空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
D1 A1
[思 考2]
若E、F均 为 各 自 棱 上 的 动 点 ，
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
空间向量的坐标表示
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
空间向量的坐标表示
o x
y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k
AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方 向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a
a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC
应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.
（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;
(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k
我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解， 把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )
在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)
例2、在棱长为2的正方体中，求：
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量的表示与运算技巧
空间向量的表示与运算技巧空间向量在数学和物理学中扮演着重要的角色，它们被广泛地用于描述力、速度、加速度和位移等物理量。
在本文中，我将介绍空间向量的表示方法和一些常用的运算技巧。
一、空间向量的表示方法空间向量可以用多种方式表示，其中最常见的是使用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个空间向量可以由其在x、y和z轴上的分量表示。
例如，一个点P的坐标为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示P在x、y和z轴上的分量。
这种表示方法简单直观，易于理解和计算。
除了坐标表示外，空间向量还可以使用矢量符号表示。
矢量符号通常在向量上方加一箭头，表示其方向和大小。
例如，一个向量a可以表示为a→。
这种表示方法更加简洁，能够清晰地表达向量的性质，但在计算时需要注意方向和大小的对应关系。
二、空间向量的运算技巧1. 向量相加空间向量的相加运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁,b₂, b₃)，它们的和向量c可以表示为 c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
这个运算规则适用于三维空间中的所有向量。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量a和一个实数k，向量ka可以表示为 ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。
这个运算技巧可以用来改变向量的大小或方向。
3. 向量的点积向量的点积（内积）是两个向量相乘后再求和的结果。
假设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
点积运算的结果是一个标量，可以用来计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。
4. 向量的叉积向量的叉积（外积）是两个向量相乘后得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为 a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)。
空间向量的坐标表示教案
空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。
2. 掌握空间向量的坐标运算规则。
3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。
2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。
2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。
3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。
4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。
2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。
2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。
3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。
六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。
2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。
希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。
八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
1.2空间直角坐标系-向量的坐标表示
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
非零向量
a
的方向角： 、
、
z
a M1M2 (ax , ay , az )
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一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
三、向量的直角坐标运算.
设 a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R);
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.
a =( a 1 ,a 2,a 3)
A(x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点 A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
例 4.在空间直角坐标系中， 已知 A(3,0,0),B(0,4,0), C(0,0,2),P( x, y, z )是平面 ABC 内任意一点， 试求 x, y, z 满足的方程
例1. 已知 a (1， 3，8) ， b (3,10,4) ， 求 a b ， a b ， 3a 。
例 2.已知空间四点 A(-2,3，1),B(2,-5,3), C(10,0,10)和 D（8，4，9）， 求证：四边形 ABCD 是梯形。
例 3.在长方体中 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=4,AD=3,AA1=2, P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1,AB,CC1 的中点， 用向量知识证明:PQ∥RS
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向
量 a ,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组( a1, a2, a3)使
a = a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空