上海市复旦附中高三模拟数学学科考试试卷(含答案)(2019.05)
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题
上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题一、填空题1．直线50x +=的倾斜角是．2．已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =.3．已知随机变量X 的方差()1D X =，则随机变量32Y X =+的方差()D Y = 4．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝． 5．在ABC V 中，若60B ︒=，2AB =，AC =ABC V 的面积是．6．已知向量a r 、b r 满足2a b ==r r ，且a b -r r 在a r上的数量投影为2,a b =r r7．设,0,(){1,0,x a x f x x x x-+≤=+>若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 . 8．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(1)0f =.若()2x y f x a =+⋅是奇函数，()3x y f x =+是偶函数，则a 的值为.9．如果关于x 的不等式1x a x x -<++的解集为一切实数，那么a 的取值范围是.10．已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a的取值范围是. 11．已知全集(){,|,R}U x y x y =∈，若集合A U ⊆，且对任意()11,x y A ∈，均存在()22,x y A ∈，使得：12210x y x y +=，则称集合A 为“对称对点集”.给出如下集合：（1）{(,)|,Z}A x y x y =∈； （2）1(,)|,R,0A x y y x x x ⎧⎫==∈≠⎨⎬⎩⎭； （3）{(,)|21,R}A x y y x x ==+∈； （4）{}2(,)|,R,0A x y y x x x ==∈≠.其中是“对称对点集”的序号为（写出所有正确的序号）12．关于x的方程2ln 2b ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22a b +的最小值为．二、单选题13．设a r 、b r 是非零向量，则“0a b ⋅>r r ”是“,a b 〈〉r r 为锐角”的（ ）条件.A ．充分必要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 14．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，则（ ）A ．直线MB 与直线11B D 相交，直线MB ⊂平面1ABCB ．直线MB 与直线1DC 平行，直线MB ⊥平面11AC DC ．直线MB 与直线AC 异面，直线MB ⊥平面11ADC BD ．直线MB 与直线1A D 垂直，直线MB ∥平面11B D C16．已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a +∞上单调递增B ．对于任意实数a ，若()a g x 在(),a +∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C ．对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D ．若函数()a g x 满足：当(),x a ∈+∞时，()0a g x ≥，当(),x a ∈-∞时，()0a g x ≤，则()f a为()f x的最小值三、解答题17．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.(1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第(18)n n≤年后所获利润()f n；(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?18．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成角的大小等于θ．(1)当π3θ=时，求异面直线MC与PO所成的角；(2)当三棱锥M ACO-的体积最大时，求θ的值．19．为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的22⨯列联表.(1)根据该22⨯列联表，并依据显著水平0.05α=的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X，求X的分布及期望[]E X.附：()2 3.8410.05P χ≥≈.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ V 的边PQ (1)求椭圆的标准方程； (2)过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；(3)直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN V 面积的最大值．21．若函数()f x 满足：对任意正数,s t ，都有()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“H 函数”．(1)试判断函数()21f x x =与()()2ln 1f x x =+是否为“H 函数”，并说明理由；(2)若函数33x y x a =+-是“H 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 为“H 函数”，()11f =，对任意正数s 、t ，都有()0f s >，()0f t >，证明：对任意()()12,2k k x k +∈∈N ，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．。
2019届上海市复旦大学附属中学高三高考模拟试题数学试题解析版.doc
2019届上海市复旦大学附属中学高三高考4月模拟试题数学试题一、单选题1．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【答案】D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.2．下列不等式中，与不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将不等式进行等价变形进行对比即可．【详解】不等式等价为，即，故选：D.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础．3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，以下结论正确的是（）A．若，，m，n是异面直线，则，相交B．若，，，则C．若，，m，n共面于，则D．若，，，，不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：正方体中，取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；本题选择C选项.二、填空题4．方程的解为________________．【答案】【解析】或（舍）即，解得即答案为2.5．已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．6．已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += . 【答案】1-【解析】由题意22{ a a b b ==或22{ a b b a ==，因为a b ≠， 0ab ≠， 132{ 132a ib i =-+=--132{132b ia i =-+=--或，因此1a b +=-． 【考点】集合的相等，解复数方程．7．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_____（结果用最简分数表示）. 【答案】【解析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率． 【详解】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况， 若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为.故答案为：. 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 8．已知数列是共有k 个项的有限数列，且满足，若，，，则_.【答案】【解析】由题数列是共有个项的有限数列，且满足，则，则……以上各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.9．_____【答案】2【解析】10．△ABC所在平面上一点P满足（，m为常数），若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为_____.【答案】12【解析】由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，结合已知中△ABP 的面积为6，即可得到答案．【详解】取AC的中点O，则（，m为常数），，到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP=12.故答案为：12.【点睛】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m2，得到S△ABC＝2S△ABP，是解答本题的关键．11．若对任意，不等式恒成立，则m的取值范围是_____.【答案】【解析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求y＝的最大值即可．【详解】不等式，即.由于的最大值为，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．12．设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题(解析版)
2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A.,a b 都能被5整除 B.,a b 都不能被5整除 C.,a b 不都能被5整除 D.a 不能被5整除【答案】B【解析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案． 【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2．已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-； ③()4y f x =+是偶函数；若()6a f =， ()11b f =， ()2017c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据题意，由①分析可得函数()f x 在区间[]4,8上为增函数，由②分析可得函数()f x 的周期为8，由③分析可得函数()f x 的图象关于直线4x =-和4x =对称，进而分析可()6a f =，()11b f =， ()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==， 结合函数在[]4,8上的单调性，分析可得答案．【详解】由①得()f x 在[]4,8上单调递增；由得②()()()84f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为8的的周期函数，所以()()()2017252811c f f f ==⨯+=，()()113b f f ==；再由③可知()f x 的图像关于直线4x =对称，所以()()()1135b f f f ===， ()()17c f f ==．结合()f x 在[]4,8上单调递增可知， ()()()567f f f <<，即b a c <<．故选B ． 【点睛】解析式不知道的函数成为抽象函数，解决抽象函数问题的基本思路有两个： （1）取特殊值.对于求函数值的问题可选择定义域内的特殊值代入解析式验证求解； （2）运用所给的性质.解题时要用好所给的函数的性质进行适当的变形，同时要灵活运用函数的其他性质，如周期性、单调性、奇偶性等，并在此基础上将抽象问题转化为函数问题求解.二、填空题3．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B =________．【答案】{}1【解析】先由x A ∈得出集合B ，再求得A B .【详解】因为1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，当x A ∈时，2y x =得1y =，或4y =，或14y =，所以11,4,4B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 所以AB ={}1，故填：{}1. 【点睛】本题考查根据集合的描述法转化为用列举法表示集合和集合间的交集运算，属于基础题.4．设m R ∈，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =______． 【答案】1-【解析】()()()()1111mi i m m i ++=-++， 复数()()11mi i ++在复平面内对应的点位于实轴上， 则复数的虚部为零，10m +=，解得：1m =-. 5．若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122lim nn a a a n →∞+++= .【答案】32【解析】设出等差数列的公差，由已知求得公差，然后求等差数列的前n 项和后代入122nn a a a limn →∞+++得答案．【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2+a 3+a 4＝21，得 3a 1+6d ＝21，即3+6d ＝21，d ＝3．∴()122231133132222nn n n n n n n a a a n n limlimlim lim n n n →∞→∞→∞→∞--++++-====． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了数列极限的求法，是基础题．6．若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于___________． 【答案】20【解析】令1x t -=，则1x t =+， 所以()62601261t a a t a t a t +=++++，所以3a 就是3t 的系数，因为661661k k k k k k T C t C t --+==，所以当3k =时，33620a C ==。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题(含答案)
复旦附中2023学年第二学期高三年级数学三模2024.05一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合，，则______．2．设复数z 满足（i 为虚数单位），则______．3．已知，则______．4．二项式的展开式中含项的系数是______．5．无穷等比数列满足：，，则的各项和为______．6．关于x 的不等式的解集为______．7．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，过的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于点A 、B ．若为等边三角形，则的边长为______．8．在复平面xOy 内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子：①；②；③；④．其中恒成立的是______．（写出所有恒成立式子的序号）9．某次数学练习中，学生成绩X 服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是______．10．若函数在上存在最小值，则实数a 的取值范围是______．11．若平面向量，，的模均在区间内，则的取值范围是______．{}11A x x =-<11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A B = ()132i z i +=-+z =52tan 43π⎛⎫θ+=- ⎪⎝⎭tan θ=62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x {}n a 121a a +=3414a a +={}n a 21log 1x x-<2216y x -=1F 2F 1F 2ABF △2ABF △1z 2z 1Z 2Z 2211z z =1212z z z z ⋅=⋅2211OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅ ()2115,σ()11051252P X ≤≤=343y x x =-+(),2a a +a b a b + []2,4a b ⋅12．设关于x 的方程的从小到大的第i 个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）13．已知，直线：，：，则“”是“”的（ ）条件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的是（ ）．A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则15．已知非空集合A ，B 同时满足以下两个条件：①，；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对的个数为（ ）．A.4B.10C.12D.1616．无穷数列满足：，且对任意的正整数n ，均有，则下列说法正确的是（ ）．A.数列为严格减数列B.存在正整数n ，使得C.数列中存在某一项为最大项D.存在正整数n ，使得()sin 0x t ω=ω>()1,2,3,i x i =⋯{}n x {}n x ()1,2[]2023,2024a R ∈1l 20x ay +-=2l ()110a x ay +-+=2a =-12l l ∥a α∥b ⊂αa b ∥a α∥b β∥αβ∥a b ∥a ⊂αb ⊂βa b ∥αβ∥a ⊥αb ⊥βα⊥βa b⊥{}1,2,3,4,5,6A B = A B =∅ (),A B {}n a 101a <<()13n n a a n e a e +=-{}n a 0n a <{}n a 43n a >三、解答题（本大题共5题，满分78分）．17．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）试判断的形状；（2）若，求周长的最大值．18．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题8分，第2小题6分．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．（1）经过3局比赛，记甲的得分为X ，求X 的分布和期望；（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．ABC △22sin 2Ac b c -=ABC △1c =ABC △2319．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是菱形，，FA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，．（1）在线段AF 上是否存在一点G ，使得平面平面CEF ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值．20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设A ，B 是双曲线H ：上的两点．直线l 与双曲线H 的交点为P ，Q 两点．（1）若双曲线H，且点在双曲线H 上，求双曲线H 的方程；（2）设A 、B 分别是双曲线H ：的左、右顶点，直线l 平行于y 轴．求直线AP 与BQ斜率的乘积，并求直线AP 与BQ 的交点M 的轨迹方程；（3）设双曲线H ：，其中，，点M 是抛物线C ：上不同于点A 、B的动点，且直线MA 与双曲线H 相交于另一点P，直线MB 与双曲线H 相交于另一点Q ，问：直线PQ 是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记．（1）求对任意实数x ，都有成立的最小整数n 的值；（2）设，若对任意正整数，函数都存在极值点．求60ABC ∠=︒22AB FA ED ===BDG ∥B CF E --()222210,0x y a b a b -=>>()222210,0x y a b a b -=>>221x y -=()A )B22x y =()21x f x x ae =+()()1n n f x f x -'=()2,n n N ≥∈()()1n n f x f x -=()2,n n N ≥∈()()()()23n n g x f x f x f x =+++ 3n ≥()n y g x =n x t =证：点在一条定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数和实数，使，且对于任意正整数n ，函数至多有一个极值点？若存在，求出所有满足条件的k 和；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.②③;9.; 10.； 11. 12.11．若平面向量，，的模均在区间内，则的取值范围是______．【答案】【解析】.等号成立当且仅当，取边长为的等腰,其中.令即可.又.取,等号成立.故答案为12．设关于x 的方程的从小到大的第i 个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．【答案】【解析】设第个正解,则的正解从小到大排列为由得,()()(),3,n n n n A t g t n n N ≥∈()2k k ≥0x ()()0100k k f x f x -==()n y f x =0x ()21，13i -5-602()1,+∞45325,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦[]14,4-()2025|,022023w w w ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为正整数且a b a b + []2,4a b ⋅[]14,4-()222222||2441422a b a b a b +----⋅==-…4,2a b a b ==+= 4,4,2OAB ∆2AB =,OA a BO b ==()()2224444a b a ba b +--⋅==…()20a b ,== []144,-()sin 0x t ω=ω>()1,2,3,i x i =⋯{}n x {}n x ()1,2[]2023,2024()2025|,022023w w w ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为正整数且i ()x i =ϕsin x t ω=()()()1,2,3,ϕϕϕ ()2x i πω=ϕ⋅π+()2i x ϕ⋅ππ=+ωω数列是无穷等差数列,当时,,当时,解得,为正整数,且.故答案为:.二、选择题13.A14.15.B16.D15．已知非空集合A ，B 同时满足以下两个条件：①，；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对的个数为（ ）．A.4 B.10 C.12 D.16【答案】B【解析】若集合中有1个元素,则集合中有5个元素,则,即,此时有,若集合中有2个元素,则集合中有4个元素,则,即,此时有,若集合中有3个元素,则集合中有3个元素,则,不满足题意,若集合中有4个元素,则集合中有2个元素,则,即,此时有,若集合中有5个元素,则集合中有1个元素,则,即,此时有,故有序集合对的个数是，故选B.{}n x ()()1,2i i π∴ϕ⋅π=ω-⋅()()1,2i i ω-∴ϕ=()12x ,∈()2x ,ω∈ωω[]20232024x ,∈[]20232024x ,ω∈ωω()()20222023202322ωω∴ω-π<…20222-ω+π()()2025202712202322023w w <--…()202522023w ∴-0w >()2025|,022023w w w ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为正整数且{}1,2,3,4,5,6A B = A B =∅ (),A B A B 1,5A B ∉∉5,1A B ∈∈041C =A B 2,4A B ∉∉4,2A B ∈∈144C =A B 3,3A B ∉∉A B 4,2A B ∉∉2,4A B ∈∈344C =A B 5,1A B ∉∉1,5A B ∈∈441C =()A,B 144110+++=三、解答题17．【答案】（1） （2） （3）【解析】（1）由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，，所以周长为，因为，可得，所以，当时，即．18．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题意得，，X 的取值可能为0，1，2，3，则，，，．所以X 的分布为因为，所以X 的期望．（2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局，所以所求概率为．19．【答案】（1）存在，G 为AF 的中点（2）【解析】（1）线段AF 上存在一点G ，使得平面平面CEF ，且G 为AF 的中点．理由如下：如图，设G 为AF 的中点，连接GE ，因为FA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，所以，即，又，所以，所以四边形DEFG 是平行四边形，所以，因为平面CEF ，平面CEF ，所以平面CEF ；22sin 2A c b c -=2sin 22A c b c -=1cos 22A c b c --=1cos 12222A b c -=-cos bA c=2222b c a bbc c +-=222a b c +=2C π=ABC △ABC △1c =sin a A =cos b A =ABC △1sin cos 14A A A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭4A π=ABC △12027P =2~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭()32101327P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭()21322211339P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭()22322421339P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3283327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1231248279927⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2323E X np ==⨯=()()48202392727P P X P X ==+==+=BD ∥FA ED ∥FG ED ∥2FA ED =FG ED =DG EF ∥EF ⊂DG ⊄DG ∥又，，所以四边形GADE 是平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形BCEG 是平行四边形，所以，因为平面CEF ，平面CEF ，所以平面CEF ；又，BG ，平面BDG ，所以平面平面CEF ．（2）连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，因为四边形ABCD 是菱形，所以．以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 且与AF 平行的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，，．设是平面BCF 的法向量，则，即，取，则，．设是平面CEF 的法向量，则，即，故，取，则，故．所以由图易知二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为．20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设A ，B 是双曲线H：上的两点．直线l 与双曲线H 的交点为P ，Q 两点．（1）若双曲线H，且点在双曲线H 上，求双曲线H 的方程；（2）设A 、B 分别是双曲线H ：的左、右顶点，直线l 平行于y 轴．求直线AP 与BQ斜率的乘积，并求直线AP 与BQ 的交点M 的轨迹方程；（3）设双曲线H ：，其中，，点M 是抛物线C ：上不同于点A 、B的动点，且直线MA 与双曲线H 相交于另一点P ，直线MB 与双曲线H 相交于另一点Q ，问：直线PQ 是否GAED ∥12GA FA ED ==GE AD ∥GE AD =BC AD ∥BC AD =GE BC ∥GE BC =CE BG ∥CE ⊂BG ⊄BG ∥BGDG G =DG ⊂BDG ∥AC BD ⊥)B ()0,1,2F -()0,1,0C ()E ()1,2BF =-()BC = )1,1EF =- )1EC =-()1111,,n x y z = 1100n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111200y z y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩11x =1y =1z =(1n =()2222,,n x y z =2200n EF n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22222200y z y z -+=+-=20x =21y =21z =()20,1,1n =1cos ,n B CF E --B CF E --()222210,0x y a b a b -=>>()222210,0x y a b a b -=>>221x y -=()A )B22x y =恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2），（3）【解析】（1）（2），（3）设，，则，直线AP ：，即BQ ：，即由得所以即同理由对称性知，若过定点，则定点在y 轴上．取，得，则直线PQ ：，过．下证明直线PQ 恒过定点为．由所以直线PQ 恒过定点为．21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记．（1）求对任意实数x ，都有成立的最小整数n 的值；（2）设，若对任意正整数，函数都存在极值点．求证：点在一条定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数和实数，使，且对于任意正整数n ，函数至多有一个极值点？若存在，求出所有满足条件的k 和；若不存在，说明理由．2212y x -=22221x y a b+=0xy ≠()0,1-2212yx -=22221x y a b+=0xy ≠()00,M x y (),P P P x y (),Q Q Q x y 202x y =1y x =++y x =+1y x =+y x =-221y x x y ⎧⎪=+⎨⎪-=⎩(2220001102x x x x x ⎛⎫ ⎪-+-++= ⎪⎝⎭P A P x x ==P x =P y =Q x =Q y =()0,0M )1P-()1Q -1y =-()0,1-()0,1-1P Py x +=1Q Qy x +=11Q P P Qy y x x ++=()0,1-()21x f x x ae =+()()1n n f x f x -'=()2,n n N ≥∈()()1n n f x f x -=()2,n n N ≥∈()()()()23n n g x f x f x f x =+++ 3n ≥()n y g x =n x t =()()(),3,n n n n A t g t n n N ≥∈()2k k ≥0x ()()0100k k f x f x -==()n y f x =0x【答案】（1）5（2）见解析（3）存在，，．【解析】（1），，，当时，，n 最小值为5．（2），，所以．，所以点在直线上．（3）当时，，因此若存在，则或．另一方面，关于a 的取值，易知当时，无极值点，至多只有一个极值点，因此只需保证至多一个极值点，即至多只有一个零点．①若，则，，解得，．此时得，即在严格增，上严格减，因此，即，即严格减，没有极值点，符合题意．②若，则，，解得，．此时得，即在严格增，严格减，因此，而，且，因此函数在和中有两个零点，且在两个零点附近正负性不同，因此有两个极值点，舍去．综上，存在，，．3k =2a e=-()22x f x x ae =+()32x f x ae =+()4x f x ae =4n ≥()()4n f x f x =()()221x n g x x n ae =++-()()210x ng x n ae '=+-=()12n t n ae -=-()()2212n t n n n n g t t n ae t =++-=n A 2y x =4k ≥()0x k f x ae =≠3k =2k =3n ≥()n f x ()22x f x x ae =+()21x f x x ae =+()22x f x x ae =+3k =()03020x f x ae =+=()020020x f x x ae =+=01x =2a e=-()13220x f x e -=-≥(],1x ∈-∞()2f x (),1]-∞[)1,+∞()()22max 10f x f ==()()2210f x f ≤=()1f x 2k =()020020x f x x ae =+=()021000x f x x ae =+=02x =24a e =-()23240x f x e -=-≥(],2ln 2x ∈-∞-()2f x (],2ln 2-∞-[)2ln 2,-+∞()()22max 2ln 222ln 20f x f =-=->()220f =()22040f e -=-<()2y f x =2x =()2ln 2,2-()1f x 3k =2a e=-。
2019学年上海市复旦附中高考数学三模试卷
3
21．已知 k R ， a 0 且 a 1， b 0 且 b 1 ，函数 f (x) ax kbx ；
（1）设 a 1， ab 1，若 f (x) 是奇函数，求 k 的值；
（2）设 a 1 b 0 ， k 0 ，判断函数 f (x) 在 R 上的单调性并加以证明；
（3）设 a 2 ，b 1 ，k 0 ，函数 f (x) 的图象是否关于某垂直于 x 轴的直线对称？如果是， 2
求出该对称轴，如果不是，请说明理由；
22．已知
A、B
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 和双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的公共顶点， P
、 Q 分别
为双曲线和椭圆上不同于 A 、B 的动点，且 AP BP (AQ BQ)( R ，| | 1) ．设 AP 、
BP 、 AQ 、 BQ 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 ． （1）求证：点 P ， Q ， O 三点共线； （2）求 k1 k2 k3 k4 的值； （3）设 F1 、 F2 分别为双曲线和椭圆的右焦点，若 QF1 / / PF2 ，求 k12 k22 k32 k42 的值．
2018 年上海市复旦附中高考数学三模试卷
一.填空题
1．（3 分）已知集合 M {x | y lgx}， N {x | y 1 x2 }，则 M N
．
2．（3 分）若复数 z 满足 (3 4i)z | 4 3i | ，则 z 的虚部为 ． 3．（3 分）在 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若 a 6 ，c 4 ，sin B 3 ，
y2 b2
1(a 0,b 0) 的两条渐近线分别与抛物线交于 A 、 B 两点 ( A ， B 异于坐标原
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。
12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)． 解得a =−5． 故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ， 即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ， 则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12， 则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1； 故答案为：1．。
复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是 图乙中的（ ）2． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 3． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D4． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．5． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数，，若，则（）A1B2 C3 D-18． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 9． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A ．725B ．725- C. 725± D ．242510．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）11．4213532,4,25a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.15．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 16．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。
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复旦附中高三模拟数学试卷
2019.05
一. 填空题
1. 不等式13x
>的解集为 2. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人
3. 已知110002111000n n n n a n n n
+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ，则lim n n a →∞= 4. 一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =
5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为
6. 若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=
7. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
，则3z x y =+的最大值为
8. 已知点O 为△ABC 的外心，且||4AC =，||2AB =，则AO BC ⋅=
9. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的
数字，把乙猜的数字记为b ，且,{|09,}a b n n n *∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，称甲乙“心有
灵犀”，则甲乙“心有灵犀”的概率是
10. 在△ABC 中，点D 在边BC 上， 且2DC BD =，::3::1AB AD AC k =，则实数k 的 取值范围是
11. 已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，则关于x 的方程
211sin 2cos488
x x x x -+=的实根为
12. 已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =
二. 选择题
13. 2λ>是圆锥曲线22
152y x λλ
-=+-的焦距与实数λ无关的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 直线y kx m =+与双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的交点个数最多为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15. 若对任意x ∈R ，都有()(1)f x f x <+，那么()f x 在R 上（ ）
A. 一定单调递增
B. 一定没有单调减区间
C. 可能没有单调增区间
D. 一定没有单调增区间
16. 在数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，都有211n n n n
a a k a a +++-=-（其中k 为常数），则称{}n a 为 “等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差
比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为n n a a b c =⋅+（其中0a ≠，1b ≠，
0b ≠）的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
三. 解答题
17. 如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O 距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点0P 处.
（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h （米）关于时刻t （分钟）的函数关系式()h t ；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？
18. 如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.
（1）求圆锥体的体积；
（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小.
（结果用反三角函数表示）
19. 设常数a ∈R ，若函数()()|1|f x a x x =--存在反函数1()f x -.
（1）求证：1a =，并求出反函数1()f x -；
（2）若关于x 的不等式121()()2f x m f mx ---+<对一切[2,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
20. 已知A 、B 是双曲线1C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上 异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22
221x y a b
+=于点Q ，设直线PA 、 PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .
（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2
，求1C 的方程； （2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积； （3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.
21. 定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 有 上界，M 是数列{}n a 的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列{cos(sin
)}2
n π是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在， 请说明理由；
（2）若非负数列{}n a 满足10a =，22111n n n a a a +++-=（n *∈N ），求证：1是非负数列{}n a 的一个上界，且数列{}n a 的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列{}n a 无上界，证明：存在k *∈Ν，当n k >时，恒有
112232019n n
a a a n a a a -++⋅⋅⋅+<-.
参考答案
一. 填空题 1. 1
(0,)3 2. 10 3. 12
4. 14
5. 6. 0或2 7. 11 8. 6 9.
725 10. 57(,)33 11. 0 12. 21n n --
二. 选择题
13. A 14. B 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1） 1.5cos()2h t π
=-；（2）21033t <<，∴时长为83
分钟.
18.（1）12π；（2）arctan
4
.
19.（1）证明略，110()
10x f x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩；（2）1()f x -递减，且对称中心为(0,1)，∴20x mx m +->在[2,3]x ∈恒成立，解得4m >-.
20.（1）2
214
x y -=；（2）4:15PQ y x =，817Q y =，面积为1617；（3）定值为0. 21.（1）存在，1；（2）略，极限1；（3）略.。