路、Ti ＊广义θ-图的成分着色
离散数学图着色问题算法描述
离散数学图着色问题算法描述离散数学图着色问题，简单来说是指给定一个无向图，如何为每个节点上色，使得相邻节点的颜色不相同。
这个问题可以用图着色算法来解决，下面将对图着色问题的算法描述进行详细介绍。
1. 算法背景介绍在离散数学中，图着色问题是一种经典的组合优化问题，它有广泛的应用领域，如地图着色、时间表排课等。
该问题的关键在于找到一种最少的颜色分配方案，使得相邻节点的颜色不相同。
2. 算法步骤描述（1）初始化：给定一个无向图G，节点数为n，边数为m。
初始时，给每个节点分配一个未被使用的颜色。
（2）排序节点：按照节点的度数降序进行排序，从度数最大的节点开始着色。
（3）节点着色：依次对每个节点进行着色。
对于当前节点v，遍历它的所有相邻节点w，如果w已经被染色，则从可用的颜色集合中去除w的颜色。
最后，将v染色为可用的最小颜色。
（4）重复步骤3，直到所有节点都被染色。
3. 算法实例演示假设有以下无向图G:```A/ \B C/ \ / \D -E - F```首先，对节点进行排序，按照度数降序排序为：E（度数为4），A （度数为3），D（度数为2），B和C（度数为1），F（度数为0）。
接下来，按照排序后的顺序对每个节点进行着色。
首先着色E，将其染色为第一个可用的颜色。
然后是A，由于E已经被染色为第一个颜色，A只能选择剩下的颜色。
接着是D，由于D与已经着色的节点E邻接，所以D需要选择未被使用的颜色。
然后是B和C，它们的邻居节点E和A已经被着色，所以它们只能选择未被使用的颜色。
最后是F，由于F没有邻居节点，可以选择任意颜色。
经过上述步骤，图G的每个节点都被着色，且相邻节点的颜色不相同。
4. 算法分析该算法在最坏情况下需要对节点进行O(n^2)次比较，其中n为节点数。
因此，算法的时间复杂度为O(n^2)。
同时，该算法具有较好的可行性和实用性，对于大部分图着色问题能够给出近似最优的解。
综上所述，离散数学图着色问题的算法描述如上所述。
路的广义Mycielski图的全染色
自然 数 ， Ｉ ） 为 Ｃ的第 一类 广 义 Ｍｙｉｌ ｉ ， （称 Ｇ ｃｅｓ ［ ｋ］
（ ） ｍ ｔ ， ，０ Ｉ１ ２… ， ； ； Ｇ） ，位 … ｖ ： １ ， … ＝ ， ｐ） ￣ １
， ， ，叩 ， … ｔ｝ ，
１ ） 意 的边 ∈ （） 对任 ＥＧ Ａｕ＃ ｖ ） Ａｕ）
删） Ｍ， ） ；
） ，
） ；
目 Ｇ＝ ） １ ０ ＥＧ ， ） Ｇ ｕ ｉ （） ｌ ｝ 秽 ∈ １ ｋ ， ０ １２ … ，－ ｝ ≤ ， ≤ｐ ｉ ， ， ， ｎ ｌ。 ＝ 定义 ４ 对于简单 图 Ｇ ， （） ， 是 （， ｔ ｃｌ ， ｖ ｌ 自然数， Ｇ称为 Ｇ的第二类广义 Ｍ ｃ ｌ ｉ ， ％（） ｙｉ ｓ ［ ｅ ｋ］
是 有 限简 单图 。
其中 Ｖ ∥Ｉ∈ ， ） ＶＧ ＵＶ ＝ ｖ ｝ ＝ ｎ（（） 。 ）
定义
如 果
对 于简 单图 ｃｖ 毋 ， （ Ｉｐ， 是 （， Ｉ ＿ ， ｖ － ｌ
１ 定 义 及 引 理
定 义 １＿ 设 ｃｖ， 【 ｔ 司 （ 目是简 单 图 ， ｋ是 自然数 ， ，是 从 ｖ（） （） ｛，， ，ｋ 的 映射 ，如 果 ｃ ＵＥ Ｇ 到 ｌ２ … ｌ
摘 要： Ｇ是一个 图， 是从 ｖｃ ｕ （） 设 ， （） ＥＧ 到集合 ｃ的一个映射 ， 如果，满足相邻点染 色 不 同 ， 邻 边 染 色不 同， 意 一 个点 与其 关联 的边 染 色不 同 ， 相 任 则称 ，是 图 Ｇ的全 染 色。针 对 此
概 念研 究 了路 的广 义 Ｍｙｉｓｉ ｃ ｌ 图的全 染 色。 ｅｋ
ａ ｙｔｏａｊｃｎ ｅ ｃ ｒ ｄ ｅ，ｎ ｉｅ ｔ ｅｅ ｎ ｄ ｅ ｏｎ ｔ ｙ ｏ ｅｃｌｒ ｇ Ｆ ｒ ｅｃｎ ｅ ｔ ｔｅ ｎ ｗ ｄａ ｅ ｔ ￣ ｅｏ ｇｓ ｉｃｄ ｎ ｔ ａ ｄｅ ｇ ｄ ｏ ｅｓｍ ｏｏ ｎ ． ｏ ｏｃ ｐ， ｈ ｖ ｅ ｖ ｘ ｄ ｉ ｈ ｔ
图的扩容结构下着色与流等若干问题研究的开题报告
图的扩容结构下着色与流等若干问题研究的开题报告一、选题背景图是计算机科学和数学领域中一个重要的抽象概念，包含了节点和边两个元素，被广泛应用于社交网络、路线导航、传感器网络、电路设计等领域。
其中，图的着色和流问题是图论研究中的两个经典问题。
图的着色问题是指给定一个图，为每个节点分配一个颜色，使得相邻的节点颜色不相同。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图涂色、时间表涂色等等。
着色问题是一个NP难问题，因此需要寻找更加高效的算法。
图的流问题是指在一个有向图的网络流模型中，从某个源点出发，流经其他节点到达汇点，并且要求满足每条边的流不超过其容量限制。
网络流模型被广泛应用于问题求解，如匹配、最小割、关键路径等等。
网络流问题也面临着高复杂度和求解效率低下的挑战。
为了解决上述问题，研究人员提出了很多改进算法和数据结构。
图的扩容结构是其中一种常用的数据结构，其能够优化图的着色和流等问题的求解效率。
二、研究目的本文旨在研究图的扩容结构，在此基础上，深入探究以下几个方面问题：1. 针对图的着色问题，研究使用扩容结构来改进现有算法，提高算法的求解效率。
2. 针对图的流问题，研究如何利用扩容结构对现有算法进行优化，并比较其与其他优化算法的求解效率。
3. 探究使用多种不同扩容结构对图的着色和流问题求解的影响，分析其优缺点并比较其求解效率。
三、研究内容本文将自上而下地考察图的扩容结构的各种应用、相关算法和数据结构。
主要内容涵盖以下几个方面：1. 图的扩容结构的定义、特性及其实现方法，重点介绍它在图着色和流问题求解中的应用。
2. 着色问题求解算法的研究，包括贪心算法、约束满足算法等，比较其求解效率。
3. 着色问题求解算法的优化，研究使用扩容结构对算法进行优化，并对比不同算法的求解效率和精度。
4. 流问题求解算法的研究，包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、EK算法等，比较其求解效率。
5. 流问题求解算法的优化，研究使用扩容结构对算法进行优化，并对比不同算法的求解效率和精度。
关于广义θ-图的邻点可区别染色的简单证明
关于广义θ-图的邻点可区别染色的简单证明王志丹;王治文【摘要】在《经济数学》等杂志上已经用穷染法给出了广义θ-图的邻点可区别全染色和邻点可区别边染色,但方法太过繁琐.本文结合P.N.Balister方法从结构上更为简洁的证明广义θ-图的邻点可区别染色的相关猜想.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】5页(P62-66)【关键词】图,θ-图;邻点可区别全染色;邻点可区别边染色【作者】王志丹;王治文【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O157.5定义1 u, v两点间连三条内部不交的路且至多有一条长度为1的图, 称为θ-图．[1].定义 2 u, v两点间连k(k≥4)条内部不交的路且至多有一条长度为1的图, 称为广义θ-图, 并简记为θk(k≥4)．[1]定义3 图G的邻点可区别全染色是一个相邻点的色集合不相等的正常全染色, 其中任意一点的色集合为点上所染的颜色和关联边上所染的颜色构成的集合, 把所用的最少颜色数称为邻点可区别全色数. [2]定义 4 图G的邻点可区别边染色是一个相邻点的色集合不相等的正常边染色, 其中任意一点的色集合为此点相关联的边上所染的颜色构成的集合, 把所用的最少颜色数称为邻点可区别边色数．[3]猜想1 对于阶数至少为2的连通图G, 有χat(G)≤Δ(G)+3.[2]猜想2 若G是一个阶数至少为3的简单连通图且G≠C5,则在《经济数学》等杂志[4]上已经用穷染法给出了广义θ-图的邻点可区别全染色和邻点可区别边染色, 但方法太过繁琐. 本文结合P.N. Balister[5]方法从结构上更为简洁的得到了广义θ-图的邻点可区别全色数和边色数, 有关记号、术语在[6]中可以找到.引理1 对阶数至少为3的简单连通图G, 若有最大度点相邻, 则引理2 若G有两个相邻的最大度顶点, 则χat(G)≥Δ(G)+2.[2]定理1 设H是一个θ4图, 则证明不失一般性, 证明k=4的情况与k=n的情况是一致的, 所以下面给出k=4的证明就可以证明k=n的情况. 通过归纳|E(θ4)|证明此定理. 至少2个顶点的路和至少4个顶点的圈有一个4-邻点可区别全染色[2]. 所以可以假设H是一个θ4图. 不妨设θ4-图的4条不交的路为P1, P2, P3, P4.情况1 路P1, P2, P3, P4的长度都小于等于2. 有两种情况见图1和图2.情况2 路P1, P2, P3, P4中至少有一条路的长度大于2.2.1.1 如果P1=uv, |E(P2)|=2, |E(P3)|>2, |E(P4)|=2．设P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4, dG(zi)=2, 1≤i≤n-1；收缩路P3=uzv, H′是通过收缩这条路获得的图, 由图1知H′有一个6-邻点可区别全染色. 因此, 可以假设不失一般性, 边uz染1, zv染2. 若z不染2, 则不失一般性, 假设z染6. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v可以分别染1和2. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染3-6. 到目前为止, zn-1还没有染. 但至少有2种颜色可以被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 2.1.2 如果|E(P1)|=2, |E(P2)|=2, |E(P3)|>2, |E(P4)|=2．设P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4, dG(zi)=2, 1≤i≤n-1；收缩路P3=uzv；H′是通过收缩这条路获得的图, 由图2知H′有一个5-邻点可区别全染色. 因此, 可以假设不失一般性, 边uz染1, zv染2. 若z不染2, 则不失一般性, 假设z 染5. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v都染1. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染2-5. 到目前为止, zn-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色.2.2.1 如果P1=uv, |E(P2)|>2, |E(P3)|>2, |E(P4)|=2．设P2=uy1y2…yp-1v,p>2, P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4,dG(yj)=2, 1≤j≤p-1，dG(zi)=2, 1≤i≤n-1；收缩路P2=uyv, P3=uzv；H′是通过收缩这两条路获得的图, 由图1知H′有一个6-邻点可区别全染色.因此,可以假设不失一般性, 边uy染2, yv染1. 若y不染1, 则不失一般性, 假设y 染6. 安排y的染色给顶点y1, 边uy1, yp-1v可以分别染2和1. 序列y1y2,y2,y2y3,y3,…,yp-2,yp-2yp-1可循环的染3-6. 到目前为止, yp-1还没有染. 但至少有2种颜色可以被使用染顶点yp-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uz染1, zv染2，z不染2, 则不失一般性, 假设z染6. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v可以分别染1和2. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染3-6. 到目前为止, zn-1还没有染. 但至少有2种颜色可以被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色.2.2.2 如果|E(P1)|=2, |E(P2)|>2,|E(P3)|>2,|E(P4)|=2．设P2=uy1y2…yp-1v,p>2,P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4，dG(yj)=2,1≤j≤p-1,dG(zi)=2, 对于1≤i≤n-1；收缩路P2=uyv, P3=uzv；H′是通过收缩这两条路获得的图, 由图2知H′有一个5-邻点可区别全染色.因此, 可以假设不失一般性, 边uy染2, yv染1. 若y不染1, 则不失一般性, 假设y染5. 安排y的染色给顶点y1, 边uy1, yp-1v都染2. 序列y1y2,y2,y2y3,y3,…,yp-2,yp-2yp-1可循环的染1,3,4,5. 到目前为止, yp-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点yp-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uz染1, zv染2，z不染2, 则不失一般性, 假设z染5. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v都染1. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染2-5. 到目前为止, zn-1还没有染. 但至少有1种颜色被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色.2.3.1 如果|E(P1)|>2, |E(P2)|>2, |E(P3)|>2, P4=uv．设P1=ux1x2…xm-1v,m>2, P2=uy1y2…yp-1v,p>2, P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4, dG(xl)=2, 1≤l≤m-1, dG(yj)=2, 1≤j≤p-1, dG(zi)=2, 1≤i≤n-1；收缩路P1=uxv, P2=uyv, P3=uzv；H′是通过收缩这三条路获得的图, 由图1知H′有一个6-邻点可区别全染色.因此, 可以假设不失一般性, 边ux染5, xv染6. 若x不染6, 则不失一般性, 假设x染1. 安排x的染色给顶点x1, 边ux1, xm-1v可以分别染5和6. 序列x1x2,x2,x2x3,x3,…,xm-2,xm-2xm-1可循环的染4,3,2,1. 到目前为止, xm-1还没有染. 但至少有2种颜色可以被使用染顶点xm-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uy染2, yv染1，y不染1, 则不失一般性, 假设y染6. 安排y的染色给顶点y1, 边uy1, yp-1v可以分别染2和1. 序列y1y2,y2,y2y3,y3,…,yp-2,yp-2yp-1可循环的染3-6. 到目前为止, yp-1还没有染. 但至少有2种颜色可以被使用染顶点yp-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uz染1, zv染2，z不染1, 则不失一般性, 假设z染6. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v可以分别染1和2. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染3-6. 到目前为止, zn-1还没有染.但至少有2种颜色可以被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色.2.3.2 如果|E(P1)|>2, |E(P2)|>2, |E(P3)|>2, |E(P4)|=2．设P1=ux1x2…xm-1v,m>2, P2=uy1y2…yp-1v,p>2, P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4, dG(xl)=2, 1≤l≤m-1, dG(yj)=2, 1≤j≤p-1, dG(zi)=2, 1≤i≤n-1；收缩路P1=uxv, P2=uyv, P3=uzv；H′是通过收缩这三条路获得的图, 由图2知H′有一个5-邻点可区别全染色.因此, 可以假设不失一般性, 边ux染4, xv染5. 若x不染5, 则不失一般性, 假设x染1. 安排x的染色给顶点x1, 边ux1, xm-1v都染4. 序列x1x2,x2,x2x3,x3,…,xm-2,xm-2xm-1可循环的染5,3,2,1. 到目前为止, xm-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点xm-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uy染2, yv染1，y不染1, 则不失一般性, 假设y染5. 安排y的染色给顶点y1, 边uy1, yp-1v都染2. 序列y1y2,y2,y2y3,y3,…,yp-2,yp-2yp-1可循环的染1,3,4,5. 到目前为止, yp-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点yp-1,使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uz染1, zv染2，z不染2, 则不失一般性, 假设z染5. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v都染1. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染2-5. 到目前为止, zn-1还没有染.但至少有1种颜色可以被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色.如果|E(P1)|>2,|E(P2)|>2，|E(P3)|>2，|E(P4)|>2．设P1=ux1x2…xm-1v,m>2, P2=uy1y2…yp-1v,p>2, P3=uz1z2…zn-1v,n>2,P4=uw1w2…wq-1v,q>2,且dG(u)=dG(v)=4, dG(xl)=2，1≤l≤m-1, dG(yj)=2,1≤j≤p-1, dG(zi)=2, 1≤i≤n-1, dG(wk)=2, 1≤k≤q-1；收缩路P1=uxv，P2=uyv，P3=uzv，P4=uwv；H′是通过收缩这4条路获得的图, 由图2知H′有一个5-邻点可区别全染色.因此, 可以假设不失一般性, 边ux染4, xv染5. 若x不染5, 则不失一般性, 假设x染1. 安排x的染色给顶点x1, 边ux1, xm-1v都染4. 序列x1x2,x2,x2x3,x3,…,xm-2,xm-2xm-1可循环的染5,3,2,1. 到目前为止, xm-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点xm-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uy染2, yv染1，y不染1, 则不失一般性, 假设y染5. 安排y的染色给顶点y1, 边uy1, yp-1v都染2. 序列y1y2,y2,y2y3,y3,…,yp-2,yp-2yp-1可循环的染1,3,4,5. 到目前为止, yp-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点yp-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uz染1, zv染2，z不染2, 则不失一般性,假设z染5. 安排z的染色给顶点z1, 边uz1, zn-1v都染1. 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染2-5. 到目前为止, zn-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点zn-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 若边uw染5, wv染4，w不染4, 则不失一般性,假设w染1. 安排w的染色给顶点w1, 边uw1, wq-1v都染5. 序列w1w2,w2,w2w3,w3,…,wq-2,wq-2wq-1可循环的染2,3,4,1. 到目前为止, wq-1还没有染. 但至少有1种颜色可以被使用染顶点wq-1, 使得得到正常的邻点可区别全染色. 证毕.定理2 设G是一个广义θ-图,则证明与定理1的证明一样.定理3 设H是一个θ4图, 则证明通过归纳|E(θ4)|证明此定理. 至少三个顶点的路和圈有一个5-邻点可区别边染色[3], 所以假设H是一个θ4图.不妨设θ4-图的4条不交的路为P1, P2, P3, P4.情况1 路P1, P2, P3, P4的长度都小于等于2. 2种情况见图3和图4.情况2 路P1, P2, P3, P4中至少有一条路的长度大于2.这一问题的证明方法与定理1的证明方法类似, 下面以一种情况为例, 来讨论它的邻点可区别边染色.若存在一条路的长度大于2. 如果P1=uv,|E(P2)|=2,|E(P3)|>2,|E(P4)|=2．设P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4,dG(zi)=2, 对于1≤i≤n-1；收缩路P3=uzv；H′是通过收缩这条路获得的图, 由图3知H′有一个5-邻点可区别边染色. 因此, 可以假设不失一般性, 边uz染1, zv染2. 安排边 uz1染1, zn-1v染2, 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染3,4,5.如果|E(P1)|=2,|E(P2)|=2,|E(P3)|>2,|E(P4)|=2．设P3=uz1z2…zn-1v,n>2, 且dG(u)=dG(v)=4, dG(zi)=2,1≤i≤n-1；收缩路P3=uzv；H′是通过收缩这条路获得的图, 由图4知H′有一个4-邻点可区别边染色. 因此, 可以假设不失一般性, 边uz染1, zv染2. 如果n=3, 见图5. 如果n>3, 安排H的边uz1, zn-1v都染1, 序列z1z2,z2,z2z3,z3,…,zn-2,zn-2zn-1可循环的染2,3,4. 其他情况的分类与定理1相同, 证明方法与以上证明方法类似．定理4 若G是一个广义θ-图, 则证明与定理1的证明一样.【相关文献】[1] 张和平,欧阳克智. θ-图及其线图的联结数[J].兰州大学学报(自科版),1992,28(3):6-11.[2] 张忠辅,陈祥恩,李敬文,等．关于图的邻点可区别全染色[J].中国科学A,2004, 34(5):574-583.[3] ZHANG Z F,LIU L Z, WANG J F. Adjacent strong edge coloring of graphs[J].Applied Mathematics Letters,2002,15(5):623-626.[4] 闫丽宏,王治文,张忠辅.广义θ-图的邻点可区别的全染色(英文)[J].经济数学, 2007,24(1):103-106.[5] BALISTER P N, GYORI E, LEHEL J，et al.Adjacent vertex distinguishing edge-colorings[J]. Siam Journal on Discrete Mathematics,2007,21(1):237-250.[6] BONDY J A,MURTY U S R.Graph theory with applications[M].New York: The Macmillan Press Ltd,1976.。
图的着色问题 ppt课件
PPT课件
3
顶点着色－基本概念
• 独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若 中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一 个独立集。
• 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立 集S'，则称S为G的最大独立集。
• 极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K 的任一顶点v，K+v都不是G的独立集，则称K是 G的一个极大覆盖。
先求图G的极小覆盖，
பைடு நூலகம்
化简得
(a bd)(b aceg)(c bdef )(d aceg)(e bcdf )( f ceg)(g bdf )
aceg bc deg bdef bdef bcdf
故G的极小覆盖为 {a,c,e, g},{b,c, d,e, g},{b, d,e, f },{b,c, d, f } 取其补集，得到G的所有 极大独立集： • Step2：求出一切若干极大独立集和所有{b,顶d,点f }的,{a子, f集},{a,c, g},{a,e, g}
但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的c涂颜色3。
由此可见，求色数其需要求极大独立集以
及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子
集，对于大图，因为图计算量过大而成为实
际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法，
（ii）若G为偶图，则X（G）=2 （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值）
PPT课件
5
顶点着色－求顶色数的算法设计
我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色 时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕， 所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。
θ-图的连续边着色
3.四类圈树的连续边着色 [J], 王俊梅
4.几类图的连续边着色 [J], 王俊梅;王世英
5.几类3-圈图的连续边着色 [J], 闫秀琴;王世英
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【总页数】4页(P147-150)
【作 者】冯永锝;翟绍辉
【作者单位】新疆大学,数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046;新疆大学,数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046
【正文语种】中 文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1., 刘红美;陈泽乾
θ-图的连续边着色
冯永锝;翟绍辉
【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(022)002
【摘 要】Given a simple graph G , an edge-coloring of G with colors 1,2,3 is consecutive if the colors of edges incident to each vertex form an interval of integers. In this paper we prove that θ-graph has such a consecutive edge-coloring.%设G是简单图,用颜色1,2,3……对G的边着色.如果每一顶点所关联的边上着的颜色构成一个连续的整数集合,那么就称这个边着色是连续的.本文中证明了θ-图有这样的连续边着色.
《图论》第6章-图的着色
6.1 色数
[定理6-1-1] k-临界图 G=(V, E), =min{deg(vi)|viV}, 则
k-1。
[证明]反证法：设 G 是一个 k-临界图且 <k-1。又设v0V， deg(v0)= 。由 k-临界图的定义，Gv0 是 (k1)可着色的， 在一种 k1着色方案下，Gv0 的顶点可按照颜色划分 成 V1,V2, …, Vk-1 共 k1块，块 Vi 中的顶点被涂以颜色 ci。由于deg(v0)< k1，v0 至少与其中一块 Vj 不邻接即与 Vj 中的任何顶点不邻接。此时可将 v0 涂以颜色 cj，
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第十二页，编辑于星期六：八点 一分。
6.1 色数
[五色定理] (1890, Heaword) 任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]设简单平面图 G=(V, E)，对 n=|V| 作归纳。
n 5时容易讨论结论成立。
设 n = k1时，结论成立。 当 n = k 时，由[定理5-1-8]简单平面图 G 至少有一个顶点的度 小于6。故可设 v0V，deg(v0) 5。设 G=Gv0，由归纳假设
何顶点的度不小于 k-1。又 G 为 k 色图，其中至少有 k 个顶点。
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第九页，编辑于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期六：八点 一分。
6.1 色数
[推论2] 对 G=(V, E)， =max{deg(vi)|viV}，有 (G) +1。
[证明] 设 (G)=k，由推论1，有 vV，使得 deg(v) k-1
又： deg(v) 故： k-1 或 (G)-1 即： (G) +1
图所示。
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第十三页，编辑于星期六：八点 一分。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
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１ 引言 ．
成 分着色 是 文献 ［ ］ １ 的作者 给 出了不 同于超 图 （ ） 图 边着 色 的另一 种着 色方 法 ， 种着色 方法 主要针 对 ｒ 这
…
．
致 完 全超 图 。事 实 上 ， 图论 中知 道要 么 图是连通 的 ， 么它 的 补 图是连 通 的 ， 当 ｒ 在 要 即 ：２时 ， Ｋ ）＝ ． （
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ｌ 。由文献 ［ 中的定理 Ｉ３可知 ： ≤ｒ则 （ １ Ｊ ． 当 ， Ｋ ）＝ｌ 这显然 是对 图论结 果 的 一种 推广 。作 者在文 献 ［ ］ ， １
证明了当 ｋ ＋ （ 的上下界 ； ＝ ， —ｌｎ （ ） ≤ｒ １ Ｋ ） 当ｋ ３ ｎ ， 的值。另外 ， 作者也讨论 了 ｋ 取其它特定值时 ， （ 的值 作 者在文 献 ［ ］ Ｋ） １ 的最后 提 到 了利用 上 述 着 色方 案 ， 全 二 部 图也 有 类 似 于 完全 图 Ｋ 完 的结 果 。 本人 受 到文献 ［ ］ Ｉ 的启 发研 究 了路 、 、 义 ０ 广 一图的成分 着色 。 以下是这 篇文 章所 涉及 的相关 概念 。
（ ｔｓ ｎ ｎ ｒ ａｉ ｃ ｎ ｅ ， ｉ ｉｎ ｄ ｃｔ ｎ Ｉｓ ｈｄ ， ＩＩ ｉ ｉｊ ｎ ３ ￣ ３ Ｃ ｉａ １Ｍａ ｄ Ｉｆ ｍ ｔ ｎ Ｓ ｉ ｃ ｓ Ｘ ｎ ａ ｇＥ ｕ ａ ｏ ｎ ｔ ａ Ｕ Ｕ ｑ ，Ｘ ｎｉ ｇ８ ０ ｈ ａ ｏ ｏ ｅ ｊ ｉ ｉ ｅ ｎ ａ ， ｈｎ ； ２ Ｍ ｔｍ ｔ ｃｅ ｃ ｓ ｏｌ ｅ Ｘ ｎｉｎ ｏｍ ｌ ｎｖ ｒ ｔ ， ｍｍｑ ， ｉ ｉ ｇ８ ０ ５ ， ｈ ａ ａｈ ａｉ Ｓ ｉ ｅ Ｃ ｌ ｇ ， ｉ ａ ｇＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｕ ｃ ｎ ｏ Ｊ ｅｉ ｉ Ｘｎ ａ ３０ ３ Ｃ ｉ ） ｊｎ ｎ
关 键 词 ： ； ｉ； 义 ０一图 ； 色 ； 路 Ｔ 广 着 分枝 数 中 图 分 类 号 ： １７ ５ Ｏ ５ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１０ ０ ９—１４ （０ ０ ０ ０ ４ ０ ５８ ２ １ ）４— ０ ７— ２
Ｅｄ ｅ ｃ ｌ ｉ ｇ ｏ ｔ ，Ｔｉ ａ ｅ ｅ ａ ｉ ｅ ～ Ｇ ｒ ｐｈ ｗｉｈ ａｎ ｏｍ ｐｏ ｅ ｓ ｇ ｏ ｏｒｎ ｆＰａ ｈ ｎｄ Ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ０ ａ ｔ ｍ ｙｃ ｎ ｎｔ Ｗ ａ ｇ Ｎａ ＤＵ ｉ— ｈ ａ ｎ ． Ｚｈ ｕ
第 ２０卷 ２０１ ０年
第 ４期 第 ４期
兵 团 教 Байду номын сангаас 学 院 学 报
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路、 术、 义 ０一图 的成 分 着 色 广
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王 娜 杜 智 华 ，
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摘
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