《概率论与数理统计》复习题1答案

《概率论与数理统计》复习题一答案一、是非题1、对事件A 与B , 一定成立等式()AB B A -=. (错)2、对事件A 和B , 若()()1P A P B +>, 则这两个事件一定不是互不相容的. (对)3、设1,,n X X 是来自总体2~(,)X N μσ的简单样本, 则统计量11ni i X X n ==∑和21()nii XX =-∑不独立. (错)4、若事件A 的概率()0P A =, 则该事件一定不发生. (错)5、设总体X 的期望()E X μ=存在, 但未知, 那么11ni i X n =∑为参数μ的相合估计量.(对)二、填空题6、已知随机事件A 和B 的概率分别为()0.7P A =和()0.5P B =, 且()0.15P B A -=,那么, (|)P B A =()()()0.50.150.5()()0.7P AB P B P B A P A P A ---===.7、设随机变量X 服从区间[1,1]-上的均匀分布, 随机变量2Y X =, 则它们的协方差系数cov(,)X Y =()()()0E X E Y E XY -=; 事件12Y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭的概率12P Y ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭12dx =⎰.8、甲乙两人独立抛掷一枚均匀硬币各两次, 则甲抛出的正面次数不少于乙的概率为1116.9、如果1,,n X X 是来自总体~(1,)X b p (服从01-分布)的简单样本, 而1,,n x x 是其样本观测值. 那么最大似然函数为11(1)nniii i x n x pp ==-∑∑-.三、选择题10、随机变量X 以概率1取值为零, Y 服从(1,)b p (01-分布), 则正确的是A .(A) X 与Y 一定独立 (B) X 与Y 一定不独立 (C) X 与Y 不相关但不独立 (D) 不能确定X 与Y 的独立性11、设随机变量X 和Y 的联合密度函数,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其它. 则一定有 D .(A) X 和Y 独立 (B) ,0,()0,0.y Y e y f y y -⎧>=⎨<⎩(C) ()1X f x = (D) X 和Y 不独立12、设总体2~(,)X N μσ, 1,,n X X 是简单样本,11n i i X X n ==∑,22111()n i i S X X n ==-∑, 22211()1n i i S X X n ==--∑, 22311()n i i S X n μ==-∑, 22411()1ni i S X n μ==--∑. 那么服从(1)t n -分布的是 B .XXXX 13、设某人罚篮命中率为70%, 独立罚篮100次, 那么罚篮命中总次数用中心极限定理估计的近似分布为 C . (这里, ()x Φ是标准正态分布的分布函数) (A) ()x Φ (B) (70)x Φ-(C) Φ (D) 7021x -⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ 14、设连续型随机变量X 的密度函数满足()()f x f x =-, 则对0x >, 分布函数()F x 一定有 B .(A) 0()1()x F x f u du -=-⎰(B) 01()()2x F x f u du -=-⎰(C) ()()F x F x =- (D) ()2()1F x F x -=-四、计算题15、已知某地区某种疾病男性的发病率是5%, 而女性的发病率是0.25%. 如果该地区男女的人数相同. 计算: (1)该地区这种疾病的发病率;(2)如果某人未患这种疾病, 那么患者是男性的概率是多大?解 (1)以A 记事件“抽到的人是男性”; 则A 为事件“抽到的人是女性”. 以B 记事件“此人患病”. 那么已知条件为: ()()0.5P A P A ==,(|)5%P B A =,(|)0.25%P B A =. ()(|)()(|)() 2.63%P B P B A P A P B A P A =+≈.(2)(|)()(|)48.8%1()P B A P A P A B P B ==-.注: 本题题(2)由于会产生二意性, 因此按照下列方法计算, 得分:(|)()1(|)()6P B A P A P A B P B ==.16、设随机变量X 与Y 的联合概率密度为(1),01,1,(,)0,.Ax y x x y f x y -<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求系数A 的值;(2)求(,)X Y 落在区域11(,)1,122D x y x y ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭的概率; (3)计算边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y , 并判断这两个随机变量是否独立. 解 (1)111(,)(1)24xAf x y dxdy dx Ax y dy +∞+∞-∞-∞==-=⎰⎰⎰⎰, 因此24A =; (2)1112{(,)}24(1)xP X Y D dx x y dy ∈=-⎰⎰1212512(1)16x x dx =-=⎰; (3)当0x <或1x >时, ()(,)0X f x f x y dy +∞-∞==⎰;当01x ≤≤时, 12()(,)24(1)12(1)X xf x f x y dy x y dy x x +∞-∞==-=-⎰⎰,所以212(1),01,()0,.X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他当0y <或1y >时, ()(,)0Y f y f x y dx +∞-∞==⎰;当01y ≤≤时, 20()24(1)12(1)yY f y x y dx y y =-=-⎰,所以212(1),01,()0,.Y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠, 所以不独立.17、机器包装食盐, 包装的重量服从正态分布2~(,)X N μσ. 要求每袋的标准重量为1kg, 且方差220.02σ≤. 每天设备正式运行时, 要做抽样检验, 抽取9个样本, 得到的数据如下: 样本均值0.998x =kg, 样本标准差0.032s =. 问:(1)在显著性水平0.05α=下, 就平均重量而言, 机器设备是否处于正常工作状态? (2)在显著性水平0.05α=下, 就方差而言, 机器设备是否处于正常工作状态? (3)你认为设备是否处于正常工作状态.(附注: 0.025(8) 2.306t =, 0.025(9) 2.262t =, 0.025 1.960u =, 0.05 1.645u =,20.025(8)17.535χ=, 20.025(9)19.023χ=, 20.975(8) 2.180χ=, 20.975(9) 2.700χ=, 20.05(8)15.057χ=, 20.05(9)16.919χ=, 20.95(8) 2.733χ=, 20.95(9) 3.325χ=) 解 (1)原假设0H : 1μ=, 备选假设1H : 1μ≠.利用T 检验,拒绝域0.025(8) 2.306t t =>=. 而观测值0.99810.18750.032/3t -==, 不在拒绝域. 就净重而言, 机器工作正常.(2)原假设0H : 220.02σ≤, 备选假设1H : 220.02σ>. 利用2χ检验, 拒绝域2220.0520(1)(8)15.057n s χχσ-=≥=.而观测值22280.03220.480.02χ⨯==, 在拒绝域. 就方差而言, 机器工作不正常. (3)只要有一个检验没有通过, 就不能认为机器正常工作. 所以机器处于不正常工作状态.18、设总体X 的分布律为(),0,1,2,!xk p e x x θθθ-==, 0θ>, 其中θ为未知参数.(1)求参数θ的矩估计1ˆθ; (2)求参数θ的最大似然估计2ˆθ. 解 (1)11()!(1)!xxx x E X x ee x x θθθθθ∞∞--===⋅==-∑∑, 所以1ˆX θ=. (2)对数最大似然函数1111(;,,)!!niii x x nn n ni i ii L x x eex x θθθθθ=--==∑==∏∏,111ln (;,,)ln ln(!)nnn i i i i L x x n x x θθθ===-+⋅-∑∑,111ln (;,,)0nn i i L x x n x θθθ=∂=-+⋅=∂∑, 即2x θ=.五、证明题19、 设口袋中有一个球, 可能是白球, 也可能是黑球, 没有任何信息. 现在放入一个白球, 然后等可能地任取一个球. 证明: 如果拿出的是白球时, 原来的球也是白球的概率是23. 证明 以A 记事件“原来的球是白球”, 以B 记事件“第二次拿出的球是白球”.则要证明的结果是2(|)3P A B =. 由题意1()()2P A P A ==, (|)1P B A =, 1(|)2P B A =, 因此(|)()12(|)1(|)()(|)()312P B A P A P A B P B A P A P B A P A ===++.。