信号与系统习题解答 (1)

第一章作业参考答案： 1.18求下列积分值： （a ）解：26242)2()2(2)()0()2()(2)()()]2(2)([)()]2(2)()[23(44444444442=+=-+=-+=-+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰-----dtt x dt t x dtt t x dt t t x dtt t t x dt t t t t δδδδδδδδ(b) 解：6510)2()2()()0()5()5()2()()()()5()()]2()()5([)()]2()()5()[1(4444444444442=++=-+++-=-+++=-+++=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰------dtt x dt t x dt t x dtt t x dt t t x dt t t x dtt t t t x dt t t t t δδδδδδδδδδδδ（C ）解：1)2()cos 1()2()cos 1(2=--=--⎰⎰--ππππππδπδdt t dt t t（d ）解：42312121231)(cos )23()(cos )2()(cos )2()(cos )23()(cos )1(200222=++++-+-=++-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰-----ππππδπδπδπδπδππππππππdtt x dt t x dt t x dt t x dt t t 1.19解：1.21 判断下列每个信号是否周期的？如果是周期的，是求它的基波周期。

（a ）解：32,/23)cos(2)43cos(200ππωϕωπ===+=+T T t t 基波周期为：是周期信号(b)解：e eeT e e et j T t j Tj T j t j T t j )1()1)(()1()1)((12--±±±--±====ππππππ，时，当 是周期信号，基波周期是 T 0=2(c)解：互质与是有理数，且74,742782)2cos()278cos(==Ω+Ω=+ππππn n 所以原式是周期信号，基波周期N 0=7.(d)解：不是有理数，,812412cos 4cos πππ==ΩΩ=nn所以原式不是周期信号（e ）解：。

有为整数，其中则令][][4/,)4/(4`,`]}41[`]4[{]}41[]4[{][,]}41[]4[{][:n x N n x N N k k k n k n k N n k N n N n x k n k n n x k k k =+-=----=--+--+=+----=∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=δδδδδδ所以原式是周期信号，基波周期N 0=4.（f ）解：，它们的最小公倍数是，则ππωππωπωωϕωϕω22,52,4,10)sin()cos()14sin()110cos(22211212211======+++=--+T T t t t t所以原式的基波周期为 T 0=π(g)解：4,16,8,412,1612,8122,8,4)cos(2)sin()cos(2)2cos(2)8sin()4cos(2321321321321====Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=ΩΩ-Ω+Ω=-+N N N n n n nnn即，πππππππππ它们的最小公倍数为16，故基波周期是N 0=16.(h)解：5,5125/22,7,7227/4211221152421=∴==Ω=∴==Ω-+=-+ΩΩN N e e e e nj n j n j n j ππππππππ它们的最小公倍数为35，故基波周期是N 0=35.1.23一个LTI 系统，当输入x 1(t )=u (t )时，输出为y 1 (t )=e -t u (t)+u (-1-t )求该系统对图P1.23所示输入x (t )的响应，并概略地画出其波形.图P1.23 解：由上图x (t)=u (t-1)-u (t-2)= x 1(t-1)+ x 1(t-2)对于本题的LTI 系统，x 1(t)→y 1(t)= e -t u (t )+u (-1-t )就有：x (t)→y (t)=y 1 (t-1)+ y 1 (t -2)= e -t+1u (t-1)+u (-t )+ e -t+2u (t-2)+u (1-t )=[ u (-t )- u (1-t )]+[ e -t+1u (t-1) + e -t+2u (t-2)]1.25(a)解：线性：)()()()()]()([)()()(21212121t y b t y a dt t x d b dt t x d a t x b t x a dt dt y t x b t x a +=+=+=→+ 时不变性：)()()(ˆ)(000t t y t t x dtdt yt t x -=-=→-(b)解：线性：)()()]2()2([)]2()2([)]2()2([)]2()2([)()()(212121212121t y b t y a t x t x b t x t x a t x b t x a t x b t x a t y t x b t x a +=-+-+-+-=-+-+-+-=→+时变：)2()2()()2()2()(ˆ)(000000t t x t t x t t y t t x t t x t yt t x +-+--=-≠--+--=→-(c)解：线性：)()()()3(cos )()3(cos )]()([3cos )()()(21212121t y b t y a t x b t t x a t t x b t x a t t y t x b t x a +=+=+=→+ 时变：)()](3[cos )()()3(cos )(ˆ)(00000t t x t t t t y t t x t t yt t x --=-≠-=→-(d)解：线性：)()()]()()]()([)()()(21222122121t y b t y a d x b d x a d x b x a t y t x b t x a ttt+=+=+=→+⎰⎰⎰∞-∞-∞-τττττττ 时变：ττττd x t t y duu x d t x t yt t x t t t t t⎰⎰⎰-∞--∞-∞-=-≠=-=→-)(20220000)()()()()(ˆ)((e)解：线性：)()()]3()3([)()()(212121t y b t y a t x b t x a t y t x b t x a +=+=→+时变：)3/3/()3/)(()()3/()(ˆ)(00000t t x t t x t t y t t x t yt t x -=-=-≠-=→-(f)解：线性：● 可分解，)()()(3)0(~)(02t y t y t x t x t y x +=+= ● 零输入线性，)()()()0(~)0(~2121t y b t y a t y x b x a +=→+● 零状态线性， )()()]()([3)()()(2121221t y b t y a t x b t x a t t y t x b t x a x +=+=→+时变：)()(3)0(~)()(3)0(~)(ˆ)(0020020t t x t t x t t y t t x t x t y t t x --+=-≠-+=→-1.26 试判断下列每一个离散时间系统是否是线性系统和是不变系统。

(a)解：线性：()())()(])1[][(])1[2][(]1[]1[2][][][][][212211212121t y b t y a n x n x b n x n x a n x b n x a n x b n x a n y n x b n x a +=-+-+=-+--+=→+时不变性：][]1[2][][ˆ][0000n n y n n x n n x n yn n x -=--+-=→-(b)解：线性：()][][][][][][][][][21212121n y b n y a n nx b n x an n x b n x a n n y n x b n x a +=+=+=→+时变：][)(][][][ˆ][00000n n x n n n n y n n nx n yn n x --=-≠-=→-(c)解：非线性：()()][]2[][]2[)()(][][]2[]2[][][][221121212121n x n bx n x n x a t y b t y a n x b n x a n x b n x a n y n x b n x a -+-=+≠+-+-=→+时不变性：][][]2[][ˆ][0000n n y n n x n n x n yn n x -=---=→-(d)解：线性：()][][][][][][][212121n y b n y a n x b n x a n y n x b n x a +=-+-=→+时变：][][][][ˆ][0000n n x n n y n n x n yn n x +-=-≠--=→-(e) 解：线性：()][][]14[]14[][][][212121n y b n y a n x b n x a n y n x b n x a +=+++=→+时变：]44[)](4[][]4[][ˆ][00000n n x n n x n n y n n x n yn n x -=-=-≠-=→-(f) 解：线性：()()][][1,]1[0,01,][]1[0][1,]1[]1[0,01,][][][][][212211212121n y b n y a n n x b n n n x b n x a n x a n n x b n x a n n n x b n x a n y n x b n x a +=⎪⎩⎪⎨⎧-≤+=≥+⎪⎩⎪⎨⎧+=⎪⎩⎪⎨⎧-≤+++=≥+=→+ 时变：⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+=+≥-=-≠⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+=≥-=→-nn n n x n n n n n n x n n y n n n x n n n n x n y n n x 0000000001,]1[,01,][][1,]1[0,01,][][ˆ][第一章作业参考答案： 1.18求下列积分值： （a ）解：26242)2()2(2)()0()2()(2)()()]2(2)([)()]2(2)()[23(44444444442=+=-+=-+=-+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰-----dtt x dt t x dtt t x dt t t x dt t t t x dt t t t t δδδδδδδδ(b) 解：6510)2()2()()0()5()5()2()()()()5()()]2()()5([)()]2()()5()[1(4444444444442=++=-+++-=-+++=-+++=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰------dtt x dt t x dt t x dtt t x dt t t x dt t t x dtt t t t x dt t t t t δδδδδδδδδδδδ（C ）解：1)2()cos 1()2()cos 1(2=--=--⎰⎰--ππππππδπδdt t dt t t（d ）解：42312121231)(cos )23()(cos )2()(cos )2()(cos )23()(cos )1(200222=++++-+-=++-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰-----ππππδπδπδπδπδππππππππdtt x dt t x dt t x dt t x dt t t 1.19解：1.21 判断下列每个信号是否周期的？如果是周期的，是求它的基波周期。