挑战中考数学压轴题(第九版精选)之欧阳科创编

欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 目 录

时间：2021.02.05 创作：欧阳科

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题

例2 2014年武汉市中考第24题

例3 2012年苏州市中考第29题

例4 2012年黄冈市中考第25题

例5 2010年义乌市中考第24题

例6 2009年临沂市中考第26题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2015年重庆市中考第25题

例2 2014年长沙市中考第第26题

例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

例42012年扬州市中考第27题

例5 2012年临沂市中考第26题

例62011年盐城市中考第28题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例12015年上海市虹口区中考模拟第25题

例22014年苏州市中考第29题

例3 2013年山西省中考第26题

例4 2012年广州市中考第24题

例5 2012年杭州市中考第22题

例6 2011年浙江省中考第23题

例7 2010年北京市中考第24题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2015年成都市中考第28题

例2 2014年陕西省中考第24题

例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题

例42012年福州市中考第21题

例5 2012年烟台市中考第26题 欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 例6 2011年上海市中考第24题

例7 2011年江西省中考第24题

1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题

例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题

例3 2012年上海市松江中考模拟第24题

例4 2012年衢州市中考第24题

例5 2011年义乌市中考第24题

1.6 因动点产生的面积问题

例1 2015年河南市中考第23题

例22014年昆明市中考第23题

例3 2013年苏州市中考第29题

例4 2012年菏泽市中考第21题

例5 2012年河南省中考第23题

例62011年南通市中考第28题

例72010年广州市中考第25题

1.7因动点产生的相切问题

例12015年上海市闵行区中考模拟第24题

例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题

例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题

1.8因动点产生的线段和差问题

例1 2015年福州市中考第26题

例22014年广州市中考第24题

例3 2013年天津市中考第25题

例4 2012年滨州市中考第24题

第二部分 图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例12015年呼和浩特市中考第25题

例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题

例3 2013年宁波市中考第26题

例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题

2.2 由面积公式产生的函数关系问题

例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题

例2 2014年黄冈市中考第25题

例3 2013年菏泽市中考第21题 欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 例4 2012年广东省中考第22题

例5 2012年河北省中考第26题

例6 2011年淮安市中考第28题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

例12015年北京市中考第29题

例2 2014年福州市中考第22题

例3 2013年南京市中考第26题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例12015年杭州市中考第22题

例2 2014年安徽省中考第23题

例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题

第四部分图形的平移翻折与旋转

4.1图形的平移

例12015年泰安市中考第15题

例2 2014年江西省中考第11题

4.2图形的翻折

例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题

例2 2014年上海市中考第18题

4.3图形的旋转

例12015年扬州市中考第17题

例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题

4.4三角形

例12015年上海市长宁区中考模拟第18题

例2 2014年泰州市中考第16题

4.5四边形

例12015年安徽省中考第19题

例2 2014年广州市中考第8题

4.6圆

例12015年兰州市中考第15题

例22014年温州市中考第16题

4.7函数图像的性质 欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 例12015年青岛市中考第8题

例2 2014年苏州市中考第18题

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．

（1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．

思路点拨

1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．

2．求△ABC的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．

将点A(2, 4)代入kyx，得k＝8． 欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 （2）将点B(n, 2)，代入8yx，得n＝4．

所以点B的坐标为(4, 2)．

设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4,

2)，得b＝－2．

所以点C的坐标为(0,－2)．

由A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°． 图2

所以S△ABC＝12BABC＝122422＝8．

（3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．

由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．

所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：

①如图3，当CEADCAAC时，CE＝AD＝22．

此时△ACD≌△CAE，相似比为1．

②如图4，当CEACCAAD时，21021022CE．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．

图3 图4

考点伸展

第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形． 欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．

如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．

由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．

图5

例22014年武汉市中考第24题

如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在

△ABC的中位线EF上．

思路点拨

1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．

2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．

3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．

满分解答

（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．

△BPQ与△ABC相似，存在两种情况： 欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05 ① 如果BPBABQBC，那么510848tt．解得t＝1．

② 如果BPBCBQBA，那么588410tt．解得3241t．

图3 图4

（2）作PD⊥BC，垂足为D．

在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝45，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．

当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．

所以ACCDQCPD，即68443ttt．解得78t．

图5 图6

（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．

由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．

又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．

因此F是BC的中点，E是AB的中点．

所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．

考点伸展

本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BPBCBQBA，3241t．

如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BPBABQBC，t＝1．

如图9，当⊙H与AC相切时，直径2222(3)(88)PQPDQDtt，

半径等于FC＝4．所以22(3)(88)8tt．

解得12873t，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．

图7 图 8 图9 图10