量子力学试卷

，为诸本征值 本征矢量为单元素的一列矩阵： ，， 6 自旋为的半奇数倍的微观粒子，要求费米子的波函数是交换反对称 的。
二、本题满分14分
设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可
能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。
解：，可能值，几率1；
，可能值 2，几率1； ，可能值-，几率；可能值0，几率
定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明： 七 本题满分10分
求及的本征值和所属的本征函数。 八 本题满分10分
在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均 值。
05级2学分A答案 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的
二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为 ，试利用薛定谔方程确定其势场。
三、本题满分12分
利用厄米多项式的递推关系和求导公式：
，
证明：一维谐振子波函数满足下列关系：
已知一维谐振子的波函数为： 四、本题满分12分
一粒子在一维无限深势阱 波函数。
中运动，求粒子的能级和相应的归一化
五、本题满分12分 已知氢原子的电子波函数为。 求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均
量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本 征函数前展开系数的模方。 4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。 5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状 态。 5 厄米算符具有如下特性： 1）厄米算符的本征值为实数 2）厄米算符在任何态中的平均值均为实 数 3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 4）描写力学量的厄 米算符的本征函数是完全系 6 概率
在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均 值。
07级2学分B
一、问答题（每空5分，共30分）
1 那些实验现象揭示了光的波粒二象性？ 2 写出角动量算符、哈密顿算符、自旋算符的本征值。 3什么是束缚态？什么是定态？ 4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如
何表示？ 5试述电子具有自旋的实验证据。 6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？
8 费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_________
性和_______性。
9不考虑电子的自旋时，氢原子能级的简并度为
。
10 电子具有自旋的实验证据包括
。
11 坐标和动量的对易关系为 ___ ___。
12 测不准关系_______。
13 一维空间两粒子体系的归一化波函数为，x1和x2分别表示两粒子的空
本征能量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为，参数。
07级2学分A
一、问答题（每空5分，共30分）
1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现 象。
2写出量子力学五个基本假设中任意三个。 3表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？ 5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？ 6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个
二、本题满分10分 将已知波函数代入球坐标系的波动方程
可得
所以 故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数
三、本题满分12分
已知 所以 利用 四、本题满分15分
解：无关，是定态问题。其定态SE方程 在各区域的具体形式为 Ⅰ：①
Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得
长。已知普朗克常数，玻耳兹曼常数，质子质量，氦原子的质量近似取 为质子质量的四倍。
三、计算题（本题满分12分）
一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和相应的归一化 波函数。
四、计算题（本题满分12分） 设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可
能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能 量本征值为
4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数 是哪两个算符的共同本征函数？
5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如 何表示？
6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？
二、本题满分14分
设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可 能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。
设体系处于状态（已归一化），求： （1）的测量可能值及平均值；（2）的测量可能值及相应的概率。 五 本题满分9分
氢原子处在基态，求在此态中：(1) r的平均值；(2) 势能 的平均值；(3) 动量的概率分布函数。 已知定积分 。
六 本题满分6分
一个转动惯量为I的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转 子，其能量的经典表示式为，L为角动量。求与此对应的量子体系的定 态能量及波函数。已知角动量平方算符。 七 本题满分8分
3）动量平均值为： 动量平方的平均值为：
七、本题满分8分 解：①不是 ②是，1。 ③是，－1。 ④是，－1。 ⑤是，－ 1。
05级2学分答案B
一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 主量子数n，角动量量子数l，磁量子数m，自旋磁量子数ms 2 德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映
低温比热等
2 当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零 的态叫束缚态。
定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定，， 则体系处于定态。
3 电子具有自旋的实验证据： 1） 斯特恩-盖拉赫实验 2） 光谱精细结构 3） 反常塞曼效应 4 五个基本假定： 1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。 2）力学量用算符表示。 3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测
附：氢原子能量本征值：
06级2学分A
一、填空（每空3分，共45分）
1 一维线性谐振子的能量本征值为
。
2 动量的三个分量的共同本征函数为
。
3自旋角动量算符在空间任意方向上的投影只能取值为 ； = 。
4
。
5 德布罗意关系为
。
6 波函数的标准条件为
。
7 写出量子力学五个基本假设中任意两个_____________。
在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均 值。 八 本题满分8分
算符方程称为算符的本征方程，其中常数称为算符的本征值，函 数称为算符的本征函数。试确定下列函数哪些是算符的本征函数，若 是本征函数，其对应的本征值是什么？
1 ， ② ， ③， ④， ⑤
06级2学分B
一、回答下列问题（每小题4分，共24分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现
氢原子处在基态，求在此态中：(1) r的平均值；(2) 势能 的平均值；(3) 动量的概率分布函数。 已知定积分 。
五 本题满分15分 设氢原子处于求： （1）的测量可能值、相应的概率及平均值；（2）的测量可能
值、相应的概率及平均值；（3）的测量可能值、相应的概率及平均 值。 附：氢原子能量本征值： 六 本题满分8分
05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现
象？
2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于和之间（不对粒子2进行观测）
象？
2 试述电子具有自旋的实验证据。 3 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？
二、计算题（本题满分12分） 氦原子的动能是，k是玻耳兹曼常数，求时，氦原子的德布罗意波
值。
六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态 之中, 其中, A为待求的归一化常数, 求：
(1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。
七、本题满分10分
附：氢原子能量本征值： 定积分：，n为正整数 球坐标系中：
05级2学分B
五、证明题（本题满分14分） 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ， 证明：一维谐振子波函数满足下列关系：
已知一维谐振子的波函数为：
六、证明题（本题满分12分）
定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明：
七、证明题（本题满分14分） 证明：是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的
算符的共同本征函数？
二 本题满分10分 一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和相应的归一化
波函数。 三 本题满分7分 设单粒子定态波函数为 ，试利用薛定谔方程确定其势场。 四 本题满分10分
算符方程称为算符的本征方程，其中常数称为算符的本征值，函 数称为算符的本征函数。试确定下列函数哪些是算符的本征函数，若
间位置，那么，发现粒子1的位置介于和之间（不对粒子2进行观
测）的概率
。
二 本题满分7分 已知角动量的对易关系为。证明：若一个算符与角动量算符的两
个分量和对易，即满足和，则算符必与的第三个分量对易，满足。
三 本题满分8分 厄密算符的本征方程为，试根据厄密算符的定义式，证明厄密算
符的本征值是实数。 四 本题满分9分
一、回答下列问题（每题5分，共30分）
1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适 用于具有内部结构的复合体系？