[推荐学习]2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算夯基提能

第一节变化率与导数、导数的计算
A组基础题组
1.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f '=( )
A.-
B.-
C.-
D.-
2.已知f(x)=x(2 016+ln x),若f '(x0)=2 017,则x0等于( )
A.e2
B.1
C.ln 2
D.e
3.(2016济宁模拟)曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)的切线方程为( )
A.y=3x-1
B.y=-3x-1
C.y=3x+1
D.y=-3x-1
4.(2016贵州贵阳一模,6)曲线y=xe x在点(1,e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
5.(2016重庆适应性测试)若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=( )
A.-
B.2-
C.
D.2
6.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.
7.已知f(x)=3ln x-2xf '(1),则曲线y=f(x)在点A(1,m)处的切线方程为.
8.曲线y=aln x(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a= .
9.求下列函数的导数:
(1)y=x·tan x;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=-
-
.
10.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两切线是否为同一条直线.
B组提升题组
11.(2017河南郑州二中期末)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f '(x)的图象,则 f(-1)=( )
A. B.-C. D.-或
12.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1, f(1)),则m的值为( )
A.-1
B.-3
C.-4
D.-2
13.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.
14.函数f(x)=-的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.
15.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
16.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
答案全解全析
A组基础题组
1.C ∵f(x)=cos x,∴f '(x)=-cos x+·(-sin x),∴f(π)+f '=-+·(-1)=-.
2.B f '(x)=2 016+ln x+x×=2 017+ln x,由f '(x0)=2 017,得2 017+ln x0=2 017,则ln x0=0,解得
x0=1.
3.A 由题意得y'=(x+1)e x+2,则曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线
y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.
4.D y'=e x+xe x,则y'|x=1=2e,∵切线与直线ax+by+c=0垂直,∴-=-,∴=,故选D.
5.B 依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,对于y=2ln x+1,易知y'=,则有
y'=,于是有解得x0=,a=2-,选B.
6.答案(e,e)
解析令f(x)=xln x,则f '(x)=ln x+1,设P(x
0,y0),则f '(x0)=ln x0+1=2,∴x0=e,此时y0=x0ln x0=eln e=e,∴点P的坐标为(e,e).
7.答案x-y-3=0
解析由题意得f '(x)=
-2f '(1),所以f '(1)=3-2f '(1),即f '(1)=1.∴m=f(1)=-2f '(1)=-2,所以所求切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.
8.答案8
解析令f(x)=y=aln x,则f '(x)=
,∴在x=1处的切线的斜率为a,∵f(1)=aln 1=0,故切点为(1,0),∴切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a,∵a>0,∴所围成的三角形的面积为
×a×1=4,∴a=8.
9.解析(1)y'=(x·tan x)'=x'tan x+x(tan x)'
=tan x+x·'=tan x+x·
=tan x+.
(2)y'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+ x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
(3)因为y=-
-
=
--
-
=e x+e-x-
-
=e x+e-x-,
所以y'=(e x)'+(e-x)'-'
=e x-e-x--.
10.解析易知:曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f '(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为
g'(1)=-a.又f '(1)=g'(1),所以a=-3.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得
y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0;曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两切线不是同一条直线.
B组提升题组
11.D ∵f '(x)=x2+2ax+a2-1,∴f '(x)的图象开口向上,则排除②④.若f '(x)的图象为①,则a=0,
f(-1)=;
若f '(x)的图象为③,则a2-1=0,且-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.综上知选D.
12.D ∵f '(x)=,∴直线l的斜率k=f '(1)=1,又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.
g'(x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=+mx0+(m<0),由此可解得m=-2.
13.答案
解析由y=x2-ln x,得y'=2x-
(x>0),
设点P0(x0,y0)是曲线y=x2-ln x上到直线y=x-2的距离最小的点,则y'=2x0-=1,解得x0=1或
x0=-(舍).
∴点P0的坐标为(1,1).
∴所求的最小距离==.
14.答案
解析 f '(x)
=
---
=--
,
则f '(-1)=-4,故切线方程为y=-4x-2,切线在x,y轴上的截距分别为-,-2,故所求三角形的面积为.
15.解析 f '(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意得
--
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为
--∪-.
16.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=.
又因为f '(x)=a+,则有a+=,所以a=1,b=3.故f(x)=x-.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f '(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=
(x-x0),
即y--=(x-x0).
令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为-.
令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为-|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。