高中数学人教版必修第一章解三角形单元测试卷(B)0
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
高二数学人教版：第一章 解三角形单元检测试卷 Word版含解析
第一章 解三角形 专项训练试卷(名师精选试题+详细解答过程，值得下载打印练习)一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若A ＋C ＝2B ，有a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A.2 B.3 C.32D ．2答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53 B.54 C.55 D.56答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b ，故选A.5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．(－∞，0) C ．(－12，0) D ．(12，＋∞)答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m k ＋mk 3mk >m k ＋，∴k >12.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922 B.924 C.928D ．92答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.7．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析 ∵sin A ＝sin C 且A 、C 是三角形内角， ∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则AC 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．(0,2] D ．(2，3)答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜π－3∠A ＜π2，0＜2∠A ＜π2⇒π6＜∠A ＜π4， 由正弦定理ACsin B ＝BCsin A得AC ＝2cos A .∵∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解；故A 、B 、C 都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos∠AMB ① 在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.二、填空题11．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________． 答案 13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab＝13，所以cos C ＝13. 12．在△ABC 中，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知3sin A ＝5sin B ，利用正弦定理可得3a ＝5b . 由3a ＝5b ，b ＋c ＝2a ，利用余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.C ∈(0，π)，C ＝23π.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.14．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km. 答案36解析 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BC sin∠CAB ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36(km)． 三、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间． 解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2(t ＝－34舍去)．答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时． 17．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A＝5.18．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝3.。
高中数学第一章解三角形章末测试题(B)新人教版必修5
第一章章末测试题（B ）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 •在△ ABC 中，已知a = .3 b = 1, A = 130°,则此三角形解的情况为 （ ）A. 无解 B .只有一解 C.有两解 D.解的个数不确定答案 B解析 因为a >b , A = 130°,所以 A >B,角B 为锐角.因此该三角形只有一解. 2 .在△ ABC 中，若 B= 120°,贝U a 2+ ac + c 2- b 2 的值（ ）A. 大于0B.小于0C.等于0D.不确定答案 C2 2 2 2 2 2即 a + c - b =- ac .故 a + ac + c - b = 0.3.已知△ ABC 中, si nA ： sin B ： si n C = 1 : 1 : ；'3，则此三角形的最大内角的度数是 （ A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°答案 C解析 •••在△ ABC 中, si nA ： sin B: sin C = a : b : c ,••• a : b : c = 1 : 1 : .''3.设 a = b = k , c = ：3k ( k >0),小 k 2+ k 2- (5k 2 1 亠 o …则 cos C = 2x k x k=-勺故 * 120° 应选 G2 24.若△ ABC 的内角A , B, C 所对的边a , b , c 满足(a + b ) - c = 4,且c = 60°，贝U ab 的值为()A.3B. 8 - 4 3 2C.1D.3答案 A解析 由(a + b )2-c 2 = 4, 得 (a 2 + b 2-c 2) + 2ab = 4.①2 2 2T a + b - c = 2ab cos C,方程①可化为 2ab (1 + cos C ) = 4.24解析 根据余弦定理，得 cos120°=a 2+ c 2-b 2 2ac因此，ab= .又T C= 60°,. ab=?1 + cos C 3的方程（a 2 + bc ） x 2 + 2 _ b 2 + c 2x + 1 = 0 有两个相B. 90° D. 30°A = 4（ b 2+ c 2） — 4（ a 2+ bc ） = 0,二 b 2 +c 2— a 2 = b 2= ac, 2b = a + c ,则此三角形是（）B. 直角三角形 D.等边三角形 则x 的取值范围是（ ）b <a ,方法二T 要使三角形有两解，则b >a sin B,5•设a , b , c 为厶ABC 勺三边，且关于 等的实数根，则A 的度数是（ ）A . 120° C. 60° 答案 C解析 •••由题意可知题中方程的判别式 1 be ，cos A = 2*又••• 0°< A <180°,A A = 60°.6.若△ ABC 的三边分别为 a , b , e ,且满足 A .等腰三角形 C.等腰直角三角形 答案 D2 2解析■/ 2b = a + c ,「. 4b = （a + c ）. 又••• b 2= ac ,「.（a — c ）2 = 0. /• a = c . /. 2b = a + c = 2a . /. b = a ,即卩 a = b = c . 故此三角形为等边三角形. 7.已知在△ ABC 中, a = x, b = 2, B = 45° .若此三角形有两解, A . x >2 C. 2<x <2 2 答案 CB. x <2 D. 2<x <2 3解析方法一要使三角形有两解，则a >b ,且 sin A <1.•• •由正弦定理可得a bsin A sin B即 sin A =a sin B 空b 4x >2,2 x <1. 4••• 2<x <2 2.2<x , 即2>x s• 2<x <2 , 2.&某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为（）A. d i>d2B. d i = d2C. d i<d2答案C解析D.不能确定大小设山顶为点P,山高为PD第一、二、三辆车分别为A, B, C,俯角差为如右图，由题知/ CPB=Z BPA= a，由正弦定理，得d2sin aPB d isin / PCB sin aa，作出图像= PB=sin / PAB即PBs in a = d2sin / PCB= d i sin / PAB 又T sin / PAB sin / PCB 二d i <d2.9.已知锐角三角形的三边长分别为A. 1<a<5C. 7<a<5答案C解析由锐角三角形及余弦定理知：3,4 , a,贝U a的取值范围为（）B. 1<a<7只2 2 ,2 只 2 —3 + a -4 >0, a >7,32+ 42-a2>0, ? a2<25, ? 7<a<5.a>0 a>010. (2013 •新课标全国I )已知锐角厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, + cos2A= 0, a= 7, c = 6,贝U b=( )2 b, c, 23cos AA. 10B. 9C. 8答案DD. 52 2 1解析 由 23cos A + cos2A = 0,得 cos A^ —.5n1T A € (0 , —) , :. cos A = 5.13「••• b = 5或b = — w(舍)•故选D 项・5 511.轮的速度为( )A. 20( ：2+ ⑹ n mile/hB. 20( ：6— ：2) n mile/hC. 20( ：3+ '6) n mile/hD. 20( ,：6— ：3) n mile/h 答案 B解得 MN 10(—⑵(n mile).故所求货轮的速度为10—'：—2，即200.6 — 2)(n mile/h)212.在厶ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b , c.已知8b _ 5c , C _2B ,则cos C _ ( )_7_ 25236 + b — 49 2X6 b如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔 S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行 30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货解析 在厶 MNS^, / SMN= 45°, / MN 9 105°, / MSN= 30°,是 MN _20疋 sin30 ° sin105 ° ，B.又••• 0°< C <180°,「. C = 120°.14.在厶 ABC 中，已知 D 为 BC 边上一点，BC =3BD AD={2,/ AD =135°,若 AC={2 AB 贝UBD= _____________ .答案 2+〔 5 解析如图，设 AB- k ,贝U AC = .2k . 再设 BD= x ,则 DC = 2x .C. 土7 25 24 D .25答案 解析在厶ABC 中，由正弦定理，得-卫B i Csin B sin CC c sin2 B 8 sin B —b ，…sin B — 5,sin 4 cos B =匸.527••• cos C = cos2B = 2cos B — 1 =亦.、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共20分，把答案填在题中的横线上 13.已知在厶ABC 中, 7 8 13sin A sin B sin C ，则C 的度数为答案 120° 解析b ____ 二 及 _______ _ 13 sin B sin C 及sin A sin B sin C ，13.设 a =7k , b = 8k , c =13k (k >0), 则有cosC=2 27k + 8k — 13k2X7 kX8k12.在厶ABD 中，由余弦定理，得k 2= x 2+ 2-2 • x • ：2 • ( — -2-) = x 2+ 2 + 2x .①在厶ADC 中，由余弦定理，得2k 2 = 4x 2 + 2 — 2・2x ・ ,''2 • #= 4x 2+ 2 — 4x ,2 2即 k = 2x + 1 — 2x .②由①②得x 2— 4x — 1 = 0，解得x = 2 + '5(负值舍去). 故 BD= 2 +，: 5.15.在△ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .若 a = ：2 b = 2, sin B + cos B= 羽，贝U A 的大小为 ________ .n答案召解析 ■/ sin B + cosB= ：2sin( — + E ) = ：2 ,n nsin( + B ) = 1.又T 0<B < n,「. B =—.44n又T a <b ,「. A <B A =—.616. 在△ ABC 中，已知(b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6,给出下列结论: ① 由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②、ABC-定是钝角三角形；③ sin A ： sin B ： sin C = 7 : 5 : 3; ④ 若b + c = 8，则△ ABC 的面积是 咯卫 其中正确结论的序号是 _________ 答案②③ 解析 由(b +c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6，可设 a = 7k , b = 5k , c = 3k ( k >0), a , b ,c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误.•••结论②正确.T sin A ： sin B ： sin C = a : b : c = 7 : 5 : 3,由正弦定理，得 sin A =a sin B•' cos A =2 25k+3k — 2X5k X3 k7k2-<0,4•••结论③正确.结论④不正确.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 17. （10分）解答下列各题：⑴ 在厶ABC 中，已知C = 45°, A = 60°, b = 2,求此三角形最小边的长及 a 与B 的值;⑵ 在厶ABC 中，已知 A = 30°, B = 120°, b = 5,求C 及a 与c 的值.解析（1） T A = 60°, C = 45°,「. B= 180°— （A + C = 75°. • C <A <B • c <a <b ，即 c 边最小.综上可知，最小边 c 的长为2 3— 2, a = 3 2 —6, B = 75⑵••• A = 30°, B = 120°,「. C = 180°— (A + B ) = 30°.由 cos2 C = 2cos 1 2 3 4C — 1 =—一及 0<C < n,4 得 cos C =±118.（12分）仁ABC 中, 角 A B ，C 所对的边分别为a , b, c ,已知cos2C=--(1)求sin C 的值；⑵ 当a = 2,2sin A = sin C 时，求b 及c 的长.21解析 (1) T cos2C = 1 — 2sin C = ——, 0<C <n, 4 •- sin C =(2)当 a = 2,2sin A = sin C 时,1•' cos A = — 2,sin A = ~2，若 b + c = 8,不妨设 b = 5, c = 3, a = 7,贝U &AB =15 3 4由正弦定理可得b sin A 2sin60 sin B sin75b sin Cc == sin B2sin45 sin75=2 3 — 2.b sin A 5sin30 sin B sin1205 ;3 3综上可知， C = 30°, a = c =寧.3由正弦定理 a sin A c sinC得 c = 4. 由正弦定理可得19. （12分）已知△ ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a , b , c , a sin A + c sin C — 2a sin C =b sin B.⑴求B ;⑵若 A = 75°, b = 2，求 a , c .解析 （1）由题意结合正弦定理，得由余弦定理，得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, a 2+ c 2— 2ac = b 2.故cos B =扌.又B 为三角形的内角，因此B = 45°(2)由于 sin A = sin(30 ° + 45°) =sin30 ° cos45°+ cos30° sin45 ° b sin A2 + 6 -故 a = = ■一 = 1+ 3,sin B ^[2 vb sin Csin60° c== 2x=.6.20. （12分）在锐角△ ABC 中,内角A , B, C 所对的边分别为 a , b ,c ,已知，3a = 2c sin A（1）求角C 的值;⑵若c = . 7, 且S\ABC = 2，求a + b 的值.a 2sin A sin A解析 (1)由｛3a = 2c si n A 及正弦疋理，得c = ^3 = C•/ sin A M 0,「. sinn又•••△ ABC 是锐角三角形，••• C =§.— n⑵方法一一 c = I 7, C = ~,由面积公式，得 ^ab sin 寸=^J^, 即卩ab = 6.①22n由余弦定理，得 a + b — 2ab cos — = 7,3 即 a 2 + b 2 — ab = 7.② 由②变形得(a + b ) = 3ab + 7.③由余弦定理 c 2= a 2 + b 2— 2ab cos C,得 b 2± 6b — 12= 0(b >0)，解得 b = 6或 b = 2 6.故 b= 6,或 b=2 6, c = 4 c = 4.将①代入③得（a + b ） = 25,故a + b = 5.方法二 前同方法一，联立①②得a +b - ab = 7,a +b = 13,? ab = 6ab = 6,4 2 消去b 并整理得a - 13a + 36= 0,解得a = 4或a = 9,a = 2,a = 3, 即 或 故a +b = 5.b = 3 b = 2.21. （12分）已知△ ABC 勺面积是30,其内角A, B, C 所对边长分别为 a , b , c ,且cos A 12(1)求AB- AC;⑵若c — b = 1，求a 的值.1又T ^bc sin A = 30,— bc = 156.⑵ a 2= b 2+ c 2— 2bc cos A = (c — b )2+ 2bc (1 — cos A ) = 1 + 2x 156x (1 — 又a >0,「. a = 5. 22. (12分)(2013 •山东)设厶ABC 的内角 A , B, C 所对的边分别为 a , b , c ,且a + c = 6,7b = 2, cos B = 9.(1)求a , c 的值；⑵求sin( A- E )的值.解析 (1)由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2ac cos B, 得 b 2 = (a + c )2 — 2ac (1 + cos B ).所以 ac = 9,解得 a = 3, c = 3., 亠宀 + a sin B 2\f2由正弦疋理得sin A =〒=亏.因为a = c ,所以A 为锐角.解析12 由 cos A = --, 得 sin A = 13 12 2 13(1) AB • AC= bc cos A = 156 x 12 13 144. 12后)=25.⑵在厶ABC 中, sin B =#1 —cos 2B =4 .2- 1 所以cosA= 1 —sin 2A= 3.因此sin( A—B)=sin A cos B—cos A sinB=10.2 27。
人教B版高中数学必修五高二《第一章解三角形》单元测试题.docx
（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3102. 在△ABC 中，3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A 3．3 C 33．23. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．239 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-57.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形8.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ． ()10,8D ．()8,10 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( )A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45°C.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60°11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．152二、填空题（每小题4分，满分16分） 13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b c A B C +=+. 其中恒成立的等式序号为______________14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版必修5
第一章 解三角形(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4C.π6D. π12解析：选A 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin 角△ABC ，所以A ＝π3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C C ＝3a sin ( ) A.π6 D.5π6c sin C ＝3a sin B ，由正弦定理可知a 2＋b 2－c20<C <π，所以C ＝π6.c ＝150，则△ABC 的形状是( )解析：选D 由正弦定理可得sin C ＝c sin B b ＝32.∵b <c ，∴C ＝60°或120°.从而A ＝90°或A ＝B ＝30°.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则 2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A.19B.13C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析：选C ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3＝a 2＋c 2－b 22ac，又因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以B ＝π3或2π3. a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )D.14解析：选D 因为sin A ＝3，由正弦定理得c ＝3a ，又因为b 2－a 2＝52ac ，所以b 2＝172a 2，由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋9a 2－172a 26a2＝14. 8．已知等腰三角形ABC 的面积为32，顶角A 的正弦值是底角B 正弦值的 3 倍，则该三角形一腰的长为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 6解析：选A 依题意b ＝c ，sin A ＝3sin B . 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝3b .∴三角形底边上的高h ＝ b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12b .又三角形的面积为32，∴32＝12×3b ×b 2， ∴b ＝ 2.9．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，其面积S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B.13或37 C.37 D.13解析：选D 因为S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝33，所以sin A ＝32，又因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos A ＝9＋16－2×3×4×12＝13，∴BC ＝13.10.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532m C ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－1922×15×10＝－12.∴sin ∠ACB ＝32. 又∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 11．在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：选A 由已知3b ＝23a sin B 可得bsin B＝a32，根据正弦定理 知sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°.又cos B ＝cos C ，∴B ＝C . ∴A ＝B ＝C ＝60°或A ＝120°，B ＝C ＝30°， 所以选A 项．12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1 α＝2sin α再由余弦定＝2－2cos α，故正方形的面积为2α＋2.分，把正确答案填在题中的横线上) ________．设BC 中点为D ，连结AD ， 则AD ⊥BC .在Rt △ABD 中， cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14.设AB 中点为点E ，连结CE ， 则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·c os B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2，∴CE ＝62a . 答案：62a 14．在△ABC 中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是－12，则△ABC 面积等于________．解析：由题意得：a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，则A 为最大角，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝c ＋2＋c 2－c ＋2c ＋c＝c 2＋4c ＋4＋c 2－c 2－8c －162c c ＋＝c 2－4c －122c 2＋4c ＝－12，即c 2－4c －12＝－c 2－2c .即c 2－c －6＝0. 解得c ＝3，或c ＝－2(舍)．∴a ＝7，b ＝5，A ＝120°.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝15 34.答案：15 3415．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，C ＝π3，则b ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12，因为a <c ，所以A ＝π6，B ＝π2，则b ＝c 2＋a2＝4.答案：416．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，对塔顶A 的仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°， ∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO .令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x .在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0.解得x ＝10，或x ＝－5(舍去)．所以塔高为10 m. 答案：10 m三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知 b ＝4, △ABC 的面积为6，求边长 c解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.3 2.，得c ＝10.A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足4a cos B .B 及正弦定理得 4sin A cos B －sin B cosC ＝sin C cos B ，∴4sin A cos B ＝sin(B ＋C )，即4sin A cos B ＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝14.(2)∵ac ＝12，b ＝32及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2＝24，由a 2＋c 2＝24及ac ＝12解得a ＝c ＝2 3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b 2＋c2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小； (2)如果cos B ＝63，b ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为cos B ＝63，B ∈(0，π)， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝33. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝3.因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以c 2－2c －5＝0，解得c ＝1±6， 因为c >0，所以c ＝6＋1.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32＋32.20．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ， 又sin A ≠0，则sin C ＝32， ∴C ＝π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3.(2)∵c ＝3，sin C ＝32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋ 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜A ＜π2， ∴32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 则△ABC 周长的取值范围是(321．(本小题满分12分)A ，B a ，b ，c .若mcos A ，sin A ，⎛cos A ，＝3，求b ＋c 的值．A ＝12，∴cos A ＝－2.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12bc ·sin 2π3＝3，∴bc ＝4.又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ， ∴16＝(b ＋c )2，故b ＋c ＝4.22．(本小题满分12分)如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)解：轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行， 由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°， 在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x， 在△ABC 中，由正弦定理得BCsin ∠BAC ＝ABsin C ，即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433.在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝313(千米)． 故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时).。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
高中数学 第一章 解三角形单元检测(A卷)新人教B版必修
第一章解三角形单元检测(A 卷)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ＝2∶5，则边b ∶a 等于( )．A ．2∶5或4∶25 B．5∶2 C ．25∶4 D ．2∶52．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＋sin 2B ＝sin A ·sin B ，则∠C 为( )．A ．60° B．45° C．120° D．30°3．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则sin A 的值为( )．A ．19B ．7C ．38D ．194．(辽宁高考，理4)△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ，则b a＝( )．A ．．5．根据下列条件，确定△ABC 有两解的是( )．A ．a ＝18，b ＝20，∠A ＝120°B ．a ＝60，c ＝48，∠B ＝60°C ．a ＝3，b ＝6，∠A ＝30°D ．a ＝14，b ＝16，∠A ＝45°6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，那么三边之比a ∶b ∶c 等于( )．A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C D7．在△ABC 中，a ＝2，∠A ＝30°，∠C ＝45°，则S △ABC ＝( )．8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，C ．若a 2－b 2，sin C ＝B ，则∠A ＝( )．A ．30° B．60° C．120° D．150°9．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝16，面积S =，则BC 的长为( )．A ．．75 C ．51 D ．4910．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则f (x )的图象( )．A ．与x 轴相切B ．在x 轴上方C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在△ABC 中，a =，1cos C =，ABC S ∆=b ＝________.12．在平行四边形ABCD 中，AB =AC =∠BAC ＝45°，则AD ＝________.13．(福建高考，理14)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC =点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．14．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为x ，b ，c ，若满足b ＝2，∠B ＝45°的三角形有两解，则x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)在△ABC 中，a ＝8，b ＝7，∠B ＝60°，求c 及S △ABC ．16．(10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求B ．17．(10分)在△ABC 中，已知(a 2＋b 2)sin(∠A －∠B )＝(a 2－b 2)sin(∠A ＋∠B )，试判断△ABC 的形状．18．(12分)(山东高考，理17)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知cos 2cos 2=cos A C c a B b--. (1)求sin sin C A的值； (2)若1cos 4B =，b ＝2，求△ABC 的面积S . 19．(12分)如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 和P 的距离为x km ，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．参考答案1. 答案：B2. 答案：A3. 答案：A解析：由余弦定理可求得c =sin A =4. 答案：D5. 答案：D 解析：16sin sin 45>sin 45sin sin 14a b B A B =⇒=︒︒，又b ＞a ， ∴∠B 有两解．故△ABC 有两解．6. 答案：C解析：易知∠A ＝π6，∠B ＝π3，∠C ＝π，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ∶2.7. A B ． D ．12 答案：C解析：由sin sin a c A C=得c =B ＝105°，S △ABC ＝12ac sin B . 8. 答案：A解析：利用正弦定理，sin C ＝B 可化为c =．又∵22a b -=，∴2226a b b -=⨯=，即a2＝7b2，a=．在△ABC中，222cos2b c aAbc++===，∴∠A＝30°.9.答案：D解析：∵S＝12AC×AB×sin A＝12×16×AB×sin 60°＝=AB＝55，再由余弦定理得BC＝49.10.答案：B解析：∵b2＞0，Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bc cos A)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)＜0.∴f(x)的图象在x轴的上方．11.答案：解析：∵1cos3C=，∴sin3C=，S△ABC＝12ab sin C＝12b⋅⋅=b=.12.答案：解析：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝48，∴BC=AD BC==13.解析：在△ABC中，由余弦定理得222cos22AC BC ABCAC BC+-===⋅⋅，∴∠C＝30°.在△ADC中，由正弦定理，得sin sinAD ACC ADC=∠，∴122AD=.故AD=14.答案：解析：由正弦定理得2sin45sinxA=︒，又恰有两解，由sin A的取值范围可解得x∈．15.解：由余弦定理得82＋c2－2×8×c×cos 60°＝72，即c2－8c＋15＝0，∴c＝3或5.当c＝3时，1sin2ABCS ac B∆==当c＝5时，1sin2ABCS ac B∆==16.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bc cos A，又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2c·cos A ＋2.由正弦定理得sin=sinb Bc C，又由已知得sin=4cossinBAC，∴b＝4c·cos A，由=2cos2=4cosb c Ab c A+⎧⎨⎩，，可得b＝4.17.解：由已知有a2sin(∠A－∠B)＋b2sin(∠A－∠B)＝a2sin(∠A＋∠B)－b2sin(∠A＋∠B )，即2a 2cos A sin B －2b 2cos B sin A ＝0，∴a 2cos A sin B －b 2sin A cos B ＝0.由正弦定理，上式可化为sin 2A cos A sin B －sin 2B sin A cos B ＝0， 即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，∵sin A ≠0，sin B ≠0，∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＋2∠B ＝π，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．18. 解：(1)由正弦定理，设=sin sin sin abck A B C ==， 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==， 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B --=，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ．化简可得sin(∠A ＋∠B )＝2sin(∠B ＋∠C )，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以sin C ＝2sin A ． 因此sin 2sin CA =.(2)由sin 2sin CA =得c ＝2A ．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1.从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0＜∠B ＜π，所以sin 4B =.因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=.19. 解：(1)依题意可知，PA －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)，∴PB ＝(x －12) km ，PC ＝(x ＋18) km.在△PAB 中，AB ＝20 km ，由余弦定理得222cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠=⋅22220123322205x x x x x +-(-)+==⋅.同理，cos∠PAC ＝723xx -.由于cos∠PAB ＝cos∠PAC ，即3327253x xx x +-=，解得1327x =(km)．(2)作PD ⊥a ，垂足为D ，∴∠APD ＝∠PAB ．在Rt△PDA 中，PD ＝PA cos∠APD ＝3325x x x +⋅≈17.71(km)．答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.。
人教版必修5高二年数学第一章解三角形检测卷(含答案)
第一章 解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、 选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（ ）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、 填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小； （2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。