114ba .所以椭圆C 的方程为2214x y += ...............................................................................................5分(2)设P (x 0，y 0)，则A (-x 0，-y 0)，Q (x 0，-y 0). 因为=λ,则(0，y D -y 0)=λ(0，-2y 0)，故y D =(1-2λ)y 0.所以点D 的坐标为(x 0，(1-2λ)y 0). ..................................................................................................7分 设B (x 1，y 1)，221222*********210101010114414PB BAx x y y y y y y k k x x x x x x x x...............................9分 又0000121BA ADy y y k k x x x故001441PBBAx k k y .----------------------------------------------------------------------11分又PA ⊥PB ，且0PAx k y ， D QBPxAOy第17题所以1PB PA k k ，即0000141x y x y ，解得34. 所以34....................................................................................................................................14分 18．（本小题满分16分） 一块圆柱形木料的底面半径为12cm ，高为32cm ，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，要求笔筒底面的厚度超过2cm ． （1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/ cm 2），桶内侧面喷漆费用为2a （元/cm 2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．【解析】（Ⅰ）据题意，221(1232)3r h ππ=⋅⋅，所以23248h r ⨯=，----------------------3分 因为322h ->，所以30h <即2324830r ⨯<，解得r >----------------------------------------------------------5分 又012r <<，所以125r <<；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用22272(2)(1221232)y a r a rh a r πππππ=++⋅-⋅+⋅⋅，整理得2226412763248641276y a r a rh a a r a r a rππππππ=++⨯⨯=+⋅+⨯ 232326(152)a r rπ⨯=++，定义域为；----------------------11分 ②由①知，33/22323286(2)12r y a r a r rππ⨯-=-=⋅，令/0y =得8(,12)5r =∈，由表知，当8r =时，y 取极小值即最小值2064a π.------------------------15分答：当8r cm =时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，最小值为2064a π元．----16分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，首项11a =，2a a =，12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求实数a 的值； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项n a ，1n a +，2n a +按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）． 【解析】（Ⅰ）当12k =时，由12()n n n a k a a ++=+得121()2n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，--------------------1分 公差为211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和为(1)(1)2n n n S n a -=+⋅-，由18171S =得18(181)17118(1)2a -=+⋅-， 解得2a =；---------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设数列{}n a 为等比数列，则其公比为21a q a a ==，1n n a a -=，1n n a a +=，12n n a a ++=． 1︒若1n a +为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，解得1a =，与已知不符，舍去； 2︒若n a 为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，即220a a +-=，解得2a =-或1a =（舍），此时由12()n n n a k a a ++=+得11()n n n a k aa -+=+即2(1)a k a =+，故2215a k a ==-+；3︒ 若2n a +为等差中项，则212n n n a a a ++=+即112n n n a a a +-=+，即2210a a --=，解得12a =-或1a =（舍），仿2︒得2215a k a ==-+．---------------------------------------------------8分 综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；---------------------------------9分（Ⅲ）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，所以211()n n n n a a a a ++++=-+，于是32n n a a +++=211()n n n n a a a a +++-+=+．----------------------------------------11分1︒ 当n 为偶数时，123456112(1)()()()()()22n n n n n a S a a a a a a a a a a -+=++++++++=+=； ---------------------------------------------------------------------------------13分2︒ 当n 为奇数时，1234511231()()()()2n n n n S a a a a a a a a a a --=+++++++=++ 11211[()]1(1)22n n a a a a --=+⋅-+=-+（2n ≥），当1n =时，也适合该式， 所以11(1),2(1),2n n a n S n a n -⎧-+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数．-----------------------------------------------16分20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两条直线1y ax b =+，2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围；（3）若{}|()0(0,1)x f x ⊆≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）/2211()a ax f x x x x-=-=（0x >）. 当0a <时，/()0f x <，()f x 的递减区间为(0,)+∞；----------------------------1分 当0a >时，由/()0f x =得1x a=，列表得：所以，函数()f x 的递减区间为1(0,)a ，递增区间为1(,)a+∞；-----------------------4分 （Ⅱ）因为存在两条直线1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线， 所以/()f x a =至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分 令/21()ax f x a x-==，得210ax ax -+=，记其两个根为1x 、2x （12x x <）， 则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，------------------------------------------------------------------------------------7分 而当4a >时，曲线()y f x =在点11(,())x f x 、22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-，设()()F x f x ax =-（0x >），由2//1222()()1()()a x x x x ax ax F x f x a x x----+-=-==知，当12x x x <<时，/()0F x >即()F x 在区间12[,]x x 上是单调函数，因此12()()F x F x ≠，所以11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-不重合，即1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）是曲线()y f x =的两条不同的切线，故4a >；----------------10分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数，因为11111()ln()10aaaaf ea e e e---=+=-<，而1(0,1)ae-∉，不符合题意；----------------------------------------------------------12分当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 的最小值为1()ln (1ln )f a a a a a a=-+=-.1︒若1()0f a>即0a e <<时，{}|()0(0,1)x f x φ≤=⊆，所以0a e <<符合题意；2︒若1()0f a =即a e =时，{}1|()0(0,1)x f x e ⎧⎫≤=⊆⎨⎬⎩⎭，所以a e =符合题意；3︒若1()0f a <即a e >时，101a <<，而(1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内递增，所以当1x ≥时，()0f x >，又因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以{}|()0(0,1)x f x ≤⊆，符合题意.综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞.----------------------------------------------16分。
2018年湖南省长沙高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
2018年湖南省长沙高考二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=log 2x ，x ＞1}，B={x|y=}，则A ∩B=（ ）A ．{y|0＜y ＜}B ．{y|0＜y ＜1}C ．{y|＜y ＜1}D ．∅2．若复数的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．﹣3．已知a=log 0.55、b=log 32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m ，使函数f （x ）=x 3+mx 2+x+2有极值点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，若N=10，则输出的数等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．经过点（1，），渐近线与圆（x ﹣3）2+y 2=1相切的双曲线的标准方程为（ ） A ．x 2﹣8y 2=1B ．2x 2﹣4y 2=1C ．8y 2﹣x 2=1D ．4x 2﹣2y 2=16．已知三棱锥A ﹣BCD 的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ）A．B． C．D．7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[，]单调递减C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象8．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2=a3，bn+3bn﹣1=4（n≥2）n∈N+，则log2bn=（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n9．已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+D． ++11．若∀x∈R，函数f（x）=2mx2+2（4﹣m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为（）A．（0，4] B．（0，8）C．（2，5）D．（﹣∞，0）12．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，] D．[，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，则•（+）的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，﹣3），若圆C 上存在点M，满足|AM|=2|MO|，则实数a的取值范围是．15．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn﹣的最大值与最小值之和为．16．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，x∈R．（1）若∀x∈[，]，f（x）﹣m=0有两个不同的根，求m的取值范围；（2）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求△ABC的面积．18．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；（Ⅱ）将y表示为x的函数；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润y不少于1350元的概率．19．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1⊥面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2．（Ⅰ）证明：PQ∥面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．20．已知过点P（﹣1，0）的直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．（Ⅰ）求直线l倾斜角的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l，使A、B两点都在以M（5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=﹣2，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|AP|•|AQ|=9，求直线l的普通方程．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2018年湖南省长沙高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x，x＞1}，B={x|y=}，则A∩B=（）1．已知集合A={y|y=log2A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，结合交集运算进行求解即可．x，x＞1}={y|y＞0}，【解答】解：A={y|y=log2B={x|y=}={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}，则A∩B={y|0＜y＜}，故选：A2．若复数的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==+i 的实部与虚部相等，∴=，解得a=﹣．故选：D ．3．已知a=log 0.55、b=log 32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m ，使函数f （x ）=x 3+mx 2+x+2有极值点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；CB ：古典概型及其概率计算公式．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可． 【解答】解：f′（x ）=x 2+2mx+1， 若函数f （x ）有极值点，则f′（x ）有2个不相等的实数根， 故△=4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a=log 0.55＜﹣2，0＜b=log 32＜1、c=20.3＞1，0＜d=（）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ，故满足条件的概率p==， 故选：B ．4．如图，若N=10，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，由裂项法即可计算得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=S=++…+的值，又由：S=++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：C．5．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论．【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）∵渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，∴=1，∴n=2m，∴渐近线方程为x±2y=0∴双曲线方程设为x2﹣8y2=λ，代入点（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，∴双曲线方程为8y2﹣x2=1．故选：C．6．已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A．B． C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取AC中点O，连结DO，EO，则EO∥AB，从而∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，∵三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），设三棱锥A﹣BCD的各棱长为2，则DE=DO==，OE=1，∴cos∠DEO===．∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．故选：B．7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[，]单调递减C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，∴f（x）的最小正周期为T==π，∴A错误；x∈[，]时，2x+∈[，]，f（x）是单调递增函数，∴B错误；当x=﹣时，f（x）=sin（﹣+）+=sin（﹣）+，∴x=﹣不是f（x）的对称轴，C错误；将f（x）的图象向右平移，得y=sin2[（x﹣）+]+的图象，再向下平移个单位长度得y=sin2x的图象，它是奇函数，D正确．故选：D．8．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2=a3，bn+3bn﹣1=4（n≥2）n∈N+，则log2bn=（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n【考点】8H：数列递推式．【分析】利用a3=S3﹣S2，即可得到log2b2．验证可知A，B，C均不符合，即可得出．【解答】解：∵a3=S3﹣S2=（32﹣3）﹣（22﹣2）=4，∴b2=a3=4，log2b2=log24=2．验证可知A，B，C均不符合，故答案为D．9．已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a≥b＞0）得y=，则斜率k=，则由图象可知当直线y=经过点B（1，4）时，直线y=的截距最大，此时，则a+b=（a+b）（）=1+4+，当且仅当，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．设t=，∵a≥b＞0，∴0＜≤1，即0＜t≤1，则1+4+=5+t+在（0，1]上单调递减，∴当t=1时，1+4+=5+t+取得最小值为5+1+4=10．即a+b的最小值为10，故选：D ．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+8+4B ．8+8+2C ．2+2+D ． ++【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A ﹣BCD ．作出直观图如图所示：其中A ，C ，D 为正方体的顶点，B 为正方体棱的中点．∴S △ABC ==4，S △BCD ==4．∵AC=4，AC ⊥CD ，∴S △ACD ==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．==4．∴S△ABD∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．11．若∀x∈R，函数f（x）=2mx2+2（4﹣m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为（）A．（0，4] B．（0，8）C．（2，5）D．（﹣∞，0）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，g（x）=mx＜0，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．【解答】解：当m＜0时，当x＞0时，g（x）=mx＜0，又二次函数f（x）=2mx2﹣（8﹣2m）x+1开口向下，当x→+∞时，f（x）=2mx2﹣（8﹣2m）x+1＜0，故当m＜0时不成立；当m=0时，因f（0）=1＞0，不符合题意；当m＞0时，若﹣=≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；若﹣=＜0，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8，综上：0＜m＜8．故选：B．12．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，] D．[，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．【解答】解：∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，则•（+）的最小值为﹣2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知中△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，我们易将•（+）转化为2（||﹣1）2﹣2的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．【解答】解：∵AM为△ABC的中线，故M为BC的中点则+=2=+则•（+）=（+）•2=22+2•=2||2﹣4||=2（||﹣1）2﹣2当||=1时，•（+）的最小值为﹣2故答案为：﹣214．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a+2）2=1，点A （0，﹣3），若圆C 上存在点M ，满足|AM|=2|MO|，则实数a 的取值范围是 [0，3] ． 【考点】J5：点与圆的位置关系；IR ：两点间的距离公式．【分析】设点M （x ，y ），由题意得x 2+（y ﹣2）2+x 2+y 2=10，若圆C 上存在点M 满足MA 2+MO 2=10也就等价于圆E 与圆C 有公共点，由此能求出实数a 的取值范围．【解答】解：设点M （x ，y ），由题意得点A （0，2），O （0，0）及MA 2+MO 2=10， 即x 2+（y ﹣2）2+x 2+y 2=10，整理得x 2+（y ﹣1）2=4， 即点M 在圆E ：x 2+（y ﹣1）2=4上．若圆C 上存在点M 满足MA 2+MO 2=10也就等价于圆E 与圆C 有公共点， 所以|2﹣1|≤CE ≤2+1，即|2﹣1|≤≤2+1，整理得1≤2a 2﹣6a+9≤9，解得0≤a ≤3， 即实数a 的取值范围是[0，3]． 故答案为：[0，3]．15．已知等比数列{a n }的首项为，公比为﹣，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n ﹣的最大值与最小值之和为．【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】根据等比数列的求和公式求出S n ，分n 为奇数或偶数计算出S n 的范围，从而得出S n﹣的最大值与最小值．【解答】解：S n ==1﹣（﹣）n ，（1）当n 为奇数时，S n =1+，∴1＜S n ≤，（2）当n 为偶数时，S n =1﹣，∴≤S n ＜1．∴对于任意n ∈N *，≤S n ≤．令S n =t ，f （t ）=t ﹣，则f （t ）在[，]上单调递增，∴f （t ）的最小值为f （）=﹣，f （t ）的最大值为f （）=，∴S n ﹣的最小值为﹣，最大值为，∴S n ﹣的最大值与最小值之和为﹣+=．故答案为：．16．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为 10 ．【考点】5D ：函数模型的选择与应用．【分析】作DE ⊥AB 于E ，连接BD ，根据相似关系求出AE ，而CD=AB ﹣2AE ，从而求出梯形ABCD 的周长y 与腰长x 间的函数解析式，根据AD ＞0，AE ＞0，CD ＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值． 【解答】解：如图，作DE ⊥AB 于E ，连接BD ． 因为AB 为直径，所以∠ADB=90°．在Rt △ADB 与Rt △AED 中，∠ADB=90°=∠AED ，∠BAD=∠DAE ， 所以Rt △ADB ∽Rt △AED ．所以=，即AE=．又AD=x ，AB=4，所以AE=．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，解得0＜x＜2，故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，x∈R．（1）若∀x∈[，]，f（x）﹣m=0有两个不同的根，求m的取值范围；（2）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求△ABC的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）化简f（x），问题转化为y=m和y=f（x）在x∈[，]有2个不同的交点，画出函数的图象，求出m的范围即可；（2）求出B的值，根据正弦定理得到a+c=2b=4，根据余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac，求出ac的值，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，∴f（x）=sin2x﹣+=sin（2x﹣），∴f（x）=sin（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[0，]，若∀x ∈[，]，f （x ）﹣m=0有两个不同的根，则y=m 和y=f （x ）在x ∈[，]有2个不同的交点，画出函数的图象，如图所示：，结合图象得≤m ＜1；（2）由f （B ）=，解得：B=或B=，由sinA 、sinB 、sinC 成等差数列，结合正弦定理得a+c=2b=4，故B=，且b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣2ac ﹣ac ，故ac=（24﹣12），故S △ABC =acsinB=（24﹣12）×=6﹣3．18．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x （单位：盒，100≤x ≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润． （Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数和众数； （Ⅱ）将y 表示为x 的函数；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润y 不少于1350元的概率．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数．（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，当100＜x≤200时，y=10x﹣5=15x﹣750，当150＜x≤200时，y=10×150=1500，由此能将y表示为x的函数．（Ⅲ）由利润不少于1350元，得150x﹣750≥750，由此能求出利润不少于1350元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20=0.3．这个开学季内市场需求量的众数估计值是150．需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，需求量为[180，200）的频率为0.0075×20=0.15，则平均数： =110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，所以当100＜x≤200时，y=10x﹣5=15x﹣750，当150＜x≤200时，y=10×150=1500，所以y=，x∈N．（Ⅲ）因为利润不少于1350元，所以150x﹣750≥750，解得x≥140．所以由（Ⅰ）知利润不少于1350元的概率p=1﹣0.1﹣0.2=0.7．19．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1⊥面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2．（Ⅰ）证明：PQ∥面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AB 1⊥面PBC ，并求三棱锥Q ﹣PBB 1的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（I ）取AA 1中点E ，连接PE 、BE ，过D 1作D 1H ⊥AD 于H ，可证四边形PQBE 为平行四边形，得出PQ ∥BE ，故而PQ ∥面A 1ABB 1；（II ）由AA 1⊥面ABCD 可得AA 1⊥BC ，由相似三角形可得AB 1⊥BE ，故而AB 1⊥平面PEBC ，求出B 1到平面PEBC 的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AA 1中点E ，连接PE 、BE ，过D 1作D 1H ⊥AD 于H ． ∵AA 1⊥面ABCD ，AA 1∥D 1H ，∴D 1H ⊥面ABCD ． ∴∠D 1DA 为DD 1与面ABCD 所成角．∴=2，又AA 1=4，∴DH=2． ∴A 1D 1=2．∴PE=（A 1D 1+AD ）=3， 又EF ∥AD ，∴四边形PQBE 为平行四边形， ∴PQ ∥BE ，又PQ ⊄面A 1ABB 1，BE ⊂面A 1ABB 1， ∴PQ ∥面A 1ABB 1．（Ⅱ）∵AA 1⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥BC ，又BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A ，∴BC ⊥面ABB 1A 1，又AB 1⊂平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥AB 1．在梯形A 1ABB 1中，Rt △BAE ≌Rt △AA 1B 1，∴∠B 1AE+∠AEB=∠B 1AE+∠AB 1A 1=90°，∴AB 1⊥BE ，又BE ∩BC=B ，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，∴AB 1⊥面PEBC ．设AB 1∩BE=M ，∵AE=2，AB=4，∴BM=2，∵A 1B 1=2，AA 1=4，∴AB 1=2，∴AM==，∴B 1M=AB 1﹣AM=，又BQ=BC=3，∴V =V ===6．20．已知过点P （﹣1，0）的直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点． （Ⅰ）求直线l 倾斜角的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l ，使A 、B 两点都在以M （5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．【考点】KN ：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用△＞0，即可求得k 的取值范围，求得直线l 倾斜角的取值范围；（Ⅱ）设圆M 的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得r 的值及直线l 的斜率k ，求得直线及圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知直线l 的斜率存在且不为0．设l ：y=k （x+1），则，整理得：ky 2﹣4y+4k=0，y 1+y 2=，△=16﹣4k ×4k ＞0，解得：﹣1＜k ＜1且k ≠0．∴直线l 倾斜角的取值范围（0，）∪（，π）；（Ⅱ）设⊙M ：（x ﹣5）2+y 2=r 2，（r ＞0），则，则x 2﹣6x+25﹣r 2=0，∴x 1+x 2=6，又由（Ⅰ）知y 1y 2=4，∴x 1x 2=1．∴25﹣r 2=1，∴r 2=24，并且r 2=24时，方程的判别式△=36﹣4×（25﹣r 2）＞0，由y 1+y 2=k （x 1+x 2+2）=，解得：k=±， ∴存在定圆M ，经过A 、B 两点，其方程为：（x ﹣5）2+y 2=24，此时直线l 方程为y=±（x+1）．21．已知函数f （x ）=lnx ﹣ax 2+（2﹣a ）x ．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设g （x ）=﹣2，对任意给定的x 0∈（0，e]，方程f （x ）=g （x 0）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．（其中a ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数）．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出g （x ）的导数，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=﹣2ax+（2﹣a ）=，当a=0时，f′（x ）=＞0，f （x ）在（0，+∞）单调递增．当a ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）单调递增．当a ＞0时，令f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜，令f′（x ）＜0，解得：x ＞，故f （x ）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（Ⅱ）g（x）=﹣2，g′（x）=，x∈（﹣∞，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（﹣2，﹣2]，由已知，，由f（e）=1﹣ae2+2e﹣ea≤﹣2，∴a≥，由f（）=ln﹣+﹣1＞﹣2，∴lna﹣+＜0，令h（x）=lnx﹣知h（x）单调递增，而h（e）=0，∴a∈（0，e）时，lna﹣+＜1，∴a∈（0，e），综合以上，≤a＜e．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|AP|•|AQ|=9，求直线l的普通方程．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程能求出直线l恒过的定点A的坐标．（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．由t的几何意义知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到||=9，进而求出tan，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为：=1．∵直线l 的参数方程是（t 为参数）， ∴直线l 恒过定点为A （2，0）．（Ⅱ）把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中，整理，得：（9+7sin 2α）t 2+36tcosα﹣9×12=0．由t 的几何意义知|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，∵点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t 1t 2=，∵|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=9，即||=9，∴，∵α∈（0，π），∴tan，∴直线l 的方程为y=．选修4-5：不等式选讲23．设函数f （x ）=|x ﹣a|，a ∈R ．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f （x ）≥6﹣|2x ﹣5|；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足2s+t=a ，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f （x ）≥6﹣|2x ﹣5|，可化为|x ﹣2|+|2x ﹣5|≥6．①x ≥2.5时，不等式可化为x ﹣2+2x ﹣5≥6，∴x ≥；②2≤x ＜2.5，不等式可化为x ﹣2+5﹣2x ≥6，∴x ∈∅；③x ＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x ≥6，∴x ≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f （x ）≤4的解集为[a ﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z满足z⋅(1−2i)=i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】由z⋅(1−2i)=i，得z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限．2. 已知集合A={x|−2<x<3}，集合B={x|x<1}，则A∪B=()A.(−2, 1)B.(−2, 3)C.(−∞, 1)D.(−∞, 3)【答案】D【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A={x|−2<x<3}，集合B={x|x<1}，∴A∪B={x|x<3}={−∞，3)．3. 命题p:∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则￢p为（）A.∃a<0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解B.∃a<0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解C.∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解D.∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解【答案】C【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：根据含有量词的命题的否定可得，¬p为∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解．故选C．4. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=( )A.−12B.−√32C.12D.√32【答案】 A【考点】 三角函数 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π+α)的值． 【解答】∵ 角α终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，即点P(−√32, 12)， ∴ x =−√32，y =12，r =|OP|=1，则sin(π+α)=−sinα=−y r =−y =−12．5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：用a 1,a 2,⋯,a 8，表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列{a n }(n =1,2,3,⋯,8)是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴ 8a 1+8×72×17=996，解得a 1=65，∴ a 8=65+7×17=184． 故选B ．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为（ ）A.3或−2B.2或−2C.3或−1D.−2或−1或3 【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足y =1的x 值，综合可得答案． 【解答】当x >2时，由y =log 3(x 2−2x)=1得：x 2−2x =3，解得：x =3，或x =−1（舍） 当x ≤2时，由y =−2x −3=1，解得：x =−2， 综上可得若输出的结果为1，则输入x 的值为3或−2，7. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00−6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30−6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ） A.19B.89C.512D.712【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ，根据题意列出有序实数对(x, y)满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案． 【解答】假设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ， 则有序实数对(x, y)满足的区域为 {(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6x +16<y}，∴ 小李需要去快递柜收取商品的概率为 P =SS =12×(13+56)×1212×1=712．8. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱CD ，CC 1，A 1B 1的中点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A.B.C.D.【答案】 C【考点】简单空间图形的三视图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：取AA 1的中点H ，连结GH ，则GH 为过点E,F,G 的平面与正方体的面A 1B 1BA 的交线．延长GH ，交BA 的延长线于点P ，连结EP ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F,G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．同理，延长EF ，交D 1C 1的延长线于Q ，连结GQ ，交B 1C 1于点M ，则FM 为过点E,F,G 的平面与正方体的面BCC 1B 1的交线．所以过点E,F,G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示． 故选C ．9. 已知函数f(x)=1−2x 1+2x，实数a ，b 满足不等式f(2a +b)+f(4−3b)>0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.b −a <2 B.a +2b >2 C.b −a >2 D.a +2b <2【答案】 C【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】 此题暂无解析解：由题意得f(−x)=1−2−x 1+2−x=2x −12x +1=−1−2x 2x +1=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)=−2x −11+2x=−(2x +1)−21+2x=−1+21+2x ,故函数f(x)在R 上单调调递减．∵ f(2a +b)+f(4−3b)>0，∴ f(2a +b)>−f(4−3b)=f(3b −4), ∴ 2a +b <3b −4, ∴ b −a >2． 故选C ．10. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 是双曲线C 上的两点，且AF 1→=3F 1B →，cos∠AF 2B =35，则该双曲线的离心率为（ ） A.√10 B.√102C.√52D.√5【答案】B【考点】 双曲线的特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ AF 1→=3F 1B→，∴ A,F 1,B 共线，且点F 1在线段AB 上，如图，设A,B 是双曲线C 左支上的两点， 令|AF 1|=3|F 1B |=3m(m >0)，由双曲线的定义可得|BF 2|=2a +m,|AF 2|=2a +3m ，在△F 2AB 中，由余弦定理得(4m)2=(2a +m)2+(2a +3m)2−2×(2a +m)×(2a +3m)×35，整理得3m 2−2am −a 2=0，解得m =a 或m =−13a (舍去)．∴ |AB|=4a,|BF 2|=3a,|AF 2|=5a ，∴ △F 2AB 为直角三角形，且∠ABF 2=90∘． 在Rt △F 1BF 2中，|F 1B |2+|BF 2|2=|F 1F 2|2， 即a 2+(3a)2=(2c)2，即10a 2=4c 2， ∴ e 2=c 2a 2=52,∴ e =√102，即该双曲线的离心率为√102． 故选B ．在(0, π)上单调．下列说法正确的是（）A.ω=12B.f(−π8)=√6−√22C.函数f(x)在[−π,−π2brack上单调递增D.函数y=f(x)的图象关于点(3π4,0)对称【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】根据题意，设置满足条件的ω，φ的值，依次对各选项讨论即可．【解答】由f(π8)=√2，即2sin(ωπ8+φ)=√2，可得：ωπ8+φ=π4+2kπ或ωπ8+φ=3π4+2kπ，k∈Z；令ωπ8+φ=π4……(1)，(2)(3)解得：ω=2，不满足题意：令ωπ8+φ=3π4……(4)，(5)(6)解得：ω=23，满足题意：∴f(x)=2sin(23x+2π3)对于B:f(−π8)=2sin(−23×π8+2π3)=2sin7π12=√6+√22，∴B不对．对于C：令−π2≤23x+2π3≤π2，解得：−3π2≤x≤π4，∴函数f(x)在[−π,−π2brack上单调递增，∴C对．对于D：当x=3π4，可得f(3π4)=2sin(23×3π4+2π3)=−2sinπ6=−1，∴函数y=f(x)的图象不是关于点(3π4,0)对称，∴D不对．故选：C．12. 已知点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，∠IBC=∠ACI=12∠BAC，对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（）A.△ABC的三边长一定成等差数列B.△ABC的三边长一定成等比数列C.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列D.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设∠IBC=∠ACI=∠BAI=∠CAI=θ,IA=IC=m,IB=n，在△IAC中，m=b2cosθ，在△ABI,△BCI,△ABC中，分别由余弦定理得n2=c2+m2−2cmcosθ，m2=a2+n2−2ancosθ，a2=b2+c2−2bcos2θ，由+整理得2(cm+an)cosθ=a2+c2，∴ cm+an=a2+c22cosθ，将m=b2cosθ代入上式可得n=a2+c2−bc2acosθ，又由三角形面积公式得12bcsin2θ=12mcsinθ+12ansinθ+12bmsinθ，∴2bccosθ=mc+an+bm=m(b+c)+an，∴ 2bccosθ=b(b+c)2cosθ+a2+c2−bc2cosθ=a2+b2+c22cosθ，∴ 4bcos2θ=a2+b2+c2，∴ 2bc(1+cos2θ)=a2+b2+c2，由得cos2θ=b2+c2−a22bc，∴ 2bc(1+b2+c2−a22bc)=a2+b2+c2，整理得a2=bc，故△ABC的三边长一定成等比数列．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知两个单位向量a→，b→的夹角为π3，则(2a→+b→)∗(a→−b→)=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】两个单位向量a →，b →的夹角为π3，则(2a →+b →)∗(a →−b →)=2a →2−a →∗b →−b →2=2−12−1=12，在(2x +1)2(x −2)3的展开式中，x 2的系数等于________． 【答案】 10【考点】二项式定理的应用 【解析】化简(2x +1)2(x −2)3=(4x 2+4x +1)(x 3−6x 2+12x −8)，展开后可得含x 2项的系数． 【解答】∵ (2x +1)2(x −2)3=(4x 2+4x +1)(x 3−6x 2+12x −8)， ∴ x 2的系数等于4×(−8)+4×12−6=(10)已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S −ABCD ，四棱锥S −ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S −ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于________cm ． 【答案】 4【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，设四棱锥S −ABCD 的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为ℎ， 由题意可得顶点S 在底面上的射影为底面正方形的中心O 1，则球心O 在高SO 1上，在Rt △OO 1B 中，OO 1=ℎ−3,OB =3，O 1B =√22a ，∴ 32=(ℎ−3)2+(√22a)2，整理得a2=12ℎ−2ℎ2．又∵ 在Rt △SO 1B 中，有x 2=ℎ2+(√22a)2=ℎ2+(6ℎ−ℎ2)=6ℎ，∴ ℎ=x 26.∴a 2=2x 2−x 418,∴ V S−ABCD =13⋅a 2⋅ℎ=13×(2x 2−x 418)×x 26=1324(−x 6+36x 4)，设f(x)=−x 6+36x 4，则f ′(x)=−6x 5+144x 3=−6x 3(x 2−24)， ∴ 当0<x <2√6时f ′(x)>0,f(x)单调递增， 当x <2√6时，f ′(x)<0,f(x)单调递减，∴ 当a =2√6时，f(x)取得最大值，即四棱锥S −ABCD 的体积取得最大值， 此时a 2=2×(2√6)2−(2√6)418=16，解得a =4，∴ 四棱锥S −ABCD 的体积最大时，底面边长等于4cm ． 故答案为：4．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距√31km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距3√3km，则垃圾处理站M与B村相距________km．【答案】2或7【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),C(3,3√3).由题意得处理站M在以A(0,0)为圆心，半径为5的圆A上，同时又在以C(3,3√3)为圆心，半径为√31的圆C上，两圆的方程分别为x2+y2=25和(x−3)2+(y−3√3)2=31，联立{x2+y2=25(x−3)2+(y−3√3)2=31，解得{x=5y=0，或{x=−52y=5√32，∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或(−52,5√32)，∴|MB|=2或|MB|=√(−52−3)2+(5√32)2=7，即垃圾处理站M与B村相距2km或7km．故答案为：2或7．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等比数列{a n}的前n项和S n满足4S5=3S4+S6，且a3=9．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(2n−1)⋅a n，求数列{b n}的前n项的和T n．【答案】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6−S5=3S5−3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=(2n−1)∗a n=(2n−1)∗3n−1，∴T n=1∗30+3∗31+5∗32+⋯+(2n−1)∗3n−1，3T n=1∗31+3∗32+⋯+(2n−3)∗3n−1+(2n−1)∗3n，∴−2T n=1+2∗31+2∗32+⋯+2∗3n−1−(2n−1)∗3n=−2+(2−2n)∗3n，∴T n=(n−1)∗3n+1．【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出数列的公比，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6−S5=3S5−3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=(2n−1)∗a n=(2n−1)∗3n−1，∴T n=1∗30+3∗31+5∗32+⋯+(2n−1)∗3n−1，3T n=1∗31+3∗32+⋯+(2n−3)∗3n−1+(2n−1)∗3n，∴−2T n=1+2∗31+2∗32+⋯+2∗3n−1−(2n−1)∗3n=−2+(2−2n)∗3n，∴T n=(n−1)∗3n+1．为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）(Ⅱ)研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X∼N(μ, σ2)(u=u0，σ约为19.3)．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？= 1 − \pℎi(\dfrac{{x}_{1} − u}{∖sigma})}表示{x\gt x_{1}}的概率,{\phi(\dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma})}用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即{X\sim N(0,\, 1)},从而利用标准正态分布表{\phi (x_{0})},求{x\gt x_{1}}时的概率{P(x\gt x_{1})},这里{x_{0}= \dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma}}.相应于{x_{0}}的值{\phi(x_{0})}是指总体取值小于{x_{0}}的概率,即{\phi (x_{0})= P(x\lt x_{0})}.参考数据:{\phi (0.7045)= 0.54},{\phi (0.6772)= 0.46},{\phi (0.21)= 0.5832)}$．【答案】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03)（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(x>x1)=1−ϕ(x1−u0σ)=1−ϕ(x1−10319.3)=0.46，即ϕ(x1−10319.3)=0.54．由ϕ(0.7054)=0.54得，x1−10319.3=0.7054⇒x1=116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．P(x>7)=1−ϕ(107−10319.3)=1−ϕ(0.2072)≈1−0.5832=0.4168，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．【考点】正态分布的密度曲线【解析】（I）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；(II)①根据所给公式列方程求出x1；②根据成绩计算概率，得出大体名次．【解答】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03)（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(x>x1)=1−ϕ(x1−u0σ)=1−ϕ(x1−10319.3)=0.46，即ϕ(x1−10319.3)=0.54．由ϕ(0.7054)=0.54得，x1−10319.3=0.7054⇒x1=116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．P(x>7)=1−ϕ(107−10319.3)=1−ϕ(0.2072)≈1−0.5832=0.4168，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // CD，AB⊥AD，O为AD中点，PA=PD=√5，AD＝AB＝2CD＝2．(Ⅰ)求证：平面POB⊥平面PAC；(Ⅱ)求二面角A−PC−D的余弦值．【答案】（1）证明：由条件可知，Rt △ADC ≅Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90∘，∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ．∵ {PAD ⊥ABCDPAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ⊂PAD，∴ PO ⊥平面ABCD ．又∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面POB ⊥平面PAC ．（2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0, 0, 2)，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，C(−1, 1, 0)，PA →=(1,0,−2)，AC →=(−2,1,0)，PD →=(1,0,−2)，CD →=(0,−1,0)， 设n 1→=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，由{n 1→⋅PA →=0n 1→⋅AC →=0得{x −2z =0−2x +y =0 ，解得{z =12x y =2x．令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)．同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→=(−2,0,1)， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√105=√10535．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)通过Rt △ADC ≅Rt △BAO ，推出∠DAC ＝∠ABO ，证明AC ⊥BO ，PO ⊥AD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到AC ⊥PO ．AC ⊥平面POB ，即可证明平面POB ⊥平面PAC ．(Ⅱ)以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC 的一个法向量，平面PDC 的一个法向量，利用向量的数量积求解即可． 【解答】（1）证明：由条件可知，Rt △ADC ≅Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90∘，∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ．∵ {PAD ⊥ABCDPAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ⊂PAD，∴ PO ⊥平面ABCD ．又∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面POB ⊥平面PAC ．（2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0, 0, 2)，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，C(−1, 1, 0)，PA →=(1,0,−2)，AC →=(−2,1,0)，PD →=(1,0,−2)，CD →=(0,−1,0)， 设n 1→=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，由{n 1→⋅PA →=0n 1→⋅AC →=0得{x −2z =0−2x +y =0 ，解得{z =12xy =2x． 令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)．同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→=(−2,0,1)， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√105=√10535．已知点A(1, 0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O:x 2+y 2=4． (Ⅰ)求动点B 的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2, 0)，Q(2, −1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值． 【答案】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．【考点】 轨迹方程圆锥曲线的综合问题 【解析】(Ⅰ)设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)．圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点B 的轨迹方程．(Ⅱ)设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3． 【解答】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2（e 是自然对数的底数）． (Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若∀x ∈R ，f(x)+e x ≥x 3+x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增，在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可； (Ⅱ)问题转化为a ≤e x −x 2−1x对∀x >0恒成立，设g(x)=e x −x 2−1x，设ℎ(x)=e x −x −1，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 【解答】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增， 在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知过点P(0, −1)的直线l 的参数方程为{x =12ty =−1+√32t（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 【答案】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 【解答】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ，得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x +m|．(1)若不等式f(x)−m ≤9的解集为[−1, 3]，求实数m 的值；(2)若m >0，函数g(x)=f(x)−2|x −1|的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围． 【答案】 解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9， ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m 3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)去掉不等式的绝对值并根据条件限制m 的范围，根据题意得出m 的值；(Ⅱ)由m >0去掉绝对值，将函数g(x)写成分段函数的形式，根据大致图象求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可． 【解答】解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9 ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12.。
2018高三数学全国二模汇编(理科)专题03导数与应用
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 【答案】B【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。
2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 【答案】D【解析】 设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数， 又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e e e ⎛⎫<<--=-- ⎪⎝⎭， 即a c b <<，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数()()h x xf x =，得出函数()h x 为单调递增函数和函数()h x 是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( ) A. 存在0x b = ,使得()01f 2x e<-B. 存在0x b =，使得()20f x e >- C. b 的最大值为3e D. b 的最大值为22e 【答案】C分析得()f x 的极大值点为10x x =，()2222244422424a a b a a b a a b b ba a ba a b--+---==<=+-+-， (()0,x b f x ∴∈∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当()0,x x f x =取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=，()()222000000011ln ln 22f x x ax b x x x b b x =-+=-++，即()20001ln 2f x x b b x =--+，令 ()()21ln ,0,2g x x b x b x b =-+-∈，原命题转化为()0g x <恒成立，()()22'000b x bg x x x b x b x x-+∴=-+=><<⇒<<， ()g x ∴在()0,b 上递增，()()()1ln2g x gb b b b b ∴<=-+- 1ln 02b b b b =-+-≤，3323ln 2bb b b e b e ∴≤⇒≤⇒≤，所以b 的最大值为3e ， C 对、D 错，又0x b <，即不存在极大值点0x b =，排除,A B ，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】B点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（ ） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e - 【答案】B【解析】 由题意()()0,x f x g x ∀>≤，即ln 1x a ax b +≤++，即ln 1x ax a b -+≤+， 设()ln h x x ax a =-+，则()1h x a x'=-， 若0a ≤时， ()10h x a x -'=>，函数()h x 单调递增，无最大值，不适合题意； 当0a >时，令()10h x a x -'==，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. ()01f = B. ()01f < C. ()62f e < D. ()62f e >【答案】C 【解析】设()()3xf xg x e =，则()()()()()()()333223333x x x xxe f x f x e f x e f x g x e e ⎡⎤-'-⎣⎦=''=.∵在R 上()()3f x f x >'有恒成立∴()0g x '<在R 上恒成立，即()g x 在R 上为减函数. ∴()()()()()0301001f f g f g ee==>=∵()31f e =∴()01f >，故A ，B 不正确. ∵()()()62211f g g e =<=∴()62f e < 故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef < 【答案】A点睛：本题的关键在于通过()f x f >'（x ）能得到()'()0xf x e<，得到()xf x R e是上的减函数，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =-. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 的图象在x e =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(y e k x e -=，即y kx e e =-，由()()f x kx e e x R ≥-∈，可得20x kx e e -+≥，当x R ∈恒成立，则(20k e∆=-≤，只有k e =，此时直线方程为2y ex e =-，下面证明()2h x ex e ≤-，令()()2G x ex e h x =-- 22ln ex e e x =--， ()2'e x eG x x=，当x e =()'0G x =；当0x e << ()'0G x <；当x e >()'0G x >；当x e = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()20G x ex e h x ∴=--≥，则()2h x ex e ≤-， ∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y ex e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的. 10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D若直线y=1﹣mx 经过点（1e，﹣2），则m=3e ， 若直线y=1﹣mx 与y=2lnx 相切，设切点为（x ，y ）．则1{2 2y mxy lnx m x===-﹣，解得3232{3 2x ey m e-===-．∴322e--≤m≤3e．故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。
2018年最新高考数学模拟试题及答案共五套
高考模拟考数学试题注意：本卷共22 题，满分150 分，考试时间120 分钟．参考公式：球的表面积公式：2S 4 R2，其中R表示球的半径；球的体积公式：V 43R3, 其中R 表示球的半径；柱体的体积公式：V Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高；锥体的积公式：V 1Sh，其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高；台体的体积公式：1V h（S1 S1S2 S2），其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台如果事件A 、B 互斥，那么P（A B） P（A） P（B）第I 卷（选择题共50分）、选择题：本大题共要求的。
10 小题，每小题 5 分，共50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1、设集合M {x | x 2} ，集合N {x|0 x 1} ，则下列关系中正确的是（）（A）M N R （B）M N x 0 x 1 （C）N M （D）M N2、已知复数z1 i,z23 i，其中i是虚数单位，则复数z1的实部与虚部之和为（）z2（A）01（B）（C）1 （D） 2 23、设p ：x 1 ，q ：x2 x 2 0 ，则下列命题为真的是（）（A ）若q 则p （B）若q则p（C）若p则q （D）若p 则q4、若 k∈R,, 则“ k22> 4”是“方程x y 1 表示双曲线”的（）k4k4A. 充分不必要条C. 充分必要件 B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5、数列{a n} 满足a12,a21,并且an 1 an an an 1（n 2），anan 1anan 1则数列{a n}的第100 项为（）1则实数 a 的取值范围是第二卷（非选择题 共 100 分）、填空题：本大题共 7小题，每小题 4分，共 28 分。
11、为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100 株树木的底部周长（单位： cm ）。
根据所得数 据画出样本的频率分布直方图（如右图） ，那么在这 100 株树木中，底部周长 不小于 110cm的有 株；A )2100B )250C )100D )506、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： 的体积是83A ) cm 33 C ) 2 cm 3B ） D ） 4 cm 31 cm 37、已知双曲线2 yb 21(a 0,bA ) y 2xB) y 2 x C) y2x 21 D) yx8、定义式子运算为a1 a 2a3 a43 sin x 1 cos x的图像向左平移 n （n 0） 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 n 的最小值为A) 6 B) 3 9、已知点 P 为 ABC 所在平面上的一点，且 (C)61AP AB tAC ，其中D )3t 为实数，若点 P 落在ABC 的内部，则 t 的取值范围是11（A ）0 t （B ） 0 t（C43()2D ) 0 t3 10 t 12A ) [ 2,1]B) [ 5,0][ 5,1]D) [ 2,0]cm ），可得这个几何体a 1a 4 a 2a 3 ，将函数 f ( x)16、设 OA (t,1)(t Z) ， OB (2,4) ，满 足 OA 4 ，则 OAB 不 是 直 角三 角形的 概率是17、观察下列等式：由以上等式推测到一个一般的结论：对于 n N ，2 2 2 2 n 1 212 22 3242( 1)n 1n2。
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精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1 2018年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合},2,1{mA，}4,2{B，若}4,3,2,1{BA，则实数m_______．
2．nxx1的展开式中的第3项为常数项，则正整数n___________． 3．已知复数z满足i342z（i为虚数单位），则||z____________． 4．已知平面直角坐标系xOy中动点),(yxP到定点)0,1(的距离等于P到定直线1x 的距离，则点P的轨迹方程为______________． 5．已知数列}{na是首项为1，公差为2的等差数列，nS是其前n项和，则2limnnnaS_______．
6．设变量x、y满足条件,043,04,1yxyxx则目标函数yxz3的最大值为_________． 7．将圆心角为32，面积为3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________． 8．三棱锥ABCP及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．
9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相 加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三 等奖的概率为____________．
2 2 4 32 左视图
P A B C
主视图 精品好文档，推荐学习交流
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 10．已知函数)1lg()(2axxxf的定义域为R，则实数a的取值范围是_________． 11．在△ABC中，M是BC的中点，120A，21ACAB，则线段AM长的最 小值为____________． 12．若实数x、y满足112244yxyx，则yxS22的取值范围是____________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．“2x”是“1x”的………………………………………………………………（ ）． （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．参数方程2,4322tytx（t为参数，且30t）所表示的曲线是………………（ ）． （A）直线 （B）圆弧 （C）线段 （D）双曲线的一支 15．点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿 MCBA运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数)(xfy的图
像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（ ）
（A） （B） （C） （D） 16．在计算机语言中，有一种函数)(xINTy叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等 于不超过x的最大整数，如0)9.0(INT，3)14.3(INT．已知nnINTa1072，
11ab，110nnnaab（*Nn且2n），则2018b等于………………………（ ）．
（A）2 （B）5 （C）7 （D）8
（反面还有试题） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
1 1 2 2.5 y O x y O x 1 1 2 2.5 y O x 1 1 2 2.5 y O x 1 1 2 2.5 精品好文档，推荐学习交流
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数62sinsin2)(2xxxf． （1）求函数)(xf的最小正周期和值域； （2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若31cosB，2Af，求Csin的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为直角梯形，90BAD，AD∥BC，2AB，1AD，4BCPA，PA平面ABCD．
（1）求异面直线BD与PC所成角的大小； （2）求二面角DPCA的余弦值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的%20． （1）若建立函数)(xfy模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述该团队对奖励函数
)(xf模型的基本要求，并分析函数2150xy是否符合团队要求的奖励函数模型，并说
明原因； （2）若该团队采用模型函数2310)(xaxxf作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
D P A B C 精品好文档，推荐学习交流
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 已知椭圆：12222byax（0ba）的焦距为32，点)2,0(P关于直线xy的对称点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，过点P的直线l与椭圆交于两个不同的点C、D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；
（3）若直线m经过点)0,1(M，且与椭圆交于两个不同的点A、B，是否存在直
线0l：0xx（其中20x），使得A、B到直线0l的距离Ad、Bd满足||||MBMAddBA恒成立？若存在 ，求出0x的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知数列}{na的各项均为正数，其前n项和为nS，且满足2)1(4nnaS．数列}{nb满足21b，42b，且等式112nnnbbb对任意2n成立． （1）求数列}{na的通项公式； （2）将数列}{na与}{nb的项相间排列构成新数列1a，1b，2a，2b，…，na，nb，…，设该新数列为}{nc，求数列}{nc的通项公式和前n2项的和nT2． （3）对于（2）中的数列}{nc的前n项和nT，若nncT对任意*Nn都成立，求实数的取值范围．
2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷 参考答案与评分标准
M O x
y l
P
C
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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．3 2．4 3．5 4．xy42 5．41 6．4
7．322 8．24 9．167 10．]1,1[ 11．21 12．]4,2( 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13．A 14．C 15．B 16．D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）12cos212sin232cos212sin232cos1)(xxxxxxf 162sinx， ……………………………（每对一步得1分）（4分）
所以，)(xf的最小正周期T，值域为]2,0[． ……………………………（6分） （2）由2)(Af，得162sinA， ………………………………………（2分）
因为A0，所以611626A，故262A，3A． ……（5分） 因为在△ABC中，31cosB，所以322sinB， …………………………（6分） 所以，BABABABACsincoscossin)sin()(sinsin
6223322213123． …………………………………………（8分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）法一：以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， ………………………………………………（1分） 则)0,0,2(B，)0,1,0(D，)0,4,2(C，)4,0,0(P， ………………………（2分）
所以，)0,1,2(BD，)4,4,2(PC， ………………………………………（3分） 因为044PCBD，所以，PCBD． ……………………………………（5分） 所以，异面直线BD与PC所成角的大小为90． …………………………………（6分）
（1）法二：连结AC，因为90BAD，所以21tanABADABD，………（1分）
由AD∥BC，得90ABC，所以21tanBCABACB， ………………（2分） 所以ACBABD，于是90DBCACB，即ACBD， …………（4分） 又PA平面ABCD，所以BDPA，所以BD平面PAC，故PCBD． 所以，异面直线BD与PC所成角的大小为90． ………………………………（6分） （2）由（1）BD平面PAC，所以)0,1,2(BD是平面PAC的一个法向量．（1分） 设平面PCD的一个法向量为),,(zyxn，