高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》难题汇编附答案

高考数学《坐标系与参数方程》课后练习

一、13

1．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v

（,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（）

A ．[21,221]-+

B ．[422,422]-+

C ．22

[1,2]22-

+ D ．22

[1,2]44

+ 【答案】D 【解析】【分析】

建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r

的坐标．分类讨论，当

动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值．【详解】

解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，

(0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r

，

当点Q 在CD 上运动时，设(4,),

[0,4]Q t t ∈，

则点P 在圆Q ：22

(4)()1x y t -+-=上及内部，

故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，

则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r

，

44cos 4sin m r n t r θθ

=+?∴?=+?，

444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ?

?∴+=+++=+++ ???，

04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ，

当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14

-；

当4,

1,4

t r π

θ===

时，m n +24+

m n ∴+的取值范围是1244?-

+??

；当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈，

则点P 在圆Q ：22

()(4)1x s y -+-=上及其内部，

故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤，

则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r

，

4cos 44sin m s r n r θθ

=+?∴?=+?，

444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ?

?∴+=+++=+++ ???，

04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ，

当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14

-；

当4,

1,4

s r π

θ===

时，m n +取最大值为

+，即24+，

m n ∴+的取值范围是1244?-

+??

；故选：D ．【点睛】

本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2

ρ的最大值为（） A ．

B ．4

C ．

D ．5

【答案】B 【解析】【分析】

将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2

ρ的最大值为2

2x y + 的最大

值。【详解】

223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得

22332y x x =-，则()2222211919

369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由

223

302

y x x =-…，可得02x 剟

，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4．故选B 【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

3．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其

中?AE ，?EF ，·FG

，?GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（）

A ．3π

B ．4π

C ．5π

D ．6π

【答案】C 【解析】【分析】

分别计算?AE ，?EF

，?FG ，?GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】

根据题意可知，?AE 的长度

π，?EF 的长度为π，?FG

的长度为32π，?GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】

本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.

4．已知点是曲线：

（为参数，）上一点，点，则

的取值范围是 A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】【分析】

将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利

用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】曲线表示半圆：，

所以.

取，

结合图象可得.故

选：D 。

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

5．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：

2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )

A ．34

k <-

B ．34

k ≥-

C ．k R ∈

D ．k R ∈但0k ≠

【答案】A 【解析】

分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．

详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：2

2cos ρρθ=，

化成直角坐标方程为：22

20x y x +-=，即2

(1)1x y -+=．

则圆心到直线的距离d =

由题意得：1d <

，即1d =<，

解之得：34

k <-．故选A ．

点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．

6．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θ

θ=+??=?

（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k

等于（） A

．C

．±

【答案】D 【解析】【分析】

根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程2

(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。【详解】

Q 曲线C ：2cos sin x y θ

=+??

=?，消去θ，得

∴曲线C ： 22(2)1x y -+=

又知圆C 与直线相切。可得，

解得k =，给故答案选D 。【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。

7．已知曲线T

的参数方程1x k

y ?=????=??

（k 为参数），则其普通方程是（）

A ．221x y +=

B ．()2

10x y x +=≠ C

．0

x y x ?>?=?

．y =0x ≠)

【答案】C 【解析】【分析】由已知1x k =得1

k x

=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。【详解】

由题意1x k =Q 1k x ∴=

代入y =

y =

y ∴=①当0x >

时y ∴=②当0x <

时y ∴=

综上0

x y x ?>?=?

故选：C 【点睛】

本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．

8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+??

，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ?

?= ???剟，

(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ?的面积最大时，tan α=( )

．

．2

．

【答案】D 【解析】【分析】

先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ?的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α。【详解】

解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθ

θ??

= ??

剟

，两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，

所以曲线C 的普通方程为22

(2)4(02)x y y -+=剟，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆.

因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα

=-+??=?，（t 为参数），

所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=g ，

因为1sin 2sin 2

ABC S CA CB ACB ACB ?g g g =

??，所以当ACB ∠为直角时ABC ?的面积最大，

此时C 到直线l 的距离22

22AB CA CB d +=== ，

因为直线l 与x 轴交于()1,0D -，所以3CD =，于是7DE =

所以214tan 7

α==，故选D 。【点睛】

本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想。

9．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（） A ．23x x y y

''=??

=? B ．32x x

y y ''=??

C ．1312x x y y ?=???=''???

D ．1

213x x y y ?=???=''???

【答案】A 【解析】【分析】

设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =?>>??'='，则11x x a

y y b ?=???=''

???

，代入直线1x y -=的方程，

变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解．【详解】

由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =?>>??'='，则11x x a

y y b ?

=???=''

???

代入直线1x y -=的方程，可得11

1x y a b

''-=，要使得直线11

1x y a b

''-=和直线326x y -=的方程一致，则

112a =且11

b =，解得2,3a b ==，所以伸缩变换的公式为23x x

y y ''=??=?

，故选A ．

【点睛】

本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

10．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的

；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（）

A ．1'2'3x x y y ?

=???=?

B ．'2'3x x

y y =??

C ．'21'3x x y y =???=??

D ．1'21'3x x y y ?=????=??

【答案】A 【解析】【分析】

首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。【详解】

解：由sin y x =变成3sin 2y x =''

设伸缩变换为(,0)x x

y y λλμμ'=?>?

'=?

，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，则3

12μλ=??

?=??

，得123x x y y ?'=??

?'=?，故选A 。【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

11．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ?

=+ ??

关于（） A ．直线3

θ=对称

B ．直线6

θ=

对称

C ．点2,

6π??

对称 D ．极点对称

【答案】A 【解析】【分析】由4sin 6πρθ??

=+ ??

，得直角坐标方程：22

20x x y -+-=

，圆心为( ，又因为直线3

θ=

即：y =

过点(，由此便可得出答案.

【详解】

由曲线4sin 6πρθ??

?，即：

4sin 6πρρθ??=+ ???，又因为cos sin x y ρθρθ=??=?

，化简得曲线

的直角坐标方程：2220x x y -+-=

，故圆心为( . 又因为直线3

θ=,

直角坐标方程为：y =

，直线y =

过点(，故曲线关于

直线3

θ=

对称

故选：A. 【点睛】

本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线

对称的知识，属于中等难度题目.

12．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线()2

R π

θρ=

∈对称

【答案】A 【解析】【分析】

由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与

(),ρπθ--的位置关系.

【详解】

解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点

(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.

故选：A. 【点睛】

考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.

13．在极坐标系中，曲线C 的方程为2

12sin ρθ

+，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）

A ．1????

B ．[]3,1-

C ．[]22-,

D ．[]

2,1--

【答案】B 【解析】【分析】

将曲线C 的方程2

312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2

213

x y +=，设

x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.

【详解】

解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2

12sin ρθ

+，

可得：2

2sin 3ρρθ+=，即2

33x y +=，2

213

x y +=

设x α=，sin y α=，

可得1sin 12(

cos sin )12sin()12213

x y π

ααααα+-=-=+++--=，可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-，故选：B. 【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.

14．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（）

A ．0k ≠

B ．k R ∈

C ．k >

D ．k …

【答案】C 【解析】【分析】

由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无

解，利用辅助角公式得出4sin cos πθθθ?

?+=+ ??

?，结合正弦函数的性质，即可得

出k 的取值范围. 【详解】

当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解

由4sin cos πθθθ?

?+=+≤ ??

?k >时，方程无解.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.

15．极坐标方程 ρ＝cos 4πθ??

???

－表示的曲线是( )． A ．圆 B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线

【答案】A 【解析】

因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以方程 ρ＝

cos 4πθ??

???－可化为2cos sin )ρρθρθ=-，即220x y x y +=，故该

方程表示圆心为C ，半径是12r =的圆，应选答案A ．

16．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为

ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（）

A ．外离

B ．相交

C ．相切

D ．内含

【答案】B 【解析】【分析】

将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】

在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得2

4sin ρρθ=，化为普通方程得

224x y y +=，

即()2

224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，

同理可知，曲线2C 的普通方程为(2

212x y -+=，则曲线2C 是以点()

2C 为

圆心，以2r =

两圆圆心距为4d =

=，1222r r -=-=，

122r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.

【点睛】

本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17．椭圆2242x y +=上的点到直线280x y --=的距离的最小值为( )

A B C ．3 D ．6

【答案】A 【解析】【分析】

设P （

cosθsinθ），0≤θ＜2π，求出P 到直线2x ﹣y ﹣8＝0 的距离d ，由此能求出点P 到直线的距离的最小值．【详解】

∵椭圆4x 2+y 2＝2，P 为椭圆上一点，

∴设P （

cosθsinθ），0≤θ＜2π， ∴P 到直线2x ﹣y ﹣8＝0 的距离：

==≥

，

当且仅当cos（

θ+）＝1时取得最小值．

∴点P到直线2x﹣y﹣8＝0的距离的最小值为d

min=．

故选：A．

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．

18．若圆的参数方程为

12cos,

32sin

=-+

（θ为参数），直线的参数方程为

21,

x t

y t

（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）

A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)

-到直线320

y x

--=的距离2

d<，得到直线与圆的位置关系为相交．

【详解】

根据题意，圆的参数方程为

x cos

y sin

=-+

（θ为参数），则圆的普通方程为22

(1)(3)4

x y

++-=，其圆心坐标为(1,3)

-，半径为2.

直线的方程为

x t

y t

（t为参数），则直线的普通方程为13(1)

y x

+=+，即320

y x

--=，圆心不在直线上.

∴圆心(1,3)

-到直线320

y x

--=

的距离为2

d==<，即直线与圆相交.

故选A.

【点睛】

本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.

19．椭圆

164

x y

上的点到直线20

x y

+-=的最大距离是（）

A．3 B

．D

【答案】D 【解析】【分析】

设椭圆

164

x y

+=上的点P（4cosθ，2sinθ

），由点到直线20

x y

+=的距离公

式，计算可得答案．【详解】

设椭圆

164

x y

+=上的点P（4cosθ，2sinθ）

则点P

到直线20

x y

+=的距离

，

max

d==，故选D．

【点睛】

本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．

20．已知曲线C的极坐标方程为：22cos2sin0

ρρθρθ

--=，直线l的极坐标方程

为：

θ=（ρ∈R），曲线C与直线l相交于A B、两点，则AB为（）

．C

．

【答案】B

【解析】

【分析】

把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB过圆心，则2

AB r

=。【详解】

因为曲线C的极坐标方程为：22cos2sin0

ρρθρθ

--=

所以曲线C的直角坐标方程为22220

x y x y

+--=，即22

(1)+（y-1）2

x-=，以（1，1

）为圆心，半径r=l的极坐标方程为：

θ=

（ρ∈R），所以直线l的直角坐标方程为y x

=。因为直线y x

=经过圆心（1，1），所

以弦AB 为直径，且有2AB r ==B 。

【点睛】

本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦AB 经过圆点，从而 AB 为直径。

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编：1集合一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134，， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12，【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是

高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编一、集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ．一、集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

高考数学试题分类汇编算法初步

高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是（A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C

4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是。【答案】5

Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。【答案】 2 3

11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：众数、中位数

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A

解析根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：

高考数学易错题举例解析

咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ，但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】 2 2 2

⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4