第5章杆件应力和强度计算
建筑力学(5章)
M eB 0.95kN m
M eC 1.27kN m
M eD 1.59kN m
第5章 扭转杆的强度计算
（2）计算扭矩 1 1 2 2
截面1-1：
Mx 0
T2 WP2 14 106 MPa 71.3MPa π 1003 16
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力 圆轴的扭转试件可分别用Q235钢、铸铁等材料做成， 扭转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶
T1 M eB 0
T1 M eB 0.95kN m
截面2-2：
Mx 0
T1
T2 M eB M eA 0
T2 M eA M eB 2.87kN m
T2
第5章 扭转杆的强度计算
3
截面3-3：
Mx 0
T3 M eD 0
3
T3 M eD 1.59kN m
式中：[σC]为材料的许用挤压应力，可查有关设计手册。
注意：若两个相互挤压构件的材料不同，应对挤压强度 小的构件进行计算。
第5章 扭转杆的强度计算
挤压强度条件在工程中同样可以解决三类问题。 但工程中构件产生单纯挤压变形的情况较少，挤压强
度的计算问题往往是和剪切强度计算同时进行。
第5章 扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
当挤压面为平面时，挤压计算面积与挤压面面积相等。
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
过程装备基础第5章习题解
第5章 杆件的强度与刚度计算5-1 如图所示的钢杆，已知：杆的横截面面积等于100mm 2，钢的弹性模量E=2×105MPa ，F=10kN ，Q=4kN 。
要求：（1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变； （2）计算钢杆的纵向总伸长量。
解：（1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝对变形和应变从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，则根据轴力的平衡，得各段内的轴力：（左）N 1=F=10kN （中）N 2=F-Q=10-4=6kN （右）N 3=F =10=10kN 各段内的应力：（左）MPa Pa S N 1001010010100101066311=⨯=⨯⨯==-σ （中）MPa Pa S N 6010601010010666322=⨯=⨯⨯==-σ （右）MPa Pa S N 1001010010100101066333=⨯=⨯⨯==-σ 各段内的绝对变形：（左）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653111=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （中） mm m ES L N l 06.01006.0)10100()102(2.0)106(3653222=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （右）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653333=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ 各段内的应变：（左）41111052001.0-⨯==∆=L l ε 题5-1图1 2 3 123（中）422210320006.0-⨯==∆=L l ε （右）43331052001.0-⨯==∆=L l ε （2）计算钢杆的总变形26.01.006.01.0321=++=∆+∆+∆=∆l l l l mm （3）画出钢杆的轴力图 钢杆的轴力图见下图。
Nx5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。
05工程力学（静力学和材料力学）第2版课后习题答案_范钦珊主编_第5章_轴向拉伸与压缩
eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第5章)范钦珊 唐静静2006-12-18第5章轴向拉伸与压缩5－1试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图。
解：(a)题(b)题(c)题(d)题习题5－1图F NxF N(kN)x-3F Nx A5－2 图示之等截面直杆由钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处粘接而成。
直杆各部分的直径均为d ＝36 mm ，受力如图所示。
若不考虑杆的自重，试求AC 段和AD 段杆的轴向变形量AC l Δ和AD l Δ解：()()N N 22ssππ44BCAB BC AB ACF l F l l d dE E Δ=+33321501020001001030004294720010π36.××+××=×=××mm ()3N 232c100102500429475286mm π10510π364..CDCD AD AC F l l l d E ΔΔ×××=+=+=×××5－3 长度l ＝1.2 m 、横截面面积为1.10×l0－3 m 2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；-10F N x习题5－2图刚性板固定刚性板A E mkN习题5－4解图直径d ＝15.0mm 的钢杆BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。
若在钢杆的C 端施加轴向拉力F P ，且已知钢和铝的弹性模量分别为E s ＝200GPa ，E a ＝70GPa ；轴向载荷F P ＝60kN ，试求钢杆C 端向下移动的距离。
解： a a P A E l F u u ABB A −=−（其中u A = 0）∴ 935.0101010.11070102.1106063333=×××××××=−B u mm钢杆C 端的位移为33P 32s s601021100935450mm π20010154...BC C B F l u u E A ×××=+=+=×××5－4 螺旋压紧装置如图所示。
《输电线路基础》第5章-杆塔强度校核-第五节-铁塔构件内力的计算.
图5-5-2 单斜材平面桁架内力计算图
由于桁架主材坡度
所以
0 用Ⅰ-Ⅰ线截开U1、U2、s5三个构件，按照上述方法，取 M A ，即
Hale Waihona Puke 求得U1 PH 5 5 8.5034kN (受压) b6 cos 3.0 0.98
同理，取占 M 0 0
可得
U2
5 4 7.8493 kN (受拉 ) 2.6 0.98
所以，采用截面法时，一次截取未知内力的构件数不得超过三个。 求任意一个构件的内力时，取另外两个构件的交点为力矩中心。 如果截取的构件多于三个，但是除拟求内力的构件外，其余各构 件都交汇在一点，那么就取这一交点为力矩中心。
这样，在 M 0 的方程式里只有一个未知数，能够很快地求出拟 求的构件内力。 截面法的优点是，一次能求出桁架内任意构件的内力，而不必计 算其它各构件的内力，因此在铁塔的计算中广泛采用截面法。 利用截面法求构件内力的步骤： (1)将桁架截为两部分，截断桁架时，要在截断面内包括拟求内力的 构件，同时将未知内力的构件交汇于一点。 (2)将桁架另一部分舍去并用构件的内力代替舍去部分对留下部分的 作用。同时假定所有构件受拉，就是说，其内力的方向是离开节点 的。 (3)在求某一构件内力时，取其余各构件的汇交点作为力矩中心，并 写出作用在留下部分桁架上诸力的力矩平衡方程式。 (4)从列出的方程式中，如果算出的各构件内力是正值(+)的，那么 表示该构件受拉，如果是负值(-)，则表明构件受压。
上式中的r1为自O点至斜材s3的垂直距离，用作图法求得。 交点0的距离a可按下式计算。 (5-5-4)
例题5-5-1 如图5-5-2所示的单斜材平面桁架，水平作用力P=5kN， 试求主材U1～U5和斜材s1～s5的内力。 【解】 由式(8-6)可得水平力P的作用点到主材 交点0的距离a为
拉伸杆件的许用应力计算公式
拉伸杆件的许用应力计算公式拉伸杆件是一种广泛应用于工程领域的机械构件，通常由金属材料制成。
因其受力状态主要为拉伸状态，所以其许用应力计算也是非常重要的。
一般来说，拉伸杆件在受外力拉伸时，将承受拉伸力的作用，这时，杆件上出现的应力为拉应力，其计算公式为σ=F/A，其中F表示拉力，A表示截面积。
根据拉伸性质，拉应力不会超过材料的抗拉强度，因此，杆件的许用应力计算就是要根据抗拉强度来确定。
许用应力是指杆件所能承受的最大拉应力，通常也叫做极限拉应力。
对于轴对称的杆件，其许用应力计算公式为σmax=F/S，其中，F表示拉力，S表示应力集中系数与截面积的乘积。
应力集中系数是由于杆件悬臂长度不同，所致使应力不均匀分布，而引起的系数。
若杆件为圆柱形，则应力集中系数等于1。
当杆件为正方形、矩形、槽形或其他异形时，应力集中系数需要根据截面形状确定。
而许用应力则需要根据材料的抗拉强度和安全系数来确定。
对于非轴对称的杆件，其许用应力计算公式需要根据实际情况而定。
需要注意的是，杆件的长度也是影响其许用应力的因素之一，一般来说，长度越长，杆件所能承受的拉应力就越小。
因此，在实际使用过程中，需要根据杆件的长度及使用环境来确定合适的许用应力。
除了考虑杆件自身的许用应力，还需要根据实际情况来确定安全系数。
安全系数是指将许用应力与实际所受载荷的比值。
一般来说，安全系数越大，杆件的安全性就越高，但同时也会降低其承载能力。
因此，在实际使用过程中，需要根据实际情况来确定合适的安全系数。
综上所述，拉伸杆件的许用应力计算公式需要根据杆件自身的形状、长度以及材料的抗拉强度和安全系数来确定。
在实际使用过程中，需要根据实际情况来确定合适的许用应力和安全系数，以确保杆件的安全性和承载能力。
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形.ppt
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
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所以该柱满足强度要求。
轴向拉伸和压缩
例 已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载 q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力[σ]=160MPa。试按要求 设计拉杆AB的截面。⑴ 拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的 直径。⑵ 拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。
1—3。 • 试验通常在室温的条件下按一般的变形速
度进行。在上述条件下所得材料的力学性 质，称为常温、静载下材料在拉伸（压缩） 是的力学性质。
低碳钢在拉伸时的力学性质
拉伸过程
• 弹性阶段 • 屈服阶段 • 强化阶段 • 局部变形阶段
强度指标与塑性指标
• 对低碳钢这一类材料：屈服极限和强度极 限是衡量其强度的主要指标。
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
轴向拉伸和压缩
例 正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力 [σC]=1.05MPa，弹性模量E=3GPa，荷载FP=60kN，试校核 该柱的强度。
解（1）画轴力图如图b所示。 （2）计算最大工作应力
对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截 面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。
轴向拉伸和压缩
例 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN； 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方 截面杆。
A 1
45° B
C
2
F
解：1、计算各杆件的轴力。 用截面法取节点B为研究对象
确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷
载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。 塑性材料 nS取1.4～1.7； 脆性材料 nb取2.5～3。 某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。
轴向拉伸和压缩
1.强度条件
σmax≤[σ]
max
FN A
σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是
需分段计算各段的应力，然后选 最大值。
AB
FNAB AAB
60103
MPa
250 250
0.96MPa
BC
FNBC ABC
180103 MPa 0.72MPa 500 500
轴向拉伸和压缩
比较得：最大工作应力为压应力，产生在AB段。 即|σmax|=0.96Mpa。
2
(1 cos2 )
p
s in
sin
cos
2
sin 2
为斜截面上的应力计算公式
A αAα
P
pα N＝Pα
σα α pα
τα
2. 最大应力和最小应力
（1）最大 最小应力正应力
当 α ＝ 00 时
拉杆 压杆
σ max = σ σ min = - σ
( 2 ) 最大 最小应力剪应力
FN1
y
FN 2 45° B x
F
轴向拉伸和压缩
FN1
y
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN 2 45° B x
F
Fx 0
FN1 28.3kN
FN1 cos 45 FN 2 0 FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
1
FN1 A1
28.3103
（2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。
（3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点 的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内 力。
第2节 材料在轴向拉压时的力 学性能
材料在拉伸、压缩时的机械性能
• 标 l0=准10圆0m试m件的：试l0件/d0进=1行0或测5试，。常称用为d标=1距0m；m， • 压缩时，圆截面试件高度h与直径d之比为
纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。
横向线仍为直线但转过了一个角度；
矩形截面的上部变宽下部变窄。
弯曲应力
平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且
仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤 维之间无挤压。
单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，
各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。
四、应力集中的概念
第5节 平面弯曲梁的应力与强 度计算
弯曲应力
a FP AC
FP a DB
FP FQ
FP M
FPa
CD梁段横截面上 只有弯矩,而没有剪力， 这种平面弯曲称为纯 弯曲。
AC和DB 梁段横截 面上不仅有弯矩还伴 有剪力，这种平面弯 曲称为横力弯曲。
弯曲应力
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。 z轴：中性轴。 x轴：沿纵向线。
z M
x O
dA
(y z) y
受力分析：dA上的内力为σdA，于是整个截面上所有内力 组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ， 所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：
ΣFx＝0
FN
dA 0
塑性材料
极限应力 脆性材料
0 S
0 b
0
n
n —安全系数 —许用应力。
轴向拉伸和压缩
塑性材料的许用应力 s
ns
脆性材料的许用应力 b
nb
选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下， 尽可能减小安全系数来提高许用应力。
当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为
A1
A 2
393.8 2
mm 2
196.9mm2
选用两根36×3的3.6号等边角钢。
轴向拉伸和压缩
36×3的3.6号等边角钢的横截面面积 A1=210.9mm2
故此时拉杆的面积为 A=2×210.9mm2=421.8mm2＞393.8mm2
能满足强度要求，同时又比较经济。
q
钢拉杆
8.4m
FAy
FBy
解 （1）整体平衡求支反力
FAy FBy 42kN
轴向拉伸和压缩
q =4.2kN/m
FCy FCx
FN 钢拉杆
（2）求拉杆的轴力。 用截面法取左半个屋架为 研究对象，列平衡方程
ΣMC =0
FAy
FAy
4.2
q
l 2
l 4
FNAB
1.4
0
（3）设计拉杆的截面。
弯曲应力
梁中取出的长为dx的微段
1
2
o1
o2
a
b
1 dx 2
变形后其两端相对转了d角
M
12
M
1
2
12
o1
o2
a
b
12
d
r
O1
O2
a1
b1
弯曲应力
距中性层为y处的纵向纤维ab的变形
原
长：
ab O1O2 rd dx
1
d
2
r
变形后长： a1b1 (r y)d
o1
o2
a
轴向拉伸和压缩
一、拉（压）杆横截面上的应力
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
轴向拉伸和压缩
根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑， 可推断：
弯曲应力
中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短 ，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维 层，称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，
受压区
受拉区
中性层
z 中性轴
y
由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向 对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时， 其横截面绕中性轴旋转某一角度。
轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：横截面上只有正应力σ。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两 个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间 的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应 力σ都相同。
FP
FN
轴向拉伸和压缩
通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力—— 正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横 截面上正应力的计算公式为
第1节 应力的概念
一、应力的概念
受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。
总应力：
p lim FR dFR A0 A dA
FR
K
A
总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂
直，也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截
面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。
b
式中ρ 为中性层上的纤维为
1
2 a1
O2 b1
a1b1 ab a1b1 O1O2
ab
O1O2
(r y)d rd y
rd
r
可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。
弯曲应力
2. 物理关系方面
由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料
当 α ＝+45 0 时
max 450