空间向量的坐标表示

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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则对 空间任一点P,都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ,使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5.若向量M→A,M→B,M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线,则下列关系(O 是空间任一点)中,能使向量M→A,M→B,M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a=xe1+ye2+ze3,则(x,y, z)就是 a 在基底{e1,e2,e3}下的坐标.
[= AA=解=AA=→→→→[=AA=解→→解GFGFGFA(:A(→→=A(=析= 12=1→=析=12DD,D,,AA]+ A+A→A→]+A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′+12,1+1(′+1A)A(1A))A1)→.+A→.→+)ABB.+A→→)→BAE→→′A′G→G′G=EAAAE=== ′==′==′=A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′+′,D,′+,1+1+1++,,D++,→+121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E=))DDE)→D,→′,′→,=′===A=→FFAFD→(A(=→=(1D1=+1D,,,+AA+12A12A→A→12,DA→1212,12′′,D′→DD0D→ 0+)′+D→0+,)′),′A,A→→A→DDD+++12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz= + - xxz= + -=+ -3yy3yy3.= = yy.= =.= =121212, ,, ,, ,

空间向量的坐标表示与数量积

空间向量的坐标表示与数量积

空间向量的坐标表示与数量积空间向量是指具有大小和方向的量,可以用坐标表示。

在三维空间中,一个向量可以由其在坐标系中的坐标表示。

坐标表示的形式可以是直角坐标、柱坐标或球坐标等,而本文将主要讨论向量的直角坐标表示以及与数量积的关系。

一、直角坐标表示直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系。

一个向量在直角坐标系中的坐标表示为(x, y, z),其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。

向量的坐标表示使我们能够方便地进行向量运算,比如向量的加减、数量积等。

下面以一个具体的向量为例进行说明。

假设有向量A,它的起始点在原点O(0, 0, 0),终点在点P(x, y, z)。

根据直角坐标系的定义,我们可以得到向量A的坐标表示为A(x, y, z)。

这表示向量A在X轴上的投影长度为x,在Y轴上的投影长度为y,在Z轴上的投影长度为z。

二、数量积的计算数量积是一种向量运算,它可以衡量两个向量之间的相似程度。

数量积的计算公式为:A·B = |A||B|cosθ其中,A·B表示向量A和向量B的数量积,|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度,θ表示向量A与向量B之间的夹角。

具体地,我们可以通过向量的坐标来计算数量积。

设向量A的坐标表示为A(x1, y1, z1),向量B的坐标表示为B(x2,y2, z2)。

根据数量积的计算公式,我们可以得到:A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2三、应用举例假设有向量A(1, 2, 3)和向量B(4, 5, 6),我们可以通过坐标表示计算它们的数量积。

首先,根据数量积的计算公式,我们可以得到:A·B = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6)= 4 + 10 + 18= 32因此,向量A和向量B的数量积为32。

数量积的计算结果可以告诉我们这两个向量之间的相似程度。

如果数量积为正数,表示两个向量之间的夹角为锐角;如果数量积为负数,表示两个向量之间的夹角为钝角;如果数量积为零,表示两个向量垂直。

3.1.4 空间向量的坐标表示

3.1.4 空间向量的坐标表示
r rxr
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i, rj, k
作为基向量,对于空间任意一个向量 a ,
根据空间向量基本定理,存在惟一的有序实数组
rrr r
(x,y,z ),使 a= xi+ yj+ zk. r 有序实数组(x,y,z )叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标,记 作 : a = (x , y , z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A(x,y,z ),向 量 O A 坐 标 为 O A = ( x , y , z ) .
3.空间向量的坐标运算法则.
r
r
(1r )若ra = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) ,
则 a + b = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 ) ,
rr 解: a+b=(4, 7, 4) ,
rr a-b=(-2, -13, 12) ,
r 3a=(3, -9, 24)
例2 已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0, 10)和D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形.
uuur uuur uuur
解: AB=OB- OA=(4, -8, 2) ,
rr a - b = ( a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 ) ,
r a = (a 1 , a 2 , a 3 ) (∈ R ) ,
r r
a b a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a 3 = b 3 ( ∈ R ) ,
数学应用
已知 a r = ( 1 , - 3 , 8 ) , b r = ( 3 , 1 0 , - 4 ) , 求 a r+ b r, a r+ b r, 3 a r.

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

D1 A1
[思 考2]
若E、F均 为 各 自 棱 上 的 动 点 ,
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中,使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意:
rr
rr
(1)当 cos a , b 1 时,a 与 b 同向;
rr
rr
(2)当 cos a , b 1 时,a 与 b 反向;

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

『创新探究』
1. 设点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上
一点, 且 D1P D1B ,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 DP 的坐标为
z
.(用 表示)
D1 A1
C1 B1
解:D1B (1,1, 0) (0, 0,1) (1,1, 1)
在同一直线上,则 m n= .
4. 如图, 已知 ABCD A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,
点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE FC1 1.
证明:四边形
BED1F
是平行四边形.(向量法)
D1 z
A1
C1
B1
F
E
y
D
A
xC
B
建系(如图),则B(3,3,0), E(0,3,1), F(3,0,2), D1(0, 0,3) BE (3,0,1) FD1 四边形BED1F是平行四边形.
(2) a (A2,B0,5)2,Db C ,(8,0A,B20)2;DC , 2(.设3a)a又(2,A(21Dm,0,与03)B,, bnC不2(3)共,,b0线,0,)(4. ∴, 2四m边1形,3nAB2C)D,是梯形.
且 a ∥ b ,求实数 m, n 的值.
3.若点 A(2, 5, 1), B(1, 4, 2),C(m 3, 3, n)
◆借助平面直角坐标系,我们用坐标来表示平面上任
意一点的位置.
那么, 对于空间中的任意一点, 还能否用坐标来表
示它的位置?
建立空间直角坐标系
例: 在作空出间点直P(角5,坐4标,系6z)中. , z
46

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示


o x

y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k


AB的坐标是(x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中, i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方 向上的单位向量, a 是空间任意向量,作 OP = a


a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面,分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点.
则OP = OA + OB + OC




应用举例
例1、如图,在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.

( 1)写出点C1的坐标,给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;

(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k








我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解, 把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标,记作 a ( x, y , z )

在空间直角坐标系中,点P的坐标为(x,y,z), 则向量 OP的坐标也是(x,y,z)

例2、在棱长为2的正方体中,求:

1.3.2空间向量运算的坐标表示

1.3.2空间向量运算的坐标表示

坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1,- ,-
1,1),c=
2
2 ,则它们之间的关系是( A )
A.a⊥b 且 a∥c
B.a⊥b 且 a⊥c
C.a∥b 且 a⊥c

向量的坐标表示

向量的坐标表示

向量的坐标表示在数学中,向量是一个具有大小和方向的量。

为了方便计算和分析,我们常常使用向量的坐标表示方法。

向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。

一、二维对于二维空间中的向量,我们可以使用横纵坐标来表示。

假设有一个向量v,它在二维平面上的起点为原点(0,0),终点为点P(x,y),那么向量v的坐标表示就是(x,y)。

例如,有一个向量v,它在二维平面上的起点为原点,终点为点P(3,4)。

那么向量v的坐标表示为(3,4)。

二、三维对于三维空间中的向量,我们可以使用三个坐标轴来表示。

假设有一个向量u,它在三维空间中的起点为原点(0,0,0),终点为点Q(x,y,z),那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。

例如,有一个向量u,它在三维空间中的起点为原点,终点为点Q(1,2,3)。

那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。

三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。

以下是一些常见应用:1. 几何学:在几何学中,向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。

通过向量的坐标表示,我们可以更方便地计算几何图形的属性。

2. 物理学:在物理学中,向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。

通过向量的坐标表示,我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。

3. 计算机图形学:在计算机图形学中,向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。

通过向量的坐标表示,我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。

4. 统计学:在统计学中,向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。

通过向量的坐标表示,我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。

总结:通过向量的坐标表示方法,我们可以更直观地理解和操作向量。

无论是二维向量还是三维向量,坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。

向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。

掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。

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p
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量,由空间向量 ( x, y, z) 基本定理,存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ,
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律:
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示:
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标,上式可简记作 p ( x, y, z) z
i、 j
(1)平面向量的坐标等于向量的终点坐标减 去它的起点坐标. (2)以原点为起点的向量的坐标等于它终点的 坐标.
6、平面向量的坐标表示及运算律:
(1)若a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) 则 (a1 b1, a2 b2 ), a b
面内所有向量的一组基底.
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量线性表示.
4、空间向量基本定理:
如 果 三 个 向 量1 , e2 , e3不 共 面 ,那 么 对 空 间 任 一 向 量 存 在 唯 一 e p, 的 有 序 实 数 组x, y, z ), 使 p xe1 y e2 z e3 (
2.已知 AB (3,5, 7), AC (1, 2,9) ,则 BC __________ 3.已知 m (4, 2,6), n (2, y, z) ,若 m n 则y=_____,z=______.
已知空间两向量 a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ),(a 0) 则 a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ( R)
当x+y+z=1时,必有P、A、B、C四点共面.
5、平面向量的坐标表示:
给定一个平面直角坐标系和向量 p 且设 ,
p xi y j 则有序实数组 ( x, y ) 叫做 p 在平面直角坐标系 O-xyz中的坐标,上式可简记作 p ( x, y)
使得
分别为x,y轴正方向上的单位向量,由平面向量基 ( x, y ) 本定理,存在唯一的有序实数组
b
p xa yb zc p a c
A'
C c o bB Aa
p
P B'
P’
' ' ' ' ' OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC
p = xa + yb
3、平面向量基本定理
如果 e , e 是平面内的两个不共线向量,那么对于这 1 2 一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使 得 a= l e + l e 1 1 2 2 我们把不共线的两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别在
AC,C1D上,且 AM C1 N 2 ,求证:MN//BD1 z
MC ND
A1 B1 C1 D1
N
A B
x M
D
y
C
1、重点: (1)、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律; (2)、空间向量中的公式的形式与平面向量中相
关内容一致,因此可类比记忆;
例题3: (1)已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 形ABCD是平行四边形,求点D的坐标. (2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面. 变:已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),试证明:四边形ABCD是梯形.
p xa yb zc
4、空间向量基本定理:
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底.
特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位 向量时,称为单位正交基底,通常用 {i, j , k } 表示
推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 OP=xOA+yOB+zOC
1 4
C'
B'
A
D(0,0,0) o
C
B y (1,1,0)
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 BA1,AC上的点,且BM=CN,
(1)MN与面AA1D1D平行吗? (2)M在何处时,MN最短?
B1 z A1 C1
D1
M
A N
D y
B x
C
1、空间向量基本定理: 如果三个向量 a、 c不共面, 那么对空间任一 b、 向量 p , 存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得
强调:对于基底 {e1, e2 , e3}
(1)e1, e2 , e3不共面
{e1 , e2 , e3}—-基底
e1 , e2 , e3 --基向量
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.
(3)e1, e2 , e3中能否有0 ?
D
'
C ' (0,1,1) B ' (1,1,1) C (1,1,0) y
A
x
o (0,0,0) B
(1,0,0)
若E1,F1分别是A'B'和C'D' 的一个四等分点,那么 DF1 BE1 又是多少呢?
z D' F1 (0, ,1)

15 答案: 16
x
A'

3 (1, ,1) E1 4
2、难点: 确定空间几何体中顶点和向量的坐标;
P83
9,10,11
例2:如图,是棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D' ,
' 求 ABDC .
解:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐
标系O-xyz,则
所以 A(1, 0, 0), B(1,1, 0), D(0,0,0), C (0,1,1) z AB (1,1,0) (1,0,0) (0,1, 0) DC ' (0,1,1) (0,0,0) (0,1,1) D ' ' ABDC 0 0 11 0 1 1 A '
空间向量的 坐标表示
1、共线向量定理 对于任意两个向量 ab(a ¹ 0) ,则向量 a 与 b , 共线的充要条件是存在实数 l ,使得 b = l a
2、共面向量定理
对于两个不共线向量 a, b ,则向量 p 与向量 a, b
共面的充要条件是存在实数组(x,y),使得
P78
1,2,3,4
(1)AB (2,0,0) (2)AB1 (2,0, 2) (3)AC (2, 2,0) (4)AC1 (2, 2, 2) (5)CD1 (2, 0, 2) (6)C A1 (2, 2, 2)
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知a (2, 3,5), (3,1, 4) b 求a b, a b,8a 解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8 (2, 3,5) (16, 24, 40)
例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.
z A1 B1 C1
D1
ห้องสมุดไป่ตู้A B x
D y
C
1、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
求(1)a b; (2)3a b; (3)6a;
答案: (-2,7,4) (-10,1,16) (-18,12,30)
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