微积分：微商的运算法则
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
导数
当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把 此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。这实际上是由平均速度类比到瞬时速度 的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）。
历史沿革
起源
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求 最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f’ （A）。
发展
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨 等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化 率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方 程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量 的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
需要指出的是：
两者在数学上是等价的。
导函数
如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内 的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的 导函数，记作y’、f’（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
性质
单调性
（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。 需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
数学公式知识：微积分中的积分运算法则
数学公式知识：微积分中的积分运算法则微积分是数学的一个分支，其中的积分运算法则是微积分最重要的部分之一。
在微积分中，积分是指找到一个函数的原函数，就是找到一个函数，如果对这个函数求导的话，得到的结果就是原来函数。
微积分中求积分的过程十分困难，而这里面涉及到了许多的法则和规则。
本文将详细讲解微积分中的积分运算法则。
首先要了解的是积分符号。
积分符号就是一个弧形的S字，表示所求函数的区间。
例如，如果要在从a到b的区间内求函数f(x)的积分，就可以写成∫ab f(x)dx。
首先是求导后的反函数的求法。
如果一个函数f(x)求导后得到一个函数g(x)，这两个函数是互为反函数的，那么在区间内求函数g(x)的积分时，就可以用f(x)代替g(x)，而在代入f(x)后，得到的积分的区间要分别对应上下界之差，这个区间就是区间内所有值为x的f(x)的对应值的和。
接下来是被积函数的加减法法则。
对于一个大的被积函数，可以把它拆成小的部分，这个小的部分可能是两个或更多个函数的和或差，即可以表示成f(x)+g(x)或f(x)-g(x)的形式。
对于这种被积函数，它的积分就可以表示成f(x)的积分加上g(x)的积分或f(x)的积分减去g(x)的积分的和的形式。
这个公式可以表示为∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx，以及∫ab(f(x)-g(x))dx=∫abf(x)dx-∫abg(x)dx。
然后是对被积函数进行伸缩和平移。
当对函数进行伸缩和平移时，它的积分也会变化。
伸缩时，积分的上下界要分别除以伸缩比例，这个公式可以表示为∫abf(kx)dx=(1/k)∫(ak)(bk)f(x)dx。
平移时，积分的上下界要加上平移距离，这个公式可以表示为∫abf(x+k)dx=∫(a+k)(b+k)f(x)dx。
在微积分中，还有一种特殊的函数，就是不连续的函数。
对于一个不连续的函数，其积分就不是普通意义上的积分，而是被称为广义积分，这个积分可以被描述为两极限之间积分的值，其中的两极限可能是正无穷或负无穷。
微积分的四则运算法则
微积分的四则运算法则微积分是数学中的一门重要学科，它是研究函数的变化规律和极限的学科。
在微积分中，四则运算是最基本的运算法则之一，它包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将详细介绍微积分的四则运算法则。
一、加法法则在微积分中，加法法则是指两个函数相加的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)2.结合律：(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))3.存在零元素：f(x)+0=f(x)二、减法法则减法法则是指两个函数相减的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的差函数h(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.减法的定义：f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))2.交换律：f(x)-g(x)=-(g(x)-f(x))3.结合律：(f(x)-g(x))-h(x)=f(x)-(g(x)+h(x))三、乘法法则乘法法则是指两个函数相乘的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的积函数h(x)=f(x)g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x)2.结合律：(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))3.分配律：f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)四、除法法则除法法则是指两个函数相除的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，且g(x)≠0，则它们的商函数h(x)=f(x)/g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.除法的定义：f(x)/g(x)=f(x)×(1/g(x))2.乘法逆元：若g(x)≠0，则存在一个函数1/g(x)，使得g(x)×(1/g(x))=13.分配律：f(x)/(g(x)+h(x))=f(x)/g(x)-f(x)/h(x)综上所述，微积分的四则运算法则是微积分中最基本的运算法则之一，它们在微积分的各个领域中都有着广泛的应用。
2.2 微商的运算法则和公式
2.2 微商的运算法则和公式1.微商的四则运算法则（1）如果函数()u x 、()v x 都可微，那么函数()()u x v x ± 也可微，且()()()().u x v x u x v x '''±=±⎡⎤⎣⎦于是公式可简写为().u v u v '''±=± 例1设22y x = ，求.y ' 解()()()22222y x x x '''''==-+=（2）如果函数()u x 、()v x 都可微，那么函数()()u x v x ⋅ 也可微，且()()()()()().u x v x u x v x u x v x '''=+⎡⎤⎣⎦以上公式可简写为().uv u v uv '''=+特别地，如果函数()u x 可微，则函数()cu x 也可微，且()(),cu x cu x ''=⎡⎤⎣⎦其中c 为常数.以上公式可简写为().cu cu ''= 例2 求自由落体212s gt =在时刻1t = （秒）时代瞬时速度.v 解 ()221112.222v s gt g t g t gt '⎛⎫''====⋅= ⎪⎝⎭当1t = 时，1.v g g =⋅= 例3 求2sin y x x = 的微商. 解 ()()()2222sin sin sin 2sin cos .y x xx x x x x x xx ''''==+=+（3）若()u x 、()v x 都可微，()0v x ≠ ，则()()u x v x 也可微，且 ()()()()()()()2.u x u x v x u x v x v x v x '⎡⎤''-=⎢⎥⎣⎦以上公式可简写为2.u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭例4 求tan ,cotx x 的微商. 解()()()222222sin cos sin cos sin tan cos cos cos sin 1sec .cos cos x x x x x x x x x x x'''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭+=== 类似地，()2cot csc .x x '=-例5 求sec x 、cscx 的微商. 解()()()221cos 1cos 1sec cos cos sin 1sin sec tan .cos cos cos x x x x x x x x x x x x'''-⋅⎛⎫'==⎪⎝⎭==⋅=⋅类似地，()sec cscx cotx.x '=-⋅ 例6 设1n y x=（n 为正整数），求.y ' 解 ()()()1122111.n n n n n n n x x nx y nx x x x ---'''-⋅-⎛⎫'====- ⎪⎝⎭ 设n 为整数，则()1.nn x nx-'=例7 求函数2310155x x y x +-= 的微商.解()()()()()()2123312323423410151235511231223355149.5x x y x x x x x x x x x x x x x---------''⎛⎫+-⎛⎫'==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'''=+-=⋅-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅=--+2.复合函数的微商定理 如果函数()u x ϕ= 在点0x 处可微，()00u x ϕ= ，函数()y f u = 在点0u 处可微，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦ 在点0x 处可微，且00.x x u u x x dy dy dudxdu dx====⋅推论 如果函数()u x ϕ= 在点x 可微，函数()y f u = 在相应点u 处可微，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦ 在点x 可微，且.dy dy du dx du dx=⋅ 例8 设()sin s t ωε=+ ，求.ds dt解 函数()sin s t ωε=+ 是由sin s u = 与u t ωε=+ 复合而成的复合函数，由复合函数的微商公式，可得()()()sin cos cos .dx dx du d d u t u t dt du dt du dtωεωωωε=⋅=⋅+=⋅=+ 例9 设()ny ax b =+ ，求.dy dx解 函数()ny ax b =+ 是由n y u = 与u ax b =+ 复合而成的复合函数，由复合函数的微商公式得()()()11.n n n dy dy du d d u ax b nu a an ax b dx du dx du dx--=⋅=⋅+=⋅=+ 例10 设1tan 1y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求.dy dx 解222111tan 1sec 1111sec 1.dy dx x x x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭例11 设2cosln y x = ，求.dy dx解()()()2222222221cos ln sin ln ln sin ln 12sin ln 2sin ln .dy x x x x x dx xx x x x x'''==-⋅=-⋅⋅=-⋅⋅=-例12 设()sin 3y x = ，求.dydx解()()()()()2sin 3sin 3sin 3cos33sin 313.dy x x x dx x x x x x x '''⎡==⋅⎣''=⋅+= 例13 已知曲柄连杆机构上滑块B 的位移s 与时刻t 的关系为cos s r t ω=求滑块的速度（图2-4中t θω= ）.解(()()()()()()()()222222222cos cos cos sin sin sin sin 0sin sin 2sin v s r t r t r t l r t r t t l r t r t r t r t r ωωωωωωωωωωωωω''''==+=+''=+-⎡⎤'''=-⋅+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤'=-+-⎢⎥⎣⎦=-+-⋅()()22sin sin 2sin cos sin t t r t r t t r t ωωωωωωωω⎡⎤'⋅⎢⎥⎣⎦=-+-⋅⋅=--3.指数函数与幂函数的微商法则 （1）指数函数的微商()()ln 0,1xxa aa a a '=>≠，特别地().x x e e '=（2）幂函数的微商()1x xααα-'= （α 为任意常数）例14 设2323xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求.y '解2233211332233222222ln ln .333333x x x x y x x x x --'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例15 设lnsin xy e x =⋅ ，求.dydx解()()()()()ln sin ln sin ln sin 11ln sin sin ln sin cos sin sin ln sin cot .x x x x xx x x dye x e x e x dxe x e x e x e x x xe x x '''=⋅=+'=+⋅⋅=+⋅⋅=+例16设(ln y x = ，求.dy dx解((()()2ln 1112dy x x dx x x x ''⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤'''=+=++⎥⎥⎦⎦⎛⎫===⎪⎭ 例17 求231342exp y x x x ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭的微商，这里()()exp .f x f x e =⎡⎤⎣⎦ 解231342x x x y e++= ，223131334242231342231342231342231342*********121131334242321432321exp .432x x xx x x x x x x x x y e e x x x ex x x ex x x x x x x x x ++++++---++---''⎛⎫⎛⎫'==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤'''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎧⎫=++++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭例18 设sin xy x = ，求.dydx解 在sin xy x=的两边取对数，得ln sin ln y x x =⋅ .上式两边对x 求微商，得11cos ln sin .y x x x y x'⋅=⋅+⋅ 所以，sin sin sin cos ln cos ln .x x x y y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例19 设()1sin xy x x =++ ，求.dydx解 因为()()()ln 1ln 11sin sin sin xxx x x y x x ex ex ++=++=+=+ ，所以()()()()()()()()(){}()()()()()ln 1ln 1ln 1sin sin ln 1cos 1ln 1ln 1cos 1=1+ln 11cos 1ln 1cos .11x x x x xx x x x y ex e x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++'''⎡⎤⎡⎤'=+=+⎣⎦⎣⎦'''=⋅++=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤'++⋅⋅++=++++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦4.隐函数与反三角函数的微商法则（1）隐函数的微商 由方程310y x --=可确定y 是x的函数：y =一般地，由方程(),0F x y =所确定的函数称为隐函数，而形如2sin y x x =+ 的函数称为显函数.函数y =是由方程310y x --=所确定的函数，把y =代入方程310y x --= ，就可得到关于x 的恒等式：310.x --≡一般地，设()y f x = 是由方程(),0F x y = 所确定的函数，则有关于x 的恒等式：()(),0.F x f x ≡下面求由方程310y x --=所确定的函数()y f x = 的导数.方程两边对x 求导，则由复合函数的微商法则得22310,1.3y y y y'-='=若在把y 代入，则有()231.31y x '=+当然，也可以用以前的方法求导数：()()()11133231111.331y x x x -''⎡⎤'==+=+=⎢⎥⎣⎦+ 例20 若()y y x = 是方程0xyxy e e -+= 所确定的函数，求.dydx解 方程两边对x 求微商，得0.x y y xy e e y ''+-+⋅=于是，(),.yxx yx e y ey e y y x e'+=--'=+例21 求曲线()()355221y x +=+ 在点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线. 解 方程两边对x 求微商，得()()243525521 2.y y x '+⋅=+⋅于是，()()42212.352x y y +'=⋅+ 曲线在点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率为()()402105152122.3352x y x y x y y ==-==-+'==+ 从而可求出所求切线的点斜式方程：1253y x += . 化为一般方程：101530.x y --=（2）反三角函数的微商()arcsin x '=；()arccos x '=；()21arctan 1x x'=+ ； ()21arccot .1x x '=-+ 例22 设()221arcsin 01x y x x -=>+ ，求.dy dx 解()()()()()()()()222222222222222211arcsin 1111111211212.211dy x x dx x x x x x x x x x x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭''-+--+=+-+--⋅+=⋅=-++ 例23 若()arctan y x y =+ ，求.dy dx解 方程两边对x 求导，得()()211.1y y x y ''=+++所以，()()()()22221,1111,1.y y x y x y x y y y x y y ''=+++++⎡⎤''++=+⎣⎦'+=所以，()21.dy dx x y =+ 习题1.求微商dy dx： （1）2321y x x =-+ ； 解()()()()()()()2223213213213226 2.dyx x x x x x dxx x ''''=-+=-+=-+=⋅-=- （2）()()52211y x x =++ ；解()()()()()()()()5252524256466421121121110121210104214102.dy x x x x x x dx x x x x x x x x x x x '''⎡⎤=++=+++++⎣⎦=+++⋅=+++=++（3）23111y x x x =++ ； 解()()()()()()2323123112131234111111123123.dy dx x x x x x x x x x x x x x x x ---------''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''=++=-+-+-=--- （4）21x y x+=； 解232223111122.dy x x x dx x x x x x--''+⎛⎫⎛⎫==+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （5）()21sin y x x =+ ；解()()()()()22221sin 1sin 1sin 2sin 1cos .dy x x x x x x dx x x x x '''⎡⎤=+=+++⎣⎦=++（6）y =；解))()222cos cossin cos2sin cos2.x x x xdydx xx x xxx x xx'''-==⎝⎭==+=-（7）2cosy x x=+；解()()()()()22cos cos12cos cos12cos sin1sin2.dyx x x x x xdxx x x'''' =+=+=+⋅=+⋅-=-（8）sin21xyx=+；解()()()()()()()()22222sin21sin21sin211cos221sin2121cos2sin2.11x x x xdy xdx x xx x x x x xx x'''+-⋅+⎛⎫==⎪+⎝⎭+⋅⋅+-⋅+-==++（9）sin cossin cosx x xyx x x+=-；解()()()()()()()()()()()()()()()222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos dy x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫= ⎪-⎝⎭''+--+-=-⎡⎤'---++⎢⎥⎣⎦=----+++=-=-()22sin sin cos 1.sin cos x x x x x x x +++-（10）22sec tan y x x =+ ； 解()()()()()()2222222sec tan 1tan tan 12tan 12tan 022tan tan 4tan sec .dyx x x x x dx x x x x x '''=+=++=+'''=+=+⋅⋅=⋅ 2.求一点的微商的值：（1）()22S t t t =- ，求()0S ' 和14S ⎛⎫'⎪⎝⎭； 解 因为()22S t t t =- ，所以()()2214.S t t t t ''=-=- 于是，()1101401,140.44S S ⎛⎫''=-⨯==-⨯= ⎪⎝⎭（2）2S R π= ，求1.R S =' 解 因为2S R π= ，所以()()222.S R R R πππ'''=== 于是，1212.R S ππ='=⋅=3.若()f x 为已知的可微函数，求.dy dx（1）()y x f x =+ ； 解()()()()1.dy x f x x f x f x dx''''=+=+=+⎡⎤⎣⎦ （2）()sin .y f x x =解()()()()()()sin sin sin sin cos .dy f x x f x x f x x f x x f x x dx''''==+=+⎡⎤⎣⎦ 4.在抛物线241y x x =-+ 上，哪一点的切线与直线y x = 平行？哪一点的切线是水平的？写出曲线在这些点的切线与法线方程. 解 抛物线241y x x =-+ 是函数()2114y x x =-+ 的图像. ()()211121.44y x x x '⎡⎤'=-+=-⎢⎥⎣⎦解方程()12114x -= ,得52x = ，此时2155191.42216y ⎡⎤⎛⎫=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故抛物线在点519,216⎛⎫⎪⎝⎭ 处的切线与直线y x = 平行.解方程()12104x -= ，得12x = ，此时21113142216y ⎡⎤⎛⎫=-+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ .故抛物线在点13,216⎛⎫⎪⎝⎭处的切线是水平的. 在点519,216⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为和法线方程分别为 195162y x -=- 和195162y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ， 即1616210x y --= 和1616590.x y +-=在点13,216⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程和法线方程分别为12y = 和3.16x =6.求微商：（1）()431y x =+ ；解 ()()()()43331431311231.y x x x x ''⎡⎤'=+=+⋅+=+⎣⎦（2）y = ； 解()22y a x '''==+=（3）22xy a x =- ；解()()()()()()()22222222222222222222.x a x x a x x y a x a x a x x x a x axax'''---⎛⎫'== ⎪-⎝⎭---⋅-+==--（4）y = ；解()()()()()()()()()()()()()()()()()()11331233121233332233143322211223312.3a x a x a x a x a x y a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ----'⎡⎤''-----⎡⎤'⎢⎥-⎣⎦⎢⎥'===⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'----⋅-⋅---+--==--=--+-- （5）()2312x y x =+ ；解()()()()()()()()()()()()()()()()33222363232226622441212121221231212212612121222126.1212x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '''⎡⎤+-+⎡⎤⎣⎦'==⎢⎥++⎢⎥⎣⎦'+-⋅+⋅++-+==++-+-==++（6）41x y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；解()()()()()()43323325411111411144.111x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦''+-+⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭++-⎛⎫=⋅= ⎪+⎝⎭++ （7）y =；解()()()()()()()()22a bx y x a bx x a bx x xb x a bx x αβαβαβαβαββαβ''⎛⎫+'== ⎪+⎝⎭''++-++=++-+=+=（9）y = ； 解()()()()()()()()()()115221411552222241522245243111434343151121111143.651211151x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----''⎡⎤⎛⎫⎢⎥'==+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦'⎡⎤''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'⎢⎥=+-=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⋅---⎛⎫=⋅+-- ⎪-⎝⎭-⎛⎫=⎪-⎝⎭-()122343.x x--- （10）u t = 解()()2222223121222u t t t t a t t t ''⎛''== ⎝'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-⋅=7.求微商：（1）()cos 12y x =- ；解 ()()()()cos 12sin 12122sin 12.y x x x x '''=-=--⋅-=-⎡⎤⎣⎦（2）3sin 3y x = ； 解 ()()()3222sin 33sin3sin33sin 3cos339sin 3cos3.y x x x x x x x x ''''==⋅=⋅⋅=（3）tan cot 22x x y =- ； 解222222222tan cot tan cot 2222sec csc sec csc 22222111112.2cos sin 2cos sin sin 2x x x x y x x x x x xx x x x x'''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=⋅= ⎪⎝⎭ （4）()2cos y x x -=+ ； 解()()()()()()()2333cos 2cos cos 2cos 1sin 2sin 1cos .y x x x x x x x x x x x x ----''⎡⎤'=+=-+⋅+⎣⎦=-+⋅-=-+（5）y =；解()()()()32121sin 331sin 1sin cos .1sin .22y x x x x x ''⎡⎤'==+⎢⎥⎣⎦'=++=+（6）tan 42x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ ； 解 221tan sec sec .424242242x x x x y ππππ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（7）sin xy xπ= ；解()()()222sin sin sin cos sin 1cos sin .x x x x x y x x x x x x x x x x x πππππππππ'''-⋅⎛⎫'==⎪⎝⎭'⋅⋅-⋅-==（8）y =. 解()()()22222secsec1111sec1yxxx xx''⎛'==⎝'⎛⎫= ⎪-⎝⎭⋅--⋅-=-=8.设()()siny x xϕ=+（()xϕ是可微的），求.dydx解()()()()()()()()()() sin cos1cos.dyx x x x x x x x x dxϕϕϕϕϕ''⎡⎤'=+=+⋅+=++⎣⎦9. 求微商：（1）()12x xy e e-=+；解()()()()()()11122211.22x x x x x xx x x xy e e e e e ee e x e e-----'⎡⎤⎡⎤''''=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤'=+⋅-=-⎢⎥⎣⎦（2）n xy x e=；解()()()1.n x n x n x n x n xy x e x e x e nx e x e-''''==+=+（3）x xx xe eye e---=+；解()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22222222224.x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x xxx xx xx e e e e e e e e e e y e ee e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e eeeeee-----------------------'''-+--+⎛⎫-'== ⎪+⎝⎭+⎡⎤⎡⎤''''-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+++---=++--⋅===+++（4）23sin3x y e x -= ； 解()()()()()23232323232323sin 3sin 3sin 323sin 3cos333sin 33cos3.x x x x x x x y e x e x e x e x x e x x e x e x -------''''==+''=⋅-⋅+⋅⋅=-+（5）2x y e -= ； 解 ()()22222.x x x y ee x xe ---'''==⋅-=-（6）sin xy e-= ；解 ()()sin sin sin sin cos .xxx y e ex e x ---'''==⋅-=-（7）ln tan 24t y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解221ln tan tan 2424tan 24cot sec 24242411cot sec 242422sin cos 242411sec .cos sin 2t t y t t t t t t t t t t t πππππππππππ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+=⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+ ⎪⎝⎭'⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭（8）)ln sin .y x =解))()lnsin sin cos 1ln cos cos .y x xx x x x ''⎡⎤'==⎣⎦⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎤'=+-⎥⎦⎫=⎪⎭11.求的微商：先直接求之，再用对数的性质简化函数而后求之.解 直接求解（略）利用对数性质求微商(()()()()()()22222211ln ln 1ln 22311ln 1ln 223111112213211111121..2132132x x x x x x x x x x x x x x''⎛⎫'⎡⎤==+-+ ⎢⎥ ⎣⎦⎝''⎡⎤=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=⋅⋅+-⋅⋅+++=⋅⋅-⋅⋅=-++++。
微积分
一、函数1.经济函数：成本函数C=ax+b, 总收入函数R=px, 总利润函数=C-R, 需求函数Q=a-bp, 供给函数Q=dp-c；2.函数定义域，不管求什么都要算一下；3.反三角函数值域arcsin [-π/2, π/2]，arccos [0,π]，arctan (-π/2, π/2)，arccot(-π/2,0)U(0,π/2)二、极限与连续1.X—>Xo时的极限，E>0, |X-Xo|<Δ, |f(x)-A|<E；X—>∞时的极限, E>0, |x|>X, |f(x)-A|<E. f(x)极限存在且等于A<=>左极限=右极限=A2.极限等于A <=> 极限为A+o(无穷小量)3.有限个无穷小量和/差/积仍是无穷小量；无穷小除以极限不为零的变量仍是无穷小；无穷小乘以有界变量仍是无穷小；无穷小的导数是无穷大。
4.高阶无穷小-（极限的比值）极限是0，等价无穷小-比值的极限是1，同阶无穷小- 比值是非零常数；5.极限的保号性6.极限四则运算与幂运算【有限个函数；函数都有极限；分母不为0】；【！若函数是一个分式多项式P(x)/Q(x), P(x)=aX^n+......, Q(x)=bX^m,则：当n<m, 极限为0；当n=m, 极限为a/b；当n>m, 极限为∞】7.夹逼定理，两个重要极限sinx/x(x—>0)=1，(1+1/x)^x=e【本质上是0/0和(1+∞)^x】8.函数连续：Δy=0，函数在Xo连续<=>左连续=右连续；【在Xo点连续一定要有定义】！9.第一类间断点（左右极限都存在）：可去间断点-左右极限相等，跳跃间断点- 左右极限不相等；第二类间断点（做右极限至少有一个不存在）：无穷间断点、非无穷间断点；10.复合函数与反函数连续性和单调性、初等函数在定义区间内连续；11.闭区间上的连续函数：最值定理、介值定理、零值定理—【条件是函数在[a,b]上连续】；三、导数与微分1.导数概念：（瞬时速度/曲线斜率）导数是一个极限（ΔY/ΔX）,极限存在即可导.(df/dx)；【极限是∞不可导】；导函数- f '(x) - 函数在区间内处处可导，且有唯一导数值对应切线方程- 特殊点(Xo,Yo), k=f '(Xo); 法线方程- k=-1/f '(Xo)2.求导法则【根据定义求导】：第一步计算ΔY=f(x+Δx)-f(x)；第二步计算ΔY/ΔX；第三步求极限（Δx→0）时的比值，即得导数。
第四节微商与微分
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
xo
x
不可导
点
4. 微商的计算
原料
基本初等函数 的微商公式
加工
四则运算 复合运算
微商法则
产品
初等函数 的微商
基本初等函数的微商公式
（1）常值函数 y c '
c' 0 （2） y xn : 其中 n 是正整数
(xn ) ' nxn1 （3）正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u ' x2 ' cos u 2x 2x cos x2
例13
设
f
x
x sin
0,
1 x
,
x0 x0
当 x 0 时，函数 f x 是可导的：
f
'x
sin
1 x
1 x
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y f (2x )2x ln 2 f ( x ) 1 . 2x
五、其它微商法
1、隐函数微商法
定义：若变量x、y之间的函数关系是由 一个方程F( x, y) 0所确定，则称 这种函数为隐函数。
方法： 把y看成是x的函数，在方程两边 直接对x求微商就行。
例 1方程 x3 2xy y5 0确定了
x
)
1 cos
x 1(cos cos2 x
x)
sin x
secx tan x.
cos2 x
(secx) sec x tan x
同理
(cot
x)
1 sin2
x
csc2
x
(cscx) csc x cot x.
例4 求函数y log a x(a 1, a 0)的导数。
解 loga
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
例1 求函数 y x 2 1 x 3 的导数。
x
解 y ( x 2 ) ( 1 ) ( x ) 3
x 11 2x . x2 2 x
例 2 求函数 y x 2 sin x 的导数。
解 y (x2 sin x)
( x 2 ) sin x x 2 (sin x) 2x sin x x2 cos x.
且
f
( x )
1 ( y )
,
或 dy 1 .
dx
dx dy
例1 求函数y arcsin x的导数。
解 y arcsin x,) 1 (sin y)
1 cos y
1
1
1 sin2 y
1 x2
类似 (arccos x) 1 1 x2
例2 求函数y arctan x的导数。 解 y arctan x , x (,)是x tan y
的反函数。 (arctan x) 1 1
(tan y) sec2 y
1
1 tan 2 y
1
1 x2
类似 (arc cot x) 1 1 x2
四、复合函数微商法则
设函数y f (u)与u ( x)可以复合成
隐函数y f ( x)，求y.
解 方程两边对x求导
3x 2 2 y 2xy 5 y4 y 0
y
3x2 2y 2x 5y4
(tan x) sec2 x
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(e x ) e x (ln x) 1
例 1 设 y x2 1, 求 yx。
解 令 y u, u x2 1,
yx ( u) ( x2 1) 1 2x 2u x. x2 1
注意：先对最外层函数求导，然后去 掉最外层函数，再乘以对剩下函 数的导数。
例 2 y lnsin x, 求 dy .
dx
解
dy dx
1 （sin x) sin x
函数y f [( x)], 若u ( x)在点x可微，
且y f (u)在对应点u可微，则复合函
数y f [( x)]在点x可微，且
yx f (u) ( x )
或y x
y u
ux 或
dy dx
dy du . du dx
注意：
关键是把一个函数分解成几 个比较简单的函数，而这几个简 单函数的导数是我们已经会求的。
cos x sin x
cot
x.
1
例3
sin
ye x,
求 dy . dx
解
dy
1 sin
ex
(sin
1 )
dx
1 sin
ex
x
cos 1
( 1 )
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
例 4 求幂函数y x (为实数)的微商
解 y x e ln x
（y） e ln x 1
x
(1 cos x)2
sin
x(1
cos
x)
x (1
cos x cos
x x)2
cos2
x
x
sin2
x
sin
x(1
cos x) x(1 (1 cos x)2
cos
x)
sin 1
x cos
x x
三、反函数微商法则
设函数y f ( x)为函数x ( y)的反函数, 若( y)在点y的某领域内可微，严格单调， 且'( y) 0，则f ( x)在对应的x处可微，
x x 1
x
例 5 y ln(x x2 1), 求 dy .
dx
解 dy 1 (x x2 1) dx x x2 1
1 (1 x ) x x2 1 x2 1
1 x2 1 x 1 .
x x2 1 x2 1
x2 1
例 7 设 f 是可微函数，
y f (2x ) f ( x), 求y.
重点：求微商； 难点：复合函数的微商
隐函数的微商
新课内容：
一、基本微商公式 二、函数的和、差、积、商的微商法则 三、反函数微商法则 四、复合函数微商法则 五、隐函数微商法 六、对数微商法
2.1微商的运算法则
一、基本微商公式
常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
例3 求函数 tan x、sec x的导数。
解 (tan x) ( sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 sec2 x. cos2 x
(tan x)
1 cos2
x
sec2
x.
(secx)
(1 cos
x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
二、函数的和、差、积、商的微商法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv) uv uv,
x
ln x ln a
,
(loga
x)
( ln x ) ln a
1 (ln x) 1 .
ln a
x ln a
例 5设
f (x)
x sin x ,
1 cos x
求f
( x)。
解
f
( x)
(x
sin
x)(1
cos x) (1 cos
x sin x)2
x(1
cos
x)
(sin x x cos x)(1 cos x) x sin x( sin x)