角的平分线的性质(2)
人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知 条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距 离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工 厂的位置在哪里？
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知 方法点拨
12.3 角的平分线的性质/
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
12.3 角的平分线的性质/ 角的平分线的性质 角的平分线的判定
归
图形
纳
C P
C P
总
课堂检测
12.3 角的平分线的性质/
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组
角的平分线的性质2
A.三角形三条高的交点B.三角形三条内角平分线的交点
C.三角形三条中线的交点D.以上均不对
3.完成课本P50练习2
题组练习二：
4.如图，AD⊥DC，AB⊥BC.若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为( )
A．60°B．45°C．30°D．75°
5. 如图，已知BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
二、设问导读
阅读P49思考--P50完成下列问题：
1.写出角的平分线的性质的逆命题，这个逆命题正确吗？
2.你能证明这个结论吗？
已知：（如图）PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E,
且PD=PE.
求证：
证明：
3.角平分线的判定定理：
应用所具备的条件：（1）位置关系：；（2）数量关系：.
几何语言：∵
∴点P在∠AOB的平分线上.
（1） 小结与网络பைடு நூலகம்
（2）延伸于反思
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等．
（1）若∠A＝40°，则∠BOC的度数为
（2）若∠A＝100°，则∠BOC的度数为
（3）若∠A＝α，则∠BOC的度数为
教·学课题
12.3角的平分线的性质（2）
主备人
课型
新授课
课时安排
总课时数
上课日期
教·学目标
1.理解并掌握角平分线的判定及运用
2.熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题
教·学重难点
灵活应用角平分线的性质和判定解决问题
教·学过程
札记
一、温故互查
如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为
12.3角平分线的性质(2)
N
M O
G D
C
CPΒιβλιοθήκη ∴点P在∠AOB的平分线上
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴OP平分∠AOB．
C
P
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C
P P
C
已知 条件
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
B ∴DH=DG ∵ DH⊥AB,DG⊥AC F E G D C
H
∴AD平分∠BAC
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的 周长为15，求S△ABC A 解：S△ABC =S△AOB +S△AOC+S△BOC
=½（AB+BC+AC)×OD =½×15×3 =22.5 B
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
A
课堂练习
E B
F
D
C
课堂练习
已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2. 求证：AD平分∠BAC 证明：作DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC=90° ∵∠1= ∠2 BD=CD ∴△DBE≌△DCF（AAS） ∴DE＝DF ∴AD平分∠BAC
A E
角平分线的性质(2)最新版
角的平分线的性质(2)
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
例1 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NPFMBE NhomakorabeaC
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。
123.1角平分线的性质(2)
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质(2)
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
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角的平分线的性质（二）教案
教学目标
1 •掌握角的平分线判定定理的的内容。
即：至蛹两边距离相等的点在角的平分线上
2 •会用角的平分线的判定定理解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的判定定理及其应用.
教学难点
灵活应用角平分线的判定定理解决问题.
教学过程
I .复习巩固，弓I入新课
回顾一下角平分线的性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
现在，我们来证明“到角的两边的距离相等的点是在角的平分线上”。
看看是否能证明出来。
前面我们学过，要证明一个几何命题，首先要明确命题中的已知和求证，现在我们一起来看看这个命题的已知和求证。
U.导入新课
证明命题：“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”
［师］这个命题的已知是什么？求证是什么？
［生］已知：一个点到角的两边距离相等，求证：这个点在角的平分线上接下来，我们根据题意，作出图形，用数学符号表示已知和结论。
已知：如图，PD丄OA PE!OB 点D E为垂足，PD= PE 求证：点P在/ AOB的平分线上证明：经过点P作射线OC
••• PDL OA PE丄OB
••• / PDO=Z PEd 90°
在Rt△ PDC和Rt △ PEO中
PO = PO
PD=PE
• Rt △ PDO2 Rt△ PEO( HL)
• / POD=Z POE
•••点P在/ AOB的平分线上
通过上题可以得到角平分线判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
前面我们学习了角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
现在我们学习了角平分线的判定定理：至V角的两边距离相等的点在角的平分线上.
［师］角平分线的性质和判定有什么联系？
总结：角平分线的性质和判定命题的已知条件和所推出的结论可以互换，它们是互逆定理. 新知应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，？离公路与铁路交叉处500m 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
1 .集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个定理来解决这个问题？
2 .比例尺为1：20000是什么意思？
结论：
1 .应该是用角平分线判定定理.？这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，？这就涉及一个单位换算问题了. 1m=100cm所以比例尺为1: 20000，其实就是图中1cm?表示实际距离200m的意思.作图如
下：
第一步：尺规作图法作出/ AOB勺平分线OP
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.
III 例题与练习
例如图，△ ABC勺角平分线BM CN相交于点P
求证：点P到三边AB BC CA的距离相等.
分析：点P到AB BC CA的垂线段PD PE、PF的长就是P点到三边的距离，？也就是说要证：
PD=PE=P.F而BM CN分别是/ B /C的平分线，？根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD丄AB PEIBC PF丄AC,垂足为 D E、F.
••• BM>^ ABC的角平分线，点P在BM上.
••• PD=PE
同理PE=PF
••• PD=PE=P.F
即点P到三边AB BC CA的距离相等.
想一想，点P在/A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等练习：
1.课本P55习题1
2. 3—5
如图，在△ ABC中，D是BC的中点，DE丄AB，DF丄AC，垂
足分别是E，F,且BE = CF。
求证：AD是厶ABC的角平分线
2.课本P55习题12. 3—6.
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地
上修建一个度假村•
要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
IV ．课时小结
这节课，我们学习了角平分线的判定方法：到角的两边距离相等的
点在角的平分线上。
角平分线的性质和判定，它们具有互逆性，随着学
习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相
等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
V.课后作业
课本P51习题12. 3—3题.。