弯曲杆的强计算
建筑力学第7章平面弯曲杆件
对已完成的平面弯曲杆件进行成品质量控制，包括尺寸、 平整度、垂直度等方面的检测和控制，确保其符合设计要 求和相关规范。
工艺质量控制
对平面弯曲杆件的施工工艺进行质量控制，包括施工过程 的规范性、工艺参数的控制等方面的检测和控制，确保其 符合设计要求和相关规范。
不合格品处理
对不合格的平面弯曲杆件进行处理和控制，包括返工、返 修、报废等方面的处理和控制，确保产品的质量和安全。
弹性变形与塑性变形
分析杆件在受力后的弹性变形 和塑性变形，了解其力学性能 。
平面弯曲杆件的稳定性分析
01
02
03
稳定性分析概述
对平面弯曲杆件的稳定性 进行分析，以确定其在受 到外力作用时是否会发生 失稳。
临界荷载
研究不同外力作用下杆件 的临界荷载，了解失稳的 临界条件。
稳定性措施
根据分析结果，采取相应 的稳定性措施，提高杆件 的稳定性。
建筑结构
建筑的梁、板、柱等结构形式也属于平面弯曲杆件 ，用于承受垂直和水平荷载。
机械零件
某些机械零件如连杆、曲轴等也采用平面弯曲杆件 的设计，以满足特定的功能需求。
02
平面弯曲杆件的力学分析
平面弯曲杆件的受力分析
80%
受力分析概述
对平面弯曲杆件进行受力分析， 需要明确杆件所受的力，包括外 力、内力和约束反力。
平面弯曲杆件的材料选择Βιβλιοθήκη 钢材混凝土木材
其他复合材料
强度高、塑性好，适用 于承受较大载荷和变形
的结构。
抗压强度高、耐久性好， 适用于承受静载的结构。
轻质、易加工，适用于 临时结构或低层建筑。
如玻璃纤维、碳纤维等， 具有高强度、轻质等特 点，适用于特定场合。
材料力学课件(哈工大)第12章杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算1）构件的失效模式若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能而不能正常工作，称为构件失效。
工程中，构件的失效模式主要有：•强度失效——构件的材料断裂或屈服。
•刚度失效——构件的弹性变形过大，超出规定范围。
•疲劳失效——构件在交变应力作用下的强度失效。
•稳定失效——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
12-1 强度计算与刚度计算首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
[]()4 , 3 , 2 , 1 之一=≤i ri σσ根据强度条件，即上面不等式，强度计算可解决三类问题：•校核强度•设计截面•计算许可载荷1）构件的失效模式2）杆件的强度计算其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
最后根据材料性能（脆性或塑性）和应力状态，判断危险点的强度失效形式（断裂或屈服），选择相应的强度理论，建立强度条件：12-1 强度计算与刚度计算3）杆件的刚度计算除了要求满足强度条件之外，对其刚度也要有一定要求。
即要求工作时杆件的变形或某一截面的位移（最大位移或指定截面处的位移）不能超过规定的数值，即∆为计算得到的变形或位移；[∆]为许用（即人为规定的）变形或位移。
对轴向拉压杆，∆是指轴向变形或位移u ；对受扭的杆件，∆是指两指定截面的相对扭转角φ或单位长度扭转角ϕ；对于梁，∆是指挠度v 或转角θ。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：•校核刚度•设计截面•计算许可载荷][ΔΔ≤刚度条件1）构件的失效模式2）杆件的强度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于单向应力状态。
因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达式均演化为][m axσσ≤例1螺旋压力机的立柱如图所示。
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
二、杆件的强度计算 （一）拉伸与压缩的强度计算
1、拉伸与压缩杆件截面上的正应力
正应力用σ表示。 σ是希腊字母，英文sigma，汉语译音为“西格玛”。
FN A
σ —— 横截面上的正应力，MPa； FN —— 横截面上的轴力，N ；
A —— 横截面的面积，mm2。
2、强度计算
max
FN A
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
拖车挂钩
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
解：（1）按剪切强度计算：
销钉的横截面积 由剪切强度公式
FQ F FQ
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
ρ——横截面上任一点距圆心和距离，单位mm；
的大小与截面形状和尺寸有关，单位mm4。
Ip——横截面的极惯性矩，它表示截面的几何性质，它
上式表明，横截面上任一点处切应力的大小，与该点到 圆心的距离ρ成正比。
由上式可知：圆心处的切应力为零，同一圆周上各点切应力 相等，在横截面边缘上，ρ达到最大值R，该处切应力最大：
杆件的变形及计算
τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力 为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示 单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可 表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号 表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆 的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能 例6-3 在例 中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆 解:根据例1中分析 杆为危险杆,由平衡方程可得 根据例 中分析 杆为危险杆,
N2 =
第三节 连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉 作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪 切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀 分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布 剪切实用计算 其设计准则为
材料力学复习资料
一基本概念1.工程构件正常工作必须满足强度、刚度和稳定性的要求。
杆件的强度代表了杆件抵抗破坏的能力；杆件的刚度代表了杆件抵抗变形的能力；杆件的稳定性代表了杆件维持原有平衡形态的能力。
2.变形固体的基本假设是连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。
连续性假设认为固体所占据的空间被物质连续地充满而毫无空隙；均匀性假设认为材料的力学性能是均匀的；各向同性假设认为材料沿各个方向具有相同的力学性质。
3.截面法的三个步骤是截取、代替和平衡。
4.杆件变形的基本形式有：拉压，扭转，剪切，弯曲。
5.截面上一点处分布内力的集度，称为该截面该点处的应力。
6.截面上的正应力方向垂直于截面，切应力的方向平行于截面。
7.在卸除荷载后能完全消失的变形称为弹性变形，不能消失而残留下来的变形称为塑性变形。
8.低碳钢受拉伸时，变形的四个阶段为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。
9.由杆件截面骤然变化而引起的局部应力骤增的现象称为应力集中。
10.衡量材料塑性的两个指标是伸长率和断面收缩率。
11.受扭杆件所受的外力偶矩的作用面与杆轴线垂直。
12.低碳钢圆截面试件受扭转时，沿横截面破坏；铸铁圆截面试件受扭转时，沿45度角截面破坏。
13.梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，可以简化为三种基本形式，即固定端、固定铰支座、可（活）动铰支座。
14.工程上常用的三种基本形式的静定梁是：简支梁、悬臂梁、外伸梁。
15.平面弯曲梁的横截面上有两个内力分量，分别为剪力和弯矩。
16.拉（压）刚度、扭转刚度和弯曲刚度的表达式分别是EA、GI p和EI z。
17.当梁上有横向力作用时，梁横截面上既有剪力又有弯矩，该梁的弯曲称为横力弯曲。
梁横截面上没有剪力（剪力为0），弯矩为常数，该梁的弯曲称为纯弯曲。
18.在弯矩图发生拐折处，梁上必有集中力的作用。
19.在集中力偶作用处，剪力图将不变。
20.梁的最大正应力发生在最大弯矩所在截面上离中性轴最远的点处。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
第十章弯曲强度和刚度
截h/面b=设3b/2计应尽可h 能使 h/b=1
b
材料远离中性b 轴。
b
Wz =bh 2/6 =3b 3/8
Wz=b3/6
强度条件：
强度条件：
3 b3 M max
8 [s ]
b3 Mmax
6 [s ]
M
h/b=2/3 h O
sbmax
W z=2b 3/27
强度条件：
2b 3 Mmax
M
o_
x
Fl
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。
5
例2 求外伸梁AB的内力。y F FAy 3F
解：1）求约束反力： 受力如图。
0
A
FAx
aa
FB 45 B x
a
有平衡方程：
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0
d
M
AB aa bb AB
变形后
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性
轴。
中性层(面)
15
y
M
z
中性轴 x
smax压
smax拉
横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性
轴的距离y成正比。
中性轴以上，s为负，是压应力，纤维缩短。 中性轴以下， s为正，是拉应力，纤维伸长。
到中性轴距离相同各处，应力相等。
Fa +
M=F(3a-x)
-
x
Fa
8
作梁的内力图的 一般步骤
y F
FAy
3F
0
A
2016工程力学（高教版）教案：6.6杆件的强度计算
第六节 杆件的强度计算由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。
为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。
一、正应力与切应力强度条件轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。
塑性及脆性材料的极限应力u σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为u σσ= 材料的许用拉（压）应力[]nuσσ=，则单向应力状态下的正应力强度条件为[]σσ≤ （6-24）同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件[]ττ≤ （6-25）二、正应力强度计算由式（6-1）和(6-25)得，拉（压）杆的正应力强度条件为[]σσ≤=AN maxmax （6-26） 由式（6-1）和(6-25)得，梁弯曲的正应力强度条件为[]σσ≤=zW M maxmax （6-27） 应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。
例6-7 如图6-29(a)所示托架，AB 为圆钢杆2.3=d cm ，BC 为正方形木杆a=14cm 。
杆端均用铰链连接。
在结点B 作用一载荷P=60kN 。
已知钢的许用应力[]σ=140MPa 。
木材的许用拉、压应力分别为[]t σ=8MPa ，[]5.3=c σMpa ，试求：（1）校核托架能否正常工作。
（2）为保证托架安全工作，最大许可载荷为多大；（3）如果要求载荷P=60kN 不变，应如何修改钢杆和木杆的截面尺寸。
解 （1）校核托架强度 如图6-29(b)。
图6-29由 0=∑Y ，0sin 1=-P P α解得 100c s c 1==αP P kN 由 0=∑X ，0cos 21=+-P P α 解得 80cos 12==αP P kN杆AB 、BC 的轴力分别为10011==P N kN, 8022-=-=P N kN ，即杆BC 受压、轴力负号不参与运算。
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弯曲杆的强度计算
学习要点：梁弯曲变形的概念；梁截面的内 力—弯矩和剪力; 截面法求梁的内力；梁的内力图; 荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制 内力图上的应用；叠加法绘制弯矩图。
教学目标：理解梁平面弯曲的概念及其受力特 点、变形特点；会用截面法计算梁的内力；掌握画 梁内力图的基本方法及其规律；会用叠加法画弯矩 图；掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应 力计算公式；理解正应力强度条件；熟练对梁进行 正应力强度校核。
引例
你会堆放东西吗 ─ 预制构件堆放中的力学知识
构件受力图
构件受力图
垫木反力
主筋受力图
子情境6.1 单跨静定梁弯曲时的内力计算
6.1.1 平面弯曲 ⒈ 平面弯曲的概念
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形。以 弯曲为主要变形的杆件称为梁。
当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁 轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平 面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。
M
V RA 由Y 0得：RA V 0
V 由MC 0得： RA a M 0
M RAa
根据作用与反作用力的关 V
系, 其与从左段求出的V和 M大小相等、方向相反。
M
⒉ 剪力和弯矩的正、负号规定
⒊ 用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩的步骤
⑴ 计算支座反力； ⑵ 用假设的截面在需求内力处将梁截成两段，取其 中任一段作为研究对象； ⑶ 画出研究对象的受力图(截面上的剪力V和弯矩M 先假设为正的方向)； ⑷ 建立平衡方程，解出内力。
V1
由Y 0得：RB F2 V1 0
V1
V1 25 30 5kN
由M1 0得：M1 F2 2 RB 4 0 M1
M1 25 4 30 2 40kN m
RA =35kN, RB=25kN
⒋ 简便法计算内力
V Y左 或 V Y右 M M C左 或 M M C右
[例6-4] 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。
解：⑴求支座反力
由对称关系可得：
RA
RB
1 2
ql
⑵列剪力方程和弯矩方程
由M A =0得：
RB 4 F 1q23 m 0
Y =RA RB F 2q =5 2 4 21.5 0
1.5 23 41 3
RA
4
计算无误！
2kN
RA 5kN, RB 2kN
[例6-3] 求图示外伸梁截面1-1上的剪力和弯矩。 解：⑴求支座反力
⑵求截面1-1的内力 由1-1截面左侧部分的外 力来计算内力, 根据“顺转投 影取正”计算剪力：
计算无误！
RA =35kN, RB=25kN
[例6-2] 求图示简支梁截面1-1上的剪力和弯矩。
解：⑴求支座反力 ⑵求截面1-1的内力
由Y 0得：RA F1 V1 0
V1 35 30 5kN
由M1 0得：M1 F1 1 RA 2 0
M1
M1 35 2 301 40kN m
工程中的弯曲
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如 图6-8所示。
这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平 面，如图6-9所示。
⒉ 单跨静定梁的类型
⑴悬臂梁：梁的一端固定，另一端自由。
⑵简支梁：梁的一端为固定铰支座， 另一端为可动铰支座。
⑶外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外。
6.1.2 梁的弯曲内力 ─ 剪力和弯矩的计算 ⒈ 剪力和弯矩的概念
若将所求内力的截面固定,外力矩使研究对象产生下凸 弯曲变形时(即上侧受压、下侧受拉)，该外力矩取正号； 反之，取负号。“下凸外力矩取正”。
[例6-3] 求图示外伸梁截面1-1上的剪力和弯矩。
解：⑴求支座反力
由M B =0得：
F 5+q21 m RA 4=0
45+1.5 21 3
RA
4
5kN
校核:
V1 F RA 4 5 1kN
根据“下凸外力矩取正”计算弯矩：
M1 RA 1 F 2 51 4 2 3kN m
RA 5kN, RB 2kN
子情境6.2 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
6.2.1 内力方程法(绘制内力图的第一种方法) ⒈ 剪力方程和弯矩方程
梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化, 若将横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面 上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即：
V V x, M M x
子情境6.2 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
6.2.1 内力方程法(绘制内力图的第一种方法) ⒉ 剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可 以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。用 沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，用纵坐标表示相 应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正的 剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方；而把弯矩图 画在梁的受拉一侧，即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在 x轴的上方。
[例6-2] 求图示简支梁截面1-1上的剪力和弯矩。
解：⑴求支座反力
M B =0, F1 5+F2 2 RA 6=0
RA
=
30 5 6
30
2
35kN
M A =0, RB 6 F1 1+F2 4=0
RB
=
301 30 6
4
25kN
校核: Y =RA RB F1 F
=35+2530 30 0
[例6-1] 求图示悬臂梁截面1-1上的剪力和弯矩。
解：取截面1-1右侧部分为 研究对象, 并作其受力图。
由Y 0得：V1 qa F 0 V1 4 2 5 13kN
由M1
0得：M1
qa
a 2
Fa
0
V1
M1 42152 18kN m
M1
求得V1为正值, 表示V1的实际方向与假设的方向相同; M1为负值, 表示M1的实际方向与假设的方向相反。所以, 按 梁内力符号规定, 1-1截面上的剪力为正、弯矩为负。
⑴ 剪力的规律：梁内任一截面上的剪力在数值上等于 该截面一侧所有外力在垂直于梁轴线方向上投影的代数和。
若以所求内力的截面形心作为转动点，外力使研究对 象产生顺时针方向转动趋势时，该外力的投影取正号；反 之，取负号。“顺转投影取正”。
⑵ 弯矩的规律：梁内任一截面上的弯矩在数值上等于 该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数 和。