生活中的一个铅笔问题

2 2 12
忽略摩擦力做功和另一个包含 vx 的正数项，有 再考虑对于质心的净力矩和运动方程的竖直分 量，可以进一步得到支持力应满足的不等式
1 (1/ 2) 2 cos 1 3(cos 1) 2 N 1 3sin (sin cos ) [1 3sin (sin cos )](1 3sin 2 )
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下面将证明铅笔尖可能向前或向后滑动，但始 终不会离开桌面。为了数学上的简化，取铅笔 的长度、质量和重力加速度为单位大小，即 l=M=g=1.因此铅笔的重量为1，其质心位置 （CM）为1/2，关于质心的转动惯量为1/12， 关于铅笔一端的转动惯量为1/3。

在第一阶段铅笔尖没有滑动，因此整个铅笔绕其 笔尖转动。由能量守恒可以求得铅笔的角加速度
1 cos (1/12) (1/ 4)sin 2
2
上式中分子总是正值，分母对于 0 90 ，当 4 / 3 时也是正的。可见，在笔尖“向后”滑 （ 0.37）的情况，它也不会离开桌面。如果笔尖在 某个阶段停止滑动，它依然不会离开桌面；因为 2 3(1 cos ) 故 N (3cos 1)2 / 4 0
运动方程的水平分量为 1 1 2 F cos sin 2 2
其中F为摩擦力。把角加速度和角速度 的表达式代入上式，我们得到
3 F sin 3cos 2 4
笔尖滑动的条件是 |F| N 使用函数f 可以重新整理笔尖滑动的条件，f定义为 力F/N比值的绝对值

如果摩擦很大，铅笔将在相当长的一段时间内 不滑动。由于质心作圆周运动，最初其水平速 度在倾倒的方向上逐渐增加；但后来却将开始 逐渐减小，这样一直到铅笔趋于水平，而质心 水平速度趋于零。质心水平加速度的符号，同 样也是摩擦力的符号，在运动的过程中是变化 的。如果在第一阶段铅笔尖是不滑动的，那么 在第二阶段只能是“向前”（即铅笔的倾倒方 向）滑动。

函数。考虑上面关于 2
从以上两个方程可以得到支持力关于
2
1 (1/ 2) cos (3/ 2)[cos (1/ 2)] (5 / 8) N 0 1 3sin (sin cos ) 1 3sin (sin cos )
v笔尖 如果忽略摩擦力做功和两个包含铅笔尖速度 的项（这三项均为正值），可得角速度的一个不 2 等式： 3(1 cos ) 。由关于质心的瞬时力矩可以 1 1 N(sin cos ) 给出 2 12 1 1 2 1 N sin cos 同时竖直方向的运动方程为 2 2 （可见，这个方程与无滑动情形下的方程是一样的， 其原因是铅笔尖只有水平方向的加速度，而质心的 竖直方向加速度分量没有变化。
铅笔问题
——一个生活中的物理


首先来看这样一个问题：
一支铅笔笔尖向下竖直放置在桌面上，然 后释放倾倒。笔尖运动的方向，相对于铅 笔倾倒的方向，与摩擦系数之间的关系如 何?铅笔尖会离开桌面吗（还是只有当铅笔 “肩”与桌面接触时才会离开）？

首先假设桌面非常光滑（摩擦系数很小），铅 笔释放后其质心将在倾倒的方向上加速并获得 竖直和水平方向的速度。加速度的水平分量只 能由笔尖和桌面之间的摩擦力来提供，但由于 桌面是光滑的，所以笔尖很快会像铅笔倾倒的 “反方向”滑动。
F 3sin 3cos -2 f | || 2 N 3cos -1
时将发生“向后”滑动。利用数值方法 可以求出在此区域f有一个最大值，此时 35 而临界摩擦系数为 crit 0.37 。可见，如果 crit 铅笔将向后滑动。 如果 crit ，在铅笔倾倒角度达到 70.5 （此 时f趋于无穷大）前，铅笔尖将“向前”滑动。（ 意这种情况下铅笔在 35 51 范围内不能开始 滑动。）在铅笔尖“向前”和“向后”滑动的两种 下均可在次停止下来。
2 摩擦力在 arccos 48 时改变符号，意味着在 3 0 48

最后，将会分析得出铅笔尖不会脱离桌面。首先考虑向 前滑动的情况，根据功能原理和三角函数关系有
2 1 1 1 2 1 1 2 1-cos Wfr v 笔尖 2v笔尖 cos 2 2 12 2 2 2
和 的 的不等式，有 2

2
因此支持力总是正的，铅笔尖将一直不脱离桌面。 对于“向后”滑动的情况，其方法是类似的。设 质心水平和竖直方向的速度 vx 和 v y 。由于铅笔 尖竖直速度为零，可以得到 v y 和 之间的一个 1 v 函数关系 y sin 0 2 再一次使用功能原理有 1 1 1 2 2 2 1 cos W fr vx vy
2
因而运动方程的竖直分量为
1 1 2 1 N sin cos 2 2
3cos 1 N 2
2
由此得出
从上式可鉴，需要的支持力永远不会为 负，因此铅笔尖在转动过程中永远不会 70.5 时，支持力 离开桌面。当 arccos 1 3 为零;此时摩擦力也将为零，如果在这 之前未曾滑动，铅笔尖将发生滑动。
1 1 1 2 (1 cos ) 为铅笔与竖直方向夹角 2 2 3
1 瞬时力矩 sin 2
产生的角加速度为
即
3 sin 2
1 1 sin , 2 3
在竖直方向上，作用于铅笔上的有两个 力：重力和桌面的支持力N。质心向心 1 加速度的竖直分量为 cos ，切向加 2 1 速度的竖直分量为 2 sin