2015高考数学试卷汇编--坐标系与参数方程
高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程学生版
-年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程学生版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：学科教师辅导教案 学员姓名年 级高三 辅导科目 数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2018年 月 日 ： — ：1.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e 的极坐标方程为23sin ρθ=.(I)写出C e 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.历年高考试题集锦——坐标系和参数方程4、（2015新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.5、（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .6、（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．7、（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.8、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.9．（2013江苏理）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x （θ为参数），试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)教程文件
4 因为 p 2— 2 2 p os( 9— 4) 2,n ncos 0cos4 +sin O sin^)所以圆O 2的直角坐标方程为x 2 + y 2— 2x — 2y —2= 0.(2)将两圆的直角坐标方程相减， 所以p 2— 2 2 p2,化为极坐标方程为pcos 9+p sin 9= 1, 即 p in( 9+扌)=二3、(2017全国卷H )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C ’的极坐标方程为p os 0= 4.(1)M 为曲线G 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM| |OP|= 16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; ⑵设点A 的极坐标为(2, 3) 解：(1)设P 的极坐标为(p, 9)(p>0), M 的极坐标为(p, 0( p>0). ，点B 在曲线C 2上，求△ OAB 面积的最大值.由题设知 |OP|= p, |OM|= pi —eg 9由 |OM| |OP|= 16, 得 C 2 的极坐标方程 p= 4cos 0p>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x — 2)2+ y 2= 4(X M 0). ⑵设点B 的极坐标为(PB , a ( PB >0),由题设知|OA|= 2, pB = 4cos a 于是△ OAB 的面积将(0,1)转化为极坐标为(1, ^) 即为所求.(1) 把圆O i 和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由 p= 2 知 p= 4,所以圆O ’的直角坐标方程为x 2 + y 2= 4. 1、在极坐标系下，已知圆 O : p= cos 9+ sin 9和直线I : psin ( 0— 4)= ¥( P‘ 0,0 三 9 2n)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;psi n(2)当9€ (0 , n 时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. 解：(1)圆 O ： p= cos 9+ sin 9,即 p 2= pcos 9+ psin 9,故圆O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 — x — y = 0,直线 l ： psin( 9-n )则直线l 的直角坐标方程为x — y +1= 0. ，即 psin 0— pcos 0= 1,⑵由⑴知圆O 与直线I 的直角坐标方程,x 2+y 2 — x — y =0,将两方程联立得解得 x — y + 1 = 0,x = 0,y = 1,即圆O 与直线I 在直角坐标系下的公共点为(0,1),2、已知圆O i 和圆。
2015年高考数学试题——坐标系与参数方程
2015年高考数学试题——坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -= (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：坐标系与参数方程 坐 标 系(含答案)
选修4－4 坐标系与参数方程第1课时坐 标 系(理科专用)1. 在极坐标系中、圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是多少？ 解：∵ 直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心、∴ 直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 2. 在极坐标系中、直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3被圆ρ＝5截得的弦长是多少？ 解：直线和圆转化为直角坐标方程分别为直线x ＋y ＝32、圆x 2＋y 2＝25、圆心到直线的距离为3、得弦长为8.3. 在极坐标系中、求圆ρ＝1上的点到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3的距离的最大值。
解：将直线和圆都化为直角坐标方程、直线x ＋3y －6＝0、圆x 2＋y 2＝1、圆心(0、0)到直线的距离为3、∴ 直线与圆上的点最大距离为4.4. 在极坐标系下、求圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的坐标。
解：圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532、故圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，53π.(答案不唯一) 5. 曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1cos θ、求曲线的直角坐标方程。
解：ρ＝tan θ·1cos θ＝sin θcos 2θ、ρcos 2θ＝sin θ、ρ2cos 2θ＝ρsin θ、即曲线的直角坐标方程为x 2＝y.6. 极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线是什么？解：ρcos2θ＝0、cos2θ＝0、θ＝k π±π4、为两条相交直线。
7. 极坐标系中、曲线ρ＝－4sin θ与ρcos θ＝1相交于点A 、B 、求AB 的长。
解：在平面直角坐标系中、曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋()y ＋22＝4和直线x ＝1、作图易知||AB ＝2 3.8. 在极坐标系中、已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3、半径R ＝5、求圆C 的极坐标方程。
解：(解法1)设P(ρ、θ)是圆上的任意一点、则PC ＝ R ＝ 5. 由余弦定理、得ρ2＋22－2×2×ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝5.化简、得ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0、此即为所求的圆C 的方程. (解法2)将圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π3化成直角坐标为(1、3)、半径R ＝5、故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程、得(ρcos θ－1)2＋(ρcos θ－3)2＝5. 化简、得ρ2－4ρcos(θ－π3)＋1＝0 、此即为所求的圆C 的方程. 9. 设点P 在曲线ρsin θ＝2上、点Q 在曲线ρ＝－2cos θ上、求|PQ|的最小值。
2015高考真题数学考点49-坐标系和参数方程
考点49 坐标系与参数方程填空题1. (2015·广东高考理科·T14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin =,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为.【解题指南】先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,点A的极坐标转化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式求出结果.【解析】依题已知直线l：2sin4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭和点7,4Aπ⎛⎫⎪⎝⎭可化为l：10x y-+=和()2,2A-，所以点A与直线l的距离为2 d==，故应填入2答案:22. (2015·广东高考文科·T14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程,再联立方程组求解.【解析】曲线1C的直角坐标方程为2x y+=-，曲线2C的普通方程为28y x=，由228x yy x+=-⎧⎨=⎩得：24xy=⎧⎨=-⎩，所以1C与2C交点的直角坐标为()2,4-，答案:(2,-4)3. (2015·北京高考理科·T11)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为.【解题指南】把点和直线转化到直角坐标系中,再利用点到直线距离公式求解.【解析】点(2,3π)可化为(2cos 3π,2sin 3π),即(1, ).直线ρ(cos θ+sin θ)=6可化为x+由点到直线距离公式可得1=.答案:14.(2015·湖北高考理科·T16)(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l 与C 相交于A,B 两点,则|AB|= . 【解题指南】先将极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0和曲线C 的参数方程1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化成普通方程,再求解.【解析】由ρ(sin θ-3cos θ)=0知,直线的方程是y=3x,由曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),消去参数得,y 2-x 2=4,解方程组2234=⎧⎨-=⎩y x y x，得A (B==AB答案：5.（2015·重庆高考理科·Ｔ15）已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_________.【解题指南】首先将直线与曲线C 的方程化为直角坐标系下的方程，然后求出交点坐标再化为极坐标即可.【解析】因为直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩所以直线l 的方程为2y x =+因为曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，可得曲线C 的方程为224(0)x y x -=<联立224(0)2x y x y x ⎧-=<⎨=+⎩解得交点坐标为(2,0)-，所以交点的极坐标为(2,)π答案：(2,)π6. （2015·安徽高考理科·T12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是【解题指南】将极坐标化为普通方程，求出圆心到直线的最大距离，再加上半径。
2015届高考数学(苏教,理科)大一轮第十五章 坐标系与参数方程
第十五章 坐标系与参数方程第一节坐_标_系对应学生用书P1821．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3，则点P 的直角坐标为________． 解析：∵ρ＝2，θ＝－π3.∴x ＝ρcos θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝1， y ＝ρsin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3. 答案：(1，－3)2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2 cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤(1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)， ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22对应学生用书P183平面直角坐标系中的伸缩变换1．(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.①将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求． 答案：(－5,0)或(5,0)[备课札记] [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8 ＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263， 所以|PQ |min ＝63. [备课札记] [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2014·合肥模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例] 已知在直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2. [备课札记]解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2014·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3对应学生用书P184[课堂练通考点]1．(2014·南昌调研)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．解析：圆ρ＝2cos θ可转化为x 2－2x ＋y 2＝0，直线θ＝π4可转化为y ＝x (x >0)，两个方程联立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，π4)．答案：(2，π4)2．(2013·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析：由题意知A ，B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.答案：33．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由ρ＝4cos θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2,0)．点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 34．在极坐标系中，圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值为________．解析：由题意可得，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，直线的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，圆心到直线的距离d ＝|0＋3×0－6|2＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为d －r ＝3－2＝1.答案：15．(2014·银川调研)已知直线l ：{ x ＝－t ，y ＝1＋t (t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos(θ－π4)．(1)试判断直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0. 由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos(θ－π4)，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8，故该圆的圆心为C (2,2)，半径r ＝2 2.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322，显然322<22，所以直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，所以圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722. [课下提升考能]1．(2014·福州质检)求经过极点且圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π4的圆C 的极坐标方程． 解：设圆C 上的任意一点的极坐标P (ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连结PO ，PB ，则在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π4也可)．从而有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．3．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．解：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短．易得|OB |＝22. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4.4．(2014·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为： ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为： ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.(2)圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2.5．(2014·苏州二模)已知直线l 的参数方程为{ x ＝2－t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0.(1)将直线的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线的距离最小． 解：(1)直线l 的普通方程为3x ＋y －1－23＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y ＝0. (2)在圆C 上任取一点P (cos θ，－1＋sin θ) (θ∈[0,2π))，P 到直线l 的距离 d ＝|3cos θ＋sin θ－2－23|1＋(3)2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－2－232＝2＋23－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π32，当θ＝π6时，d min ＝ 3，此时P ⎝⎛⎭⎫32，－12.6．(2014·高淳模拟)圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. 所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程． 同理x 2＋y 2＋y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.7．(2014·南京模拟)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32>1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则{ ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎨⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π3＝1，② 将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1， 即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．8．(2014·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由{ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得{ x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 第二节参_数_方_程对应学生用书P1841．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段． 答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14对应学生用书P185参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3[备课札记] [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．[典例] (2014·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．[备课札记]解：a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[典例] 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．[解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[备课札记] [类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2014·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)．(2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t(t 为参数)．对应学生用书P186[课堂练通考点]1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102.答案：1024．(2014·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.[课下提升考能]1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ， 得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．2．(2014·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，得y ＝13(x －5)， 即直线l 的普通方程为x －3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2， 则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－(32)2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积 S ＝2d ·|PQ |＝37.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O ，P ，与圆C 2的交点为O ，Q ，求|OP |·|OQ |的最大值．解：(1)圆C 1和圆C 2的普通方程分别是(x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1， 所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是 ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.(2)依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为P (4cos α，α)， Q (2sin α，α)，所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|. 从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP |·|OQ |的最大值是4.4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)试分别将曲线C 1的极坐标方程ρ＝sin θ－cos θ和曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t －cos t y ＝sin t ＋cos t (t 为参数)化为直角坐标方程和普通方程；(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C 1和曲线C 2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点)．解：(1)由题意可得曲线C 1的直角坐标方程为 x 2＋y 2＋x －y ＝0， 曲线C 2：⎩⎨⎧sin t ＝x ＋y2，cos t ＝y －x2.即x 2＋y 2＝2.(2)由(1)知曲线C 1、曲线C 2均为圆，圆心分别为⎝⎛⎭⎫－12，12、(0,0)，半径分别为22、2，则两圆的圆心距为⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫122＝22＝2－22，所以圆C 1：x 2＋y 2＋x －y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＝2内切． 所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆C 2的直径2 2.5．(2014·福州模拟)如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)如图，设M (ρ，θ)为圆C 上除点O ，B 外的任意一点，连结OM ，BM ，在Rt △OBM 中，|OM |＝|OB |cos ∠BOM ， 所以ρ＝2cos θ.可以验证点O (0，π2)，B (2,0)也满足ρ＝2cos θ，故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程．(2)由⎩⎨⎧ x ＝－1＋t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝33(x ＋1)， 即直线l 的普通方程为x －3y ＋1＝0.由ρ＝2cos θ，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|1×1－3×0＋1|2＝1， 所以直线l 与圆C 相切．6．(2014·辽宁模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l ：θ＝π4与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点． (1)写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求线段AB 中点的极坐标．解：(1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)， 则射线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝22t ，y ＝22t (t ≥0，t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为y ＝(x －2)2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝(x －2)2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4， ∴可令A (1,1)，B (4,4)，∴线段AB 中点的直角坐标为(52，52)， ∴线段AB 中点的极坐标为(522，π4)． 7．(2014·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α.以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解：(1)将曲线C 的极坐标方程ρ2－6ρcos θ＋5＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入x 2＋y 2－6x ＋5＝0整理得，t 2－8t cos α＋12＝0. ∵直线l 与曲线C 有公共点，∴Δ＝64cos 2α－48≥0，∴cos α≥32或cos α≤－32. ∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是0，π6∪5π6，π. (2)曲线C 的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． ∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点，∴x ＋y ＝3＋2cos θ＋2sin θ＝3＋22sin(θ＋π4)， ∴x ＋y 的取值范围是[3－22，3＋22]．8．(2014·昆明模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋2π3)，C (ρ3，θ＋4π3)在曲线C 上，求1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A (ρ1cos θ，ρ1sin θ)，Bρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3，ρ2sin(θ＋2π3，Cρ3cos ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3在曲线C 上． 故1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ23＝14cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3＋13sin 2θ＋sin 2θ＋2π3＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3 ＝141＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32＋131－cos 2θ2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32＝14×32＋13×32＝78.。
全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为 与 的交点，求 的极径．
6．解析⑴将参数方程转化为一般方程 ①
②
，消 可得 ，即点 的轨迹方程为 .
⑵将极坐标方程转化为一般方程 ，联立 ，解得 .
由 ，解得 ，即 的极半径是 ．
【解析】(1)由 得 +y2=1.因为ρsin = ρsinθ+ ρcosθ=2 ,
所以x+y=4.所以C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为 ,因为C2是直线,所以 的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= .
当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为
∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②
C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.
①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.
（2016年2卷）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为 ．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .……5分
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为 的半径为1，则 的面积 = .
1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy中,曲线 (t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2 cos α,α).
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 坐标系与参数方程
坐标系与参数方程1．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】 因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y ＝－2x 上，故选B . 【答案】 B2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 ∵2ρcos 2θ＝sin θ，∴2ρ2cos 2 θ＝ρsin θ即2x 2＝y ， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒x ＝1，y ＝2，∴交点坐标为(1,2)． 【答案】 (1,2)3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离等于________．【解析】 将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12sin θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝8 2.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．3．极坐标方程与参数方程的综合应用①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．②主要以解答题的形式体现，难度中等.极坐标方程【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 (1)直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，可化为直角坐标方程x ＋y ＝2＋2，由圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，得圆C 的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－2－2|2＝1，又因为圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2.(2)在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 (1)2 (2)B【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x 代换其中的ρcos θ、y 代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝x 2＋y 2.[创新预测] 1．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 (1)利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.(2)将极坐标转化为直角坐标求解．极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1参数方程及应用【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【规律方法】 将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.[创新预测]2．(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)将参数方程化为普通方程后求解．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) (2)3极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ，(0≤y ≤1)．C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．[创新预测]3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4. (2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0.设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2，解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离d ＝|－22－4－－2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值2＋ 2.。
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专题二十二 坐标系与参数方程
1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛
⎫ ⎪⎝
⎭‚
到直线()
cos 6ρθθ+=的距离为
．
【答案】1 【解析】
试题分析：先把点(2,)3
π
极坐标化为直角坐标
，再把直线的极坐标方程()
cos 6ρθθ+=化为
直角坐标方程60x +-=
，利用点到直线距离公式1d =
=.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24
sin(2=-）
π
θρ，点A 的极坐标为
74A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，则点A 到直线l 的距离为
【答案】
2
． 【解析】依题已知直线l
：2sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
74A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以
点A 与直线l 的距离为
d =
=
，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．
3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1
C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ
+=-，曲线2C 的参数方程为2
x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角
坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】
试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为2
8y x =，由2
2
8x y y x
+=-⎧⎨=⎩得：2
4
x y =⎧⎨
=-⎩，
所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x t
y t
ì=+ïí
=-+ïî为参数.在极坐标系（与
平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为
sin()m,(m R).4
p
q -
=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
【答案】(Ⅰ) ()()
22
129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()
()2
2
1
29x y -++= ，利用cos x ρθ=，
sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()
22
129x y -++=,
sin()m 4
p
q -
=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即
|12m |
2
，
--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．
5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。
6.（15年新课标2文科）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,
在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
【答案】（I ）()30,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；（II ）4. 【解析】
试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解
考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.
7．（15年陕西理科）在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x
轴正半轴为极轴
建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=．
（I ）写出C 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I
）(2
2
3x y +=；
（II ）()3,0． 【解析】
试题分析：（I
）先将ρθ=两边同乘以ρ
可得2sin ρθ=，再利用222
x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P
的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．
试题解析：（I
）由2,sin ρθρθ==得，
从而有(2
222
+,+3x y x y ==所以.
(II)
设1(3t),2P +又,
则|PC |==， 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.
8.（15年陕西文科）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l
的参数方程为132(2
x t t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数）
，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=.
(I)写出C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】
(I) (2
2
3x y +-=； (II) (3,0).
【解析】
试题分析：(I)
由ρθ=
，得2sin ρθ=
，从而有22x y +=
，所以(2
2
3x y +=
(II)
设1322P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，
又(0,C ，
则PC ==故当0t =时，PC
取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0). 试题解析：(I)
由ρθ=，
得2sin ρθ=，
从而有22x y +=
所以(2
2
3x y +=
(II)
设132P t ⎛⎫+
⎪⎝⎭
，又C ，
则PC ==
故当0t =时，PC 取得最小值，
此时P 点的坐标为(3,0).
考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.
9.（15年江苏）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404
π
ρθ+--=，求圆C 的半径.
考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化。