2019届上海市崇明区高三一模数学Word版(附解析)
2019年上海市各区高考数学一模试卷(合集共16份)
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
2019届高三年级(一模)考试数学试题分类汇编--函数,推荐文档
18、（金山区
2019
届高三）已知函数
f
(x)
| log5 (1 x) | (x 2)2 2
x
1
，则方程
f
(x
1
2)
a
（
x 1
x
a R ）的实数根个数不可能为（ ）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
19、（浦东新区 2019 届高三）已知函数 f (x) 2x | x a | 1有三个不同的零点，则实数 a 的取值
t +2
天中保温时段的通风量. （1）若一天中保温时段的通风量保持 100 个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确
到 0.10C ）；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17 0C ，求大棚一天中保温时段
通风量的最小值.
期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数 f (x) 与时刻 x （时）的函数 关系为 f (x) | log25 (x 1) a | 2a 1， x [0, 24]，其中 a 为空气治理调节参数，且 a (0,1) . （1）若 a 1 ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
10、（徐汇区 2019 届高三）已知函数 f (x) 是以 2 为周期的偶函数，当 0 x 1时，
f (x) lg(x 1) ，令函数 g(x) f (x) (x 1, 2) ，则 g(x) 的反函数为______________________.
14、（宝山区 2019 届高三）函数 y f x与 y ln x 的图像关于直线 y x 对称，则 f x
． 15、（奉贤区 2019 届高三）函数 g(x) 对任意的 x R ，有 g(x) g(x) x2 ，设函数
2019学年第一学期崇明区高三数学试卷含答案
崇明区2020届第一次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B =I ． 2．不等式21x -<的解集是 ． 3．半径为1的球的表面积是 ．4．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ． 5．函数()1f x x =+的反函数是 ．6．计算：112323lim -+∞→+-n n n n n = .7．二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项的值等于 ．8．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是 ． 9．已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于 ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．11．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．12．正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是A ．11a b> B ．a b ->C ．33a b <D ．22a b >14．已知z C ∈，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于 A ．12 B ．1C ．104D ．5216．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于A ．23B ．56C ．1D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =． （1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求点1B 与平面1A BC 的距离．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数231()sin 2cos 22f x x x =--. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值．P ECODBAA 1B 1C 1A BC19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145001005x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升．（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求 x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求y 的最小值．20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）已知椭圆22:14x y Γ+=，其左右顶点分别为A ，B ，上下顶点分别为C ，D ．圆O 是以线段AB 为直径的圆．（1）求圆O 的方程；（2）若点,E F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线,CE DF 分别交x 轴于点M N 、，求证：OM ON ⋅u u u u r u u u r为定值； （3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得13AP PQ =u u u r u u u r？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的n *∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（1）若11a =，12b =，14c =，求4a ，4b ，4c 的值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．参考答案一、填空题1．{1, 2} 2．(1,3) 3．4π4．n25．f-1 (x) =x2 -1(x ≥0)6．37．160 8．y2-=1 9．10．2 11．78 12．-7 2。
2019届崇明区高三数学及英语一模试题及答案
People Think Meals Taste Better If They Are Expensive It is said that there’s no such thing as a free lunch, but even if you manage to bag a bargain meal, it will not taste as good as a more expensive meal, according to scientists. A new study has found that restaurant __31__ who pay more for their meals think the food is tastier
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Hale Waihona Puke than if it is offered for a smaller price. The experts think that people tend to associate cost with quality and this changes their __32__ of how food tastes. Scientists at Cornell University in New York studied the eating habits of 139 people enjoying an Italian buffet(自助餐) in a restaurant. The price of the food was set by the __33__ at either $4 or $8 for the all-youcan-eat meal. Customers were asked to __34__ how good the food tasted, the quality of the restaurant and to leave their names. The experiment __35__ that the people who paid $8 for the food enjoyed their meal 11 percent more than those who ate the “cheaper” buffet. Interestingly those that paid for the $4 buffet said they felt guiltier about loading up their plates and felt that they __36__. However, the scientists said that both groups ate around the same quantity of food in total, according to the study __37__ at the Experimental Biology meeting this week. Brian Wansink, a professor of __38__ behavior at the university, said: “We were fascinated to find that pricing has little impact on how much one eats, but a huge impact on how you __39__ the experience.” He thinks that people enjoyed their food more as they associated cost with quality and that small changes to a restaurant can change how tasty people find their meals. In a(n) __40__ study, scientists from the university showed that people who eat in dim lighting consume 175 less calories(卡路里) than people who eat in brightly lit areas. III. Reading Comprehension Section A How Climate Change Affects Airline Flights Hot weather has forced dozens of commercial flights to be canceled at airports in the Southwest this summer. This flight-disturbing __41__ is a warning sign. Climate change is projected to have far-reaching __42__ --including sea level rise flooding cities and shifting weather patterns causing long-term declines in agricultural production. And there is evidence that it is beginning to affect the takeoff performance of commercial aircraft, with potential effects on airline __43__. National and global transportation systems and the economic activity they support have been designed for the climate in which it all developed. In the aviation(航空) industry, airports and aircraft are designed for the weather conditions experienced __44__. Because the climate is changing, even fundamental elements like airports and key economic parts like air transportation may need to be __45__. As scientists focused on the impacts of climate change and extreme weather on human society and natural ecosystems around the world, our research has quantified how extreme heat associated with our warming climate may affect __46__ around the world. We’ve found that major airports from New York to Dubai to Bangkok will see more frequent takeoff weight __47__ in the coming decades due to increasingly common hot temperatures, which can help reduce the aircraft’s weight so as to lower its required takeoff speed. There is obvious evidence that extreme events such as heat waves and coastal flooding are happening with greater frequency and intensity than just a few decades ago. And if we __48__ to reduce greenhouse gas emissions significantly in the next few decades, the frequency and intensity of these extremes is projected to increase dramatically. The __49__ on aviation may be widespread. Many airports are built near sea level, putting them at risk
2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式＜0的解是 ．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ． 8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 cm 2．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．C ．D ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1 B ．|ab |≥1 C ．|a +b |≥1 D ．|a ﹣b |≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规祝您高考马到成功！划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值；（2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．祝您高考马到成功！上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= 3 ． 【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a }， A ∪B={1，2，3，5}， ∴a=3． 故答案为：3．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是 （﹣1，0） ．【解答】解：不等式＜0，即 x （x +1）＜0，求得﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= 1﹣i ． 【解答】解：由iz=1+i ，得z==1﹣i故答案为：1﹣i ．5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 21 ．（用数字作答）祝您高考马到成功！【解答】解：（x ﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2， ∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，）， 则：（，）满足f （x ）=x α， 所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 18π cm 2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm ，则圆柱体的体积为 V=πa 2•a=27π，祝您高考马到成功！解得a=3cm ；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm 2． 故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ﹣ ．【解答】解：∵函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ， ∴x ＞0时，﹣f （x ）=2﹣x ﹣a （﹣x ）， ∴f （x ）=﹣2﹣x ﹣ax ， ∵f （2）=2，∴f （2）=﹣2﹣2﹣2a=2， 解得a=﹣． 故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= 2 ．【解答】解：无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，可得=a ，即有=a ，即为2a 2﹣5a +2=0， 解得a=2或，由题意可得0＜|q |＜1， 即有0＜|a ﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立． 故答案为：2．祝您高考马到成功！11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论： ①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C 53C 31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C 52C 32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C 51C 33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法， 则一共有360+360+60=780； 故答案为：780．12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= 4 ．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， 设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ABC=α， 由||=2，知A （﹣a +2cosα，2sinα），∴=（a ﹣2cosα，b ﹣2sinα），=（2a ，0）， ∴•=2a （a ﹣2cosα）+0=2a 2﹣4acosα=6，∴a 2﹣2acosα=3； 又=（2a ﹣2cosα，﹣2sinα），祝您高考马到成功！∴=（2a ﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a 2﹣8acosα+4 =4（a 2﹣2acosα）+4 =4×3+4 =16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，由题意得，=ad ﹣bc ．故选B ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b【解答】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得：2a ＞2b ．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ，B ，C 不正确． 故选：D ．祝您高考马到成功！15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：∵S 4+S 6＞2S 5， ∴4a 1+6d +6a 1+15d ＞2（5a 1+10d ）， ∴21d ＞20d ， ∴d ＞0，故“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”充分必要条件， 故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1B ．|ab |≥1C ．|a +b |≥1D ．|a ﹣b |≥2【解答】解：双曲线﹣y 2=1的渐近线为：y=±x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2，1），B （2，﹣1）．=a+b=（2a +2b ，a ﹣b ）．代入双曲线方程可得：﹣（a ﹣b ）2=1，化为ab=． ∴=ab ，化为：|a +b |≥1．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所祝您高考马到成功！成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， ∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2•=2， ∵S 正方形ABCD =AB ×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积： V===． （2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A 1D=A 1B==2， ∴cos ∠A 1BD===．∴∠A 1BD=arccos．∴异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos．祝您高考马到成功！18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．【解答】解：f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin （2x +）（1）当2x +=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；（2）由f （）=，即2sin （A +）=可得sin （A +）=∵0＜A ＜π ∴＜A ＜ ∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．祝您高考马到成功！19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n +6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n +1）﹣f （n ）=[﹣2（n +1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n ≤3时，f （n +1）﹣f （n ）＜0，故当n ≤4时，f （n ）递减； 当n ≥4时，f （n +1）﹣f （n ）＞0，故当n ≥4时，f （n ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利； 方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x ≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x ≈4．祝您高考马到成功！从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减； 当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值； （2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．【解答】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ， 当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x +m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴•=0，祝您高考马到成功！∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴+=0，∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∴m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4， 设A （x 1，y 1），（x 2，y 2）， ∵k OA •k OB =﹣， ∴•=﹣，∴x 1x 2=﹣4y 1y 2， 由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 =++m 2=，∴=﹣4×，∴2m 2﹣4k 2=1， ∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==，∴S △OAB =|AB |d==•==1祝您高考马到成功！21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1． 【解答】解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1， 而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |． 若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1． 若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，祝您高考马到成功！∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．！功成到马考高您祝。
2019届上海高三数学一模汇编(60页)
2019一模集合命题不等式专题一、解答题（宝山区一模2）集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________. 答案：(]1,3- (虹口区一模2)不等式的解集为________. 【答案】(虹口区一模3)设全集，若，则________. 【答案】（浦东新区一模1） 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________. 答案：()12,（青浦区一模1）已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-（青浦区一模2）写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm < （青浦区一模3）不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案：(2,3)-（徐汇区一模2）已知全集U R =，集合{}2|,,0A y y x x R x ==∈≠，则U C A =_________. 答案：(],0-∞（徐汇区一模3）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_________.答案：（杨浦区一模1）设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =21xx >-1,12⎛⎫⎪⎝⎭U R ={2,1,0,1,2}A =--{}2|log (1)B x y x ==-()U A C B ={}1,2答案： {1,2}（杨浦区一模5）若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-（杨浦区一模11）当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2（长宁区一模1）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =答案：}6,4,3,2,1{（长宁区一模12） 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案：3（崇明区一模2）已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ . （松江区一模1） 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)(虹口区一模13)已知，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A（宝山区一模14）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件..A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要（浦东新区一模13） “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件x R ∈1233x -<1x <答案： A（长宁区一模13）已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B（崇明区一模13）若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < （崇明区一模14 ）“2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件（松江区一模14）若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要三、解答题（长宁区一模17） 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<；（2）442120x x-⋅->答案：（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分2019一模函数专题一、填空题（宝山区一模4）方程()ln 9310x x +-=的根为__________. 答案：0x =（宝山区一模8）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________. 答案：()x f x e -=-（宝山区一模10）将函数y =的图像绕y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________. 答案：23π(虹口区一模4)设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________. 【答案】(虹口区一模6)函数的值域为__________.【答案】(虹口区一模12)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________. 【答案】（浦东新区一模5）若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____. 答案：()13,（浦东新区一模10）已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.答案：(,-∞a R ∈3()log ()f x x a =+()2,1a =88()([2,8])f x x x x=+∈y kx =2|log (2)|2|1|x y x +=--k (,0]{1}-∞（浦东新区一模12）已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[)2,6∈-a（普陀区一模1）函数()2f x x=的定义城为 . 答案： (,0)(0,1]-∞（普陀区一模3）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= . 答案： 2-（普陀区一模12）设a 为常数,记函数()1log 2axf x a x=+- （0a >且1,0a x a ≠<< ）的反函数为()1f x -，则1121f a -⎛⎫+⎪+⎝⎭111232++=212121a f f f a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：2a（青浦区一模11）已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（徐汇区一模9）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_________. 答案：()[]1310,0,lg2x gx x -=-∈（徐汇区一模11）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 答案：(]()1,34+∞，（杨浦区一模8）若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-（长宁区一模6） 已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞（长宁区一模8） 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[（崇明区一模9）若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a .（崇明区一模11）设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .（松江区一模3）已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案：2（松江区一模9）若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 4（松江区一模12）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 答案：二、选择题(虹口区一模15)已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】B（宝山区一模15）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形 .C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数答案：A（普陀区一模16）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2,012log ,14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[]-45，上零点的个数是（ ） .A 5 .B 6 .C 7 .D 8 答案：D（青浦区一模16）记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902（徐汇区一模15）对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x -+≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数:①sin y x =；②y = ）100100[2,2]-2()1f x ax x =-+1, 1(), 1 1 1, 1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-a (0,)+∞(,0)(0,1)-∞1(,)(1,)2-∞-+∞(,0)(0,2)-∞.A ①、②均不是“蝶型函数” .B ①、②均是“蝶型函数”.C ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数 .D ①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数” 答案：B（杨浦区一模16）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 答案：A（杨浦区一模15）已知x x f θsin log )(=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 答案：D（杨浦区一模13）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C（长宁区一模16）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案：C（崇明区一模16）函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（宝山区一模19）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数213++-=t bt y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风最的最小值. 答案：（1）203（2）256(虹口区一模18)已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故据此，，即值域为 ⑵在显然是单调增函数，，所以，故，令，则随的增大而增大， 最大值为，所求范围是16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠R a ()f x ()33x t f x ⋅≥-[1,2]x ∈t (0)0f =3a =3a =16()133x f x +=-+23113131x x x -=-=++3131()()3131x x x x f x f x -----==-=-++3a =1()301()x f x f x +=>-()(1,1)f x ∈-(1,1)-32()131f x =-+[1,2]x ∈13[,]25x ∈31(33)31x xx t +≥-⋅-max31(33)31x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦31,[2,8]xm m -=∈31(33)(2)31x xx m +-⋅--24m m m m+⋅=-m 152∴15[,)2+∞（浦东新区一模19）（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：答案：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分）综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）（普陀区一模21）已知函数()2xf x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值. 答案：（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.（青浦区一模19）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数. 答案：（1）[4,4]-；（2）略.（徐汇区一模18）已知函数()22ax f x x -=+，其中a R ∈. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0+∞，上是单调减函数.答案：（1）1,2;1,20;1,02a x a x a x x =-≠->--<≤<-≥<-或 （2）1a <-（杨浦区一模19） 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575.（长宁区一模20）已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.答案：（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<<…………………………5分 所以12ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分（崇明区一模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. （松江区一模18）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值. 答案：解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分2019一模三角专题一、填空题（宝山区一模1）函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________. 答案：π（宝山区一模9）已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则x y +=__________. 答案：62or ππ-（宝山区一模11）章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒,求边c 。
2019年上海市崇明区高考数学一模试卷及解析
上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。
2019年上海市崇明区高考数学一模试卷(含解析)
2019年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】1．（4分）＝．2．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝．3．（4分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝．4．（4分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）5．（4分）角θ的终边经过点P（4，y），且，则tanθ＝．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是．7．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y+5＝0的距离等于．8．（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．9．（5分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象过点（﹣3，7），则a＝10．（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）＝1，f（2π）＝2，则不等式组的解集为．12．（5分）已知数列{a n}满足：①a1＝0，②对任意的n∈N*都有a n+1＞a n成立．函数f n（x）＝|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），f n（x）＝m总有两个不同的根，则{a n}的通项公式是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．（5分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．B．﹣a＞b C．a2＞b2D．a3＜b314．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）已知满足，且，则中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定16．（5分）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，x n∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则n的最大值是（）A．11B．13C．14D．18三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，直线A1C与平面ABCD 所成角为．（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝cos x•sin x+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，a＝3，b＝4．求△ABC的面积．19．（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．21．（18分）已知数列{a n}，{b n}均为各项都不相等的数列，S n为{a n}的前n项和，．（1）若，求a4的值；（2）若{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若{a n}的各项都不为零，{b n}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，a n，…成等差数列的充要条件是．2019年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】1．（4分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】将分式分子、分母同时除以n，再利用，，可求解．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限的运算，属简单题．2．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：A∩B＝{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．3．（4分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝1﹣2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设复数z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，∵2z+＝3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i，∴3a＝3，b＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣2，则z＝1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．4．（4分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：T r+1＝＝x16﹣3r，令16﹣3r＝7，解得r＝3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为＝﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（4分）角θ的终边经过点P（4，y），且，则tanθ＝．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．【解答】解：角θ的终边经过点P（4，y），且＝，∴y＝﹣3，则tanθ＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是4．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|＝5，则P到准线的距离也为5，即x+1＝5，即可求出x．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝x+1＝5，∴x＝4，故答案为：4．【点评】考查了抛物线的定义、焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题7．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y+5＝0的距离等于0．【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．【解答】解：由已知得圆心为：P（1，﹣2），由点到直线距离公式得：d＝＝0，故答案为：0．【点评】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．8．（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】38：对应思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，∴r＝1．∴圆锥的高h＝＝．∴圆锥的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．9．（5分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象过点（﹣3，7），则a＝6【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】∵f（x）的反函数图象过点（﹣3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，﹣3），然后将点（7，﹣3）代入f（x）可解得．【解答】解：∵f（x）的反函数图象过点（﹣3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，﹣3），∴f（7）＝﹣3，即log2＝﹣3，∴＝2﹣3，∴a＝6．故答案为：6【点评】本题考查了反函数．属基础题．10．（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有1518种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A232＝1518，故答案为：1518．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）＝1，f（2π）＝2，则不等式组的解集为[π﹣2，8﹣2π]．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）＝1，f（2π）＝2得出f（4﹣π）＝1，f（2π﹣6）＝2，并且由1≤x≤2得出0≤2﹣x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4﹣π）≤f（2﹣x）≤f（2π﹣6），进而得出，解该不等式组即可．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）＝1，f（2π）＝2得，f（4﹣π）＝1，f（2π﹣6）＝2，且4﹣π，2π﹣6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2﹣x≤1；∴由得，；∴；解得π﹣2≤x≤8﹣2π；∴原不等式组的解集为[π﹣2，8﹣2π]．故答案为：[π﹣2，8﹣2π]．【点评】考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．12．（5分）已知数列{a n}满足：①a1＝0，②对任意的n∈N*都有a n+1＞a n成立．函数f n（x）＝|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），f n（x）＝m总有两个不同的根，则{a n}的通项公式是a n＝π．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4F：归纳法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得a n+1﹣a n＝nπ，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1＝0，当n＝1时，f1（x）＝|sin（x﹣a1）|＝|sin x|，x∈[0，a2]，又∵对任意的m∈[0，1），f1（x）＝m总有两个不同的根，∴a2＝π，∴f1（x）＝sin x，x∈[0，π]，a2＝π，又f2（x）＝|sin（x﹣a2）|＝|sin（x﹣π）|＝|cos|，x∈[π，a3]，∵对任意的m∈[0，1），f1（x）＝m总有两个不同的根，∴a3＝3π，又f3（x）＝|sin（x﹣a3）|＝|sin（x﹣3π）|＝|sinπ|，x∈[3π，a4]，∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝m总有两个不同的根，∴a4＝6π，由此可得a n+1﹣a n＝nπ，∴a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝0+π+…+（n﹣1）π＝π，故答案为：a n＝π，【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．（5分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．B．﹣a＞b C．a2＞b2D．a3＜b3【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；59：不等式的解法及应用．【分析】若a＝﹣1，b＝1，则A，B，C不正确，对于D，根据幂函数的性质即可判断正确．【解答】解：∵a＜0＜b，若a＝﹣1，b＝1，则A，B，C不正确，对于D，根据幂函数的性质即可判断正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较，特殊值法是常用的方法，属于基础题．14．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】先求出关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根的充要条件为：△＝p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，再由“p＜2”与“﹣2＜p＜2”的关系得解，【解答】解：关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根的充要条件为：△＝p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，又“p＜2”不能推出“﹣2＜p＜2”，“﹣2＜p＜2”能推出“p＜2”，即“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题15．（5分）已知满足，且，则中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由已知可得∴＝﹣（），两边同时平方可得＝，同理可得，＝，＝，结合，即可判断【解答】解：∵，∴＝﹣（），两边同时平方可得，，∴＝，同理可得，＝，＝，∵，∴＞2＞2即＞2＞2故最小的为故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．16．（5分）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，x n∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则n的最大值是（）A．11B．13C．14D．18【考点】37：区间与无穷的概念．【专题】34：方程思想；4I：配方法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知得n﹣2＝（x n﹣1）2﹣[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x n﹣1﹣1）2]，又x1，x2，…，x n∈[0，]，可求n的最大值．【解答】解：∵f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝x1+x2+…+x n﹣1+x n2﹣x n+2，g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n）＝x12+x22+…+x n﹣12﹣（x1+x2+…+x n﹣1）+2（n﹣1）+x n，∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x n﹣1﹣1）2+（n﹣2）＝（x n﹣1）2，∴n﹣2＝（x n﹣1）2﹣[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x n﹣1﹣1）2]当x1＝x2＝…＝x n﹣1＝1，x n＝时，（n﹣2）max＝（﹣1）2＝，∴n﹣2≤，又∵n∈N，∴n max＝14．故选：C．【点评】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，直线A1C与平面ABCD所成角为．（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；45：等体积法；5Q：立体几何．【分析】（1）转换顶点，以A1为顶点，易求体积；（2）B1C平移至A1D，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．【解答】解：（1）连接AC，则∠A1CA为A1C与平面ABCD所成的角，∴∠A1CA＝，∵AB＝BC＝2，∴，∴∴V＝V＝＝，（2）连接A1D，易知A1D∥B1C，∴∠BA1D（或其补角）即为所求，连接BD，在△A 1DB中，，，BD＝2，由余弦定理得：cos∠BA1D＝＝，，故异面直线A1B，B1C所成角的大小为arccos．【点评】此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．18．（14分）已知函数f（x）＝cos x•sin x+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，a＝3，b＝4．求△ABC的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解f（x）的单调递增区间；（2）根据f（A）＝，求解A，a＝3，b＝4．利用余弦定理求解c，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos x•sin x+＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）令≤2x+，得≤x≤，∴f（x）的单调递增区间为[，]；k∈Z；（2）由f（A）＝，即sin（2A+）＝，△ABC是锐角三角形，∴2A+＝可得A＝余弦定理：cos A＝＝解得：c＝△ABC的面积S＝＝4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19．（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；（2）先求出g（x）max＝a﹣5≤75，此时a的范围，再求出满足恒成立a的范围，即可求出【解答】解：（1）对于函数模型f（x）＝+10，当x∈[25，1600]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≤f（1600）＝10≤75，显然恒成立，若函数f（x）＝+10﹣≤0恒成立，即x≥60∴f（x）＝+10不恒成立，综上所述，函数模型f（x）＝+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f（x）＝+10，不符合公司要求；（2）x∈[25，1600]时，g（x）＝a﹣5有意义，∴g（x）max＝a﹣5≤75，∴a≤2，设a﹣5≤恒成立，∴ax≤（5+）2恒成立，即a≤+2+，∵+≥2＝2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1，2]【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20．（16分）已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由△B1F1B2是边长为4的等边三角形得a＝4，进一步求得b＝2，则椭圆方程可求；（2）由直线PB1的一个方向向量是（1，1），可得直线PB1所在直线的斜率k＝1，得到直线PB1的方程，由椭圆方程联立，求得P点坐标，得到PB1的中点坐标，再求出|PB1|，可得以PB1为直径的圆的半径，则以PB1为直径的圆的标准方程可求；（3）方法一、设P（x0，y0），R（x1，y1）求出直线PB1的斜率，进一步得到直线RB1的斜率，得到直线RB1的方程，同理求得直线RB2的方程，联立两直线方程求得R的横坐标，再结合P（x0，y0）在椭圆上可得x1与x0的关系，由求解；方法二、设直线PB1，PB2的斜率为k，k'，得直线PB1的方程为y＝kx+2．结合RB1⊥PB1，可得直线RB1的方程为y＝﹣，把y＝kx+2与椭圆方程联立可得x0＝，再由P（x0，y0）在椭圆上，得到，从而得到k•k′＝＝，得．结合RB2⊥PB2，可得直线RB2的方程为y＝4kx﹣2．与线RB1的方程联立求得．再由求解．【解答】（1）解：如图，由△B1F1B2的边长为4的等边三角形，得a＝4，且b＝2．∴椭圆的标准方程为；（2）解：∵直线PB1的一个方向向量是（1，1），∴直线PB1所在直线的斜率k＝1，则直线PB1的方程为y＝x+2，联立，得5x2+16x＝0，解得，∴．则PB1的中点坐标为，．则以PB1为直径的圆的半径r＝．∴以PB1为直径的圆的标准方程为；（3）证明：方法一、设P（x0，y0），R（x1，y1）．直线PB1的斜率为，由RB1⊥PB1，得直线RB1的斜率为．于是直线RB1的方程为：．同理，RB2的方程为：．联立两直线方程，消去y，得．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，从而．∴，∴．方法二、设直线PB1，PB2的斜率为k，k'，则直线PB1的方程为y＝kx+2．由RB1⊥PB1，直线RB1的方程为y＝﹣，将y＝kx+2代入，得（4k2+1）x2+16kx＝0，∵P是椭圆上异于点B1，B2的点，∴x0≠0，从而x0＝．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，从而．∴k•k′＝＝，得．∵RB2⊥PB2，∴直线RB2的方程为y＝4kx﹣2．联立，解得，即．∴＝||＝4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（18分）已知数列{a n}，{b n}均为各项都不相等的数列，S n为{a n}的前n项和，．（1）若，求a4的值；（2）若{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若{a n}的各项都不为零，{b n}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，a n，…成等差数列的充要条件是．【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接代入计算即可；（2）通过设a n＝a1q n﹣1（q≠1），利用等比数列的求和公式及a n+1b n＝S n+1，计算可知b n，进而化简即得结论；（3）通过数列{b n}是公差为d的等差数列，对a n+1b n﹣a n（b n﹣d）＝a n变形可知﹣＝＝，然后分别证明充分性、必要性即可．【解答】解：（1）∵a n+1b n＝S n+1，a1＝1，b n＝，∴a2＝＝＝4，a3＝＝＝6，a4＝＝＝8，证明：（2）设a n＝a1q n﹣1（q≠1），则S n＝，∵a n+1b n＝S n+1，∴b n＝＝＝，∴b n+＝+＝∴b n+1+＝∴＝q，（q为常数）∴数列为等比数列，（3）∵数列{b n}是公差为d的等差数列，∴当n≥2时，a n+1b n﹣a n（b n﹣d）＝a n，即（a n+1﹣a n）b n＝（1﹣d）a n，∵数列{a n}的各项都不为零，∴a n+1﹣a n≠0，1﹣d≠0，∴当n≥2时，＝，当n≥3时，＝，两式相减得：当n≥3时，﹣＝＝．先证充分性：由d＝可知﹣＝1，∴当n≥3时，+1＝，又∵a n≠0，∴a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1，即a2，a3，…，a n…成等差数列；再证必要性：∵a2，a3，…，a n…成等差数列，∴当n≥3时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1，∴﹣＝﹣＝1＝，∴d＝．综上所述，a2，a3，…，a n…成等差数列的充要条件是d＝【点评】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
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上海市崇明区2018届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 计算：20lim 31
n n n →∞+=+ 2. 已知集合{|12}A x x =-<<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =
3. 若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =
4. 281()x x -的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答）
5. 角θ的终边经过点(4,)P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=
6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的 横坐标是
7. 圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于
8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于
9. 若函数2()log 1
x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那 么不同的录取方法有 种
11. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足
()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩
的解集为 12. 已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b
> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b < 14. “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚根”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15. 已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小
的值是（ ）
A. a b ⋅
B. b c ⋅
C. a c ⋅
D. 不能确定的
16. 函数()f x x =，2()2g x x x =-+，若存在129
,,,[0,]2
n x x x ⋅⋅⋅∈，使得 121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则n 的最大值 是（ ）
A. 11
B. 13
C. 14
D. 18
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，
直线
1A C 与平面ABCD 所成的角为
4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；
（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.
18. 已知函数2()cos sin 2
f x x x x =⋅+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1()2f A =
，3a =，4b =， 求△ABC 的面积.
19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收 益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位： 万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励 方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5x f x ≤
恒成立.） （1）判断函数()1030
x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数()5g x =（1a ≥）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值 范围.
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>），1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是 椭圆左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形.
（1）写出椭圆的标准方程；
（2）当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；
（3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.
21. 已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和， 11n n n a b S +=+（n ∈*N ）.
（1）若11a =，2
n n b =，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，求证：数列1{}1n b q +
-为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅ 成等差数列的充要条件是12
d =
.
参考答案
一. 填空题 1. 13
2. {0,1}
3. 12i -
4. 56-
5. 34-
6. 4
7. 2
8. 3
9. 6 10. 1518 11. [2,82]ππ-- 12. (1)2n n π-
二. 选择题
13. D 14. B 15. B 16. B
三. 解答题
17.（1；（2）2arccos 3
.
18.（1）()sin(2)3f x x π
=+，51[,]1212
k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）4 19.（1）不符合；（2）[1,2].
20.（1）221164x y +=；（2）2282128()()5525
x y ++-=；（3）4:1. 21.（1）8；（2）公比为1q
；（3）略.。