偏导数几何的应用ppt课件

法线方程 x 0 y a z a
1
0
1

x
y
z
a
a .
19/27
2. 曲面方程形为 z f ( x, y)的情形
令 F(x, y,z) f (x, y) z,
显式方程
Fx f x , Fy f y , Fz 1. n fx , f y ,1
16/27
因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲
线, 所有这些曲线在点M的切线都与同一向量 n 垂直, 因此这些切线必共面, 由切线形成的这一
平面, 称为曲面Σ在点M的
切平面,过点M且垂直于切
z
n
F(x, y,z) 0
平面的直线称为曲面Σ在 点M的 法线,向量 n 称为曲
面Σ在点M的 法向量. n 又是法线的方向向量.
T


Fy Gy
Fz , Gz
Fz Gz
Fx Gx
, Fx Gx
Fy
Gy

13/27
例4. 设曲线 x x(t), y y(t), z z(t)在任一点 的法平面都过原点, 证明此曲线必在以原点为 中心的某球面上.
证. 任取曲线上一点( x(t), y(t), z(t)),
F[x(t), y(t), z(t)] 0, 在恒等式两端对t 求全导数,

M ( x0 , y0 , z0 )

并令 t t0 , 则得
O
y
Fx ( x0 , y0 , z0 )x(t0 )
x
Fy ( x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )z(t0 ) 0. ※
3/27
当M M ,即t 0时 ,
z
M
曲线在M处的切线方程
M
x x0 y y0 z z0 x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
O
x
y
切向量
切线的方向向量称为曲线在点
T

x(t0
),
y(t0
),
z(t0
)
M
处的切向量.
法平面 过M点且与切线垂直的平面.
P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角 的法向量).
解. 因为 f ( x, y) x2 y2 1, 而
fx , f y ,1 p 2x,2 y,1为向下的法向量
(第三个分量为负),
故向上的法向量应为: 2x, 2 y,1.
22/27
注释2：全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程:
5/27
2. 空间曲线的方程为两个柱面的交线
设曲线直角坐标方程为 y y( x), z z( x)
xx
令
x为参数,
曲线的参数方程是

y

y( x)
z z( x)
由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,

dx P0
dz
3
0
dx P0
切线方程
x
1
1

y
3
3

z
2 0
3
11/27
法平面方程 1 ( x 1) 3 ( y 3) 0 (z 2) 0 3
3x 3y 6 0. x2 y 2 z 2 8
法二 取全微分

x2 y2 z2
方向余弦为
cos
fx
, cos
fy
,
1
f
2 x

f
2 y
1
f
2 x

f
2 y
cos
1
.
1
f
2 x

f
2 y
其中 f x f x ( x0 , y0 )
f y f y ( x0 , y0 )
21/27
例6. 求旋转抛物面 z x2 y2 1 在任意点
于是 x2(t) y2(t) z2(t) C
14/27
二、曲面的切平面与法线
隐式方程
1. 设曲面Σ的方程为 F ( x, y, z) 0 的情形
M ( x0, y0, z0 ) , 函数F ( x, y, z) z
的偏导数在该点连续且不同
F(x, y,z) 0
时为零. 今在曲面Σ上任取一条
n1 n2 2 2 3
k 4

16
3,16,0
取T

2 2 3 4
3,1,0即可。
12/27
法三 公式法
x2 y2 z2 8

x2 y2 z2
F ( x, y, z) x2 y 2 z 2 8 G( x, y, z) x2 y 2 z 2

G(
x,
y,
z)

, 0
在点
M(x0,
y0,
z0)处的
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
(
0
x

x0
)

Fz Gz
Fx Gx
(
0
y

y0 )
Fx Gx
Fy Gy
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
4/27
x t eu cos udu
例1.求曲线
: y

0
2sin t
cos t

z 1 e3t
在t 0处的切线与法平面方程 .
解. 当t 0时, x 0, y 1, z 2
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
20/27
注释1：关于 法向量
n fx , f y ,1 或 n fx , f y ,1
若 , , 表示曲面的法向量的方向角,
并假定法向量的方向是向上的,即使得它与
z 轴的正向所成的角 是锐角, 则法向量的
1
y( x0 ) z( x0 )
法平面方程为
1 ( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )(z z0 ) 0.
6/27
例2. 在抛物柱面 y 6x2 与z 12x2 的交线上,
求对应
x

1 2
的点处的切向量.
xx
解.
取 x为参数,
的曲线设其参数方程为由于曲线在曲面上所以在恒等式两端对t求全导数曲线在点m处切线的方向向量记为则式可改写成所有这些曲线在点m的切线都与同一向量垂直因此这些切线必共面称为曲面在点m的过点m且垂直于切法线又是法线的方向向量
第七节 偏导数的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 四、作业
Fx 3 yz, Fy 3xz, Fz 3xy 3z2 ,
n Fx , Fy , Fz (0,a,a) 3a2 ,0,3a2 ∥ 1,0,1
切平面方程 1 ( x 0) 0 ( y a) 1 (z a) 0
x z a 0;

M ( x0 , y0 , z0 )

O
y
x
17/27
曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:
n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) ,
所以曲面Σ上在点M的 切平面方程为 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
过点M 的曲线Γ, 设其参数

M ( x0 , y0 , z0 )


方程为
O
y
x x(t), y y(t), z z(t),
x
点M 对应于参数 t t0 ,且x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) 不全为零.
15/27
z
由于曲线Γ在曲面Σ上, 所以
n F( x, y, z) 0 T
(z
0

z0
)

0.
10/27
例3.
求曲线
x
2 x2
y
2 y2
z2
z2
8在点P0
(1,
3,2)的
切线方程和法平面方程.
解. 法一 将所给方程的两边对x求导
2x 2 y dy 2z dz 0 dy 3

dx dx

2x

2y
dy dx

2z
dz dx
曲线过该点的法平面方程为
x(t)[X x(t)] y(t)[Y y(t)] z(t)[Z z(t)] 0
因原点 (0,0,0) 在法平面上, 故有 x(t)x(t) y(t) y(t) z(t)z(t) 0
即 [ x2(t) y2(t) z2(t) ] 0
dy dx

Fz
dz dx

0

Gx

Gy
dy dx

Gz
dz dx

0
Fz Fx
Fx Fy
dy Gz Gx dx Fy Fz
dz Gx Gy

dx Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
利用2.结果,
x x0 y y0 z z0
1
y( x0 ) z( x0 )
9/27
F(x, y, z) 0
1/27
一、空间曲线的切线与法平面
1. 空间曲线的方程为参数方程
x x(t)
设空间曲线的方程

y

y(t )
(1)
z z(t )
(1)式中的三个函数均可导. z
M
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
18/27
例5. 求曲面3xyz z3 a3上点(0,a,a)处的切平面 和法线方程 (a 0).
解. 令 F( x, y, z) 3xyz z3 a3,

0 ,
0
确定了隐函数

y z

y( x) .
z( x)
xx
(此曲线方程仍可用方程组

y

y( x)
表示.)
z z( x)
F ( x, G( x,
y( x),z( x)) y( x),z( x))

0 ,
0
两边分别对
x求全导数:
8/27

Fx

Fy
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3
切线方程 x 0 y 1 z 2
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0
即
x 2y 3z 8 0
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
曲面在M处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0, 或 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
若记向量

n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) ,
曲线Γ在点M处切线的方向向量记为
则※式可改写T成 xn( tT0 ),
y(t0 ), z(t0
0, 即向量
)n,与T
垂直.
2xdx 2 ydy 2zdz 0 2xdx 2 ydy 2zdz 0
在P0 (1,
3，2）处
2dx

2
3dy 4dz 0
2dx 22
3,4
n2 2,2 3,4

i j
交线的参数方程为

y

6x2
z 12x2
于是 x 1, y 12x, z 24x
所以交线上与 x 1 对应点的切向量为: 2
T 1, 6,12.
7/27
3.空间曲线的方程为 两个曲面 的交线
设空间曲线方程为
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
M
对应于 t t0 t.
O
y
x
2/27
割线 MM 的方程为
z
M
x x0 y y0 z z0
x
y z
M
O
y
x
考察割线趋近于极限位置—— 切线的过程
上式分母同除以 t,
x x0 y y0 z z0 , x y z
t
t t