1.3集合的基本运算
1.3集合的基本运算教案-高一数学人教A版(2019)必修第一册
第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算【素养目标】1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算) 4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)【学法解读】1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．2．要注意结合实例，运用数轴、V enn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．1.3.1 并集与交集必备知识·探新知基础知识(3)A⊆B (4)B⊆A(5)A＝B说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集.：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A且x∈B．知识点二交集(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝∅)(3)A⊆B，则A∩B＝A(4)B⊆A，则A∩B＝B(5)A＝B，A∩B＝B＝A：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．知识点三并集与交集的性质(1)___A∩A＝A___，A∩∅＝∅.(2)____A∪A＝A____，A∪∅＝A．思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B 呢？提示：(1)(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．(2)A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．基础自测1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(A) A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(D) A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．已知集合M＝{x|－5<x<3}，N＝{x|－4<x<5}，则M∩N＝(A)A．{x|－4<x<3}B．{x|－5<x<－4}C．{x|3<x<5} D．{x|－5<x<5}[解析]M∩N＝{x|－5<x<3}∩{x|－4<x<5}＝{x|－4<x<3}，故选A．4．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝____{1,6}________.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝___3__.[解析]因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.关键能力·攻重难题型探究题型一并集运算例1(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[分析]第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)画出数轴如图所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．[归纳提升]并集运算应注意的问题(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．【对点练习】❶ (1)已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{0,1,2,3,5}，则A ∪B ＝__{0,1,2,3,4,5}__. (2)若集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|－2<x<2}，则A ∪B ＝__{x|x>－2}___. [解析] (1)A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． (2)画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x|x>－2}．题型二 交集运算例2 (1)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x2＝x}则M∩N ＝( B ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1}D ．{0}(2)若集合A ＝{x|－2≤x≤3}，B ＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B 等于( D ) A ．{x|x≤3或x>4} B ．{x|－1<x≤3} C ．{x|3≤x<4}D ．{x|－2≤x<－1}(3)已知A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，则A∩B ＝___{(1,2)}__. [分析] (1)先求出集合N 中的元素再求M 、N 的交集．(2)借助数轴求A ∩B ．(3)集合A和B 的元素是有序实数对(x ，y )，A 、B 的交集即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7的解集．[解析] (1)N ＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N ＝{0,1}，故选B ．(2)将集合A 、B 表示在数轴上，由数轴可得A∩B ＝{x|－2≤x<－1}，故选D ．(3)A ∩B ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}∩{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7＝{(1,2)}． [归纳提升] 求集合A∩B 的方法与步骤 (1)步骤①首先要搞清集合A 、B 的代表元素是什么．②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．【对点练习】❷(1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x －1，x∈A}，则A∩B等于(A)A．{1,3}B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B ＝{1}，则集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故选A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．题型三集合的交集、并集性质的应用例3(1)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为___________.(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．①若A∩B＝B，求a的取值范围；②若A∪B＝B，求a的取值．[分析](1)把M∪N＝M转化为N⊆M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．[解析] (1)由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立．当N ≠∅时，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.缩上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． (2)由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴A ＝{0,2}． ①∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}． 当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，∴a <0；当B ＝{0}时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝0，Δ＝4a ＝0，∴a ＝0；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＋a 2－a ＝0，Δ＝4a ＝0，无解；当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，Δ＝4a >0，a 2－a ＝0，得a ＝1.综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}． ②∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ．∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根， ∴A ＝B ，由①知a ＝1.[归纳提升] 利用交、并集运算求参数的思路(1)涉及A ∩B ＝B 或A ∪B ＝A 的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．【对点练习】❸ 已知集合M ＝{x|2x －4＝0}，集合N ＝{x|x2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M∩N ，M ∪N ； (2)当M∩N ＝M 时，求实数m 的值． [解析] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x|x2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， ∴M∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M∩N ＝M ，∴M ⊆N ，∵M ＝{2}，∴2∈N ，∴2是关于x 的方程x2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.课堂检测·固双基1．设集合A ＝{x ∈N *|－1≤x ≤2}，B ＝{2,3}，则A ∪B ＝( B ) A ．{－1,0,1,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－1,2}D ．{－1,3}[解析] 集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则A ∪B ＝{1,2,3}． 2．已知集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |x <1}，则A ∩B ＝( C ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <3} C ．{x |－3<x <1}D ．{x |－3<x <3}[解析] A ∩B ＝{x |－3<x <3}∩{x |x <1}＝{x |－3<x <1}．故选C ．3．设集合A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( C )A ．{2,4,6}B ．{1,3,6}C ．{1,2,3,4,6}D ．{6}[解析] 图中阴影表示A ∪B ，又因为A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，所以A ∪B ＝{1,2,3,4,6}，故选C ．4．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是__a ≤1__. [解析] 利用数轴画图解题．要使A ∪B ＝R ，则a ≤1.5．已知集合A ＝{x |m －2<x <m ＋1}，B ＝{x |1<x <5}． (1)若m ＝1，求A ∪B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由m ＝1，得A ＝{x |－1<x <2}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <5}．(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．显然A ≠∅.故有⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥1，m ＋1≤5，解得3≤m ≤4.∴实数m 的取值范围为[3,4]．素养作业·提技能A 组·素养自测一、选择题1．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A ∩B ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{0}D ．{－2}[解析] 因为B ＝{－1,2}，所以A ∩B ＝{2}．2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5，或x >4}，则M ∪N ＝( A ) A ．{x |x <－5，或x >－3} B ．{x |－5<x <4} C ．{x |－3<x <4}D ．{x |x <－3，或x >5}[解析] 在数轴上分别表示集合M 和N ，如图所示，则M ∪N ＝{x |x <－5，或x >－3}．3．已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则M ∩N 等于( D ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}[解析] ∵M ，N 均为点集，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴M ∩N ＝{(3，－1)}．4．若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( A )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}[解析] A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，由题意可知，阴影部分为A ∩B ，A ∩B ＝{2}．5．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( D ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}[解析] A ∩B ＝{1,2}，(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}，故选D ．6．(2019·武汉市高一调研)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( D )A ．{a |－1<a ≤2}B ．{a |a >2}C ．{a |a ≥－1}D ．{a |a >－1}[解析] 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1. 二、填空题7．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，C ＝{6,8}，则(C ∪A )∩B ＝__{2,6,8}__. [解析] ∵A ∪C ＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}， ∴(C ∪A )∩B ＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．8．若集合A ＝{x |3ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，且A ∪B ＝B ，则a 的值是__0，13，112__. [解析] 由题意知，B ＝{1,4}，A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ．当a ＝0时，A ＝∅，符合题意；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13a ，∴13a ＝1或13a ＝4， ∴a ＝13或a ＝112.综上，a ＝0，13，112.9．已知集合A ＝{x |x <1，或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝__－4__.[解析] 如图所示，可知a ＝1，b ＝6,2a －b ＝－4.三、解答题10．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B ．[解析] 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}．解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示．则A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}．11．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a 的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．综上可知a＝－1.B组·素养提升一、选择题1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(D)A．{x|2≤x≤3} B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}[解析]∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，∴S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D．2．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(D)A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}[解析]因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，所以A∪B＝{1,2,5}，故选D．3．(多选题)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，则集合B可能为(AD) A．{1,2,5} B．{2,3,5}C．{0,1,5} D．{1,2,3,4,5}[解析]集合A＝{2,3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，则B中必有元素1和5，且有元素2,3,4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合．B、C错误，故选AD．4．(多选题)已知集合A ＝{2,4，x 2}，B ＝{2，x }，A ∪B ＝A ，则x 的值可以为( ABC )A ．4B ．0C ．1D ．2 [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∴x ∈A ，∴x ＝4或x 2＝x ，由x 2＝x 解得x ＝0或1，当x ＝0时，A ＝{2,4,0}，B ＝{2,0}，满足题意．当x ＝1时，A ＝{2,4,1}，B ＝{2,1}，满足题意．当x ＝4时，A ＝{2,4,16}，B ＝{2,4}，满足题意．故选ABC ．二、填空题5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤a ，a >0}，B ＝{0,1,2,3}，若A ∩B 有3个真子集，则a 的取值范围是__1≤a <2__.[解析] ∵A ∩B 有3个真子集，∴A ∩B 中有2个元素，又∵A ＝{x |0≤x ≤a ，a >0}， ∴1≤a <2.6．设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R }，若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为__t ≤2__.[解析] 当2t ＋1≤2－t 即t ≤13时，N ＝∅.满足M ∩N ＝N ； 当2t ＋1＞2－t 即t ＞13时，若M ∩N ＝N 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－t ≥－22t ＋1≤5，解得t ≤2.∴13＜t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是t ≤2.7．(2019·枣庄市第八中学考试)设集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值集合为__{a |a ≤9}__.[解析] 由A ⊆(A ∩B )，得A ⊆B ，则(1)当A ＝∅时，2a ＋1>3a －5，解得a <6.(2)当A ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，3a －5≤22，解得6≤a ≤9.综合(1)(2)可知，使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值集合为{a |a ≤9}．三、解答题8．已知集合M ＝{x |2x ＋6＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}．(1)当m ＝－4时，求M ∩N ，M ∪N ；(2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解析](1)M＝{－3}．当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}，则M∩N＝{－3}∩{－1,4}＝∅，M∪N＝{－3}∪{－1,4}＝{－3，－1,4}．(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.由于M＝{－3}，则－3∈N，∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18.9．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？[解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。
1.3集合的基本运算(全集与补集)教学设计
课题：1.3集合的基本运算（全集与补集）授课人：高一年级数学学科组教学内容分析教学目标描述1．知识与技能（1）在具体情境中，了解全集的含义．（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．（3）体会图形对理解抽象概念的作用.2．过程与方法通过示例认识全集与补集，加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力.3．情感、态度与价值观通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点.教学内容分析本节是新人教A版高中数学必修第一册第1章第1节第3部分的内容。
在此之前,学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系,同时已学习了并集、交集，这为学习本节内容打下了基础。
本节内容主要介绍集合的基本运算一全集与补集。
在此,通过适当的问题情境,使学生感受、认识并掌握补集的运算。
本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用。
值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.学科核心素养分析（考点）结合课程标准说明本节课可落实哪个或哪些学科核心素养（考点）1. 数学抽象：对全集概念、补集概念的理解；2. 逻辑推理：补集的理解；3. 数学运算：补集及集合的综合运算；4.直观想象：用Venn图、数轴表示集合的关系及运算。
体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想；5.数学建模:通过观察身边的实例，发现集合间的基本运算，体验其现实意义。
教学重点全集、补集概念的理解。
教学难点有关补集的综合运算。
学生学情分析初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，高一新生在小学和初中已接触过一些具体的集合，如自然数的集合，有理数的集合，一元一次不等式的解的集合。
也学习了实数的加减运算。
学生具有一定以经验型为主导的抽象思维水平，具备了一些观察、分析和经验解题的能力，但在数学的自主学习意识与独立解决问题能力、归纳概括和类比的能力有待加强。
1.3集合的基本运算(2课时)(教学课件)高一数学教学一课到位(人教A版2019)(14)
02 小组合作、讨论交流
典型例题2
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别 交7}, 集合B ={0,2,3,4,6}, 求A∪B．
例5 设集合A={x|-1<x≤2}, 集合B={x|0<x≤3}，求A∪B.
02 展示成果2
例4 设集合A ={1,3,5,7}, 集合B ={0,2,3,4,6}, 求A∪B．
提示 解：A∪B={1,3,5,7}∪{0,2,3,4,6}
={0,1,2,3,4,5,6,7}．
02 成果展示2
求集合的并集时,相同的元素不能重复 出现（即集合的元素具有互异性）. 例如,例4 中集合A 和集合B中都有元素3,但是在A∪B 中元素3只出现一次．
02 成果展示2
例5 设集合A={x|-1<x≤2}, 集合B={x|0<x≤3}， 求A∪B. 提示 解：将这两个集合在数轴上表示出来，图中阴影部
02 探究新知3——并集的概念及其运算
两个集合的并集可以用Venn图中的阴影部分表示为
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}.
02 探究新知3——并集的概念及其运算
各位同学，请大家分别说出下列Venn图中表示的并 集分别等于什么？
02 探究新知3——并集的概念及其运算
各位同学，请大家分别说出下列Venn图中表示的交 集分别等于什么？
Z
A=｛ 1,2 ｝,B=｛ 1，2, 3 ｝ 4.试给出集合A与集合B, 使A∪B= B. 则A∪B=B
03 情景导入
某班第一小组8位学生的登记表：
设8名学生组成集合为 U={1,2,3,4,5,6,7,8}.那么, 集 合U分别与由共青团员组成 的集合P={1,3,5,7,8}、由不 是共青团员的学生组成的 集合E={2,4,6}， 它们之间有什么关系？
1.3集合的基本运算
对学生练习的组织和引导.
阅读教材第12页关于补集的内容，自学全集和补集的概念.
注意理解“在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果”这句话.
让学生举全集和补集的例子.
全集；
补集：记作 A，即 A= .
让学生自主利用Venn图进一步探究，领会集合的补集运算.
例6设U= ，A= ，B= ，求 A， B.
例7设U= ，A= ，B= ，求A B， (A B).
练习：教材第13页练习.
对学生练习的组织和引导.
再次举例，让学生进一步理解集合的并集运算，并复习集合中元素的三个特性.
在理解了集合的并集运算的基础上，从两种不同的集合表示方法对并集运算进行练习.
例1的设置主要让学生体会集合语言和图形语言在解决问题中的不同作用，培养学生发现问题、解决问题的能力.例2的设置主要让学生学会利用已学的工具解决现有问题，学会利用数轴直观的解决集合并集运算问题.
教学目标
1.理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.理解在给定集合中一个集合的补集的含义，会求给定子集的补集.
2.体验通过实例分析和阅读自主探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学、阅读能力和自主探究能力.
3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
4.通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，让学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，学习用数学的思维方式去认识世界、解决问题的能力，同时培养学生的语义转换能力.
(1)A= ，B= ，C=
(2)A= B= 高一年级同
C= 高一年级女同 .
小组讨论交流后，总结交集的定义.
交集定义；记作A B（读作“A交B”），即A B= .
1.3 集合的基本运算(精讲)(解析版)
1.3 集合的基本运算（精讲）考点一交集【例1】（1）（2020·上海高一开学考试）设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B 等于（ ）A ．{}5,8B ．{}3,,6C ．{}4,7D ．{}3,5,6,8（2）（2020·安徽省庐江金牛中学）已知集合{}|12M x x =-<<，{}|13N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(]1,3-B ．(]1,2-C ．[)1,2D ．(]2,3 【答案】（1）A （2）C【解析】（1）集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.（2）集合{}|12M x x =-<<，{}|13N x x =≤≤∴{}[)|121,2M N x x ⋂=≤<=.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.2（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．（2020·湖南怀化高二期末）设集合{}2|340A x Z x x =∈--≤，{}|21B x x =-<，则AB =（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．[1,2)-C ．{1,0,1}-D ．[1,2]-【答案】A【解析】由题意得，{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，{}{}|21|3B x x x x =-<=<，则{}{}{}1,0,1,2,3,4|31,0,1,2A B x x =-<=-，故选：A ．考法二 并集【例2】（2020·甘肃城关.兰大附中高三月考（理））若集合{}22A x x =-<≤，{}13B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[)2,3-B ．(]1,2-C ．(]2,2-D ．()2,3-【答案】D【解析】因为{}22A x x =-<≤，{}13B x x =-≤<，所以AB =()2,3-.故选：D .【一隅三反】1．（2020·贵州南明贵阳一中高三其他（理））已知集合{22}A x x =-<<∣，若A B A ⋃=，则B 可能是（ ）A ．{}1,1-B ．{}2,3C ．[)1,3-D ．[]2,1--【答案】A【解析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，四个选项中只有{}1,1-是集合A 的子集. 故选：A2（2020·上海高一课时练习）满足条件{}{}1,31,3,5A ⋃=的所有集合A 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】因为{}{}1,31,3,5A ⋃=，所以，集合A 可能为{}{}{}{}5,1,5,5,3,1,3,5， 即所有集合A 的个数是4，故选D.3．（2019·浙江高一期中）已知集合2{|1}P x x ==， 2{|0}Q x x x =-=，那么PQ =( )A ．{1,1}-B ．{1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1}【答案】C【解析】因为2{|1}{1,1}===-P x x ，2{|0}{0,1}=-==Q x x x ， 所以{}1,0,1P Q ⋃=-，故选：C考法三 补集与全集【例3】（2020·上海高一课时练习）已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a -5|,9}, ∁U A={5,7},则a 的值是( ) A ．2 B ．8C ．-2或8D ．2或8【答案】D【解析】由由已知得5382a a -=⇒=或；故选D【一隅三反】1．（2020·全国高一）设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____. 【答案】-3【解析】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.2．（2020·全国高一专题练习）已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________ 【答案】2【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()()()()22222233(1)323|1|23(2)|1|3232(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ⎧+=+=+-⎪+=+-⎧⎪⎪⎨+=⎪⎨+-≠⎪⎪+-≠⎪⎪+-≠+-≠⎩⎩或 分两种情况进行讨论：在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．答案为：23．（2019·上海虹口.上外附中高一期中）设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________. 【解析】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3a a a +-=.故232,3a a aa ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即 ()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =考法四 集合运算综合运用【例4】（2020·全国高一课时练习）已知集合{}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，，则集合 {}|1x x ≥＝（ ） A ．M N ⋂ B ．M N ⋃C ．()RM N ⋂D ．()RM N ⋃【答案】D 【解析】3x +<，解之得，31x -<<，则(,1)M N ⋃=-∞.故选：D. 【一隅三反】1．（2019·浙江高三月考）已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A ．[1,0)(2,3]-B ．(2,3]C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(1,0)(2,3)-【答案】A【解析】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <，所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A .2．（2020·浙江高三月考）已知全集{}1,0,1,2,3,4U =-，集合{}|1,=≤∈A x x x N ，{}1,3B =，则()UB A =（ ）A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4-D ．{}1,0,2,4-【答案】C【解析】因为{}|1,=≤∈A x x x N ，{}1,3B =，所以{}0,1,3A B =，则(){}1,2,4UA B =-. 故选：C.3．（2019·浙江高三月考）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,1,3,5A =，{}2,3,6B =，则()UA B ⋃=（ ） A ．{}3 B ．{}0,1,3,4 C ．{}0,1,3,4,5 D ．{}0,1,2,3,5,6【答案】C 【解析】全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,6B =，则{}0,1,4,5UB =，又集合{}0,1,3,5A =，因此，(){}0,1,3,4,5UA B =.故选：C.考法五 求参数【例5】2．（2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二月考（理））已知集合{}2|3210A x x x =--≤，{}|23B x a x a =<<+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．101,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．()1,2,6⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,2,6⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】{}21|321013A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当B =∅时，32a a +≤，解得3a ≥，符合题意；当B ≠∅时，2123a a a ≥⎧⎨<+⎩ 或13323a a a ⎧+≤-⎪⎨⎪<+⎩，解得132a ≤<或103a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：B【一隅三反】1．（2020·安徽金安六安一中高一期末（理））若不等式组2142x a x a ⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．()3,1-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A【解析】由题意2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∴2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．故选：A ．2（2020·湖北高一期末）设全集U =R ，已知集合{3A x x =<或}9x ≥，集合{}B x x a =≥.若()U C A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤【答案】C【解析】∵{3A x x =<或}9x ≥，∴{}9|3U C A x x =≤<，若()U C A B ≠∅，则9a <，故选：C ．3．（2020·浙江高一课时练习）设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222150B x x a x a =+++-=．（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围； （3）若全集U =R ，()UAB A =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1-或3-（2）{}3a a ≤-（3）{1,3,11a a a a a ≠-≠-≠-≠-- 【解析】（1）由2320x x -+=得{}1,2A =，因为{}2A B ⋂=，所以2B ∈， 所以()244150a a +++-=，整理得2430a a ++=，解得1a =-或3-．当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B ⋂=；当3a =-时，{}{}24402B x xx =-+==，满足{}2A B ⋂=；故a 的值为1-或3-．（2）由题意，知{}1,2A =． 由A B A ⋃=，得B A ⊆．当集合B =∅时，关于x 的方程()222150x a x a +++-=没有实数根，所以()()2241450a a ∆=+--<，即30a +<，解得3a <-．当集合B ≠∅时，若集合B 中只有一个元素，则()()2241450a a ∆=+--=，整理得30a +=，解得3a =-，此时{}{}24402B x x x =-+==，符合题意；若集合B 中有两个元素，则{}1,2B =，所以22220430a a a a ⎧+-=⎨++=⎩，无解．综上，可知实数a 的取值范围为{}3a a ≤-． （3）由()UAB A =，可知A B =∅，所以()()221215044150a a a a ⎧+++-≠⎪⎨+++-≠⎪⎩，所以1113a a a a ⎧≠-≠-⎪⎨≠-≠-⎪⎩且 综上，实数a的取值范围为{1,3,11a a a a a ≠-≠-≠-≠-．故得解.。
《1.3 集合的基本运算》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
1.3集合的基本运算教学设计集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容. 在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础. 本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用. 本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点.课程目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.数学学科素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；2全集与补集的定义.难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、问题导入：实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本10-13页，思考并完成以下问题1. 两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？2.怎样用Venn图表示集合的并集和交集？3.全集与补集的含义是什么？如何用Venn图表示给定集合的补集？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一）知识整理1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B（读作：“A并B”）即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示2 交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作：A∩B（读作：“A交B”）即： A∩B={x|∈A，且x∈B}Venn图表示3．全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
新课标必修一示范教案(1.3 集合的基本运算第1课时)
1.1.3 集合的基本运算整体设计三维目标1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.重点难点教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.思路3.(1)①如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？图1-1-3-1②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.推进新课新知探究提出问题①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.④试用Venn图表示A∪B=C.⑤请给出集合的并集定义.⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.讨论结果：①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.③C={x|x∈A,或x∈B}.④如图1131所示.⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1131所示.⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.其含义用符号表示为:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.用Venn图表示,如图1132所示.图1-1-3-2应用示例思路11.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.图1-1-3-3活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.变式训练1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.答案：{-1,1,2,3,5,6,7} ∅2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.-,0.因m=1不合题意,故舍去.分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,2,2-,0答案：-1,2,23.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为( )A.2B.5C.7D.9分析:∵A∪B={0,2},∴A⊆{0,2}.则A=∅或A={0}或A={2}或A={0,2}.当A=∅时,B={0,2};当A={0}时,则集合B={2}或{0,2};当A={2}时,则集合B={0}或{0,2};当A={0,2}时,则集合B=∅或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.答案：D4.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.8分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3∉A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A={1,2}的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.答案：C2.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B,A∩B.活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将A、B分别表示出来,则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集.解：将A={x|-1<x<2}及B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图1134所示的阴影部分即为所求.图1-1-3-4由图得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3},A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.点评：本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,运算时常利用数轴来计算结果.变式训练1.设A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求A∪B,A∩B.答案：A∪B=R,A∩B={x|2<x<3}.2.设A={x|2x-4=2},B={x|2x-4=0},求A∪B,A∩B.答案：A∪B={3,2},A∩B=∅.3.2007惠州高三第一次调研考试,文1设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )A.［0,2］B.［1,2］C.［0,4］D.［1,4］分析:在同一条数轴上表示出集合A、B,如图1135所示.由图得A∩B=［0,2］.图1-1-3-5答案：A课本P11例6、例7.思路21.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?活动：学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图1136所示,所以A∩B={x|0<x<5}, B∪C={x|x>0},A∩B∩C=∅.图1-1-3-6点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.变式训练1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.解：对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,即对任意m∈A有m∈B,所以A⊆B.而10∈B但10∉A,即A B,那么A∩B=A,A∪B=B.2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.3.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.解：因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,a=10或a=±3,当a=10时,a-5=5,1-a=-9;当a=3时,a-1=2不合题意.当a=-3时,a-1=-4不合题意.故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.4.2006北京高考,文1设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3<x<2},则A∩B等于( )A.{x|-3<x<1}B.{x|1<x<2}C.{x|x>-3}D.{x|x<1}分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},观察或由数轴得A∩B={x|-3<x<1}.答案：A2.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.活动：明确集合A、B中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A、B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合,可以发现,B⊆A,通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集,通过画Venn图发现集合A、B的关系,从数轴上分析求得a的值.解：由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B⊆A.∴B=∅或B≠∅.当B=∅时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,则Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1.当B≠∅时,若集合B 仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,解得a=-1,此时,B={x|x 2=0}={0}⊆A,即a=-1符合题意.若集合B 含有两个元素,则这两个元素是-4,0,即关于x 的方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的解是-4,0.则有⎩⎨⎧=⨯+=+ 1.-a 04-1),-2(a 04-2 解得a=1,则a=1符合题意.综上所得,a=1或a≤-1.变式训练1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a -5},B={x|3≤x≤22},则能使A ⊆(A∩B)成立的所有a 值的集合是什么？解：由题意知A ⊆(A∩B),即A ⊆B,A 非空,利用数轴得⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≤+.2253,312,5312a a a a 解得6≤a≤9,即所有a 值的集合是{a|6≤a≤9}.2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m -1},且A ∪B=A,试求实数m 的取值范围. 分析:由A ∪B=A 得B ⊆A,则有B=∅或B≠∅,因此对集合B 分类讨论.解：∵A ∪B=A,∴B ⊆A.又∵A={x|-2≤x≤5}≠∅,∴B=∅,或B≠∅.当B=∅时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠∅时,观察图1-1-3-7:图1-1-3-7由数轴可得⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤+.512,12,121m m m m 解得-2≤m≤3.综上所述,实数m 的取值范围是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.知能训练课本P 11练习1、2、3.【补充练习】1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},(1)求A∩B,A ∪B.(2)用适当的符号(⊇、⊆)填空:A∩B ________A,B________A∩B,A ∪B________A,A ∪B________B,A∩B ________A ∪B. 解：(1)因A 、B 的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,故A∪B={3,4,5,6,7,8}.(2)由文氏图可知A∩B⊆A,B⊇A∩B,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∩B⊆A∪B.2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分. 所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=∅.4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.解：在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.解：∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2), (2,1)}.7.2006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A=∅分析:思路一:∵(B∩C)⊆B,(B∩C)⊆C,A∪B=B∩C,∴A∪B⊆B,A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,而此时A=C,排除C.答案：A拓展提升观察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;(2)当A=∅时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.由(1)(2)(3)你发现了什么结论？活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足A⊆B,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现A∩B,A∪B与集合A,B的关系.图1-1-3-8解：A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:A∪B=B∪A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);A∪A=A,A∪∅=A,A⊆B⇔A∪B=B;A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩∅=∅;A⊆B⇔A∩B=A.课堂小结本节主要学习了:1.集合的交集和并集.2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.作业1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.设计感想由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.(设计者：尚大志)。
集合的基本运算
1.3集合的基本运算知识点一、交集与并集注：（1）并集中的“或”字与生活中的“或”字含义有所不同.（2）并集中的公共元素只能出现一次；交集中的公共元素必须是全部的公共元素；知识点二、全集与补集（1）全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.知识点三、德•摩根定律知识点四、集合中元素的个数我们用card 来表示有限集合A 中元素的个数，记作card (A).例如，A=｛a ，b ，c ｝，则card(A)=3.一般地，对任意两个有限集合A ，B ，C ，有：（1）card (A ⋃B)=card (A)+card (B)-card (A ⋂B).（2）card (A ⋃B ⋃C)=card (A)+card (B)+card (C)-card (A ⋂B)-card (A ⋂C)-card (B ⋂C)+ card (A ⋂B ⋂C).例题讲解一、交集、并集、补集的基本运算1、已知集合{}3,2,1=A ，{}A x x y y B ∈-==,12|，则=⋃B A （ ） A.{}321，， B.{}3211，，，- C.{}5321，，， D.{}5321，，，-2、已知集合{}21|<<-=x x A ，{}1|>=x x B ，则=⋃B A （ ）A.{}21|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}1|->x xD.{}1|>x x3、已知集合{}6101，，，-=A ，{}R x x x B ∈>=，0|则=⋂B A .4、已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}2,1=A ，集合{}3,2=B ，则()B A C U ⋃=（ ） A.{}431，， B.{}43， C.{}3 D.{}45、(1)已知全集U ，集合A=｛1，3，5，7｝，C U A=｛2，4，6｝，C U B=｛1，4，6｝，则集合B= .(2)已知A ，B 均为集合U=｛1，3，5，7，9｝的子集，且A ⋂B=｛3｝，(C U B)⋂A=｛9｝，则A=（ ）A.｛1，3｝B.｛3，7，9｝C.｛3 ，5，9｝D.｛3，9｝6、设全集U=｛0，1，2，3，4｝，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4},则(C U A)⋃(C U B)= （ ）A. ｛0｝B.｛0，1｝C.｛0，1，4｝D.｛0，1，2,3，4｝二、利用集合的运算性质求参数的值或范围1、设集合A=｛x |x 2-2x =0｝，B=｛x |x 2-2a x +a 2-a =0｝.(1)若A ⋂B=B ，求实数a 的取值范围；(2)若A ⋃B=B ，求实数a 的值.2、设集合{}1,0,1-=M ，{}2,a a N =，若N N M =⋂,则实数a 的值是（ ）A.-1B.0C.1D.1或-13、已知集合T 是由关于x 的方程x 2+p x +q=0(p 2-4q ＞0)的解组成的集合，A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛1，4，7，10｝，且T ⋂A=⍉，T ⋂B=T ，试求实数p 和q 的值.4、已知集合A=｛x |2a ≤x ≤a +3｝，B=｛x |x ＜-1或x ＞5｝，若A ⋂B=⍉，求实数a 的取值范围.三、补集思想1、已知集合A=｛y l y >a 2+1或y <a ｝，B=｛y |2≤y ≤4｝，若A ⋂B ≠⍉，则实数a 的取值范围为（ ）A.｛a l a ≥2｝B.｛a l-3＜a ＜3｝C.｛a l a >2或-3＜a ＜3｝D.｛a l a ≥2或-3≤a ≤3｝2、已知集合{}R x m mx x x A ∈=++-=,0624|2，{}R x x x B ∈<=,0|，若=⋂B A ⍉，求实数m 的取值范围.四、易错题型1、设M 和P 是两个非空集合，规定M-P=｛x l x ∈M ，且x ∉P ｝，根据这一规定，计算M-(M-P)等于( ).A.MB.PC.M ⋃PD.M ⋂P2、设全集S=｛2，3，a 2+2a -3｝，A=｛|2a -1|，2｝，C S A=｛5｝，求实数a 的值.基础巩固1、已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}2、已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}3、已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}4、已知集合{}35A x x =-≤≤，{}141B x a x a =+≤≤+ A B B =，B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．01a ≤≤C ．0a ≤D ．41a -≤≤5、设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则A ∩B ＝ ．6、已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为________．7、已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}8、已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）．A ． {|02}x x x ≤≥或B ． {|02}x x x <>或C ． {|2}x x ≥D ． {|2}x x > 9、设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}10、已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝() A ．{1,3} B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}11、已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，则p = ；q = ．12、设全集{}22,4,1U a a =-+，{}22,2A a a =--，且{}7U C A =，求实数a 的值．能力提升13、(1)设A ＝{4,5,6,8}，B ＝{3,5,7,8}，求A ∪B ．(2)设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ．(3)设集合A ＝{1,2}，求满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B ．14、(1)已知集合{}4,5,6,8A =，{}3,5,7,8B =，{}1,3C =，求()A B C ．(2)已知集合A ＝{x |－5≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤－2或x >3}，则A ∩B ＝________．(3)设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，求A B ．15、已知A ＝{x |x 2－a x ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋8＝2}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，若()A B ∅⊂，且A C =∅，求a 的值．16、已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}20B x mx =+=，A B A =，求m 的取值范围．17、已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}022=+-=mx x x B ，B B A = ，求m 的取值范围．18、已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．19、求下列集合的补集（1）设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，求∁U A ，∁U B ．（2）设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，求∁U M ，∁U N ．20、已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3<x ≤3}． 求A B ，A B ，U C A 、U C B ，()U C A B ，()U C A B ．21、试用集合,A B 的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合．Ⅰ部分:______ ____Ⅱ部分:______ ____Ⅲ部分:____ ______Ⅳ部分:________ __或_________________．22、设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m ．23、设全集{}010,*U x x x N =<<∈，若{}3A B =，{}1,5,7U A C B =，()()U U C A C B ={}9，求A 、B ．24、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A B=∅，求实数m的取值范围．。
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A
B
A∪B
例1 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
注：求两个集合的并集时，它们的公共元素在 并集中只能出现一次.如：5,8.
例2 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}, 求A∪B. 解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}
3个解，解集是{1，3，- 3} 在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为 此，需要确定研究对象的范围.
知识要 三.全集与补集 点
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 通常也把给定的集合作为全集.
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集 合A的补集.
A∩B
-1 0
1
例4 设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三
角形},求A∩B.
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}．
例5
设平面内直线l1上的点的集合为L1
,
直线l
上点
2
的集合为L2 ,试用集合的运算表示l1, l2的位置关系.
巩固练习二
={x|-1<x<3} 在数轴上表示并集
A
B
-1 0 1 2 3
A∪B
巩固练习一
1. A = -1, 0, 2, B = 0, 2, 4, 6， 求AUB？
2．A = {x | -2 < x 2}, B = {x | 0 x 4}, 求AUB?
问题二
下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间 的关系吗? (1)A={2,4,6,8,10},B={2,3,5,8,9,12},C={2,8}; (2) A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|4<x<6}；
1.3 集合的基本运算
A
A B
B
A B
新课导入
想一想
实数有加法运算，那么 集合是否也有“加法”呢？
问题一
下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B 之间的关系吗？
（1）A={a，b}，B={c，d },C={a，b，c，d}; （2）A={x∣x是有理数}，B={x ∣x是无理数}，
C={x ∣x是实数}； （3）A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<8}；
四、集合运算性质：
(5)A B A A B;
(6)若A B A,则A B; 若A B A,则A B;
(7) ( A B) ( A) ( B); ( A B) ( A) ( B).
课堂小结
并运算
A∪B = x x A，或 x B
集合运算
交运算
A∩B = x x A，且xB
四、集合运算性质：
(1) A A A, A , A A A, A A;
(2)A B B A, A B B A, A B A B;
(3)A B A, A B B, A B A, A B B;
(4)A A U , A A , A U , ( A) A;
集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所 有元素组成.
知识要 点
二.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交
B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
用Venn图表示：
A
A∩B
B
例3 设A={x|x>-1},B={x|x<1}，求A∩B. 解：A∩B={x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-1<x<1}．
43.. 设A = x 1 x 2 , B = x 0 x 3 ，
求A B.
54..若A = (x, y) x + y = 1 , B = (x, y) x - y = 6,
求A B.
问题三
方程 (x - 1)(x2 - 3) = 0 的解集，在有理数范围内有几 个解？分别是什么？ 1个 ，{1} 在实数范围A= {x | x U, 且x A}
补集可用Venn图表示为:
U A
CUA
例6 设U = R, A = x 1 x 2 ，求CUUAA.
例7 设U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}， B={3，4，5，6},求∁UA, ∁UB.
例8 设全集U=R, M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜1}， 则∁U M，∁U N.
补运算
U A = x x U，且x A
注：进行以不等式描述的集合间的并、交、补 运算时，一定要画数轴帮助分析.
集合运算的性质
课后作业
作业：(1)课后练习; (2)习题1.3.
请观察A，B，C这些集合之间是什么关系？
x是有a,b理数
x是c无,d理数
xa是,b实,c,d数
集合A
集合B
A
B
集合C
-2
2 4 6 8 10
C 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
知识要 点
一.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合,称为集合A与B的并集,
记作A∪B (读作“A并B”),