弯曲杆件正应力计算公式
弯矩与应力的关系公式
弯矩与应力的关系公式【实用版】目录1.弯矩与应力的基本概念2.弯矩与应力的关系公式推导3.弯矩与应力的关系在实际工程中的应用正文1.弯矩与应力的基本概念弯矩是描述杆件受力产生弯曲的物理量，它是力矩的一种表现形式。
在结构力学中，弯矩通常用 M 表示，单位为牛顿米（N·m）或千牛顿米（kN·m）。
应力是描述材料内部受力情况的物理量，它是单位面积上受到的力。
在结构力学中，应力通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
2.弯矩与应力的关系公式推导弯矩与应力之间的关系可以通过杆件的弯曲变形来推导。
对于一个长为 L 的杆件，在受到弯矩 M 的作用下，会发生弯曲。
假设弯曲的角度为θ，则在弯曲部分的某一截面上，由于拉伸和压缩的应力分布不均匀，会产生一个应力σ。
根据力学原理，我们可以得出以下公式：M = EI * θσ = M / (π * r^3)其中，E 为材料的弹性模量，I 为截面的惯性矩，θ为弯曲角度，r 为截面上任意一点到中性轴的距离。
3.弯矩与应力的关系在实际工程中的应用在实际工程中，了解弯矩与应力的关系非常重要。
通过这一关系，可以分析结构的强度、刚度和稳定性。
在设计结构时，需要根据弯矩与应力的关系，选择合适的材料和截面形状，以保证结构在受力情况下不会发生破坏。
例如，对于桥梁结构，在车辆行驶过程中，梁体会受到不同方向和大小的弯矩作用。
为了保证桥梁的安全和稳定，需要根据弯矩与应力的关系，合理设计梁体的截面形状和材料，以承受这些弯矩。
总之，弯矩与应力的关系在结构力学中具有重要意义。
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
工程力学常用公式
工程力学常用公式3、伸长率：* 1。
％断面收缩率： 字100%5、扭转切应力表达式：^，最大切应力：maxTP RW p ， d 44I P ”（1），W P d'(1 4)，强度校核： 16max TmaxW P[]6、单位扭转角：d—，刚度校核：maxTmax[]， 长度为1dx Gl pGI P的一段轴两截面之间的相对扭转角證，扭转外力偶的计算公式: Me 9549P（KWLn（r/m in ）8平面应力状态下斜截面应力的一般公式:最大切应力max -'' - ( x y )22，最大正应力方位2 Y 21、轴向拉压杆件截面正应力 牛，强度校核max2、轴向拉压杆件变形IFi Ni l i 4、胡克定律： E ，泊松比:，剪切胡克定律：G7、薄壁圆管的扭转切应力:T 2 R 29、 x yx ycos22 2 xsin 2-sin 2 x cos2平面应力状态三个主应力:II「（ x 2y）2X， ''' 01、100%tan2 0 2xx y10、第三和第四强度理论: r3 X 24 2， r4211、平面弯曲杆件正应力:M ，截面上下对称时，MW Z矩形的惯性矩表达式：I Z兽圆形的惯性矩表达式:I ZV(1 644)矩形的抗扭截面系数：W Z £圆形的抗扭截面系数:W Z 4)13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:F s S max* zmaxbi z14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力tmax [t ]， cmaxc]（2）弯曲切应力max []（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 16、（ 1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： ()FN M maxmax (min 丿15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 严 [f]， max []（2）偏心拉伸（偏心压缩）:max ( min)A（3）弯扭变形杆件的强度计算:工程力学常用公式伸长率: F N ； A ；FA ；泊松比E 2(1 )，l bI 0l 0100%，断面收缩率:A o A b A 02、扭转: { M }N gm9549 {P}kW ,{ n} r/ min,W p max TW p，3、4、ddxTGIP，TloGI P弯曲:MdxEl应力状态:MET Z，MyIT，maxMy maxIlMW zd 2wdx2MEIM , xdx)dx CxEIx sin2i2cos 2；x y )22tg2 o拉压强度条件：max(F N)[\ 八/max L扭转强度条件：max(T)[]W p扭转刚度条件：(T)max []GI P梁的弯曲强度条件M maxmaxW.梁弯曲的刚度条件:V V max[]-欧拉公式：F c r -2EIl2，2Ecr 2柔度：-惯性半径:max(min][],maxi x y2max,max . [](丿max [],I zi'■ A。
弯曲杆件正应力计算公式课件
曲杆件的性能。
基于能量方法的正应力计算
01
基于能量方法的正应力计算的扩展
能量方法是分析结构的一种有效方法。通过能量方法，可以更准确地计
算正应力分布。
02
考虑材料弹性的影响
在能量方法中，可以考虑材料的弹性性质，从而更准确地计算应力分布
。
03
基于能量方法的复杂结构分析
对于复杂的结构，基于能量方法可以更有效地进行正应力计算和分析。
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
数值模拟和实验研究
未来研究可以通过数值模拟和实 验研究来进一步验证和改进弯曲 杆件正应力计算公式的准确性和 适用范围。同时，也可以通过这 些方法来研究复杂加载条件下的 正应力分布和结构响应。
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
3. 变形前各横截面为平面，变形后仍为 平面。
2. 忽略材料加工硬化和蠕变等影响。
弯曲的基本假设 1. 杆件为理想弹性体，无初应力存在。
弯曲的应变与应力
应变
杆件在弯矩作用下，任意截面上 的点沿着与轴线垂直的方向移动 ，导致截面发生翘曲变形。
应力
由于截面翘曲变形，导致截面上 各点存在应力。
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
二、杆件的强度计算 （一）拉伸与压缩的强度计算
1、拉伸与压缩杆件截面上的正应力
正应力用σ表示。 σ是希腊字母，英文sigma，汉语译音为“西格玛”。
FN A
σ —— 横截面上的正应力，MPa； FN —— 横截面上的轴力，N ；
A —— 横截面的面积，mm2。
2、强度计算
max
FN A
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
拖车挂钩
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
解：（1）按剪切强度计算：
销钉的横截面积 由剪切强度公式
FQ F FQ
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
ρ——横截面上任一点距圆心和距离，单位mm；
的大小与截面形状和尺寸有关，单位mm4。
Ip——横截面的极惯性矩，它表示截面的几何性质，它
上式表明，横截面上任一点处切应力的大小，与该点到 圆心的距离ρ成正比。
由上式可知：圆心处的切应力为零，同一圆周上各点切应力 相等，在横截面边缘上，ρ达到最大值R，该处切应力最大：
杆件正应力怎么求计算公式
杆件正应力怎么求计算公式杆件正应力的计算公式。
在工程力学中，杆件正应力是指在杆件内部由外部加载引起的正向拉伸或压缩应力。
正应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，它可以帮助工程师确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
杆件正应力的计算公式可以通过简单的力学原理推导得出。
在这篇文章中，我们将介绍杆件正应力的计算公式，并且讨论一些实际应用中的例子。
杆件正应力的计算公式可以表示为：σ = P / A。
其中，σ表示杆件的正应力，P 表示施加在杆件上的外部力，A 表示杆件的横截面积。
这个公式的推导可以通过简单的力学原理来进行。
当一个外部力 P 作用在杆件上时，杆件内部会产生一个与外部力方向相反的内部应力。
根据牛顿第三定律，这个内部应力的大小与外部力的大小相等，方向相反。
而杆件的横截面积 A 则可以用来表示内部应力的分布情况。
因此，杆件的正应力可以表示为外部力 P 与横截面积 A 的比值。
在实际应用中，杆件正应力的计算可以通过这个简单的公式来进行。
例如，当一个钢杆承受一个拉力时，我们可以通过测量钢杆的横截面积和外部拉力来计算钢杆的正应力。
这个计算可以帮助工程师确定钢杆是否能够承受这个拉力，并且可以帮助工程师选择合适的钢材来设计结构。
除了上面提到的简单拉力的情况，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他复杂的情况中。
例如，在梁的设计中，梁的横截面积不是均匀的，因此我们可以通过积分的方法来计算梁的正应力分布。
这个计算可以帮助工程师确定梁在不同位置的正应力大小，并且可以帮助工程师选择合适的梁的尺寸和材料来设计结构。
除了简单的拉力和梁的设计，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他工程结构的设计中。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过计算桥梁的正应力来确定桥梁的承载能力，并且可以帮助工程师选择合适的桥梁的尺寸和材料来设计结构。
总之，杆件正应力的计算公式是工程设计中非常重要的一部分。
通过这个简单的公式，工程师可以确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抗弯截面系数。 抗弯截面系数 相同的情况 式中 Wz ——抗弯截面系数。在M相同的情况
σ
+ max
σ
− max
M y = Iz − M 2 ymax = Iz
+ 1 max
σymax M z y max σ max 图8-30
悬臂梁受力如下图所示， 例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z = 1×10 mm o 试求梁的最大拉应力。
切应力强度满足。 切应力强度满足
练习： 练习：
一简支梁如下图示。 例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。 ，选择工字钢的型号。 解
10KN 50KN A C 4m 2m D 4m B
z
RA = 26 KN
R B = 34 KN
M max = 136 KN ⋅ m
1. 强度校核
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
τ max =
FQ ⋅ S
* z max
Iz ⋅b
≤ [τ ]
2. 设计截面
Wz ≥ M
圆截面： 圆截面： 矩形截面： 矩形截面：
max
Iz πd 4 64 π ⋅ d 3 Wz = = = ymax d 2 32 Iz bh 3 12 bh 2 Wz = = = ymax h2 6
复习： 复习：
弯曲杆件正应力计算公式： 弯曲杆件正应力计算公式：
M σ= y I
弯曲切应力计算公式： 弯曲切应力计算公式：
τ=
FQ ⋅ S z Iz ⋅b
∗
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 ） 对整个等截面杆件来说， 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上， 在弯矩最大的截面上，其值为
200 (y2) 22kN （a） A 2m B 1m C 12kN
解：画M图。 图
z
8KN m · M图
M B = 12 KN ⋅ m, M A = 8 KN ⋅ m
A截面最大拉应力 截面最大拉应力
12kN m ·
a
c
+ σ max
B截面最大拉应力 截面最大拉应力
b A截面 d B截面
+ σ max
σ max
M max = ⋅ y max Iz
将此式改写为 令
Байду номын сангаас
σ max
Iz Wz = ymax
M max = I z ymax
σ max
M = Wz
则
W 愈大， 就愈小，梁便不容易破坏。 下， z 愈大 σ max就愈小，梁便不容易破坏。可见
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。 抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力 （2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面， 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生 在同一截面，所以，最大正应力公式表示为 在同一截面，所以，最大正应力公式表示
M max ≤ [σ ]⋅ Wz
[σ ]
3. 确定许用荷载
=4m
4kN F Q图 4kN
h
下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， 例1 下图所示木梁，已知 ， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 ， ， ， 强度。 强度。 q=2kN/m 解 z
b
M图 4kN m ·
作 FQ 和 M图
FQ max = 4 KN
M max = 4 KN ⋅ m
（2）校核正应力强度 ）
σ max
M max 4 ×106 = = = 3.88MPa < [σ ] 1 Wz × 140 × 210 2 6
正应力强度满足。 正应力强度满足
3FQ max 2A
（3） 校核切应力强度
τ max =
3 × 4 ×103 = 0.20 MPa < [τ ] = 2 ×140 × 210
M max 136 ×106 Wz ≥ = = 400cm3 2[σ ] 2 ×170
3.主应力强度条件 主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形： 焊接而成的工字形
M a b y z τ max τ min τ min
σ σ1 = + +τ 2 ≤ σ + 2 2
2
σ
[ ]
[ ]
σ σ 3 = − +τ 2 ≤ σ − 2 2
2
σ
二、强度计算
2.切应力强度条件 2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在 对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。 所在截面的中性轴处。
τ max =
FQ ⋅ S z* max Iz ⋅b
≤ [τ ]
当杆件出现以下情况之一时， 当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： 梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 某些组合截面梁（ （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 ），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 应比值时。 木梁或玻璃等复合材料梁。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
M A ⋅ y2 8 ×106 × 200 = = = 16MPa 8 Iz 1×10
M B ⋅ y1 12 × 106 ×100 = = = 12MPa 8 Iz 1× 10
100 (y1)
（2）.强度条件
产生最大弯矩的截面称为危险截面， 产生最大弯矩的截面称为危险截面，危险 截面上产生最大应力的点称为危险点。 截面上产生最大应力的点称为危险点。 M max ⋅ ymax M max σ max = = ≤ [σ ] IZ Wz 对于脆性材料 + M ⋅ ymax + + σ max = ≤ [σ ] Iz − M ⋅ ymax − − σ max = ≤ [σ ] Iz 式中各量计算均用绝对值。 式中各量计算均用绝对值