线性代数--人民大学出版社-吴赣昌-第三版--课后习题答案
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
工程数学：线性代数第三版习题三答案
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023010*********71210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有 B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k 为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).(4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171,即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组.解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x x x x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x c x c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x ,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr.(1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x当λ取何值时有解？并求出它的解.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ. 要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ. 要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221,方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=3322321 1x x x x x x x ,或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数).18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为 )0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A . 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ;证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=R (A , E m ),而| E m |是矩阵(A , E m )的最高阶非零子式, 故R (A )=R (A , E m )=m .因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n 有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。
人大版线性代数课后习题答案
= + =－8+0=－8。
（2） = +
= = －0
= =8。
19、计算下列行列式
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） =
=
=
= 。
（2）将第二、三、四列展开得：
原式=
=
= + =0。
（3） = +
= 。
（4）按第一列展开
= + = 。
（5）按最后一列展开
= + = 。
（1） 用矩阵 分别左乘给定的
正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为
试作出由这些点构成的平面图形；
（2）考虑矩阵
分别在当 和 时，用 左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到的点的坐标 和 分别作出由这两组点构成的平面图形。
解：(1)以 的坐标为列构造28矩阵V，令
则矩阵W的每一列依次为 的坐标。如图所示。
又 ，
所以 = ，
即： 。
（4）令AB=C= ，AB=D= ，
其中 ，
。
显然，当 时， ，
于是 ，即 。
16、计算下列行列式
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） 。
解：（1） = =1。
（2） = = =12。
（3）第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取1000，得
D= = 。
（4）设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得
D= = = 。
（5）设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，…，n），得
线性代数课后习题答案全）习题详解
线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。
工程数学：线性代数第三版习题四答案
1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.解设a1=e1=(1, 0, 0,⋅⋅⋅, 0),a2=a3=⋅⋅⋅=a m=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关.解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0,原式可化为λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m 为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m 均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2, b3,b4线性相关.证明由已知条件得a1=b1-a2,a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是a1 =b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~rr r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a , b . 解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一 记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二 因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17.设a1,a2,⋅⋅⋅,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19. 设向量组B : b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 能由向量组A : a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s 线性表示为 (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )K , 其中K 为s ⨯r 矩阵, 且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明 令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫ ⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n n n ααααβαααβαααβ,证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101*********||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解 因为AP =A (x , A x , A 2x )=(A x , A 2x , A 3x )=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解 原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T ,⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA , 所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .(2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T.ξ2=(1,-1, 0, 2)T.29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量.且η1=(2, 3, 4, 5)T,η2+η3=(1, 2, 3, 4)T,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于η1,η2,η3均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量,故此方程组的通解:x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (k∈R).30.设有向量组A:a1=(α, 2, 10)T,a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T,及b=(1,β,-1)T,问α,β为何值时(1)向量b不能由向量组A线性表示;(2)向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一;(3)向量b能由向量组A线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r . (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一.当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000013101201 ~r , 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R . 因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解 由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解.由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33.设η*是非齐次线性方程组A x=b的一个解, ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0}, V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=0,λa1+λa2+⋅ ⋅ ⋅ +λa n=λ(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)=0,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∈V1,λα=(λa1,λa2,⋅ ⋅ ⋅,λa n)T∈V1.V2不是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=1,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=1,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=2,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∉V1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明 设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明 设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示.解 设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x ,解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x xx x ,解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解 设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .。
线性代数习题参考答案
线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
近世代数(吴品三)习题解答第一章 基本概念
第一章 基本概念练习§1. 集合 子集 集合的运算1.设A ={x |x ∈R ,|x |≥5},B ={x |x ∈R ,-6≤x <0},求B A ,B A ,B A \,A B \,并用图形表示出来.[解] (图形略.)B A ={x |x ∈R ,x <0或x ≥5},B A ={x |x ∈R ,-6≤x ≤-5}, B A \={x |x ∈R ,x <-6或x ≥5}, A B \={x |x ∈R ,-5<x <0}.2. 证明:(B A ⊂)⇔(B B A = )⇔(A B A = ).[证] 先证(B A ⊂)⇔(B B A = ).若B A ⊂,则B A x ∈∀,B x ∈.所以B B A ⊂)( ;显然B B A ⊃)( ,故B B A = .反之,若B B A = ,则A x ∈∀,B B A x =∈)( ,故B A ⊂.所以(B A ⊂)⇔(B B A = ).次证(B A ⊂)⇔(A B A = ).若B A ⊂,则A x ∈∀,B x ∈,于是A x ∈∀,有B A x ∈,所以)(B A A ⊂,显然A B A ⊂)( ,所以A B A = .反之,若A B A = ,则A x ∈∀,B A x ∈,于是A x ∈∀,有B x ∈,故B A ⊂.所以(B A ⊂)⇔(A B A = ).综上所述得:(B A ⊂)⇔(B B A = )⇔(A B A = ).3. 证明:B A =⇔B A B A =.[证] 若B A =,则A B A = ,A B A = ,所以B A B A =.反之,若B A B A =,则A x ∈∀,有x ∈B A =B A ,从而B x ∈,所以B A ⊂;同理可证A B ⊂,故B A =所以B A =⇔B A B A =.4. 设n A =(n ,∞),(n ,∞)表示实数轴上的开区间,即(n ,∞)={x |x ∈R , ∞<<x n },n =0,1,2,….求 ∞=0i i A 与 ∞=0i i A[解] 因为 ⊃⊃⊃210A A A ,所以 ∞=0i i A =0A =(0,∞).因为∈∀x R ,存在非负整数n ,使n x ≤.于是n A x ∉, ∞∉i A x ,所以φ=∞= 0i i A .5. 设A ={x |x ∈Z ,x x 32-+2=0},写出A 2. [解] A ={1,2},故A 2={φ,{1},{2},{1,2}}.6. 设A ,B 是U 的子集,规定)\()\(A B B A B A =+,证明:(ⅰ)A B B A +=+; (ⅱ)A A =+φ; (ⅲ)φ=+A A .[证] (ⅰ)因为集合的并适合交换律,故)\()\(A B B A =)\()\(B A A B ,即A B B A +=+.(ⅱ)因为A A =φ\,φφ=A \,所以)\()\(A A φφ =φ A =A ,即A A =+φ.(ⅲ)因为φ=A A \,所以φ=)\()\(A A A A ,即φ=+A A .§2. 映射 映射的合成1. 对于下面给出的Z 到Z 的映射f ,g ,h ,f :x x 3 ,g :13+x x ,h :23+x x计算g f ,f g ,h g ,g h ,h g f .[解] g f :39+x x , f g :19+x x , h g :79+x x ,g h :59+x x , h g f :2127+x x .2.对于上题的f ,g ,h 分别求它们的左逆映射.[解] f 的一个左逆映射为1-L f :⎪⎩⎪⎨⎧≠=.3,3,3n x x n x x x 当当 .g 的一个左逆映射为1-L g :⎪⎩⎪⎨⎧+=-+≠.13,31,13,n x x n x x x 当当 .h 的一个左逆映射为1-L h :⎪⎩⎪⎨⎧+=-+≠.23,32,23,n x x n x x x 当当 . 其中n 为任意整数. 3.对于上题的f ,g ,h ,找出f ,g ,h 的共同的左逆映射,即找出Z 到Z 的映射k ,使f k =g k =h k =Z I .[解] 令k :Z →Z ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=-=.23,32,13,31,3,3n x x n x x n x x x 当当当 ,其中n 为任意整数.容易验证,k 是f ,g ,h 的一个共同的左逆映射.4. 对于上题的f ,g ,h ,找出Z 到Z 的一个映射,使其为f ,g 的共同的左逆映射,但不是k 的左逆映射.[解] 令k :Z →Z ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=.23,,13,31,3,3n x x n x x n x x x 当当当 ,其中n 为任意整数.容易验证,k 为满足题中要求的映射.5. 设f 是A 到B 映射,g 是B 到C 的映射,f g 有左逆映射,能否证明f ,g 都有左逆映射?[解] 当f ,g 为题设,且f g 有左逆映射,可以证明f 有左逆映射,但g 未必有左逆映射.下面分别加以证明:(ⅰ)f 有左逆映射.设f g 有一个左逆映射k ,于是对于任一A a ∈,有A 到C 的映射)))(((a f g k =a =)(a I .根据映射合成满足结合律得:a a f g k =))()(( ,对A a ∈∀都成立.故g k 为f 的一个左逆映射.(ⅱ)g 未必有左逆映射.例如:A ={1,2},B ={1,2,3},C ={1,2},令f :B A →,x x ;g :C B →,⎩⎨⎧==.313.2,1,i i i i .容易验证,f g 存在左逆映射,但g 不存在左逆映射.6*. 设f 是A 到B 的单射(满射),g 是B 到C 的单射(满射),则f g 是A 到C 的单射(满射).[解] (ⅰ)设f 是A 到B 的单射,g 是B 到C 的单射,则对A a a ∈∀21,,且21a a ≠,有)()(21a f a f ≠,从而))((1a f g ≠))((2a f g ,于是f g 是A 到C 的单射.(ⅱ)设f 是A 到B 的满射,则B A f =)(;g 是B 到C 的满射,则C B g =)(.于是))((A f g =)(B g =C ,所以f g 是A 到C 的满射.7. 设A 表示某四年制大学数学系全体学生所成的集合,B ={1,2,3,4}.对A a ∈∀,规定)(a f 表示a 所在年级,这个f 是不是A 到B 映射?单射?满射?A a ∈∀,))((1a f f -=?设B b b ∈21,,21b b ≠,问)(11b f -∩)(21b f -=? B b b f ∈-)(1=?[解] 根据题意,A a ∈∀是且仅是某一个年级的学生,故)(a f 是B 中唯一确定的元素,所以f 是A 到B 的映射;f 未必是满射,因为未必每个年级都有学生;一般说f 不是单射,因为某年级如有学生,一般不会只有一人.A a ∈∀,))((1a f f -={a 所在年级的全体学生}.当B b b ∈21,,21b b ≠时,)(11b f -∩)(21b f -=φ, B b b f∈-)(1=A .8. 设A =B =Z ,m 是取定的正整数,A a ∈∀,规定r a f =)(,此处r 是a 被m 除所得非负余数:r qm a +=,0≤r <m .f 是不是A 到B 的映射?单射?满射?若取B ={0,1,2,…,m -1},问)0(1-f ,)1(1-f ,…,)1(1--m f 分别由哪些数组成?设B j i ∈,,j i ≠,问)()(11j f i f -- =? B b b f∈-)(1=?[解] 依题意且根据整数的带余除法知,f 是A 到B 的映射,但f 不是单射,也不是满射.设B ={0,1,2,…,m -1},则依题意有:)0(1-f ={x |km x =,k =0,±1,±2,…},)1(1-f ={x |km x =+1,k =0,±1,±2,…},…………………………………………,)1(1--m f ={x |km x =+(m -1),k =0,±1,±2,…}.当B j i ∈,,j i ≠时,)()(11j f i f -- =φ, B b b f∈-)(1=Z .9. 设A 是坐标平面上所有点的集合,B 是x 轴上所有点的集合,A a ∈∀,规定)(a f 表示a 向x 轴作垂线的垂足,这个f 是不是A 到B 的映射?单射?满 射?设B b b ∈21,,21b b ≠,问)(11b f -∩)(21b f -=? ))((1a f f -=? B b b f∈-)(1=?[解] 依题意,f 是A 到B 的映射,显然f 是满射,但f 不是单射.设B b b ∈21,,21b b ≠,则:)(11b f -∩)(21b f -=φ,))((1a f f -={)(a f ,y }, Bb b f∈-)(1=A . 10. 设f :B A →,A S ⊆,证明S S f f⊇-))((1,举例说明“=”不一定成立. [解] 设f :B A →,A S ⊆,则S s ∈∀,有)()(S f s f ∈,所以))((1S f f s -∈,S S f f ⊇-))((1.例如:A =B ={0,1,2,…},S ={0}A ⊆,作A 到B 的映射f :A a ∈∀,)(a f =0,显然))((1S f f-=)0(1-f =A ≠S .§3 有限集与可数集1.证明,有限集的任一子集都是有限集;无限集的任一扩集都是无限集.[证] 设A 为有限集,若φ=A ,则结论显然成立.现在设A 非空,则A 的元素可以如下列举出来:1a ,2a ,…,n a .A 的空子集显然是有限集,若B 是A 的非空子集,则B 的元素可以如下列举出来:1i a ,2i a ,…,m i a , m i i i <<< 21.于是B 与自然数的一个断片|1,m |={1,2,…,m }等浓,从而B 是有限集.设A 为无限集,B 是A 的任一扩集.若B 不是无限集,则B 为有限集,从而由前半部证明知,B 的任一子集,特别地,B 的子集A 为有限集,此与假设矛盾.所以B 是无限集.2. 证明,一个有限集与一个可数集的并是一个可数集.[证] 设A ={1a ,2a ,…,n a }为有限集,B ={1b ,2b ,…,n b ,…}为可数集,则A ∪B ={1a ,2a ,…,n a ,1b ,2b ,…,n b ,…}.作f :(A ∪B )→+Z ,⎩⎨⎧=+≤≤.,2,1,,1, j j n b n i i a j i .显然f 是B A 到+Z 上的一一映射,所以B A 与+Z 等浓,从而B A 为可数集.3. 找出自然数集P 的三个与P 等浓的真子集1A ,2A ,3A .[解] 设P ={1,2,3,…},令1A ={全体正奇数},2A ={全体正偶数},}1{\3P A =.1A ,2A ,3A 为P 的真子集,容易看出存在i A (i =1,2,3)到P 上的一一映射,所以i A (i =1,2,3)与P 等浓.4. 证明,坐标平面上所有格子点(即坐标均为整数的点)的集合是可数集.[证] 记所有格子点的集合为A ,即:A ={(a ,b )|a ,b ∈Z}.可将A 的元素排成一个方阵,再按右图所示箭头方向给A 中的元素按自然数顺序编号:这样,A 的元素可利用自然数排列出来,故A 是可数集.5. 证明:开区间(a ,b )与闭区间[a ,b ]等浓.[证] 映射f :a x a b x +-)( 显然是(0,1)到(a ,b ),[0,1]到[a ,b ]的双射.由P.18例4知,(0,1)与[0,1]等浓.设ϕ是(0,1)到[0,1]的双射,则1-f f ϕ是(a ,b )到[a ,b ]的双射,所以(a ,b )与[a ,b ]等浓.注:此题也可以用类似P.18例4的方法,直接作(a ,b )到[a ,b ]的双射.6. 利用例3的方法,证明全体“自然数的无限序列”作成的集合是不可数集.[证] 设A ={X |X =(1a ,2a ,…,n a ,…),i a ∈+Z },显然A 为无限集.假定A 为可数集,则A 的元素可用自然数予以编号,于是A ={1X ,2X ,…,n X ,…},其中1X =(11a ,12a ,…,n a 1,…)2X =(21a ,22a ,…,n a 2,…)…………………………n X =(1n a ,2n a ,…,nn a ,…)…………………………作自然数的无限序列X =(1a ,2a ,…,n a ,…),其中ii i a a =(i =1,2,…,n ,…).显然A X ∈,但X 与1X ,2X ,…,n X ,…中的任一个都不相同,从而产生矛盾.故A 为不可数集.§4 加氏积 二元关系与等价关系1. 设*R 表示一切非零实数作成的集合,数目的＋、－、×、÷是不是*R 的代数运算?为什么?n 次方幂,n 次方根是不是*R 的一元运算?为什么?x log 是不是一元运算?为什么?构造*R 的两个三元运算.[解] (ⅰ)数目的×、÷是*R 的代数运算.因为∈∀b a ,*R ,b a ⨯,b a ÷是*R中唯一确定的元素.(ⅱ)数目的＋、－不是*R 的代数运算.因为∈∀a *R ,∈-a *R ,但)(a a -+=0*R ∉,a a -=0*R ∉.(ⅲ)n 次方幂是*R 的一元运算.因为∈∀a *R ,n a 是*R 中唯一确定的元素. (ⅳ)当n 是奇数时,n 次方根是*R 的一元运算;当n 是偶数时,n 次方根不是*R 的一元运算,因为负数在实数范围内不能开偶次方.(ⅴ)x log 不是*R 的一元运算.因为1∈*R ,而*01log R ∉=.(ⅵ)构造*R 的两个三元运算1f ,2f 如下: x z y x f =),,(1,2222),,(z y x z y x f ++=,∀x ,y ,z ∈*R .2. 设A ={a ,b },R ={(a ,a )},R 是否具有反身性?对称性?传递性?反对称性?[解] R 不具有反身性,因为b R b '.但R 具有对称性,传递性,反对称性.3. 设A ={平面上所有直线},规定A 中的二元关系～为:1l ,2l ∈A ,1l ～2l ⇔1l ∥2l 或21l l =.证明,～是A 的一个等价关系,决定相应的等价类.[证] (ⅰ)依题意,A l ∈∀,有l l =,故l ～l .A l l ∈∀21,,由1l ～2l ⇒1l ∥2l 或21l l =⇒2l ∥1l 或12l l =⇒2l ～1l .A l l l ∈∀321,,,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⇒=⇒323232212121//~//~l l l l l l l l l l l l 或或⇒3131//l l l l =或⇒1l ～3l . 可见～具有反身性、对称性、传递性,所以～是A 的一个等价关系. (ⅱ)当A l ∈时,由l 决定的等价类为:直线y =kx ={l |A l ∈,l ∥直线kx y =,或l 就是直线kx y =},k 为任意实数; 直线x =0={l |A l ∈,l ∥直线x =0,或l 就是直线x =0}.4. 在复数集C 中,规定二元关系～为:a ～b ⇔a 的幅角=b 的幅角.证明,～是C 的一个等价关系,决定相应的等价类.[证] (ⅰ)∈∀a C ,有a a arg arg =,故a ～a .∈∀b a ,C ,由a ～b ⇒b a arg arg =⇒a b arg arg =⇒b ～a .∈∀c b a ,,C ,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⇒=⇒c b c b b a b a arg arg ~arg arg ~⇒c a arg arg =⇒a ～c . 可见～是C 的一个等价关系.(ⅱ)其决定的等价类为:ϕa ={z |∈z C ,πϕk z 2arg +=,k ∈Z },0≤ϕ<2π;与0={0}.5. 设A ={1,2,3,4},在A 2中规定二元关系～为:S ～T ⇔S ,T 含有元素个数相同,证明,这是一个等价关系,写出商集A2/～.[证] 记A 2的元素S 所含元素个数为|S |.A S 2∈∀,则|S |=|S |,故S ～S . A T S 2,∈∀,由S ～T ⇒|S |=|T |⇒|T |=|S |⇒T ～S .AV T S 2,,∈∀,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⇒=⇒||||~||||~V T V T T S T S ⇒|S |=|V |⇒S ～V . 可见～是A2的一个等价关系.商集A 2/～={φ,1A ,2A ,3A ,4A },其中 1A ={{1},{2},{3},{4}},2A ={{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}},3A ={{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}},4A =A .6. n F )(表示数域F 上全部n 阶方阵的集合,f 是n F )(到{0,1,2,…,n }上的满射f :(ij a ) (ij a ).求f 决定的等价关系,决定的等价类.[解] 由f 确定的n F )(中的等价关系为:(ij a )～(ij b )⇔))(())((ij ij b f a f =,即秩(a )=秩(b ).决定的等价类为:r A ={X |n ij F x X )()(∈=,秩X =r },r =0,1,2,…,n .7. 设1R ,2R 是A 的两个等价关系,21R R 是不是A 的二元关系?是不是等价关系?为什么?21R R 是不是A 的二元关系?[解] 集A 的二元关系实际上是A A ⨯的子集,而A A ⨯的两个子集之交、之并仍然是A A ⨯的子集,故21R R 、21R R 都是A 的二元关系.若1R ,2R 都是A 的等价关系,则21R R 仍是A 的等价关系.事实上A a ∈∀,由⎭⎬⎫∈∈21),(),(R a a R a a ⇒21),(R R a a ∈. 对A b a ∈∀,,由21),(R R b a ∈⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⇒∈∈⇒∈2211),(),(),(),(21R a b R b a R a b R b a R R 为等价关系为等价关系⇒ 21),(R R a b ∈.同样可证,21R R 具有传递性,所以21R R 是A 的一个等价关系.8. 设1R ,2R 是A 的两个二元关系,规定:21R R ={),(b a |A x ∈∃:1),(R x a ∈,2),(R b x ∈}}.证明,“ ”是A 的一切二元关系所成的集合B 的一个二元关系.[证] 因为21R R 是A A ⨯的一个子集,即21R R 确定了A 的一个二元关系,所以“ ”:2121),(R R R R 是B B ⨯到B 的一个映射,故它是B 的一个二元关系.9. 设n R )(表示实数域R 上一切n 阶方阵的集合.(ⅰ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔Q P B AR ,1n R )(,|P |≠0,|Q |≠0:B PAQ =.证明,R 是R )(的一个等价关系.等价元素类取怎样的方阵作为代表元,形式最简单?(ⅱ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔P B AR 2n R )(,|P |≠0:B PAP =-1.证明,2R 是n R )(的一个等价关系.等价元素类取怎样的方阵作为代表元,形式最简单?(ⅲ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔P B AR 3n R )(,|P |≠0:B P PA ='.证明,3R 是n R )(的一个等价关系.等价元素类取怎样的方阵作为代表元,形式最简单?(ⅳ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔P B AR 4n R )(,I P P ='(单位方阵):B P PA ='.证明,4R 是n R )(的一个等价关系.等价元素类可以取怎样的代表元?[证] 由线性代数知识可知,实数域上n 阶方阵的等价、相似以及实对称矩阵的合同、正交合同皆具有反身性、对称性、传递性,故本题中的1R ,2R ,3R ,4R 都是等价关系.(ⅰ)关于1R ,等价元素类的代表元取如下方阵,形式最简单:r E =diag (rn r -0,,0,0,1,,1,1),(0≤r ≤n ). (ⅱ)由等价关系2R 所划分的等价类,其代表元可取矩阵的有理标准形(详见张远达,熊全淹的《线性代数》第五章).关于3R ,等价元素类的代表元取如下方阵,形式最简单:st E =diag ()(0,,0,0,1,1,1,1,,1,1t s n t s +----),s ,t 为非负整数,且n t s ≤+. 关于4R ,等价元素类的代表元可取如下方阵:n E λλ,,1 =diag (1λ,2λ,…,n λ),R i ∈λR ,1λ≤2λ≤…≤n λ.§5. 有序集 Zorn 引理1. 写出右边图形表示的偏序关系,指出其极大元,极小元,最大元,最小元.[解] 上图表示的偏序关系为:“≤”={),(a a ,),(b b ,),(c c ,),(d d ,),(b d ,),(c d ,),(a b ,),(a c ,),(a d }.a 为极大元同时亦为最大元,d 为极小元同时亦为最小元.下图表示的偏序关系为:“≤”={),(a a ,),(b b ,),(c c ,),(d d ,),(e e ,),(c d ,),(c e ,),(a c ,),(b c ,),(b d ,),(a d ,),(b e ,),(a e }.a ,b 为极大元,d ,e 为极小元,此偏序关系中无最大元,也无最小元.2. 举一个偏序集(S ,≤)但不是有序集的例子.[解] 令S ={数域P 上的首项系数为1的多项式},规定:对于任意S x g x f ∈)(),(,)(x f ≤)(x g ⇔)(|)(x g x f .显然可知,依规定“≤”具有反身性、对称性、传递性,故(S ,≤)是一个偏序集.但(S ,≤)不是有序集,因为存在S x g x f ∈)(),(,)(|)(x g x f /,且)(|)(x f x g /,从而既无)(x f ≤)(x g ,又无)(x g ≤)(x f .故“≤”不是顺序关系.3. 举一个有序集(S ,≤)但不是良序集的例子,并对S 规定另一偏序关系,使之成为良序集.[解] 取S =Z ,“≤”表示数目的大小关系,显然(S ,≤)是有序集,但不是良序集,因为(S ,≤)中无最小元.现在规定Z 的二元关系“≤'”:b a ≤',如果|a |<|b |;或b a =;或b a -=,且a 为负数.显然(Z ,≤')是有序集,下面证明它是良序集:设N 是Z 的任一非空子集,记N '={|a |N a ∈},因为以数目大小为二元关系的非负整数集是良序集,所以(N ',≤')有最小元|0a |,如果N a ∈∀,且0a a ≠,有|a |≠|0a |,即|a |>|0a |,则0a 是(N ,≤')中最小元;如果N a ∈∃1,且01a a ≠,但|1a |=|0a |,则1a ,0a 中是负数的那一个为(N ,≤')的最小元.总之,(N ,≤')有最小元.所以(Z ,≤')是良序集.4. 证明,一个偏序集(S ,≤)若有最大元,则只存在一个.[证] 设(S ,≤)为偏序集,m ,n 皆为其最大元,则依定义有m ≤n 和n ≤m ,由反对称性得n m =,所以(S ,≤)若有最大元,则只存在一个.5. 证明,有限偏序集的每一个非空子集均含有极小元.[证] 设S 是有限偏序集,T 是S 的任一非空子集,“≤”为偏序关系.取定T x ∈0,考虑0Tx ={x |T x ∈,x ≤0x },显然00Tx x ∈,若0Tx ={0x },则0x 为T 的一个极小元,否则01Tx x ∈∃,1x <0x .继续考虑1Tx ={x |T x ∈,x ≤1x },若1Tx ={1x },则1x 为T 的一个极小元,否则12Tx x ∈∃,2x <1x .如此继续,我们得到一个链: …<n x <…<2x <1x <0x .由于T 为有限集,此链不可能无限下去,必在有限步后中止,即存在m x ,使m Tx ={x |T x ∈,x ≤m x }={m x },从而T x ∈∀,x ≤m x ,m x 为T 的极小元.6. 举一个含有n +1个元的偏序集,使其含有n 个极大元,1个极小元.[解] 令S ={1,1p ,2p ,…,n p ,i p 为互不相同的素数}.定义S 中的二元关系“≤”为数的整除关系,显然(S ,≤)成为一个偏序集.1是S 的一个极小元,其余n 个元皆为极大元.7. 设(Z ,≤)是整数集关于整除关系作成的偏序集,T ={1,2,…,10},求T 的上界,下界,有没有最小上界?最大下界?与例6的区别何在?[解] 依题意,T 的上界和下界分别是1,2,…,10的公倍数和公约数,而最小上界和最大下界则分别是的它们的最小公倍数和最大公约数,所以T 的最小上界为:5·7·9·8=2520,T 的上界为:2520k ,k ∈+Z ;T 的最大下界为1,且是T 仅有的下界.与例6的区别在于:例6讨论的是T 的最小元,极小元,最大元,极大元,这与上,下界,最大下界,最小上界是不同的概念.对一个偏序集的子集来说,如有最小元,则最小元必是最大下界.如有最大元,由最大元必是最小上界.反之未必.例如本题中的T ,1是最小元,也是最大下界;2520是最小上界,但不是T 的最大元.8. 设A 是任意集合,在偏序集(A 2,⊆)中取其子集的序列{1a },{1a ,2a },…,{1a ,2a ,…,n a },…,它们的并集是不是A 2的一个极大元?为什么?[解] 题中所取子集序列之并未必是A 2的一个极大元.因为该子集序列的并集可能是A 的真子集,例如当A 是不可数集时.事实上,(A 2,⊆)中仅有一个极大元,也是最大元A .9. 证明,偏序集(A 2,⊆)既有最大元,也有最小元.(φ\2A ,⊆)有没有最小元?找出它的极小元.[证] 因为A A 2∈,且对A x 2∈∀,总有A x ⊆,故A 是(A 2,⊆)的最大元; 同样,由于A 2∈φ,且对A x 2∈∀,总有x ⊆φ,故φ是(A2,⊆)的最小元. (φ\2A ,⊆)没有最小元,其极小元为所有{a },A a ∈.10. 设S =Z ,“m ≤n ”表示mn 是非负整数,且n m |,证明(S ,≤)是一个偏序集.S 有没有最大元?最小元?极大元?极小元?[证] 对S x ∈∀,恒有x x ⋅为非负整数,且x |x ,故x ≤x .对S y x ∈∀,,若x ≤y 且y ≤x ,则依题意可知x ,y 或同时为0,或为同号的互相整除的整数,故y x =.对S z y x ∈∀,,,若x ≤y 且y ≤z ,则由y x |且z y |,推得z x |,再由xy ,yz 非负,可知xz 非负.所以x ≤y .可见“≤”具有反身性,对称性,传递性.所以(S ,≤)是一个偏序集.显然0为S 的一个最大元,也是S 的唯一极大元.S 没有最小元,S 有极小元1和-1.11. 设偏序集(S ,≤)有最小元,则S 有且只有唯一的极小元.[证] 首先可知(S ,≤)的最小元,也是S 的一个极小元.所以,当(S ,≤)有最小元m 时,S 至少有一个极小元.设m '是(S ,≤)的任一极小元,因为m 是最小元,所以m ≤m '.又因为m '是极小元,所以由m ≤m '⇒m m '=.12. 设A 是一个非空集合,B 是A 上一切二元关系所组成的集合,对于B 中元素1R ,2R ,如果对于x ,y ∈A ,y xR 1⇒y xR 2,那么,就规定1R ≤2R ,则(B ,≤)作成一个偏序集.[证] 依题意,对B R ∈∀,总有R ≤R .设1R ,2R ∈B ,且1R ≤2R 及2R ≤1R ,则对于x ,y ∈A ,y xR 1⇒y xR 2及y xR 2⇒y xR 1,这就是说,由(x ,y )∈1R ⇒(x ,y )∈2R 及(x ,y )∈2R ⇒(x ,y )∈1R .所以1R ,2R 表示A A ⨯的同一子集合,21R R =.设1R ,2R ,3R ∈B ,满足1R ≤2R 且2R ≤3R ,则对于x ,y ∈A ,y xR 1⇒y xR 2及y xR 2⇒y xR 3,从而y xR 1⇒y xR 3,所以1R ≤3R .可见B 中的二元关系“≤”具有反身性,对称性,传递性,所以(B ,≤)作成一个偏序集.此外,我们也可以直接由(B ,≤)=(A A ⨯2,⊆)得(B ,≤)是一个偏序集.习题1. 设n A ={a |a ∈Z ,(n 2|a )∧(a n |21/+)},求A = ∞=1n n A . [解] A = ∞=1n n A={2k |k ∈Z }.2. 设x A ={y |y ∈R ,0≤y <x },求A =1>∈x R x x A 且.[解] A = 1>∈x R x x A 且={y |y ∈R ,0≤y ≤1}.3. 设1A ,2A ,…,是集合E 的可数个子集,令A =∞=∞=1m m i i A ,A = ∞=∞=1m m i i A .证明: (ⅰ)A 由一切属于无限多个i A 的元所组成; (ⅱ)A 由一切属于“几乎所有i A ”的元所组成.(“几乎所有i A ”指除有限个外的全部i A ,也说“差不多所有i A ”.)[证] (ⅰ)若x 属于无限多个i A ,则m ∀≥1,1A ,2A ,…,1-m A 是有限个,所以E m '≥m ,使m A x '∈,于是 ∞=∈m i i A x .故A x ∈= ∞=∞=1m m i i A .若x 属于有限个i A ,不妨设x 属于1i A ,2i A ,…,k i A ,1i <2i <…<k i ,m >k i ,取m '∀≥m ,m A x '∉,于是 ∞=∉m i i A x ,故A x ∉.综上所述,A 由一切属于无限多个i A 的元组成.(ⅱ)若 ∞=∞=∈1m m i i A x ,则至少0m ∃,使 ∞=∈0m i i A x ,于是,x 至多不属于1A ,2A ,…,1-m A ,即x 属于“几乎所有的i A ”.若x 属于“几乎所有的i A ”,不妨设x 属于除了1i A ,2i A ,…,k i A 以外的所有i A ,取0m >k i ,则 ∞=∈0m i i A x .故A x ∈= ∞=∞=1m mi i A .综上所述,A 由一切属于“几乎所有的i A ”的元所组成.4. 设{i A |I i ∈}是集合E 的子集族,f 是E 到B 的映射,证明:(ⅰ) I i i I i i A f A f ∈∈=)()(;(ⅱ) Ii i I i i A f A f ∈∈⊆)()(.并举例说明,(ⅱ)中的“⊂”可能发生.[证] (ⅰ)设)( I i i A f x ∈∈',则 Ii i A x ∈∈∃,使)(x f x =',于是x 属于某一个i A ,从而x '=)(x f ∈)(i A f ⊆ I i i A f ∈)(,所以)( I i i A f ∈⊆ I i i A f ∈)(.同样可证, I i i A f ∈)(⊆)( I i i A f ∈.所以)( I i i A f ∈= Ii i A f ∈)(.(ⅱ)任取)( I i i A f x ∈∈',则 Ii i A x ∈∈∃,使)(x f x =',因为i A x ∈,I i ∈∀,所以)()(i A f x f ∈,I i ∈∀,即)(i A f x ∈',I i ∈∀.故 I i i A f x ∈∈')(,从而)( I i i A f ∈⊆ Ii i A f ∈)(.例:取E =Q ,1A ={非负有理数},2A ={非正有理数},B ={0,1}.定义f :E →B ,⎩⎨⎧≠=.0,1,0,0时当时当x x x x . 因为)(21A A f ={0},)()(21A f A f ={0,1},所以)(21A A f ⊂[)()(21A f A f ].5. 设f :A →A 且f f =f ,则f =A I .[证] 由题设,f 是A 到A 的满射,故对于A a ∈∀,A a ∈'∃,使a a f =')(.又因为f f =f ,所以有)(a f =)(a f f ' =)(a f '=a ,A a ∈∀.所以f =A I .6. 找出Z 到Z 的n +1个映射i f ,i =1,2,…,n ,n +1,使1f ,2f ,…,n f 有共同的左逆映射g ,但g 不是1+n f 的左逆映射.[解] 作Z 到Z 的n +1映射如下i f :)1(-+i nx x ,∈∀x Z ,i =1,2,…,n ,n +1.再令g :Z →Z ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x x ,∈∀x Z ,符号[a ]表示不超过a 的最大整数. 容易看出,∈∀x Z ,))((x f g i =x ,i =1,2,…,n .而))((1x f g n + =x +1≠x . 所以g 是1f ,2f ,…,n f 的共同左逆映射,但不是1+n f 的左逆映射.7. 设A ,B C 是集合E 的三个子集,且C B A =,φ=C B ,找出A 2到加氏积C B 22⨯的一个双射.[解] 作映射f :A 2→C B 22⨯,),(C A B A A i i i ,Ai A 2∈∀.由)()(C A B A i i =)(C B A i =A A i =i A ,可知f 是单射. B B i ∈∀,C C i ∈,记i i i C B A =,A i A 2∈.因为φ=C B ,所以φ=i C B ,故B A i =B C B i i )(=)()(B C B B i i =B B i =i B ;同理可证C A i =i C .于是i A 在映射f 下的象是(i B ,i C ),故f 是满射,从而f 是双射.8. 设f 是A 到B 的映射,g 是B 到C 的映射,*f 是A 2到B 2的映射,*f :)(S f S ,A S ⊆∀.*g 是B 2到C 2的映射,*g :)(T g T ,B T ⊆∀,证明下面图形交换:即*)(gf =**f g .[证] 显然*)(gf ,**f g 都是A 2到C2的映射.对A S ⊆∀,有:)()(*S gf =))((S gf =))((S f g =))((*S f g=))((**S f g =))((**S f g ,所以*)(gf =**f g .9. 设+Z ={1,2,…},证明:存在++⨯Z Z 到+Z 的双射φ. [证] ∈∀q p ,+Z ,p q p q p +-+-+)1)(2(21∈+Z . 令φ:++⨯Z Z →+Z ,p q p q p q p +-+-+)1)(2(21),( ,∈∀q p ,+Z . 则φ是映射为显然.下面首先证明它是一个满射:∈∀n +Z ,∈∃k +Z ,使得)1(21+k k ≤n <)2)(1(21++k k . 若n =)1(21+k k ,则取p =k ,q =1,有),(q p φ=n . 若)1(21+k k <n <)2)(1(21++k k ,则取p =)1(21+-k k n ,q =)1(21+k · )2(+k -n +1,有),(q p φ=n .可见对于∈∀n +Z ,∈∃),(q p ++⨯Z Z ,使),(q p φ=n .再证φ是单射:设),(q p ,),(n m ∈++⨯Z Z ,且),(q p ≠),(n m ,则p ≠m 或q ≠n .若p +q =m +n ,则p +q -2=m +n -2,p +q -1=m +n -1,且p ≠m ,于是,),(q p φ=)1)(2(21-+-+q p q p +p =)1)(2(21-+-+n m n m +p ≠)1)(2(21-+-+n m n m +m =),(n m φ. 若p +q ≠m +n ,不妨设p +q >m +n ,于是,)1)(2(21-+-+q p q p -)1)(2(21-+-+n m n m =)1)(2(21-+-+q p q p -)1)(2(21-+-+n m q p +)1)(2(21-+-+n m q p -)1)(2(21-+-+n m n m ≥)2(21-+q p +)1(21-+n m >m -1≥m -p . 所以,)1)(2(21-+-+q p q p +p >)1)(2(21-+-+n m n m +m ,即),(q p φ≠),(n m φ.故φ是单射.从而证得,φ是++⨯Z Z 到+Z 的一个双射.注:本题也可用练习三第4题的方法证明++⨯Z Z 是可数无限集,从而存在++⨯Z Z 到+Z 的双射.10. 证明,不存在A 到A2的双射,此处A ≠φ.[证] 如果存在A 到A 2的双射ϕ,则对A a ∈∀,或者)(a a ϕ∈,或者)(a a ϕ∉.令S ={a |A a ∈,)(a a ϕ∉},S '={a |A a ∈,)(a a ϕ∈}.于是A =S S ' ,且S S ' =φ.因为A S 2∈,所以A a ∈∃0,使S a =)(0ϕ.若S a ∈0,则由S a =)(0ϕ,有)(00a a ϕ∈,这与S 的定义矛盾.若S a ∉0,则S a '∈0,于是根据S '的定义,又得到S a a =∈)(00ϕ,产生矛盾. 从而,不存在A 到A 2的双射.11. 设A ={1,2,3},f 是A 到A 的满射,具有性质)1(f =3,求f 的个数.[解] 由题设,f 是A 到A 的一一变换,且限定f (1)=3,于是f 的个数为2:1f :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321, 2f :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21332112. 设A ={1,2,…,n },f 是A 到A 的满射,具有性质i i y x f =)(,i =1,2,…, k ,k <n ,i x ,i y ∈A ,求f 的个数.[解] 由题设,f 是A 到A 的一一变换,今限定i i y x f =)(,i =1,2,…,k ,k <n ,则f 的个数应为(n -k )个元素的全排列数)!(k n -.13. 设A 有k 个元素,B 有n 个元素,且k ≤n ,求A 到B 的单射的个数.[解] 若f 是A 到B 的单射,则)(A f 是由B 中k 个不同元素所组成,于是f 的个数为从B 中每次取k 个不同元素进行排列所得到的排列数.因而,A 到B 的单射的个数为:k n A =)!(!k n n -. 14. Z [x ]表示一切整数的一元多项式的集合,证明,Z [x ]是可数集.[证] 显然Z 是可数集.由§3练习第4题知Z Z ⨯是可数集,因此Z Z ⨯与Z 等势,于是利用归纳法可证,有限个Z 的加氏积Z Z Z ⨯⨯⨯ 是可数集.下面证明Z [x ]是可数集.)(x f ∀=n n x a +11--n n x a +…+x a 1+0a ∈Z [x ],可由系数的有序数组(n a ,1-n a ,…,1a ,0a )∈1+⨯⨯⨯n Z Z Z 唯一确定. 记n Z ={)(x f =∑=ni i i x a 0|i a ∈Z }.因为Z Z Z ⨯⨯⨯ 是可数集,所以n Z 也是可数集,而Z [x ]=+∈Z n n Z .用类似的证明方法,可以证明可数个可数集的并集是可数集.于是得到Z [x ]是可数集.15. 证明Q [x ]是可数集.[证] 由P.40例4知,全体正有理数是可数集,于是存在+Z 到+Q 的双射ϕ.作Z 到Q 的映射f :⎪⎩⎪⎨⎧=-.0,00,),(,),(时当为负整数时当为正整数时当a a a a a a a ϕϕ容易看出,f 是Z 到Q 的双射,而Z 是可数集,所以Q 也是可数集.以下仿14题的方法,可证得Q [x ]是可数集.16. 证明,+Z 2是不可数集. [证] 假设+Z 2是可数集,则+Z 2与+Z 等浓,从而存在+Z 到+Z 2的一个双射,这与习题10已得结论“不存在A 到A 2的双射”矛盾.所以+Z 2是不可数集.17. 举一个集合的例子,在它上定义一个二元关系,分别适合反身性、对称性、传递性中两个且仅适合两个.[解] 设A =Z .(ⅰ)在A 上定义二元关系1R 为通常数的整除,即A b a ∈∀,,b aR 1⇔a |b .显然,R 适合且仅适合反身性、传递性,而不适合对称性.(ⅱ)在A 上定义2R 为:A b a ∈∀,,b aR 2⇔a =b ,a ≠0.显然2R 适合传递性、对称性,但2R 不适合反身性,因为02R '0. (ⅲ)在A 上定义3R 为:A b a ∈∀,,b aR 3⇔(a ,b )≠1(即a 与b 不互素),或者a =b =±1.显然3R 适合反身性、对称性,但3R 不适合传递性.例如,取a =2,b =6,c =9,则b aR 3,c bR 3,c R a 3'. 18. 设A =++⨯Z Z ,规定(m ,n )≤(m ',n ')⇔m ≤m ',n ≤n ',证明,(A ,≤)是偏序集,并且A 有最小元.是否A 的每一个非空子集要都有最小元?极小元?[证] 对A n m ∈∀),(=++⨯Z Z ,总有⎩⎨⎧≤≤nn m m ,故(m ,n )≤(m ,n );),(11n m ∀,),(22n m ∈A ,由⎩⎨⎧≤≤),(),(),(),(11222211n m n m n m n m ,显然可得⎩⎨⎧==2121n n m m ,所以),(11n m =),(22n m .),(n m ∀,),(k l ,),(t s ∈A ,由⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤⇒≤≤≤⇒≤t k s l t s k l k n l m k l n m ,),(),(,),(),(⇒⎩⎨⎧≤≤t n s m ,所以),(n m ≤),(t s .综上可见“≤”满足反身性、反对称性及传递性,所以(A ,≤)是偏序集. 由于(1,1)∈A ,且A n m ∈∀),(,均有(1,1)≤),(n m ,故(1,1)是A 的最小元. A 的每一个非空子集未必有最小元,例如A 的子集{(1,2),(2,1)}.但A 的每一个非空子集都有极小元.19. 设(A ,≤),(B ,≤)是两个偏序集,规定B A ⨯的字典排法偏序关系为:),(11b a ≤),(22b a ⇔1a ≤2a 1a =2a ,1b ≤2b ,证明,(B A ⨯,≤)是偏序集.若(A ,≤),(B ,≤)均为有序集,是否有(B A ⨯,≤)是有序集?[证] (ⅰ)由于A ,B 皆为偏序集,故B A b a ⨯∈∀),(,总有a =a ,b ≤b ,所以),(b a ≤),(b a .),(b a ∀,),(d c ,),(f e ∈B A ⨯,由⎩⎨⎧≤=≤⇒≤≤=≤⇒≤fd e c e c f e d c d b c a c a d c b a ,),(),(,),(),(或或⇒a ≤e 或a =e ,b ≤f ,所以),(b a ≤),(f e .),(b a ∀,),(d c ∈B A ⨯,由⎩⎨⎧≤⇒≤≤⇒≤a c b a d c c a d c b a ),(),(),(),(⇒a =c , 又由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤⇒⎭⎬⎫≤=≤⇒⎭⎬⎫=≤b d b a d c a c d b c a d c b a ),(),(),(),(⇒b =d ,所以(a ,b )=(c ,d ). 综上可见(B A ⨯,≤)是一个偏序集.(ⅱ)若(A ,≤),(B ,≤)是有序集,则(B A ⨯,≤)亦是有序集.事实上,),(b a ∀,∈),(d c (B A ⨯,≤),因为(A ,≤)是有序集,所以a <c ;c <a ;a =c 中有且仅有一种情况出现.若a <c ,则),(b a ≤),(d c ;若c <a ,则),(d c ≤),(b a ;若a =c ,因为(B ,≤)是有序集,所以必有b ≤d 或d ≤b .当b ≤d 时,有),(b a ≤),(d c ;当d ≤b 时,有),(d c ≤),(b a .总之),(b a ∀,∈),(d c (B A ⨯,≤),均有),(b a ≤),(d c 或),(d c ≤),(b a .故(B A ⨯,≤)是一个有序集.20. 给出复数集C 的两种顺序关系,使之成为有序集.与“复数无大小”的概念是否矛盾?[解] 任一复数bi a y +=决定一对有序实数),(b a ,)(bi a +∀,∈+)(di c C ,定义:bi a +1≤di c +⇔a <c 或a =c ,b ≤d ,其中“≤”为通常数目的大小关系.由于(R ,≤)是有序集,故由前题证明知“1≤”成为C 上的一个顺序关系,故使(C ,1≤)成为有序集.又任一复数都可以唯一地表示成一个三角函数式:z =)sin (cos ααi r +, 0≤α<2π.定义:)sin (cos 1ααi r +2≤)sin (cos 2ββi r +⇔α<β或α=β,1r ≤2r ,其中“≤”为通常数目的大小关系.)sin (cos 1ααi r +∀,∈+)sin (cos 2ββi r C ,同样地可知,“2≤”是C 上的一个顺序关系,故(C ,2≤)成为有序集.我们这里给出的C 上的两种顺序关系与“复数无大小”是不矛盾的.通常的数的大小关系,不仅是一种顺序关系,而且还要满足阿基米公理,乘法单调性.但我们在这里给出的两种顺序关系是不具有这些性质的:不能用来比较复数的大小.21. 设(A ,≤)是偏序集,对A a ∈∀,令)(a f ={x |A x ∈,x ≤a },证明,f 是A 到A 2的一个单射,并且,f 保持(A ,≤),(A 2,⊆)的偏序关系,即当a ≤b 时,有)(a f ⊆)(b f .[证] (ⅰ)显然f 为映射,下面仅证f 是单射.设S a f =)(,T b f =)(,且T S =.由于A 是偏序集,故a ≤a ,所以S a ∈,但T S =,所以T a ∈,于是a ≤b .同样可证,b ≤a .所以a =b ,从而f 是A 到A 2的一个单射.(ⅱ)若a ≤b ,则)(a f x ∈∀,x ≤a .于是,x ≤b ,所以)(b f x ∈,即)(a f ⊆)(b f .可见f 保持(A ,≤),(A 2,⊆)的偏序关系.22. 设(A ,≤)是偏序集,T 是(A 2,⊆)的一个子集,令T ={y |A y 2∈,t y ⊆,T t ∈},则T 与T 有相同的极大元.[证] 根据T 与T 的定义,显然有T T ⊆.若x 是T 的一个极大元,下证x 是T 的一个极大元.如若不然,则T y ∈∃,使y x ⊂.由于T y ∈,所以T t ∈∃,满足t y ⊆,从而t x ⊂,这与x 是T 的极大元矛盾.这就证明了凡T 的极大元,必是T 的极大元.反之,若y 是T 的一个极大元,则由于T y ∈,知T t ∈∃,使t y ⊆,但T T ⊆,所以T t ∈,从而T t y ∈=,即y 是T 的极大元.这就证明了凡T 的极大元必是T 的极大元.23. 设(S ,≤)是有序集,则(S ,≤)是良序集的充要条件是:对S a ∈∀,a S ={x |S x ∈,x <a }是良序集.[证] 若(S ,≤)是良序集,则对S a ∈∀,a S 必是良序集.这是因为a S 的任一非空子集必是S 的非空子集,从而有最小元.反之,若对S a ∈∀,a S 是良序集,下证(S ,≤)是良序集.设M 是S 的一个非空子集,M m ∈∀0,记M '={m |M m ∈,m <0m }.如果0m 不是M 的最小元,则M '非空.因为M '是0m S 的子集,所以M '有最小元m ',易知m '也是M 的最小元.从而(S ,≤)是一个良序集.24. 设(S ,≤)是偏序集,如果S 中每一非空子集M 均有极大元,那么S 中任意递增序列1a <2a <…<n a <…必终止于有限项.并且,反之亦然.[证] 设1a <2a <…<n a <…是S 中任一无限递增序列,则S 的非空子集{1a ,2a ,…,n a ,…}没有极大元,与题设矛盾,故递增序列1a <2a <…<n a <…必终止于有限项.反之,设S 中任意递增序列终止于有限项,下证S 的每一个非空子集皆有极大元.设M 是S 的任一非空子集,如果M 无极大元,则M a ∈∀1,M a ∈∃2,使1a <2a ;同样M a ∈∃3,使2a <3a .如此类推,取定M a n ∈后,因为n a 不是M 的极大元,所以M a n ∈∃+1,使n a <1+n a ,这样就得到S 中的一个无限递增序列1a <2a <…<n a <1+n a <…,与S 中任意递增序列必终止于有限项矛盾.此矛盾表明M 有极大元.25. 设(+Z ,≤)是整数集关于整除关系作成的偏序集,证明,(+Z ,≤)中存在无穷递增序列1a <2a <…<n a <….(+Z ,≤)中是否存在无穷递降序列?[证] 对∈∀a +Z ,且a ≠1,有a |2a ,2a |3a ,…,n a |1+n a ,…故有a <2a <3a <…<n a <1+n a <…,即(+Z ,≤)中存在无穷递增序列.在(+Z ,≤)中,不存在无穷递降序列.这是因为对∈∀a +Z ,a 的约数只有有限多个.26. 有人说,U A i i =∈ φ(见§1末)不应该规定,而是可以证明,即:假定U A i i ≠∈ φ,则U A i i ⊂∈ φ.于是,U x ∈∃,但 φ∈∉i i A x .从而,φ∈∃j ,但j A x ∉,与φ是空集矛盾.此矛盾表明U A i i =∈ φ.你以为如何?[解] 上面证明过程是错误的.“ φ∈∉i i A x ,从而存在φ∈j ,j A x ∉”,这是根据 Ii i A ∈={x |U x ∈,I i ∈∀,j A x ∈}得到的,而后者作为定义,其前提条件要求I 非空,故当φ=I 时,不能应用该定义.。