线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
B.
100
1
2
00
1
3
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
C.
1
3
00
010
00
1
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
D.
1
2
00
1
3
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…
+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（）
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
A.秩(A) B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1， λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k， 则必有（） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=A T D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。 （Ａ）ＡＢＣ；（Ｂ）（Ａ＋Ｂ）Ｃ； （Ｃ）ＡＴ（Ｂ＋ＣＴ）；（Ｄ）ＢＣＡＴ。 16.若方阵Ａ与方阵Ｂ等价，则（）。 （Ａ）秩（Ａ）＝秩（Ｂ）； （Ｂ）det（λＥ－Ａ）＝det（λＥ－Ｂ）； （Ｃ）det（Ａ）＝det（Ｂ）； （Ｄ）存在可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ。 17.若４阶方阵Ａ的行列式等于零，则（）。 （Ａ）Ａ中至少有一行是其余行的线性组合； （Ｂ）Ａ中每一行都是其余行的线性组合； （Ｃ）Ａ中必有一行是零行； （Ｄ）Ａ的列向量组线性无关； 18.若ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，则（）。 （Ａ）组中增加一个向量后也线性无关； （Ｂ）组中去掉一个向量后也线性无关； （Ｃ）组中只有一个向量不能由其余向量线性表出； （Ｄ）ｍ＞ｎ。 19.若方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=++0 20202321 321321x x x x x x x x x λ存在基础解系，则λ等于（ ）。 （Ａ）２； （Ｂ）３； （Ｃ）４； （Ｄ）５。 20.若ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩ｒ＜ｎ，则方程组ＡＸ＝０的基础解系所含向量个数等于（ ）。 （Ａ）ｒ； （Ｂ）ｍ－ｒ； （Ｃ）ｎ－ｒ； （Ｄ）ｒ－ｎ。 21.设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，则非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解的充要条件是（ ）。 （Ａ）方程组ＡＸ＝０只有零解； （Ｂ）Ａ的列向量组线性无关，而A 的列向量组线性相关； （Ｃ）向量ｂ可由Ａ的列向量组线性表出； （Ｄ）ｍ＝ｎ。 22.ｆ（ｘ）＝det ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x x x 102312中ｘ２项的系数是（ ） 。 （Ａ）２； （Ｂ）－２； （Ｃ）－３； （Ｄ）１。 二、填空题 1.111 3 5 692536 = . 2.设A =111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪.则A +2B = . 3.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= . 4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= . 5.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 . 6.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r( 7.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 8.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 9.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭ ⎪ ⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值 为 . 10.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 11.若向量组α１＝（１，０，０），α２＝（２，２，４），α３＝（１，３，ｔ）线性相关，则ｔ＝ 。 12.设Ａ、Ｂ均为３阶方阵，det （Ａ）＝３，det （Ｂ）＝－２，则det （－２ＡＴＢ－１ ）＝ 。 13.设Ａ＝⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡-021321，Ｂ＝⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-414201，则ＡＢＴ ＝ 。 14.设Ａ＝⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡103020208，*A 为Ａ的伴随矩阵，则det （* A ）＝ 。 15.设Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--235213324，Ｂ＝⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--135223323，则Ａ２＋Ｂ２ －ＡＢ－ＢＡ＝ 。 16.ｎ元齐次线性方程组ＡＸ＝０存在非零解的充要条件是 。 17.矩阵Ａ＝⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----4510702451301032的秩等于 。 三．计算题 1.设A =120340121-⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪⎪⎪ ，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T ； （2）|4A |. 2.试计算行列式 3 112513420111 5 3 3 ------. 3.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪ ⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 4.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭ ⎪⎪⎪⎪ 2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ ⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 5.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。 6.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭ ⎪ ⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使 T -1AT =D . 7.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 122232 12132323444+-+--， 并写出所用的满秩线性变换。 8.已知矩阵Ａ满足：Ａ⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡3152＝⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-8001，求矩阵Ａ。 9.计算a a a a a 11111111111 10.若向量组α１＝（１，１，２，－２），α２＝（１，－１，６，０），α３＝（１，３， －ｘ，－２ｘ）的秩为２，求ｘ的值。 11.求下列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组线性表出组中其余向量：α１＝（２， １，３，１），α２＝（１，２，０，１），α３＝（－１，１，－３，０），α４＝（１，１，１，１）。 12.求下列方程组的通解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+=+-+=+-1 3413212302432143214 321421x x x x x x x x x x x x x x x 四、证明题 1.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2. 2.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 3.设α１，α２，α３是齐次线性方程组ＡＸ＝０的基础解系。证明：β１＝α１＋α２，β２＝ α２＋α３，β３＝α３＋α１也是ＡＸ＝０的基础解系。 《线性代数》作业参考答案 一、单项选择题 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 15.C 16.A 17.A 18.B 19.D 20.C 21.B 22.A 二．填空题 1. 6 2. 337137--⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪ 3. 4 4. –10 5. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 6. n -r 7. –5 8. –2 9. 1 10. z z z z 12223242 ++- 11. ｔ＝６ 12. Ａ、Ｂ均为３阶方阵， 13. ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡--61147 14. １６ 15. Ｅ３ 16. 秩（Ａ）＜ｎ 17. 2 三．计算题 1.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭ ⎪ ⎪⎪ =861810310⎛⎝ ⎫⎭ ⎪⎪⎪. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而 |A|=120 340 121 2 - =-. 所以|4A|=64·（-2）=-128 2.解3112 5134 2011 1533 5111 11131 0010 5530 - -- - -- = - -- -- = 511 1111 550 -- -- = 511 620 550 62 55 301040 - -- = - -- =+=. 3.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1= 223 110 121 143 153 164 1 - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ = -- -- - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ - . 所以B=(A-2E)-1A= 143 153 164 423 110 123 -- -- - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪- ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ = 386 296 2129 -- --- ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ . 4.解一 - -- - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −→ − -- -- - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2130 1301 0224 3419 0532 1301 0112 013112 −→ − -- ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −→ − ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1035 0112 0088 001414 1035 0112 0011 0000−→ − ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1002 0101 0011 0000 , 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3， 即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x . 方程组有唯一解（2，1，1）T ，组合系数为（2，1，1）. 5.解 对矩阵A 施行初等行变换 A −→−-----⎛⎝ ⎫⎭ ⎪⎪⎪⎪12102000620328209632 −→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝ ⎫ ⎭⎪⎪ ⎪ ⎪121020328300062000217121 20328300031000 00=B . （1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3. （2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4 列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。 （A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 6.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T . 经正交标准化，得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭ ⎪ ⎪⎪. λ=-8的一个特征向量为 ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪⎪⎪ 所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪⎪. 对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪⎪. （也可取T =25521515130532355451523////////---⎛⎝ ⎫⎭ ⎪ ⎪⎪.） 7.解 f(x 1，x 2，x 3)=（x 1+2x 2-2x 3）2-2x 22+4x 2x 3-7x 32 =（x 1+2x 2-2x 3）2-2（x 2-x 3）2-5x 32. 设y x x x y x x y x 1123 2233322=+-=-=⎧⎨⎪ ⎪⎩ ⎪⎪， 即x y y x y y x y 112223 332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪， 因其系数矩阵C =120011001-⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪⎪可逆，故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x 1，x 2，x 3)的标准形 y 12-2y 22-5y 32 . 8.解：Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80011 3152-⎥⎦⎤⎢⎣⎡＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-8001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2153＝⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡--16853。 9.解：a a a a a 11111111111 ＝a a a a 1110 1001111 11- ＝a a a a 11111 1)1(- ＝a a a a 1111111)2)(1(+-＝1 0001 01 11)2)(1(--+-a a a a ＝)2()1(3+-a a 。 10. 向量组α１，α２，α３的秩为２⇔－ｘ＋２＝０⇔ｘ＝２。 11.解：用α１，α２，α３，α４为列向量作矩阵Ａ， Ａ＝（α１，α２，α３，α４）＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡--1011 13031121 1112→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢ ⎢⎢ ⎢⎣⎡--11 121303112110 11→ ⎥ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1110233001101011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡---1000200001101101 →⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡--10 1000011011 01 → ⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000 100001100101＝（β１ β2 β3 β4）＝Ｂ Ｂ中非零行的首非零元位于第１，２，４列，所以α１，α２，α４是向量组α１， α２，α３，α４的一个最大无关组。 在Ｂ中，有β3＝－β１＋β2＋０β４，所以，在Ａ中有α３＝－α１＋α２＋０α４。 12. 解：A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢ ⎢⎢ ⎢⎣⎡------13 1411113211 123020 11→⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-------15 1501515015150020 11→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢ ⎢⎢⎢ ⎣⎡---0000 000000511511002 11→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡ ---00 00000511 5110 51151 01， 非齐次通解为⎪⎩ ⎪⎨⎧++=-+=4 324 3151 515151x x x x x x （ｘ３，ｘ４任意）， 令ｘ３＝ｘ４＝０，得非齐次特解：* η＝（51，5 1，０，０）Ｔ。 导出组的通解为⎪⎩ ⎪⎨⎧+=-=4 324 3151 51x x x x x x （ｘ３，ｘ４任意）， 一个基础解系为：ξ１＝（１，１，５，０）Ｔ ，ξ２＝（－１，１，０，１）Ｔ ， 非齐次结构解为：Ｘ＝* η＋ｋ１ξ１＋ｋ２ξ２，其中ｋ１，ｋ２为任意数。 四、证明题 1.证 由于（E -A ）（E +A +A 2）=E -A 3=E ， 所以E -A 可逆，且 （E -A ）-1= E +A +A 2 . 2.证 由假设A η0=b ，A ξ1=0，A ξ2=0. （1）A η1=A （η0+ξ1）=A η0+A ξ1=b ，同理A η2= b ， 所以η1，η2是Ax =b 的2个解。 （2）考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0， 即 （l 0+l 1+l 2）η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0. 则l 0+l 1+l 2=0，否则η0将是Ax =0的解，矛盾。所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l 1=0，l 2=0，从而 l 0=0 . 所以η0，η1，η2线性无关。 3 证明：因为α１，α２，α３是齐次线性方程组ＡＸ＝０的基础解系，所以它们的线性 组合β１，β２，β３都是ＡＸ＝０的解向量。 令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＝０ 即ｘ１（α１＋α２）＋ｘ２（α２＋α３）＋ｘ３（α３＋α１）＝０ 即（ｘ１＋ｘ３）α１＋（ｘ１＋ｘ２）α２＋（ｘ２＋ｘ３）α３＝０ 因为α１，α２，α３线性无关，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+00032 2131x x x x x x ，解得ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，β１，β２，β３线性无关，构成ＡＸ＝０的一个基础解系。 《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C. 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D. 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+… 《线性代数》自学指导书 一、课程名称：线性代数 二、自学学时：72学时 三、课件学时：54学时 四、教材名称：《线性代数》，张恩众主编，山东大学出版社。 五、参考资料：1、《线性代数》，中国人民大学出版社 2、《线性代数》，高等教育出版社 六、考核方式： 章节同步习题（10%）＋笔试（90％） 七、课程简介： 本课程是经济管理类各专业的一门主要的数学基础课。内容包括行列式，矩阵及其运算，矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性，相似矩阵及二次型。通过学习本门课程，使学生具备有关线性代数的基础理论知识及用于解决实际问题的能力，从而为学习后续课和进一步扩大数学知识打下必要的数学基础。 八、自学内容指导： 第一章行列式 1、本章内容概述： 行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理，解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则。 2、自学课时安排： 课件学习12学时，自学16学时 3、知识点： A. 了解n阶行列式的概念，掌握行列式的性质． B. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． C. 会用克莱姆法则解线性方程组． 4、难点： 行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 5、章节同步习题：（单项选择题） （1）行列式0111 1011 1101 1110＝ （ -3 ） (a) 1; (b) -1; (c) 3; (d) -3 . （2）当a = ( 1 )时，行列式1 2 0513 36a ---＝0 (a) －1; (b) 1; (c) 2; (d) 0 . （3）如行列式11 1213212223313233a a a a a a a a a ＝d ，则3132332122 2311 1213333222a a a a a a a a a ---＝（ b ） （a ）－6d ； （b ）6d ； （c ） 4d ； （d ）－4d. （4）当a = （ ）时，行列式111111a a a ＝0 （a ）1； （b ）－1； （c ）2； （d ）0. （5）行列式12564278 25 16945 43211 11的值为（ ） （a ）12； （b ）－12； （c ）16； （d ）－16. (6)行列式00 000000a b c d e f g h 中g 元素的代数余子式为（ ） （a ）bcf －bde ； （b ）bde －bcf ； （c ）acf －ade ； （d ）ade －acf. (7)设221 12()112211 f x x x =-+，则()0f x =的根为（ ） （a ）1, 1, 2, 2； （b ）-1, -1, 2, 2； （c ）1, -1, 2, -2； （d ）-1,-1,-2,-2. （8）行列式1211230 0 (00) 0...0... 0 00......n n n n nn a a a a a a a -＝ （ ） 各大学教材课后习题答案网址 【千份热门课后习题答案大全】 ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=17&fromuid=164951 高等数学（同济第五版）课后答案（PDF格式，共527页） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=18&fromuid=164951 中国近现代史纲要课后题答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=5900&fromuid=164951 曼昆《经济学原理》课后习题解答 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=85&fromuid=164951 21世纪大学英语读写教程（第三册）参考答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=5&fromuid=164951 谢希仁《计算机网络教程》（第五版）习题参考答案（共48页）https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=28&fromuid=164951 《概率论与数理统计》习题答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=57&fromuid=164951 《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=42&fromuid=164951 《机械设计》课后习题答案（高教版，第八版，西北工业大学）https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=96&fromuid=164951 《大学物理》完整习题答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=217&fromuid=164951 《管理学》课后答案（周三多） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=304&fromuid=164951 机械设计基础(第五版)习题答案[杨可桢等主编] https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=23&fromuid=164951 程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=3&fromuid=164951 新视野大学英语课本详解（四册全） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=1275&fromuid=164951 21世纪大学英语读写教程（第四册）课后答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=7&fromuid=164951 新视野大学英语读写教程3册的课后习题答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=805&fromuid=164951 新视野大学英语第四册答案（第二版） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=5310&fromuid=164951 《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=181&fromuid=164951 《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=232&fromuid=164951 完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=47&fromuid=164951 《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=90&fromuid=164951 《电路》习题答案上（邱关源，第五版） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=137&fromuid=164951 《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌） https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/viewthread.php?tid=112&fromuid=164951 应该说如果下面还找不到的那么肯定答案还没出了 统计学课后答案（第二版，贾俊平）? ... 200903/ ? 大学物理实验绪论课指导书? ... 200903/ ? 《材料力学》课后答案? ... 200903/ ? 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矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。 矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱——毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。 本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧——矩阵分块法。 教学内容： 矩阵的概念，矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及运算规律，矩阵的逆，分块矩阵。 教学目的与要求： 1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。 2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。 3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件及求逆的方法。 4.掌握分块矩阵的运算。 重点、难点： 1.重点：矩阵的乘法，逆矩阵的求法。 2.难点：逆矩阵的概念，矩阵的分块法。 基本方法及技能： 矩阵的乘法，求逆矩阵的方法，矩阵的分块法。 教学建议及教法提示 1. 引入矩阵的定义时可举些例子。 2. 注意区分矩阵的运算与数的运算之间的不同之处，对矩阵的乘法应重点 线性代数(xiàn xìnɡ dài shù) 课程(kèchéng)教案 3.2 向量组的线性组合 授课时间 第 8 周第 1、2节教学器材与工具多媒体与黑板结合安排 授课类型 理论课√讨论课□实验课□习题课□双语课程□其他□（请打√） 教学目的、要求 掌握判断线性组合的定义，熟悉向量的运算，了解线性表示的概念。 教学重点及难点 重点是线性组合的定义。难点是线性组合与方程组解的关系。 教学基本内容 一、维向量及其线性运算 定义1 n个有次序的数所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第个数称为第i个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当时，n维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个矩阵 每一列 组成的向量组称为矩阵的列向量组，而由矩阵A的的每一行 组成的向量组称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 或 . 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 的全体解当时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量与的各对应分量之和组成的向量，称为向量与的和, 记为，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： . 定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为，即 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组 (1) 令 3500份课后答案，很值得收藏，这里只介绍了一部分。 还有很多，可以去课后答案网（https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs）查找。 ##################【公共基础课-答案】#################### 新视野大学英语读写教程答案（全）【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=108&fromuid=837689 概率论与数理统计教程(茆诗松著) 高等教育出版社课后答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=234&fromuid=837689 高等数学（第五版）含上下册高等教育出版社课后答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=29&fromuid=837689 新视野英语听力原文及答案课后答案【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=586&fromuid=837689 线性代数(同济大学应用数学系著) 高等教育出版社课后答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=31&fromuid=837689 21世纪大学英语第3册（1-4）答案【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=285&fromuid=837689 概率与数理统计第二,三版(浙江大学盛骤谢式千潘承毅著) 高等教育出版社课后答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=32&fromuid=837689 复变函数全解及导学[西安交大第四版]【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=142&fromuid=837689 大学英语精读第三版2册课后习题答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=411&fromuid=837689 线性代数(第二版)习题答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=97&fromuid=837689 21世纪(第三册)课后答案及课文翻译（5-8）【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=365&fromuid=837689 大学英语精读第2册课文翻译(上外)【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=598&fromuid=837689 新视野英语视听说教程1-4答案【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=2639&fromuid=837689 物理学教程（马文蔚）答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=1188&fromuid=837689 毛邓三课后思考题答案(高教版)高等教育出版社【khdaw】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=1263 &fromuid=837689 ##################【通信/电子/电气/自动化类--答案】#################### 电路第四版(邱关源著) 高等教育出版社课后答案 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=259&fromuid=837689 电路第五版(邱关源罗先觉著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】 https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=4097&fromuid=837689 数字电子技术基础第四版(阎石著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】https://www.360docs.net/doc/1319283152.html,/bbs/viewthread.php?tid=215&fromuid=837689 模拟电子技术基础(第三版华成英主编)习题答案 第一章 1．用消元法解以下线性方程组： 〔1〕⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-⎧⎨ =-+⎩令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将以下矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： 〔2〕⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ⎛ ⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---0000510402321〔不唯一〕；行最简形：⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解以下线性方程组： 〔1〕⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x 解 2100 31335721411010 9011320019r B ⎛ ⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝ ⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 得方程组的解为 〔2〕⎪⎩⎪ ⎨⎧=+++=+++=++-. 2222,2562,1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 1143111431216520321 01222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭ ， 得方程组无解． 第二章 1.〔2〕 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． 〔2 〕 01 00 020 00010 n n -． 2.解 原式1 10 0020(1)00 1 n n n += -=-!)1(1n n +- 3.〔2〕 1 111222233 3 3 4444 ------． 解 原式1111 044419200660008 = =． 〔5 〕12111110 01 10 n a a a ，其中0,1,2,,i a i n ≠=． 线性代数教学教案 行列式 21⋅. 如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大， i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列 n ) i. n 3.定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列 二．二阶、三阶行列式 1.引例：解方程组 1,2,3, n )排成1231 323331 23n n n n n n nn a a a a a a a 232333112 3(1)n n n n nn a a a a a a =-+ 21222,12123231 32 3,131 33 312 112 ,1 13 1)+(1)n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+ - 阶行列式（递归定义）. 余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构ij M ，称为元素ij a 的余子式，(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =n a ∑1,2,3, n )组成的阶行列式定义为 1231 323331 2 3 n n n n n n nn a a a a a a a 12 12 ) 12=n n n j j j j nj j j j a a a ∑ n j ∑ 表示对所有的列标排列12 n j j j 求和. 四．例题讲解1.求解二元线性方程组122 3212 21x x x x -=⎧⎨+=. 第一章 行列式 习题 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒ ∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。线性代数 课后作业及参考答案
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