广西省钦州市2021届新高考数学一模试卷含解析
广西钦州市崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)答案
３钦 州 市 、 崇 左 市 ２０２１ 届 高 三 第 一 次 教 学 质 量 监 测理 科 数 学 参 考 答 案一 、 （６０ 分 ）１ ．Ｄ （ 犃 ＝ ｛狓 狘 狓 （狓 － １ ） ＞ ０ ｝， 解 得 狓 ＞ １ 或 狓 ＜ ０ ， 故 犃 ＝ （－ ∞ ，０ ） ∪ （１ ， ＋ ∞ ），故 瓓 犝 犃 ＝ ［０ ，１ ］． 底 面 是 一 个 直 角 梯 形 ， 犃 犇 ⊥ 犃 犅 ， 犃 犇 ∥ 犅 犆 ， 犃 犇 ＝ ４ ， 犃 犅 ＝ 犅 犆 ＝ 犘 犗 ＝ ２ ， 且 犘 犗 ⊥ 底面 犃犅犆犇 ，∴ 该 四 棱 锥 的 体 积 为 犞 ＝ １ 犛 犃犅犆犇犺故 应 选 Ｄ ．）２ ．Ｃ （∵ 狕 ＝ （ｉ － ２ ）（１ ＋ ｉ ） ＝ ｉ ＋ ｉ２ － ２ － ２ｉ ＝ － ３ － ｉ ， 因 此 复 数 狕 对 应 点 的 坐 标 为 （－ ３ ， － １ ）， 在 第 三 象 限 ．故 应 选 Ｃ ．）３ ．Ａ （由 题 意 ，若 犪 ＞ 狘犫 狘 ，则 犪 ＞ 狘犫 狘 ≥ ０ ，则 犪 ＞ 犫 ， 所 以 犪 狘 犪 狘 ＝ 犪 ２ ， 则 犪 狘 犪 狘 ＞ 犫 狘 犫 狘 成 立 ，当 犪 ＝ １ ，犫 ＝ － ２ 时 ， 满 足 犪 狘 犪 狘 ＞ 犫 狘 犫 狘 ， 但 犪 ＞ 狘 犫 狘 不 一 定 成 立 ， 所 以 “ 犪 ＞ 狘 犫 狘 ” 是“犪 狘 犪 狘 ＞ 犫 狘 犫 狘 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ．故 应 选 Ａ ．）４ ．Ｂ （ 由 题 意 ，狔 ２ ＝ ４ 狓 的 焦 点 犉 （１ ，０ ）， 准 线为 狓 ＝ － １ ， 设 抛 物 线 上 的 动 点 犘 （狓 ０ ，狔 ０ ）， 根 据抛 物 线 的 定 义 可 知 ，狘 犘犉 狘 ＝ １ ＋ 狓 ０ ，因 为 狓 ０ ∈ ［０ ， ＋ ∞ ），所 以 狘 犘犉 狘 ＝ １ ＋ 狓 ０ ≥ １ ，故 抛 物 线 狔 ２ ＝ ４ 狓 上 的 点 与 其 焦 点 的 距 离 的 最 小 值 为 １ ．故 应 选 Ｂ ．）＝ １ × （２ ＋ ４ ） × ２ × ２ ＝ ４ ． ３ ２ 故 应 选 Ｄ ．）烄 狓 ＋ 狔 ＋ １ ≥ ０８ ．Ｃ （ 不 等 式 组 烅 ３ 狓 － ２ 狔 ＋ ６ ≥ ０ 表 示 的 平烆 ５ 狓 ＋ 狔 － ３ ≤ ０面 区 域 为 图 中 的 △ 犃犅犆 （包 括 边 界 ），５ ．Ａ （∵ 犗 犃→ ⊥ 犃 犅→ ，狘 犗 犃→ 狘 ＝ １ ，由 图 知 ， 平 移 直 线 狕 ＝ 狓 － ２ 狔 ， 当 经 过 点 犆 ∴ 犗 犃→ · 犃 犅→ ＝ 犗 犃→ · （犃 犗→ ＋ 犗 犅→ ） ＝ － 狘 犗 犃→ 狘 ２时 ，狕 狓 ２ 取 得 最 小 值 ，＋ 犗 犃→ · 犗 犅→ ＝ － １ ＋ 犗 犃→ · 犗 犅→ ＝ ０ ，犗 犃→ · 犗 犅→ ＝ １ ， ＝ － 狔∴ 犗→犃 · （犗→犃 ＋ 犗→犅 ） ＝ 犗→犃 ２ ＋ 犗→犃 · 犗→犅 ＝ ２ ．易 得 犆 （０ ，３ ）， 即 狕 ＝ ０ － ６ ＝ － ６ ． 故 应 选 Ｃ ．）故 应 选 Ａ ．） １１６ ．Ｂ （由 折 线 图 可 知 Ａ 、Ｄ 项 均 正 确 ，该 年 第９ ．Ｃ （犫 ＝ ｌｏｇ ３２ ∈ （０ ，１ ）， 犮 ＝ ３ ３ ＞ ２ ３ ＞ １ ， １ １ １一 季 度 Ｇ Ｄ Ｐ 总 量 和 增 速 由 高 到 低 排 位 均 居 同 一 位 的 省 份 有 江 苏 均 第 一 ． 河 南 均 第 四 ， 共 ２ 个 ， 故 Ｃ 项 正 确 ； 今 年 浙 江 省 的 Ｇ Ｄ Ｐ 增 长 率 最 低 ． 故 Ｂ 项 不 正 确 ．故 应 选 Ｂ ．）７ ．Ｄ （ 根 据 三 视 图 可 得 直 观 图 为 四 棱 锥 犘 － 而 狔 ＝ 狓 ３ 为 增 函 数 ， 故 ３ ３ ＞ ２ ３ ， 即 犮 ＞ 犪 ．故 犮 ＞ 犪 ＞ 犫 ． 故 应 选 Ｃ ．）１０ ．Ｃ （ 判 断 框 中 的 条 件 应 该 满 足 经 过 第 一 次 循 环 得 到 １ ，２犃犅犆犇 ，如 图 ：经 过 第 二 次 循 环 得 到 １ ２ 经 过 第 三 次 循 环 得 到 １ ２＋ ２ ，３ ＋ ２ ＋ ３ ，３ ４ …故 判 断 框 中 的 条 件 应 该 为 犛 ＝ 犛 ＋ 犻 ．犻 ＋ １故 应 选 Ｃ ．）＋ ５２ ５ ３ ３ １１ ．Ｃ （∵ 犪 ２ ＋ 犫 ２ － 犮 ２ ＝ 犪 犫 ，１４ ．１ （ 二 项 式 （犪 狓 ２ ＋１ ）５ 展 开 式 的 通 项 为∴ 可 得 ｃｏｓ 犆 ＝犪 ２ ＋ 犫 ２ － 犮 ２ ２犪犫 ＝ 犪犫 １２犪犫 ＝２ 犜 狉 １ ＝ 犆 狉犪 ５ － 狉狓 槡狓１０ － ５狉 ， ∵ 犆 ∈ （０ ，π ），∴ 犆 ＝ π，３令 １０ － ５狉 ＝ ０ ， 则 ２狉 ＝ ４ ． ∵ ∠ 犃 ＝ π４ ，犮 ＝ ３ ，∵ 二 项 式 （犪 狓 ２ ＋ １ ）５ 展 开 式 中 的 常 数 项 由 正 弦 定 理 犪犮 ， 可 得 ： 犪 槡狓∴ ３ ， 解 得犪 ＝ 槡 ６ ．槡３ ２ｓｉｎ 犃 ＝ ｓｉｎ犆槡２ ＝ 为 ５ ，２∴ 犆 ４ 犪 ５ － ４ ＝ ５ ． ∴ 犪 ＝ １ ．）１５ ．３ ＋ ２ 槡 ２ （ 函 数 狔 ＝ １＋ １ 的 图 象 可 由狓 － １故 应 选 Ｃ ．）１２ ．Ａ （ 如 图 ， 连 结 犘 犉 ２ 、犗 犕 ，∵ 犕 是 犘 犉 １ 的 狔 ＝ １狓向 右 平 移 １ 个 单 位 ， 再 向 上 １ 个 单 位 得中 点 ，到 ， 又 狔 ＝ １ 狓是 奇 函 数 ， 故 其 对 称 中 心 为 （０ ，０ ），故 犳 （狓 ） 的 对 称 中 心 为 （１ ，１ ），所 以 ２ 犪 ＋ 犫 ＝ １ ，１ ＋ １ 犪 犫 ＝ （１ 犪 ＋ １ ）（２ 犪 ＋ 犫 ） ＝ ３ ＋ 犫犫 犪 ＋ ２ 犪犫≥ ３ ＋ ２ 槡 ２， 当 且 仅 当 犫 ＝ 槡 ２ 犪 时 等 号 成 立 ．） １６ ． ［０ ，２ 槡２ ］（犳 （狓 ） ＝ ｓｉｎ狓 ｃｏｓ狓 ＝ ２ 狘 ｓｉｎ狓∴ 犗 犕 是 △ 犘 犉 １ 犉 ２ 的 中 位 线 ，∴ 犗犕 ∥ 犘犉 ２ ，且 狘 犘犉 ２ 狘 ＝ ２ 狘 犗犕 狘 ＝ ２犪 ． － ｃｏｓ狓 狘 ＝ ２ 槡 ２ 狘 ｓｉｎ （狓 － π４） 狘 ∈ ［０ ，２ 槡 ２ ］．）∵ 犘 犉 １ 与 以 原 点 为 圆 心 犪 为 半 径 的 圆 相 切 ， ∴ 犗犕 ⊥ 犘犉 １ ，可 得 犘犉 ２ ⊥ 犘犉 １ ， △ 犘犉 １犉 ２ 中 ，狘 犘犉 １ 狘２ ＋ 狘 犘犉 ２ 狘２ ＝ 狘 犉 １犉 ２ 狘２， 三 、 （７０ 分 ）１７ ． （１ ） 由 题 知 ，犪 ２ ＝ １６ ，∴ 犪 １ ＝ 犛 １ ＝ 犪 － ４ ２＝ ４ ， ①３……………………………… １ 分 根 据 双 曲 线 的 定 义 ，得 狘 犘犉 １ 狘－ 狘 犘犉 ２ 狘 ＝ ２犪 ， ∴ 狘 犘 犉 １ 狘 ＝ 狘 犘 犉 ２ 狘 ＋ ２ 犪 ＝ ４ 犪 ， 代 入 ① 得 ∴ ３犛狀 ＝ 犪狀 ＋ １ － ４ ，∴ 犛 ＝ １ 犪 狀 ＋ １ － ４ ，（４ 犪 ）２ ＋ （２ 犪 ）２ ＝ 狘 犉 １ 犉 ２ 狘 ２ ，１ ４∴ （２ 犮 ）２ ＝ 狘 犉 １ 犉 ２ 狘 ２ ＝ ２０ 犪 ２ ， 解 之 得 犫 ＝ 当 狀 ≥ ２ 时 ，犛 狀 － １ ＝ ３ 犪 狀 － ３ ，２犪 ．由 此 可 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 狔 ＝ ± ２狓 ．故 应 选 Ａ ．） 两 式 相 减 可 得 犪 狀＝ １ 犪 ３ 狀 ＋ １ － １犪狀 ３，即 犪 狀 ＋ １ ＝ 二 、 （２０ 分 ）４犪狀 ， ………………………………………… ４ 分１３ ． － １（ 因 为 α ∈ （π ，３ π ），ｓｉｎα ＝ ４ ， 所因 为 犪 ２ ＝ ４ ， 数 列 ｛犪 狀 ｝ 为 等 比 数 列 ， 首 项 为７以 α ∈ （π ，π ２ ２ ２ ）， 所 以 ｔａｎα ＝ － ４，３ ５ 犪 １４ ，公 比 为 ４ ，所 以 通 项 公 式 为 犪狀 ＝ ４ 狀 ，狀 ∈ 犖 ．………………………………………… ６ 分 ｔａｎα ＋ ｔａｎ π（２ ）犫狀 ＝ ｌｏｇ ２犪狀 ＝ ｌｏｇ ２４ 狀 ＝ ２狀 ，则 ｔａｎ （α ＋ π ） ＝ ４ ＝１ １ １ １４ １ － ｔａｎαｔａｎ π４∴ ＝ ＝（ － 犫狀犫 狀 ＋ １ ２ 狀 × ２ （狀 ＋ １ ） ４ 狀－ ４ ＋ １ １ ）， …………………………………… ８ 分 ３ ＝ － １ ．）狀 ＋ １１ ＋４ ７ ３ ∴ 犜 狀 ＝ １ ４ （１ － １ ２ ＋ １ － １ ２ ３＋ … ＋ １ －狀 ， 狀１ １ 犆 １ ２ ＝５＝ ５ ＝ ５犮２１ ） ＝ １（１ － １ ） ＝狀 … １１ 分２ ，０ ）， 犈 （０ ，１ ，１ ）， 犆 犈→ ＝ （－ ２ ，１ ，１ ），犆犅→ ＝ （－ ２ ， 狀 ＋ １ ４ 狀 ＋ １ ４ （狀 ＋ １ ）２ ，０ ），犅犆→＝ （２ ，２ ，０ ）， …………………… ６ 分∴ 犜 ２０２０ ＝ ５０５…………………… １２ 分 设 平 面 犆 犅 １ 犈 的 法 向 量 为 狀 ＝ （狓 ，狔 ，狕 ）， ２０２１狀 · 犆 犈→ ＝ － ２ 狓 ＋ 狔 ＋ 狕 ＝ ０ １８ ．（１ ） 抽 取 的 ５ 人 中 男 员 工 的 人 数 为 ５４５ 由 ｛狀 · 犆犅→＝ － ２狓 ＋ ２狔 ＝ ， 取 狓 ＝ １ ， ０２７ ＝ ３ ，女 员 工 的 人 数 为 ５× １８ ＝ ２ ． ……… ４ 分得 狀 ＝ （１ ，１ ，１ ）， ………………………… ９ 分设 直 线 犅 犆 １ 与 平 面 犅 １ 犆 犈 所 成 角 为 θ ，狘 狀 ·犅犆→ 狘（２ ） 由 （１ ４５） 可 知 ， 抽 取 的 ５ 名 员 工 中 ， 有 男 员 则 ｓｉｎθ ＝ 狘ｃｏｓ ＜ 狀 ，犅犆→ ＞ 狘 ＝１狘 狀 狘狘 犅犆→狘 工 ３ 人 ，女 员 工 ２ 人 ．所 以 ， 随 机 变 量 犡 的 所 有 可 能 取 值 为 ０ ，１ ，＝ 狘 ２ × １ ＋ ２ × １ 狘＝ ４ ＝ 槡 ６ ， 槡 １ ＋ １ ＋ １ × 槡 ４ ＋ ４ ＋ ０ ２ 槡６ ３２ ．…………………………………………… ６ 分即 直 线与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 槡 ６ 犆 ３ 犆 ０ １犅犆 １ ３ ．根 据 题 意 ，犘 （ 犡 ＝ ０ ） ＝３ ２３ １０，犘 （ 犡 ＝ ………………………………………… １２ 分犆 ２ 犆 １ ６ 犆 １ · 犆 ２ ３犪 ＝ ２ １ ） ＝ ３ ２ ３ １０ ，犘 （ 犡 ＝ ２ ） ＝ ３ ２ ３ １０ 烄 烄 犪 ＝ ２ １ 随 机 变 量 的 分 布 列 是 ：２０ ．（１ ） 由 题 意 知 烅 犪 ＝ ２烅 犮 ＝ １ ， 烆 犪 ２ ＝ 犫 ２ ＋ 犮 ２ 烆犫 ＝ 槡 ３ ………………………………………… ３ 分由 于 椭 圆 焦 点 在 狓 轴 上 ， 所 以 椭 圆 犆 的 方 程 为 狓 ２ 狔２ …………………………… 分 数 学 期 望 犈 犡 ＝ ０ ＋ １ × ６ ＋ ２ × ３ ＝ ６ ．４ ＋ ３＝ １ ．４ １０ １０５犿 ２ 狀 ２…………………………………………… １０ 分（２ ） 设 犘 （ 犿 ，狀 ）， 则 犙 （ 犿 ， － 狀 ）， ＋＝４ ３ （３ ）狊２ ＝ 狊２ ． ………………………… １２ 分 １ 狀 ２ ＝ ３ （１ －犿 ）． ……………………… ６ 分 １９ ． （１ ）∵ 犃 犅 ⊥ 平 面 犅 犆 犆 １ 犅 １ ， 在 三 棱 柱 犃 犅 犆 － 犃 １ 犅 １ 犆 １ 中 ， 有 犃 犅 ∥ 犃 １ 犅 １ ，∴ 犃 １ 犅 １ ⊥ 平 面 犅 犆 犆 １ 犅 １ ， 得 犃 １ 犅 １ ⊥ 犅 犆 １ ，………………………………………… ２ 分 ４依 题 意 可 知 － ２ ＜ 犿 ＜ ２ ， 且 犿 ≠ ０ ． 直 线 犃 犘 的 方 程 为 狔 ＝ 狀 （狓 ＋ ２ ）， 直 线犿 ＋ ２∵ 四 边 形 犅犆犆 １ 犅 １ 是 边 长 为 ２ 的 正 方 形 ， ∴ 犅 犆 １ ⊥ 犅 １ 犆 ， 而 犃 １ 犅 １ ∩ 犅 １ 犆 ＝ 犅 １ ，犅 犙 的 方 程 为 狔 ＝ 狀 （狓 － ２ ）． ２ － 犿 ……… ８ 分∴ 犅 犆 １ ⊥ 平 面 犃 １ 犅 １ 犆 ； ……………… ４ 分 烄 狔 ＝ 狀 （狓 ＋ ２ ） 烄 狓 ＝ ４（２ ） 由 （１ ） 知 ， 犃 犅 ⊥犅犅 １ ，平 面 犅犆犆１犅 １ ，又 犅犆 ⊥由 犿 ＋ ２ 解 得 犿，烅 狔 ＝ 狀 （狓 － ２ ） 烅 狔 ＝ ２ 狀烆 ２ － 犿 烆犿 ∴ 以 犅 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 犅 犆 ，犅 犅 １ ，犅 犃 所 在 直 线 为 狓 ，狔 ，狕 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 即 犕 （４ 犿 ，２ 狀 ） 犿． ……………………… １１ 分角 坐 标 系 ，所 以 犘 ， 犕 两 点 的 横 坐 标 之 积 为 犿 · ４ 犿４ ． ………………………………………… １２ 分２１ ． （１ ） 由 题 可 知 犳 （狓 ） 的 定 义 域 为 （０ ，＋ ∞ ），……………………………………… １ 分函 数 犳 （狓 ） ＝ １ 狓 ２ ＋ ｌｎ 狓 ，犳 ′ （狓 ） ＝ 狓 ＋ １ ＞ ２ 狓０ ，则 犅 （０ ，０ ，０ ）， 犆 （２ ，０ ，０ ）， 犅１（０ ，２ ，０ ）， 犆 １ （２ ，所 以 函 数 犳 （狓 ） 在 区 间 ［１ ，犲 ］ 上 是 增 函 数 ．１１ １犆 犆 ×． ＝犡 ０ １ ２ 犘１ １０６ １０３ １０………………………………………… ３分｛犳 （狓 ） 在 区 间 ［１ ，犲 ］ 上 的 最 大 值 为 犳 （犲 ） ＝ 代 入 圆 的 方 程 得 （３槡３ 狋 ）２（１ 狋 ）２ ４ ．１ ２， 最 小 值 为 （ ） １ ………… 分＋２ ＋２＝２犲 ＋ １犳 １ ＝ ２ ． ５ ………………………………………… ７ 分 （２ ）犳 （狓 ） ＞ （１ － 犪 ）狓 ２ ， 令 犵 （狓 ） ＝ 犳 （狓 ）－ （１ 整 理 得 ：狋 ２ ＋ ３ 槡 ３ 狋 ＋ ５ ＝ ０ ，狋 １ ＋ 狋 ２ ＝ － ３ 槡 ３ ， － 犪 ）狓 ２ ＝ ｌｎ 狓 ＋ （犪 － １２１）狓 ２ ，犵 ′ （狓 ） ＝ （２ 犪 － １ ）狓狋１狋２ ＝ ５ ． 由 狋１＋ 狋２ ＜０ 且 狋 １ 狋 ２ ＞ ０ ，………… ９ 分＋ 狓． ……………………………………… ６ 分 可 知 狘 犘犃 狘＋ 狘 犘犅 狘 ＝ 狘 狋１ 狘＋ 狘 狋２ 狘 ＝ － （狋１当 １ 时 ， （ ） ， （ ）１ ＋ 狋２ ） ＝ ３ 槡 ３ ． …………………………… １０ 分犪 ≥ ２ 犵 ′ 狓 ＞ ０ 犵 １ ＝ 犪 － ２≥２３ ．（１ ）∵ 狘 ２ 狓 ＋ ３ 狘 － 狘 狓 － １ 狘 ≤ ３ ，０ ， 显 然 犵 （狓 ） ＞ ０ 有 解 ．１………………… ８ 分 １ ∴ 狓 ≥ １２ 狓 ＋ ３ － 狓 ＋ １ ≤ ３当 犪 ＜ ２ 时 ， 由 犵 ′ （狓 ） ＝ （２ 犪 － １ ）狓 ＋ 狓＝烄－ ３＜ 狓 ＜ １ ０ 得 狓 ＝１ ， 或 烅２ 槡 １ － ２ 犪当 狓 ∈ （０时 ，犵′（狓 ） ＞ ０ ， 烆 ２ 狓 ＋ ３ ＋ 狓 － １ ≤ ３ 烄 狓 ≤ － ３或烅２ ． ………… ３ 分 当（） 时 ， （ ） ，烆 － ２ 狓 － ３ ＋ 狓 － １ ≤ ３狓 ∈＋ ∞ 犵′ 狓 ＜ ０ 狓 ≥ １ 烄 － ３ ＜ 狓 ＜１ ２烄 狓 ≤ － ３ 故 犵 （狓 ） 在 狓 ＝处 取 得 最 大 值∴ ｛狓 ≤ － １ 或 烅 １ 或 烅 ２ ．１ －２犪 烆 狓 ≤ ３烆 狓 ≥ － ７ 犵 （＝ － １－１ ｌｎ （１ －２ 犪 ）．∴ － ７狓 １ ． …………………… ５ 分 ２ ２≤≤ ３若 使 犵 （狓 ） ＞ ０ 有 解 ， 只 需 － １ ２ － １ｌｎ （１ －２即 不 等 式 犳 （狓 ） ≤３ 的 解 集 为 ［－ ７ ，１］．３２ 犪 ） ＞ ０ ，解 得 犪 ＞ １ － １ ．２２犲………………………………………… ６ 分 （２ ）犳 （狓 ） ＞ ２犪 － 狘 ２狓 － ２ 狘 ，得 狘 ２狓 ＋ ３ 狘＋ 狘 ２ 狓 － ２ 狘 ＞ ２ 犪 ． ………………………… ７ 分结 合 犪 ＜ １２， 此 时 犪 的 取 值 范 围 为 （１ ２ － １ ，２犲∵ 狘 ２ 狓 ＋ ３ 狘 ＋ 狘 ２ 狓 － ２ 狘 ≥ 狘 ２ 狓 ＋ ３ － ２ 狓 ＋１ ）． ………………………………………１１ 分 ２２ 狘 ＝ ５ ， 当 且 仅 当 － ３２≤ 狓 ≤ １ 取 “＝ ”． ……综 上 所 述 ，犪 的 取 值 范 围 为 （１－ １，＋ ∞ ）． ………………………………………… ９ 分５２ ２犲∴ ２ 犪 ＜ ５ ，犪 ＜ ２．…………………………………………… １２ 分２２ ．（１ ） 由 ρ ＝ ４ｓｉｎθ 得 ρ ２ ＝ ４ρｓｉｎθ ， …… 所 以 实 数 犪 的 取 值 范 围 是 （－ ∞ ，５ ）． …２ ………………………………………… ２ 分从 而 有 狓 ２ ＋ 狔 ２ ＝ ４ 狔 ， 即 狓 ２ ＋ （狔 － ２ ）２ ＝ ４ ．……………………………………………… ４ 分（２ ） 设 直 线 犾 的 参 数 方 程 为………………………………………… １０ 分烄 狓 ＝ ３ ＋ 狋 ｃｏｓ π６ 烄 狓 ＝ ３ ＋ 槡 ３ 狋 ，即 ２ ． …… ５ 分 烅 狔 ＝ ２ ＋ 狋 ｓｉｎ π烆 ６ 烅 １ 狔 ＝ ２ ＋ 狋烆２。
广西省钦州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
广西省钦州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A．2B．2C．14D．14【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【详解】联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得e=2或12e -=，所以该椭圆的离心率为2. 故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 2．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.3．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ）A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，Q 当[2,2)x ∈-时，1()()43x f x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 5．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．2C D【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点， 故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c = 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 7．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 8．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B 【解析】 【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.9．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r上的投影是（ ）A ．B ．C ．25-D ．25【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 【详解】由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u vu u u v . 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.11．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（ ） A ．20- B ．60 C ．70 D ．80【答案】B 【解析】 【分析】展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，由二项式的通项，可得解 【详解】由题意，展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，所以()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为1335522260C C -⨯+⨯=．故选：B 【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省钦州市2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析
广西省钦州市2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴b a ==双曲线的渐近线方程为：x y x==, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2．已知x ，y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.3．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B ðU 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-【答案】B 【解析】 【分析】解不等式确定集合A ，然后由补集、并集定义求解． 【详解】由题意{}2|2150A x x x =-->{|3x x =<-或5}x >，∴{|35}R A x x =-≤≤ð，(){|37}R A B x x =-≤<U ð．故选：B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型． 4．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.5．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 6．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A【分析】 由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】 因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.7．在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π4【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值． 【详解】解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2或3 B ．2或3C ．2或3D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7mMF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯，整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 9．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．16B ．14C ．12D ．8【答案】B 【解析】 【分析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r ；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r可求得结果.【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r.60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r，则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选：B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.10．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.11．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．22【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以21()b e a=+=10，选B. 12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同 【答案】A 【解析】 【分析】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D. 【详解】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ， 2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了0.480.340.410.34x xx-≈倍，故C 错误；2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算2．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 5．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,再求U C A . 【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 6．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．7．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d = B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-【答案】C 【解析】 【分析】 由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】 因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C9．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C ．2e - D ．4e- 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩ 24at t e =-=，解得a 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A．B．C． D【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=r rr r r r计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ， 而(2)=0a b b -⋅r r r， 即260m ---=， 解得8m =-，则cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r r 故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】 【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国市级联考】广西钦州市2021届高三上学期第一次质量检测数学(理)试题 (2)
【全国市级联考】广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1234A =，，，，集合{}3,456B ，，=，集合C A B =，则集合C 的子集的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z =； ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限.A ．1B ．2C ．3D ．4 3．命题∀m ∈[1,2]，则x +1x ≥2m 的否定是（ ）A ．∀m ∈[1,2]，则x +1x <2mB ．∃m ∈[1,2]，则x +1x ≥2mC ．∃m ∈(−∞,1)∪(2,+∞)，则x +1x ≥2mD ．∃m ∈[1,2]，则x +1x <2m 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则41a =（ ） A ．2 B ．0C ．2-D ．4- 5．若“m a >”是“函数()1133x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23a ≥-B ．23>-aC ．23a ≤-D ．23a <- 6．执行如图所示的程序框图（*N N ∈），那么输出的p 是（ ）A ．33N N A ++B ．22N N A ++C ．11N N A ++D ．N N A7．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()22f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14- B ．12- C ．0 D ．128．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．()362cm π+B ．()363cm π+C ．336cm 2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．()3124cm π+ 9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）（ ）A ．1.3日B ．1.5日C ．2.6日D ．2.8日 10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（ ） A ．12 B．2 CD11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()f x '，当(],0x ∈-∞时，恒有()()xf x f x '<-，令()()F x xf x =，则满足()()21F F x >-的实数x 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2-C ．()1,3-D ．()2,2-二、填空题12．已知41a b +=（a ，b 为正实数），则12a b+的最小值为__________． 13．若x ，y 满足约束条件0{2323x x y x y ≥+≥+≤，则z x y =-的最大值是.14．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________． 15．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 .三、解答题16．已知函数()2sin sin cos sin sin 36f x x x x ππ=-.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()14f C =，2a =，且ABC ∆c 的值.17．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2021年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.18．如图，四棱锥 P ABCD - 底面为正方形，已知 PD ABCD ⊥平面，PD AD =，点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且PM DN =．（1）求证：MN PCD 直线平面；（2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值．19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于E ，F 两点，若存在点()01,G y -使EFG ∆为等边三角形，求直线l 的方程.20．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>.21．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ−π4)−2=0，曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ=cosθ，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C 1.（1）求曲线C 1的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，点P (2,0)，求|PA |+|PB |的值.参考答案1．D【解析】∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴C=A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5，6}={3，4}，∴集合C 的子集为∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个．故选：D ．2．C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C.3．D【解析】∀m ∈[1,2]，则x +1x ≥2m 的否定是∃m ∈[1,2]，则x +1x <2m ,全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.故选D ；4．C【解析】∵等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则2324*a a a =即2111(4)(6)a a a +=+ 解得a 1=﹣8．∴a 4=a 1+3d=﹣8+3×2=﹣2．故选：D ．5．D【解析】∵函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 的图象不过第三象限，∴m ﹣13≥﹣1，解得m≥﹣23． ∵“m ＞a”是“函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a ＜﹣23． 则实数a 的取值范围是2,3∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：D ．点睛：函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限，可得：m ﹣13≥﹣1，解得m 范围．由“m ＞a”是“函数()1133x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出． 6．C【解析】第一次执行循环体，k=1，p=A 11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A 22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A 33，满足继续循环的条件，k=4；…第N 次执行循环体，k=N ，p=A N N ，满足继续循环的条件，k=N +1；第N +1次执行循环体，k=N +1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p 值为A N+1N+1，故选C点睛：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．7．C【解析】因为设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当01x ≤≤时，()22f x x x =-,故102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故选C ；8．C【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，（也可以看成一个三棱柱与半圆柱的组合体），其底面面积S=12×2×2+12π=2+12π，高h=3，故体积V=Sh=6+32π，故选：C．点睛：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．9．C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为12，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A1312112n（）-=-，B n=n21-，由题意可得：131221112nn-=--（），化为：2n+62n=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n=62lglg=1+32lglg=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．点睛：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为12，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出.10．B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A （﹣1，0），过P 作PN 垂直直线x=﹣1于N ，由抛物线的定义可知PF=PN ，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，PF PA 有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF 最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：y=k （x +1），所以214y k x y x（）=+⎧⎨=⎩， 解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°， PFPA =cos ∠． 故选B ．点睛：通过抛物线的定义，转化PF=PN ，要使PF PA 有最小值，只需∠APN 最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．11．C【解析】定义在R 上的奇函数f （x ），所以：f （﹣x ）=﹣f （x ）设f （x ）的导函数为f′（x ），当x ∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x ）＜f （﹣x ），则：xf′（x ）+f （x ）＜0即：[xf （x ）]′＜0所以：函数F （x ）=xf （x ）在（﹣∞，0）上是单调递减函数． 由于f （x ）为奇函数， 令F （x ）=xf （x ）， 则：F （x ）为偶函数．所以函数F （x ）=xf （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数． 则：满足F （2）＞F （x ﹣1）满足的条件是：|x ﹣1|＜2， 解得：﹣1＜x ＜3． 所以x 的范围是：（﹣1，3） 故选C点睛：根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x ）+f （x ）＜0，得到：[xf （x ）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果． 12．9+【解析】∵a ，b ∈R +，a+4b=1∴12a b +=124a b a b++（）（）≥9+ 当且仅当，42b a a b=即a=2b 时上述等号成立， 故答案为：9 13．0 【解析】约束条件0{2323x x y x y ≥+≥+≤的可行域如图所示，即△ABC 部分，目标函数z x y =-过A （0,O3）时值最大，最大值为1-1=0.【考点】线性规划. 14．189【解析】若没有红色卡片，若是3种颜色，那么有3327=种方法，若是2种颜色，有221333254C C C ⋅⋅⨯=种方法，若有红色卡片，那有一张红色的卡片，共有293108C ⨯=种方法，所以共有2754108189++=种方法，故填：189.【点睛】本题考查了有限制条件的组合问题，对这类问题容易出错在：本来是组合问题，但选元素的时候出现“顺序”，象这种不能同一种颜色，或是选出的鞋不能是同一双等等题型，第一步先选颜色，第二步从颜色中选卡片，如果是不同双的鞋，那第一步就先选哪几双，第二步在每一双里选一只，这样就能保证不同颜色，选出的鞋不是同一双. 15．8. 【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C B C =+=⇒+=，又tan B+tan Ctan A=tan B tan C 1-，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．16．(1) 函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2) 2c =. 【解析】试题分析：（1）由化一公式得()2111cos sin 22264x x x x sin x π⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，222262k x k πππππ-+≤+≤+，得结果；（2）162C S absinC π===，b =2c =. 化简可得：()21cos sin 2f x x x x =-=1111cos2sin 244264x x x π⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭. （1）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈.得：36k x k ππππ-+≤≤+.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）∵()14f C =，即111sin 22644C π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.∴sin 216C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 可得2262C k πππ+=+，Z k ∈.∵0C π<<， ∴6C π=.由2a =，且ABC ∆1sin 2S ab C ==.∴b =由余弦定理可得：241244c ++-⨯=. ∴2c =. 17．（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】（1）设B =这天空气质量为一级，()51153P B ==. （2）1553N M n ===，，，ξ的可能取值为0，1，2，3，则()()3510315C C 0,1,2,3.C k k P k k ξ-===分布列为：（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，13601203∴⨯=（天）. 故一年中平均有120天的空气质量达到一级.18．（1）详见解析（2）3【解析】试题分析：（1）延长AN ，交CD 于点G ，只需证明MN//PG,通过GDN ABN ~可证明AMN APG ~，从而证明MN//PG 。
2021届广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题
保密★启用前钦州市、崇左市 20 21 届高三第一次教学质量监测理科数学注意事项：1. 本卷共 150 分，考试时间120 分钟．答卷前，考生务必将自己的 姓名 、考生号等填写在答题 卡和试卷指定位置上．2. 回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上 ，写在本试卷上无效．3. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U AA. (-∞,0] U [l , +∞)B.(-∞,0) U (1,+∞)C.(0,1) D .[0,1]2. 在复平面内，复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >｜b ｜”是“a ｜ a ｜> b ｜ b ｜”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为 A.2 B.1 C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=，则()OA OA OB ⋅+＝A. 2 B . 1 C . -1 D.06. 图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图，则下列说法中不正确．．．的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比，该年第一季度的 GDP 总量实现了增长 7. 某四棱锥的三视图如图 2 所示，则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48. 已 知 实 数 x , y 满足不等式 组11,3260,530,x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数 x - 2y 的最小值为 （A. -4B. 145-C. -6D.-7 9. 设113332,log 2,3a b c ===,则A. c > b > aB. a > c > b C . c > a > b D.a >b >c 10. 如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图，则① 处应 填入的内容为 A. 1i S S i =-+ B. 1i S S i =-- C. 1i S S i =++ D. 1i S S i =+- 11. 在△ABC 中，∠ A = π4，a 2+b 2 - c 2 = ab , c = 3 , 则 a = A.2 B.5C. 6D.312. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的 左 、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心 a 为半径的圆与 PF 1相切于点 M ，且PM = F 1M ， 则该双曲线的渐近线为A.y =±2xB.y =±xC. y=±3xD.y =±3x二、填空题：本 题 共 4 小 题 ，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 a π3π4(,),sin 225α∈=，则πtan()4α+＝ . 14. 二项式25()ax x +展开式中的常数项为 5 , 则实数a = . 15. 直 线 2a .x 十 by - l =0 (a > 0 ,b > 0) 过函数111y x =+-图象的对称中心，则11a b +的最小值为 .16. 对任意两实数 a , b , 定义运算“*”：2,,2,,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩则函数 f ( x ) = sin x *cos x 的值域为 .三、解答题：共 70 分 解答应写出 文字说明 、证明过程或 演算 步骤．第1 7~21 题为必考题 ，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题 ，考生根 据要求作答．（ 一）必考题：共 60 分．17. ( 本小 题 满分 12 分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2116,34n n a S a +==-.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若2log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前2020项和T 2020.18. ( 本小题满分 12 分）某单位共有员工 45人，其中男员工 27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的 方法抽取 5 名员工进行 考核．(1 ) 求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； ( 2) 考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人 进行访谈．设选出的 3人中女员工人数为 X , 求随机变量 X 的分布列和数学期望；( 3 ) 考核分笔试和答辩两项．5 名员工的笔试成绩分别为78 , 85 , 89 , 92 , 96 ; 结合答辩情况，他们的考核成绩分别为 95 , 88 , 102, 106 , 99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记2212,s s ，试比较21s 与 22s 的大小．（只需写出结论）19. (本小题满分12分）如图4,在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，四边形 BCC 1B 1是边长为2的正方形，AB ⊥平面BCC 1B 1，AB = 1, 点 E 为棱 AA 1 的中点．(1 ) 求证 ，BC 1⊥平面 A 1B 1C 1;(2 ) 求直线 BC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值．20. ( 本小题 满分 12 分）如图 5 , 已知焦点在x 轴上的 椭圆 C 的长轴长为4, 离心率为12. (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设O 为原点，椭圆 C 的左、右两个顶点分别为 A 、B ，点 P 是椭圆上与A ,B 不重合的任意一点 ，点 Q 和点 P 关于x 轴对称，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M , 求证： P , M 两点的横坐标 之积为定 值．21. ( 本小题 满分 12 分）已知函数 21()ln 2f x x x =+. (1 ) 求函数f (.x ) 在区间[1 ,e] 上的最大值和最小值；(2 ) 若 f ( x ) > (l -a ) x 2有解，求实数a 的取值范围．(二）选考题:共10分．请考生在第22、23 题中任选一 题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22. ( 本小题 满分 10 分）［选修 4-4 : 坐标系与参数方程］在平面直角 坐标系内，直线 l 过点 P ( 3 , 2) , 且倾斜角 a = π6,以坐标原点 O 为极点 ，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方 程为=4sin ρθ..(1) 求圆 C 的直角坐标方程1(2) 设直线l 与圆C 交于A , B 两点，求| PA |+| PB |的值．23. (本小题 满分10 分）［选修 4- 5 , 不等式选讲］已知函数()|23|f x x =+.(1 ) 求不等式()3|1|f x x ≤+-的解集 ，( 2) 若不等式()2|22|f x a x >--对任意x ∈R 恒成 立，求实数a 的取值范围．。
广西省钦州市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
广西省钦州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解. 【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B 【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512 B ．13C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【详解】 封闭图形的面积为()1331412000215||3412x x dx x x -=-=⎰.选A. 【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+5．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,22， 312-，小正方形的面积23131222S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.134********⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 7．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C 【解析】 【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.【详解】在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确.因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题. 9．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．10．已知函数1()sin 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】化简()1sin cos 22f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。
2021届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学(理)试题Word版含解析
2021届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，集合，则集合的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】∵A={1，2， 3，4}，B={3，4，5，6}，∴集合C的子集为∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个．故选：D．2. 已知复数，则下列命题中正确的个数为（）①；②；③的虚部为；④在复平面上对应点在第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】故正确；，也正确；的虚部为1，这是复数概念错误；在复平面上对应点是在第一象限，故正确；故选C.3. 命题，则的否定是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】，则的否定是，则,全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.故选D；4. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（）A. 2B. 0C.D.【答案】C【解析】∵等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则即解得a1=﹣8．∴a4=a1+3d=﹣8+3×2=﹣2．故选：D．5. 若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的图象不过第三象限，∴m﹣≥﹣1，解得m≥﹣．∵“m＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a＜﹣．则实数a的取值范围是．故选：D．点睛：函数的图象不过第三象限，可得：m﹣≥﹣1，解得m范围．由“m＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．6. 执行如图所示的程序框图（），那么输出的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C点睛：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．7. 设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】因为设是定义在上周期为2的奇函数，当时，,故；故选C；8. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，（也可以看成一个三棱柱与半圆柱的组合体），其底面面积S=×2×2+π=2+π，高h=3，故体积V=Sh=6+π，故选：C．点睛：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．9. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数．参考数据：，）（）A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日【答案】C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A，B n=，由题意可得：，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．10. 已知是所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则,∵=,∴，得=﹣由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点睛：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．11. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．点睛：通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．12. 已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】定义在R上的奇函数f（x），所以：f（﹣x）=﹣f（x）设f（x）的导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则：xf′（x）+f（x）＜0即：[xf（x）]′＜0所以：函数F（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f（x）为奇函数，令F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数．所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．则：满足F（2）＞F（x﹣1）满足的条件是：|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3．所以x的范围是：（﹣1，3）故选：C点睛：根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知（，为正实数），则的最小值为__________．【答案】【解析】∵a，b∈R+，a+4b=1∴=≥，当且仅当，即a=2b时上述等号成立，故答案为：914. 若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】0【解析】约束条件对应的平面区域如下图示：由z=x﹣y可得y=x﹣z，则﹣z表示直线z=x﹣y在y轴上的截距，截距越小，z越大由可得A（1，1）当直线z=x﹣y过A（1，1）时，Z取得最大值0故选D15. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________．【答案】189【解析】若没有红色卡片，若是3种颜色，那么有种方法，若是2种颜色，有种方法，若有红色卡片，那有一张红色的卡片，共有种方法，所以共有种方法，故填：189.【点睛】本题考查了有限制条件的组合问题，对这类问题容易出错在：本来是组合问题，但选元素的时候出现“顺序”，象这种不能同一种颜色，或是选出的鞋不能是同一双等等题型，第一步先选颜色，第二步从颜色中选卡片，如果是不同双的鞋，那第一步就先选哪几双，第二步在每一双里选一只，这样就能保证不同颜色，选出的鞋不是同一双.16. 在锐角三角形中，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC =，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 【答案】（1）函数的单调增区间为，（2）【解析】试题分析：（1）由化一公式得，，得结果；（2），∴，再由余弦定理得.化简可得：.（1）由，.得：.∴函数的单调增区间为，.（2）∵，即.∴.可得，.∵，∴.由，且的面积为，即.∴.由余弦定理可得：.∴.18. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.【答案】（1）（2），其中（3）一年中平均120天的空气质量达到一级【解析】试题分析：（1）古典概型；（2）符合超几何概型；（3）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由第二一问中的条件知道.（1）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件，则；（2）依据条件，服从超几何分布，其中，，，的可能值为0，1，2，3，其分布列为：，其中；（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为.一年中空气质量达到一级的天数为，则；∴（天）.∴一年中平均120天的空气质量达到一级.19. 如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成的角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）与平面夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）延长AN，交CD于点G，推出MN∥PG，然后证明直线MN∥平面PCD；（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），求出相关点的坐标，=（1，1，﹣1），平面AMN的法向量，利用向量的数量积求解PB与平面AMN夹角的余弦值．（1）证明：由底面为正方形，连接，且与交于点因为、分别为线段、的中点，可得，平面，平面，则直线平面. （2）由于，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则.设平面的法向量为.所以.令，所以.所以平面的法向量为.则向量与的夹角为，则.则与平面夹角的余弦值为.20. 已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，若存在点使为等边三角形，求直线的方程. 【答案】（1）椭圆的标准方程：（2）直线的方程：【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆的通径公式，及a2=b2+c2及可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标，根据等边三角形的性质，求得G点坐标，由丨GD丨=丨EF丨，即可取得t的值，即可求得直线l的方程．（1）由椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以，①由椭圆的通径，②解得：，.∴椭圆的标准方程：.（2）设直线：，，.易知：时，不满足，故，则，整理得：，显然，∴，，于是.故的中点.由为等边三角形，则.连接则，即，整理得，则，由为等边三角形，则，.∴.整理得：,即，解得：，则，∴直线的方程，即.点睛：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，等边三角形的性质公式，考查计算能力.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当，且时，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）令,得增区间，，得减区间；（2），需证，变量集中.（1）的定义域为，令，得.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.∴单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：因为，故，（）.由（），得，即.要证，需证，即证.设（），则要证（）.令.则.∴在上单调递增，则.即.故.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】（1）曲线：（2）【解析】试题分析：（1）由图像伸缩平移的规律得到曲线：；（2），由韦达定理解出即可；（1）曲线的极坐标方程为：，即，化为直角坐标方程：.将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线：.（2）直线的极坐标方程为，展开可得：.可得直角坐标方程：.可得参数方程：（为参数）.代入曲线的直角坐标方程可得：.解得，.∴.23. 选修4-5：不等式选讲已知，.（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的解集为或（2）时，不等式恒成立【解析】试题分析：（1）零点分区间，取绝对值，解不等式组；（2）由已知恒成立，又，，求出结果即可；（1）当时，解得.当时，无解，当时，解得.∴的解集为或.（2）由已知恒成立.∴恒成立.又.∴，解得.∴时，不等式恒成立点睛：第二问中，不等式恒成立，求实数范围，先变量分离，，再根据绝对值三角不等式，求得，这是绝对值三角不等式很重要的一个应用.。
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广西省钦州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 2．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A．6B ．13C．3D ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以222211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.4．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+【答案】A 【解析】 【分析】根据分组求和法，利用等差数列的前n 项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n 项和公式求出前20项的偶数项的和，进而可求解. 【详解】当n 为奇数时，22n n a a +-=，则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =++++=+++++++L L L()()()24201091012111102a a a ⨯=⨯+⨯++++++-L ()1101313100101333902-=+--+=-.故选：A 【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.5．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x kA pB =++=+.同理可得228MN k=+， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
6．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D 【解析】 【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 9．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．10．已知||a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B 【解析】 【分析】由()a ab ⊥-r r r ，||a =r ||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r rr 化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题11．集合{}|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A【解析】 【分析】计算{}2,3,0M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}2|4,2,3,0M y y x x ==-∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.12．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。