2020上海高三数学崇明一模
2020年上海崇明县高考理科数学一模卷答案
上海市崇明县2020届高三一模数学试题（理科）参考答案一、填空题1、3+5i2、512π 3、+=0x y 4、[]-1,1 5、1- 6、10 7、30 8、4 9、89 10、-2a ≤ 11、12 12、( 13、1830 14、(-4,-2) 二、选择题15、C 16、C 17、C 18、A三、解答题19、1(x)=sin2x+cos2x f （）(2x+)4π=T π∴（2）因为32x+444πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以sin (2x+)4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,所以(x)f ⎡∈-⎣ 函数的增区间为48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，减区间为84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 20、（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,1,1)AD =u u u u r . 所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥u u u r u u u u r 。
另解：11AA D D 为正方形，所以11A D AD ⊥，111111A D AD AD B CD CD AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭面A 。
11111B E A B CD AD B E ⊆⇒⊥又面。
（2）因为()()12,0,11,1,0,AB AE ==u u u r u u u r ，所以取面AB 1E 的一个法向量为()1=1,-1,-2n u r ，同理可取面A 1B 1E 一个法向量为()2=0,1,1n u u r ，设二面角A-B 1E-A 1为α，则1212cos =2n n n n α⋅=⋅，=6πα所以即二面角A-B 1E-A 1的大小为6π. 22、解：（1）22(x)=x +-1f x ，令2(x)=0f，得x所以21(x)(,1)22f 在区间内的零点是x=。
（2）证明：因为 n 1()<02f ，n (1)>0f 。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
崇明区2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷(解析版)
( ) 所以有
2n −
3r
2r = = 12
4
解得
n r
= =
6 4
，则 T5
=
C64
2a2
2 b12 = 60a4b12 ， m = 60
10.设 O 为坐标原点，直线 x
= a 与双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的两条渐近线分别交
于 D、E 两点，若 ODE 的面积为1，则双曲线 C 的焦距的最小值为 .
（1）求函数 y = f (x) 的最小值正周期；
（2）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 若锐角 A 满足 f (A) = 1− 3 ,C = ,c = 2,
2
6
求 ABC 的面积.
【解析】（1）∵ f (x) = 1 sin 2x − 3 cos 2x +1 = sin(2x − ) − 3 ,
2
2
32
∴ T = 2 = 2 = . || 2
（2）∵ f ( A) = 1− 3 , ∴ sin(2A − ) − 3 = 1− 3 , ∴ sin(2A − ) = 1 ,
2
32 2
32
∴解得 2A − = +2k 或 2A − = 5 +2k ,(k Z ),
36
36
∴ A= +k 或 A= 7 +k ,(k Z ), 又 A(0, ) ,
y = f ( f ( x)) = − f (− f ( x)) = − f ( f (−x)) 也是奇函数，正确；
对于（2）若函数 f ( x) 是周期函数，则. f ( x + T ) = f ( x) .
2020年上海市高三数学一模分类汇编：集合与命题
1（2020闵行一模）. 已知集合{3,1,0,1,2}A =--，{|||1}B x x =>，则AB = 1（2020青浦一模）. 已知集合{1,3,5,9}U =，{1,3,9}A =，{1,9}B =，则()U A B = 1（2020松江一模）. 已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =1（2020崇明一模）. 已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x x =<≤，则AB = 1（2020虹口一模）. 设全集U =R ，若21{|1}x A x x-=>，则U A = 1（2020徐汇一模）. 已知集合{|2}M x x =>，集合{|1}N x x =≤，则M N = 1（2020嘉金一模）. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,4,6,8}B =，则AB = 7（2020徐汇一模）. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x ≥（0a >），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是12（2020杨浦一模）. 向量集合{|(,),,}S a a x y x y ==∈R ，对于任意α、S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”. 现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{|,}M a a S μμ=∈∈R 也是“C 类集”；② 若S 、T 都是“C 类集”，则集合{|,}M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③ 若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④ 若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有13（2020嘉金一模）. 已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口一模）. 设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“24x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件13（2020普陀一模）.“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”的成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14（2020闵行一模）. 命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ） A. (0,)+∞ B. (,1]-∞ C. [1,)+∞ D. (,0]-∞14（2020松江一模）. 设,x y ∈R ，则“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2020普陀一模）. 设集合{|||1}A x x a =-=，{1,3,}B b =-，若A B ⊆，则对应的实数对(,)a b 有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对16（2020松江一模）. 已知集合{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =（ ）A. 45B. 1012C. 2036D. 9217。
2020年上海崇明县高考理科数学一模卷
崇明县2020学年第一学期期末考试试卷高 三 数 学(理科)（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（每题4分，共56分）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =.2、已知(0,)απ∈且tan()4πα+=，则α=.3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是.4、若集合131{,11},{2,01}A y y x x B y y x x==-==-<≤≤≤，则A B I 等于 .5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -=.6、251()x x -展开式中x 7这个数列的第389、数列{}n a 前n 项和为n S ，则n 10、已知：条件A ：22031xx >-，条件B ：x a >， 如果条件A 是条件B 的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是.11、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值等于 .12、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP u u u r 按逆时针旋转34π后得向量OQ u u u r ，则点Q 的坐标是 .第7题图13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于.14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-，若同时满足条件：①对于任意x R ∈，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(,4)x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立．则m 的取值范围是.二、选择题（每题5分，共20分）15、设函数()sin ,f x x =x R ∈，则下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数C ．()f x 不是周期函数D ．()f x 不是单调函数16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．818、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……………………（ ）A ．35B ．815C ．25D ．15三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--, x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间．20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．（1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．ABCE DA 1D 1B 1C 1。
2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式＜0的解是 ．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ． 8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 cm 2．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．C ．D ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1 B ．|ab |≥1 C ．|a +b |≥1 D ．|a ﹣b |≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规祝您高考马到成功！划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值；（2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．祝您高考马到成功！上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= 3 ． 【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a }， A ∪B={1，2，3，5}， ∴a=3． 故答案为：3．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是 （﹣1，0） ．【解答】解：不等式＜0，即 x （x +1）＜0，求得﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= 1﹣i ． 【解答】解：由iz=1+i ，得z==1﹣i故答案为：1﹣i ．5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 21 ．（用数字作答）祝您高考马到成功！【解答】解：（x ﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2， ∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，）， 则：（，）满足f （x ）=x α， 所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 18π cm 2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm ，则圆柱体的体积为 V=πa 2•a=27π，祝您高考马到成功！解得a=3cm ；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm 2． 故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ﹣ ．【解答】解：∵函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ， ∴x ＞0时，﹣f （x ）=2﹣x ﹣a （﹣x ）， ∴f （x ）=﹣2﹣x ﹣ax ， ∵f （2）=2，∴f （2）=﹣2﹣2﹣2a=2， 解得a=﹣． 故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= 2 ．【解答】解：无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，可得=a ，即有=a ，即为2a 2﹣5a +2=0， 解得a=2或，由题意可得0＜|q |＜1， 即有0＜|a ﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立． 故答案为：2．祝您高考马到成功！11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论： ①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C 53C 31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C 52C 32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C 51C 33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法， 则一共有360+360+60=780； 故答案为：780．12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= 4 ．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， 设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ABC=α， 由||=2，知A （﹣a +2cosα，2sinα），∴=（a ﹣2cosα，b ﹣2sinα），=（2a ，0）， ∴•=2a （a ﹣2cosα）+0=2a 2﹣4acosα=6，∴a 2﹣2acosα=3； 又=（2a ﹣2cosα，﹣2sinα），祝您高考马到成功！∴=（2a ﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a 2﹣8acosα+4 =4（a 2﹣2acosα）+4 =4×3+4 =16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，由题意得，=ad ﹣bc ．故选B ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b【解答】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得：2a ＞2b ．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ，B ，C 不正确． 故选：D ．祝您高考马到成功！15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：∵S 4+S 6＞2S 5， ∴4a 1+6d +6a 1+15d ＞2（5a 1+10d ）， ∴21d ＞20d ， ∴d ＞0，故“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”充分必要条件， 故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1B ．|ab |≥1C ．|a +b |≥1D ．|a ﹣b |≥2【解答】解：双曲线﹣y 2=1的渐近线为：y=±x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2，1），B （2，﹣1）．=a+b=（2a +2b ，a ﹣b ）．代入双曲线方程可得：﹣（a ﹣b ）2=1，化为ab=． ∴=ab ，化为：|a +b |≥1．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所祝您高考马到成功！成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， ∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2•=2， ∵S 正方形ABCD =AB ×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积： V===． （2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A 1D=A 1B==2， ∴cos ∠A 1BD===．∴∠A 1BD=arccos．∴异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos．祝您高考马到成功！18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．【解答】解：f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin （2x +）（1）当2x +=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；（2）由f （）=，即2sin （A +）=可得sin （A +）=∵0＜A ＜π ∴＜A ＜ ∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．祝您高考马到成功！19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n +6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n +1）﹣f （n ）=[﹣2（n +1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n ≤3时，f （n +1）﹣f （n ）＜0，故当n ≤4时，f （n ）递减； 当n ≥4时，f （n +1）﹣f （n ）＞0，故当n ≥4时，f （n ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利； 方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x ≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x ≈4．祝您高考马到成功！从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减； 当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值； （2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．【解答】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ， 当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x +m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴•=0，祝您高考马到成功！∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴+=0，∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∴m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4， 设A （x 1，y 1），（x 2，y 2）， ∵k OA •k OB =﹣， ∴•=﹣，∴x 1x 2=﹣4y 1y 2， 由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 =++m 2=，∴=﹣4×，∴2m 2﹣4k 2=1， ∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==，∴S △OAB =|AB |d==•==1祝您高考马到成功！21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1． 【解答】解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1， 而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |． 若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1． 若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，祝您高考马到成功！∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．！功成到马考高您祝。
崇明区2020届第一次高考模拟考试数学试卷
高三数学 共4页 第1页崇明区2020届第一次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B = ．2．不等式21x -<的解集是 ． 3．半径为1的球的表面积是 ．4．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前项和n S = ． 5．函数()f x =的反函数是 ．6．计算：= .7．二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项的值等于 ．8．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是 ． 9．已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于．10．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．11．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．12．正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为 ．n 112323lim -+∞→+-n n nn n高三数学 共4页 第2页二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是A ．11a b> B ．a b ->C ．33a b <D ．22a b >14．已知z C ∈，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于A ．23B ．56C ．1D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =． （1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求点1B 与平面1A BC 的距离．A 1B 1C 1ABC高三数学 共4页 第3页18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()2cos 2f x x x =--. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145001005x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升．（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求 x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求y 的最小值．高三数学 共4页 第4页20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）已知椭圆22:14x y Γ+=，其左右顶点分别为A ，B ，上下顶点分别为C ，D ．圆O 是以线段AB 为直径的圆．（1）求圆O 的方程；（2）若点,E F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线,CE DF 分别交x 轴于点M N 、，求证：OM ON ⋅为定值；（3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得13AP PQ =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的n *∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（1）若11a =，12b =，14c =，求4a ，4b ，4c 的值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．。
2020年上海崇明县高三一模数学试卷
2020年上海崇明县高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）1.已知集合，，则 ．2.不等式的解集是 ．3.半径为的球的表面积是 ．4.已知等差数列的首项为，公差为，则该数列的前项和 ．5.函数的反函数是 ．6.计算： ．7.二项式的展开式中常数项的值等于 ．8.若双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则它的标准方程为 ．9.已知、，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于 ．10.已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则实数的值等于 ．11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．12.正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面上一点，满足，则的最小值为 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则下列不等式恒成立的是（ ）．A.B.C.D.14.已知，“”是“为纯虚数”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）．A.B.C.D.16.若不等式对上恒成立，则（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.在直三棱柱中，，，．求异面直线与所成角的大小．求点与平面的距离．（1）（2）18.已知函数．求函数的最大值，并写出取得最大值时的自变量的集合．设的内角、、所对的边分别为、、，且，，若，求、的值．（1）（2）19.某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．欲使每小时的油耗不超过升，求的取值范围．求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数，并求的最小值．（1）（2）20.已知椭圆，其左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，圆是以线段为直径的圆．求圆的方程．若点、是椭圆上关于轴对称的两个不同的点，直线、分别交轴于点、，求证：为定值．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案为：．解析:不等式等价于，解得，∴不等式的解集是．故答案为：．解析:由题意，半径为的球的表面积是．故答案为．（3）若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得 ？ 若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．（1）（2）（3）21.已知无穷数列、、满足：对任意的，都有，，，记表示个实数、、中的最大值．若，，，求﹑、的值．若，，求满足的的所有值．设、、是非零实数，且、、互不相等，证明：存在正整数，使得数列、、中有且只有一个数列自第项起各项均为．1.2.3.∵等差数列的首项为，公差为，∴该数列的前项和．故答案为：．5.解析:∵的定义域为，值域为，∴，∴函数的反函数为．综上所述，答案为．6.解析:．7.解析:二项式展开式，通项，令，则，，所以展开式中常数项值为．由题意，，，则，故双曲线的标准方程为．9.解析:直线，变形为，斜率为，∵，，直线，变形为，由直线与直线垂直，则，即，由基本不等式，则（当，时等号成立），∴的最大值为．10.解析:∵是定义在上的周期为的奇函数，∴且，∴当时，，即，则，∵当时，，∴得，故答案为．11.解析:总共有种情况，其中甲从事翻译工作有种情况，乙从事导游工作有种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有种情况，∴．解析:设，由向量共线定理，可知点在直线上，为中点，∴，∵，，∴．解析:对于复数，若，不一定为纯虚数，可以为，反之，若为纯虚数，则∴“”是“为纯虚数”的必要非充分条件．故选．解析:将抛物线放入坐标系，如图所示，12.C 13.B 14.D 15.∵，，∴，设抛物线，代入点，可得，∴焦点为，即焦点为中点，设焦点为，则，，∴．故选．解析:方法一：如图，作出函数在上的图象，为使不等式对上恒成立，当且仅当函数的图象经过函数的零点，则由，得，，所以，所以．故选．方法二：令，作出函数在上的图象，B 16.（1）（2）则函数的图象必需经过，两点，则．故选．方法三：当时，，，所以，，即，所以，当时，，，所以，则或，所以，综上．故选．解析:因为，所以就是异面直线与所成的角或补角．在三角形中，，，所以，所以．所以异面直线与所成角的大小是．因为，，所以平面所以设点与平面的距离为，则，由得：．（1）．（2）．17.（1）（2）（1）（2）解析:．函数，当且仅当，时取得最大值，即，，∴的最大值为，取得最大值的取值集合为．由，得，又，所以，得，由及正弦定理，得①，由余弦定理，得②，由①，②解得，．解析:由，得，所以，又因为，所以的取值范围是．设该汽车行驶公里的油耗为升，则：，因为，所以，所以当时，该汽车行驶公里的油耗取得最小值升．（1），集合为．（2），．18.（1）．（2），的最小值．19.（1）．（2）证明见解析．20.（1）（2）（3）解析:由题意，得，，所以圆的方程是．由题意，得，，设，，，则直线的方程是：，所以，同理，因为，所以．显然直线的斜率存在，设其方程为：．代入椭圆方程，得：，设，则，所以，因为圆心到直线的距离，所以，假设存在点，使得，则，所以（*），而方程（*）在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点，使得．（3）不存在，证明见解析．（1），，．（2）， ，，．21.（1）（2）（3）解析:，，．若，，记，则，，，，，，当时，，，，，由，得，不符合；当时，，，，由，得，符合；当时，，，，由，得，符合；综上，的所有取值是，，，．先证明“存在正整数，使，，中至少有一个为”，假设对任意正整数，，，都不为，由，，是非零整数，且，，互不相等，得，，若对任意，，，都不为，则，即对任意，．当时，，，，所以，，所以，单调递减，由为有限正整数，所以，必存在正整数，使得，矛盾．（3）证明见解析．所以，存在正整数，使，，中至少有一个为．不妨设，且，，，，则，且，否则，若，因为，则必有，矛盾，于是，，，且，所以，，，，依次递推，即有：对，，，，且，此时有且仅有一个数列自第项起各项均为，综上，结论成立．。
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上海市崇明区2020届高三一模数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x x =<≤，则A
B = 2. 不等式|2|1x -<的解集是
3. 半径为1的球的表面积是
4. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S =
5. 函数()f x =的反函数是
6. 计算：11
32lim 32n n
n n n +-→∞-=+ 7. 二项式62()x x
+的展开式中常数项的值等于 8. 若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是
9. 已知a 、b +∈R ，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大 值等于
10. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <≤时，3()1f x x ax =-+， 则实数a 的值等于
11. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作， 若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同 的选派方案共有 种
12. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅ 的最小值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b
> B. a b -> C. 33a b < D. 22a b > 14. 已知z ∈C ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
15. 如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB 、CD 是底
面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过
CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一
部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）
A. 12
B. 1
C. 104
D. 52 16. 若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+
≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于（ ） A.
23 B. 56
C. 1
D. 2 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.
（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；
（2）求点1B 与平面1A BC 的距离.
18. 已知函数231()sin 2cos 22
f x x x =--. （1）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；
（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3c =，()0f C =， 若sin 2sin B A =，求a 、b 的值.
19. 某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求
60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500(100)5x x
-+升. （1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；
（2）求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数，并求y 的最小值.
20. 已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，其左右顶点分别为A 、B ，上下顶点分别为C 、D ，圆O 是以线段AB 为直径的圆.
（1）求圆O 的方程；
（2）若点E 、F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线CE 、DF 分别交x 轴于点M 、 N ，求证：OM ON ⋅为定值；
（3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，是否存在点
P ，使得13
AP PQ =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a c +=-，记max{||,||,||}n n n n d a b c =（max{,,}x y z 表示3个实数x 、y 、z 中的最大值）.
（1）若11a =，12b =，14c =，求4a 、4b 、4c 的值；
（2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；
（3）设1a 、1b 、1c 是非零实数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.
参考答案
一. 填空题
1. {1,2}
2.(1,3)
3. 4π
4. 2n
5. 12
()1(0)f x x x -=-≥ 6. 3 7. 160 8. 22
1916x y -= 9.
18
10. 2 11. 78 12. 7- 二. 选择题
13. C 14. B 15. D 16. B
三. 解答题
17.（1）；（2）h =18.（1）()sin(2)16f x x π=-
-，最小正周期π，单调增区间[,]63k k ππ
ππ-+，k ∈Z ； （2）1a =，2b =. 19.（1）[60,100]；（2）2118090000()909y x =-
+，当90x =时，该汽车行驶100公里 的油耗取得最小值是809
升. 20.（1）224x y +=；（2）4OM ON ⋅=-，证明略；（3）不存在.
21.（1）40a =，41b =-，41c =；（2）2-，1-，1，2；（3）证明略.。