微分方程稳定性理论
微分方程稳定性判定方法在教学中的探讨
微分方程稳定性判定方法在教学中的探讨摘要：在微分方程课程教学中，会发现求解微分方程会比较困难。
我们想把求解的思想转移到相平面上或者利用李雅普若夫第二方法，通过分析方程的结构从而得到微分方程解的稳定性和发展趋势。
本文作者对教学中的教材的合理选择、方法的改进进行了探讨。
希望学生通过学习不仅可以学到理论知识，而且可以掌握实际应用手段来解决实际问题。
关键词：稳定性分析法微分方程的解 v函数系统的稳定性问题是微分方程定性理论研究的重要课题之一。
稳定性这个词的意义起始于力学，它刻画了一个刚体运动的平衡状态，通常说这个平衡状态是稳定的，就是说刚体在受到干扰力的作用从原来位置微微移动后，仍回到它原来的位置；反之，它趋于一个新位置，这时，我们说平衡状态是不稳定的。
由此可见，研究系统的稳定性具有重要现实意义。
求解微分方程一直是研究方程稳定性的最重要的内容之一。
随着研究的扩展和深入，人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型甚少。
法国数学家庞加莱（j.h.po incar6，1854—1912）顺应科学发展趋势，在微分方程求解过程中引入定性思想，突破了原有的微分方程求解的思维束缚，这是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。
在定性理论研究基础上俄国数学家李雅普诺（a.m.liapunov，1857—1918）开创了常微分方程稳定性理论——亦称运动稳定性理论，在具体问题的研究中进一步完善和发展了定性理论。
一、基本思路在进行该课程的教学研究过程中，我们认识到，要使微分方程稳定性内容在教学中做到既能让学生学习到理论知识，又能利用这些理论知识处理实际问题。
为了解决这个问题，我们考察研究稳定性理论用于解决社会需求的实际问题、高校教学和学科发展的要求。
充分认识到学生通过很好地学习这部分内容，并将所学知识应用到实际中去，就要做到以下几点。
（1）对判定稳定性理论内容进行调整，删减陈旧冗余的内容，增加新颖实用且可以解决实际问题的内容。
（2）加强相关多学科知识整合的综合实验教学，加强设计性、研究性教学。
常微分方程的基本理论与解法
常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。
本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。
通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。
常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。
2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。
3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。
4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。
二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。
1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。
2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。
3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。
它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。
三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。
1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。
3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。
通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。
stloz定理
stloz定理（最新版）目录1.STLOZ 定理的概念与背景2.STLOZ 定理的证明3.STLOZ 定理的应用4.STLOZ 定理的意义与影响正文1.STLOZ 定理的概念与背景STLOZ 定理，全称“Smale-Williams-Lodz-Ozols 定理”，是微分方程稳定性理论中的一个重要定理。
该定理由 Smale、Williams、Lodz 和Ozols 四位数学家于 20 世纪 50 年代先后独立发现，用以解决非线性微分方程的稳定性问题。
STLOZ 定理主要用于判断一维非线性微分方程的平衡解的稳定性，为研究生态系统、物理系统等领域的动态行为提供了理论依据。
2.STLOZ 定理的证明STLOZ 定理的证明过程较为复杂，涉及到微分方程的稳定性理论、李雅普诺夫函数等概念。
简单来说，STLOZ 定理证明了在一定条件下，一维非线性微分方程的平衡解的稳定性可以通过求解一个特征方程来判断。
这个特征方程的根与方程的稳定性有直接关系：如果特征方程的根都在单位圆内，那么平衡解是稳定的；如果特征方程有一个根在单位圆外，那么平衡解是不稳定的。
3.STLOZ 定理的应用STLOZ 定理在许多领域都有广泛应用，包括生态学、物理学、经济学等。
例如，在生态学中，研究者可以通过建立微分方程模型来描述生态系统中物种的数量变化。
利用 STLOZ 定理，可以分析这些模型中平衡解的稳定性，从而预测生态系统的动态行为。
在物理学中，STLOZ 定理可以用于分析粒子加速器、神经网络等系统的稳定性。
在经济学中，STLOZ 定理可以用于研究价格稳定政策、货币政策等对经济系统的影响。
4.STLOZ 定理的意义与影响STLOZ 定理在微分方程稳定性理论中具有重要意义，为研究非线性微分方程的稳定性提供了一个统一的方法。
该定理的提出和发展，推动了微分方程稳定性理论的进步，为解决实际问题提供了理论支持。
同时，STLOZ 定理也为其他数学领域的研究提供了启示，如特征方程在许多领域都有广泛应用。
常微分方程的基本理论
在生物中的应用
描述种群增长模型
描述生物种群竞争模型
描述传染病模型 描述生物进化模型
04 常微分方程的分类
一阶常微分方程
定义：一阶常微分方程是形如y'=f(x,y)的方程，其中f是x和y的有理函数。 举例：dy/dx=y'，dy/dx=0等。 解法：常用的解法有分离变量法、积分因子法、常数变易法等。 应用：一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
稳定性分析方法
定义：研究常微分方程解的稳定性 分类：局部稳定性、全局稳定性 方法：线性化方法、Lyapunov函数法、LaSalle不变原理等 应用：控制系统、生态模型等领域
03 常微分方程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律 解释自然现象 预测未来趋势 优化物理实验
在经济中的应用
描述经济系统的动态行为，如供求关系、价格变动等 预测经济趋势和未来发展，为决策提供依据 分析经济政策的效果和影响，为政策制定提供参考 研究微观经济主体的行方程近似解法，通过构造一系列离散点 来逼近方程的解。
原理：基于泰勒级数展开，将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解。
实现步骤：选择初始值，根据差分方程进行迭代，直到满足精度要求。
优缺点：欧拉法简单易行，但精度较低，迭代过程中可能产生较大的误差 积累。
龙格-库塔法
定义：一种常用的数值解法，用于求解常微分方程的近似解
原理：基于泰勒级数展开，通过迭代的方式逐步逼近精确解
步骤：选择初始值，迭代计算，直到满足精度要求 应用：适用于各种类型的常微分方程，尤其是一阶和二阶线性或非线性方 程
改进的龙格-库塔法
定义：改进的龙格库塔法是一种用于 求解常微分方程近 似解的高效数值方 法
稳定性理论及连续性方程
′′ 而根据条件可以知道x′ 2 (t) < 0,则x1 (t1 ) > 0,则说明x1 (t)在t1 达到极小值，但是这时不可
能的，因为S2 内，x1 一直是单调递增的。 若轨线从S3 出发，根据条件可以知道轨线往左下方运动，或者进入S2 ，或者趋向点P1 .如 4
果进入到S2 ,则根据上面的分析则最终趋向于P1 . 这样也就说明了其解最终会趋向于点P1 . 种 群 的 相 互 依 存 ：在自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存而共生的现象是很普 遍的。例如植物可以独立生存，但是昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为 食物的昆虫却不能离开植物单独存活。 设种群甲可以独立存在，按照Logistic 规律增长，而种群乙为甲提供养料，有助于甲的增 长。 x′ 1 (t) = r1 x1 (1 − x2 x1 + σ1 ), N1 N2 (1.15)
2
设x1 (t), x2 (t)是两个种群的数量，r1 , r2 是他们的固有增长率，N1 , N2 是它们的最大的容量， 则对应于种群甲而言满足如下的表达式： x′ 1 (t) = r1 x1.6)
反应了甲对有限资源的消耗导致了对他本身的增长的阻滞作用，因为若没有这个
这时对应的方程和原方程有相同的稳定性。 A= f1x1 f2x1 f1x2 f2x2 |(x0 ,x0 )
1 2
(1.4)
同样若要对该方程组进行分析，则需要考虑其线性部分所对应的矩阵的特征方程。很容易可 以得到： λ2 + pλ + q = 0, (1.5)
这里p = −f1x1 − f2x2 |(x0 0 , q = det(A)|(x0 ,x0 ) .如果p > 0, q > 0，则其平衡点是稳定的。而 1 ,x2 ) 1 2 如果p < 0或者q < 0，则该平衡点是不稳定的。或者如果特征根小于零或者有负实部，则其 解是稳定的，否则该点为非稳定点。 在一个自然环境中有两个种群存在，它们之间存在着相互竞争、相互依存以及弱肉强食 的相互关系。当两个种群为争夺同一事物来源和生存空间相互竞争时，最常见的结局是：竞 争力弱的灭绝而竞争力强的达到环境允许的最大值。对于这样的模型进行分析，因为要对两 个不同的种群的相互作用进行分析，容易产生一种反复。例如A对B 有影响，而B 对A 反过 来又有作用，这是一个动态变化的过程。如何建立方程描述这一相互作用。 假设有甲乙两个种群，当他们独自在一个自然环境中生存时，服从Logistic的规律。
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
第五章稳定性定义讲解
d
1
dt
§6.1 稳定性 (非线性微分方程的有关基础理论及稳定性概念 )
dy g(t; y) dt
y1
其
中,
y
y2
,
yn
非自治系统
(1)
或非定常系
统
g1(t; y1, y2 ,, yn )
g(t;
y
)
g2
(t;
y1
,
y2
,,
yn
)
gn
(t;
y1
,
y2
,,
yn
)
dy g( y) dt
y1
其
中,
y y2源自 ,
yn
(2)
g1( y1, y2 ,, yn )
g(t;
y)
g2
(
y1
,
y2
,,
yn
)
gn
(
y1
,
y2
,
,
yn
李氏第二法（亦称直接法）的特点是不必 求解系统的微分方程就可以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是从能量的观点出发得来的 他指出：若系统有一个平衡点，则当t 时， 系统运动到平衡点时，则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此，李雅普诺夫创造了一个 辅助函数，可以用它来衡量系统积蓄的能量， 但它并非是一个真正的能量函数。只要这一 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳定性。因此应用李氏
x
x(x2
y2 ),
第十一讲 非线性微分方程定性 与稳定性理论(1)
{
}
定义3: 定义3: 若 ∃ε 0 > 0 对 ∀δ > 0 ，∃ x 0尽管 x0 ≤ δ ， 但由初始条件 x (t0 ) = x0 确定的解 x (t ) ,总存在某 个时刻 t1 > t0 使得
x (t1 ) ≥ ε 0
则称（3）式的零解 x = 0是不稳定的。 是不稳定的。 则称（
(a)
A > 0, B > 0
t
0
ε
y′ > 0
(b )
A < 0, B < 0
二、相平面
本节主要讨论二阶线性方程
dx dt = ax + by dy = cx + dy dt
的奇点及其分类
a b ≠0 c d
一般二阶微分方程组的相关概念和性质
dx = X (t; x , y ) dt dy = Y (t; x , y ) dt
0
则称（3）式的零解 x = 0 是稳定的。 是稳定的。 则称（ 若（3）式的零解稳定,且 ∃δ0 >0 使得当 x0 ≤ δ 0时, 式的零解稳定, 由 x (t0 ) = x0 确定的解 x ( t )有 则称零解 x = 0 是渐近稳定的. 是渐近稳定的.
t → +∞
lim x ( t ) = 0
x = y − ϕ (t ) ɺ ɺ ɺ ⇒ x = y − ϕ (t ) = g (t ; y ) − g (t ;ϕ (t )) =g (t ; x + ϕ (t )) − g (t ;ϕ (t )) ≡: f (t ; x )
ɺ x = f (t ; x )
f (t ;0) = 0
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若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
2
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为
x(t) = ceat + x0
(5)
其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时
(3)式成立.
3
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表为
x1 (t ) x2 (t)
f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
f g
( (
x1, x1,
x2 x2
) )
0 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
)
8
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性稳有的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
11
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
12
李敖:與大陸軍備競賽會拖垮台灣 2005-6-23 【大公網訊】
無黨籍「立委」李敖23日表示，台灣 與大陸軍備競賽是三輪車追汽車，越追越 遠，還未與大陸開戰，台灣的經濟就會被 拖垮，如同前蘇聯與美國軍備競賽，因經 濟崩潰而解體，因此不應購買愛國者三型 飛彈等三項軍購。
13
80年代军备竞赛转向太空和其他高技术领域， 美国制定的星球大战计划即是例证。军事预算的迅 速增长、武器质量性能优势的争夺以及军事战略的 不断变化，是美、苏军备竞赛的主要特点。
1,
2
1 2
( p
p2 4q ).
(14)
7
方程(9)的一般解具有形式 c1e1t c2e2t (1 2 )
或 c1e1t c2te1t (1 2 ),
c1, c2为任意常数.
(注意：课本p199是否误为 c1e1t c2te1t (1 2 )
4
如 果 存 在 某 个 邻 域 ， 使 方 程 (6) 的 解
x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
lim
t
lim
t
x1 (t ) x2 (t)
x10 x20
,
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则，
称P0是不稳定的(不渐进稳定).
detA 0 .
(11)
6
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程
det(A I) = 0
(12)
的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰
的形式
2 p q 0
p (a1 b2 )
.
(13)
q det A
将特征根记作1, 2，则
如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足limtFra bibliotekx(t)
x0 ,
(3)
则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).
判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解
x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下
面介绍直接法.
1
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为
x(t) f (x0 )( x x0 ),
(4)
(4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论：
若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的;
对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡 点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
9
6.2 军备竞赛
两个国家或国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加 自己的军事力量，防御对方可能发动的战 争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的 一个模型.
90年代世界经济不断国际化、各国间相互依存 关系的加强，以及由于美、苏政治战略的调整，带 来了国际局势的缓和，使军备竞赛的势头趋缓。在 实现实质性裁军的同时，美、苏的竞争更多地转向 了以经济为中心的综合国力方面。但美国依旧发展 了如隐形飞机等的新式武器装备。
5
先看线性常系数方程
x1 (t ) x2 (t)
a1 x1 b1 x1
a2 x2 b2 x2
,
(9)
(非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作
A
a1 b1
a2 b2
,
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定 性，假定A的行列式
10
军备竞赛 (arms race)
军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞 相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领 域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英 国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主 要在美国、苏联两国之间进行，可分为下列几个阶段： ①常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常 规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术， 以服务于军事、政治目的。②核武器竞赛。20世纪70 年代，美、苏核武器竞争激烈，结果双方拥有世界核 弹头库存总数的97％，同时双方在核武器运载工具、 多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。 ③太空武器竞赛。