2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(1)阶段复习课
2018秋高一数学必修一课件：第二章 基本初等函数Ⅰ 23 精品
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(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1 ＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15·llgg
5 lg 2·lg
2 lg 3·lg
35＝－15.
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易错点 换底公式不熟练致误
6.log29·log34＝( )
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A.4
B.2
人教A版 ·必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2．2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算 课时23 对数的运算(2)
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课前预习作业
1．对数换底公式 logcb
logab＝___lo_g_c_a____ (a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)． 2．由对数换底公式可得下面的结论
n (1)logambn＝__m__lo_g_a_b__；
9，∴m＝9.
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4．[2016·烟台高一检测]已知 3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，则 c 的值为__1_5_____． 解析 ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c， ∴1a＋1b＝lo1g3c＋lo1g5c＝llgg 3c＋llgg 5c＝logc3＋logc5＝logc15＝2，∴c＝ 15.
C．2 D．4
易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．
正解
log29·log34＝llgg
9 lg 2·lg
34＝2llgg23·2llgg32＝2×2＝4.
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课后提升作业
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2．给出下列 4 个等式：①log372＝2log37；②log253＝5log23；③log84＝23；④log 2 4＝4. 其中正确的等式的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①正确；②不正确，由对数换底公式知 log253＝12log53；③正确，log84＝lloogg2248＝23lloogg2222＝23；④正
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ章末复习人教A版必修1
[典例 3] 比较三个数 0.32，log20.3,20.3 的大小．
解 解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0,20.3>20 ＝1，∴log20.3<0.32<20.3.
解法二：作出函数 y＝x2，y＝log2x，y＝2x 的大致图象， 如图所示，画出直线 x＝0.3，根据直线与三个函数图象的 交点位置，即可看出 log20.3<0.32<20.3.
3．根据函数解析式确定图象 [典例 7] 已知 f(x)＝ax－2，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(4)·g(4)<0，则 y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的 大致图象是( )
解析 由 f(4)·g(4)<0 知 a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0<a<1， ∴f(x)和 g(x)在(0，＋∞)上都是减函数．
3学科思想培优
一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定 义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并 且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本 函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函 数定义域内进行讨由题意得132x－1－27≥0，所以132x－1≥27，即 132x－1≥13－3，又指数函数 y＝13x 为 R 上的单调减函数，所 以 2x－1≤－3，解得 x≤－1.
x＋1>0，
(2)要使函数式有意义，需ln x＋1≠0， 4－x2≥0，
2．根据图象比较底数或指数的大小 [典例 6] 如图是幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在 第一象限内的图象，则 a，b，c，d 的大小关系为( )
2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)阶段复习课 第3课 基本初等函数(Ⅰ)学案 新人教A
第三课 基本初等函数( Ⅰ )[核心速填]1．根式的性质 (1)(na )n ＝a (n ∈N *)； (2)na n ＝a (n 为奇数，n ∈N *)；nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为偶数，n ∈N *)．2．分数指数幂(1)a mn ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)a－m n＝1am n ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．对数的运算性质已知a >0，b >0，a ≠1，M >0，N >0，m ≠0. (1)log a M ＋log a N ＝log a (MN )； (2)log a M －log a N ＝log a MN； (3)log a m b n＝n mlog a b . 4．换底公式及常用结论已知a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0，c >0，c ≠1. (1)log a b ＝log c blog c a.(2)log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c a ＝1. (3)a log a N ＝N .5．指数函数的图象与底数的关系 (1)底数的取值与图象“升降”的关系：当a >1时，图象“上升”；当0<a <1时，图象“下降”． (2)底数的大小决定图象位置的高低：在y 轴右侧“底大图高”；在y 轴左侧“底大图低”，如图21所示有a >b >1>c >0.图216．对数函数的图象与底数的关系(1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x 轴；对于底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x 轴．(2)作直线y ＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图22，a >b >1>c >d >0.图22 [体系构建][题型探究]指数与对数的运算(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋0.0112.[解] (1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝0.43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1＋2－4＋24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋0.1＝52－1＋116＋18＋110＝14380.若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧 [跟踪训练]1．设3x ＝4y＝36，则2x ＋1y的值为( )【导学号：37102322】A ．6B ．3C ．2D ．1D [由3x＝4y＝36得x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.]基本初等函数的图象(1)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图23所示，则下列函数正确的是( )图23A B C D(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.图24①如图24，画出函数f (x )的图象；②根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [(1)由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ①先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．②函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 根据函数解析式判断函数的相关性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等进行判断，也可根据函数性质进行排除干扰项而得到正确结果根据函数解析式特征确定相关的基本初等函数，如指数函数、对数函数、幂函数等，然后确定其平移变化的方向，从而判断函数图象指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0指数函数与对数函数都具有单调性，当0<是递增函数[跟踪训练]2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )【导学号：37102323】A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)C [把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x －1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14yC [因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x在R 上单调递增，故3x<3y，错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，正确．对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，错误．]比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法等当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较比较多个数的大小时，先利用“0”，“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论[跟踪训练]3．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )【导学号：37102324】A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >aC [∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∴a >c >b ，故选C.]基本初等函数的性质(1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1. ①求a 的值；②若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数．](2)[解] ①因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a,3a ]上为增函数． 又f (x )在[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1， 所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ②函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －142＋3116.令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3， 所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋3116∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题本章中，常设化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后的取值范围分类讨论思想的应用设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小.【导学号：37102325】思路探究：分0<a <1和a >1两类，先比较a 3＋1与a 2＋1的大小关系，再借助对数函数的单调性比较大小．[解] 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1. 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1.又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得，P >Q .[跟踪训练]4．已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．[解] ①若a >1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)， ∴f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a2，解得a ＝32.②若0<a <1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.。
2017_2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末复习课学案苏教版必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）学习目标 1.构建知识网络，理解其内在的联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．知识点一 映射与函数一般地，设A ，B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B .由定义可知在A 中的任意一个元素在B 中都能找到唯一的像，而B 中的元素在A 中未必有原像．若f ：A →B 是从A 到B 的映射，且B 中任一元素在A 中有且只有一个原像，则这样的映射叫做从A 到B 的一一映射．函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A ，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应法则．两个函数只有当定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数． 知识点二 函数的单调性1．函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键． 2．函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： (1)取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，得x 2－x 1>0；(2)作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； (3)判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； (4)下结论：根据定义得出结论．3．证明函数单调性的等价变形：(1)f (x )是单调递增函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0；(2)f (x )是单调递减函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0.知识点三 函数的奇偶性 对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)→⎩⎪⎨⎪⎧f －x ＝－f x ⇔f x 为奇函数，f －x ＝fx ⇔f x 为偶函数.性质：①函数y ＝f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． ②函数y ＝f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称．③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，必有y＝f(x)的图象过原点，即f(0)＝0.类型一函数概念及性质命题角度1 函数三要素例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．反思与感悟建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M 在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域； (2)求△APM 面积的最大值及此时点P 位置．命题角度2 函数性质的综合应用例2 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是单调减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值； (3)解不等式f (x )－f (－x )>2. 引申探究证明f (x )为奇函数．若已证明f (x )为奇函数，如何解(3)?反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．类型二函数图象的画法及应用例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．反思与感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．跟踪训练3 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，且f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .求x ∈[－3,5]时，f (x )＝12的所有解的和．1．f (x )＝x 2＋|x |是________函数(填奇、偶)，其单调增区间为________．2．已知集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是________．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，则f (－4)＝________，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.4．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.5．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是单调减函数，则f (－32)与f (a 2＋2a ＋52)的大小关系是________．1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为填空题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选择其中易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．3．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．答案精析题型探究例1 解 (1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到⎩⎪⎨⎪⎧16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ＝－2x ＋24≥0.解得定义域为{x ∈N |0≤x ≤12}．(2)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S 节车厢，则S ＝xy ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，x ∈[0,12]且x ∈N .所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920. 故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920. 跟踪训练1 解 (1)根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x <1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ＜52.f (x )的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2，52)＝(0，52)．(2)易知f (x )在(0,1)上为单调增函数，在[1，52)上为单调减函数，∴当x ＝1时，f (x )max ＝34－14＝12.例2 (1)证明 由f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )可得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． 在R 上任取x 1>x 2， 令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． ∵x 1>x 2，∴x 1－x 2>0. 又x >0时，f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0.由定义可知f (x )在R 上是单调减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是单调减函数； ∴f (x )在[－3,3]上也是单调减函数； ∴f (－3)最大，f (3)最小． 又f (1)＝－23，∴f (3)＝f (2)＋f (1) ＝f (1)＋f (1)＋f (1) ＝3×(－23)＝－2.∴f (－3)＝f (4－3)－f (4) ＝f (1)－f (3)－f (1) ＝－f (3)＝2.即f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. (3)解 由(2)知f (－3)＝2，f (x )－f (－x )>2即f (x )>f (－x )＋2＝f (－x )＋f (－3)＝f (－3－x )，由(1)知f (x )在R 上为单调减函数， ∴f (x )>f (－3－x )⇔x <－3－x ， 解得解集为{x |x <－32}．引申探究证明 令y ＝－x ，则f (x )＋f (y )＝f (x )＋f (－x ) ＝f (x －x )＝f (0)． 再令x ＝y ＝0，有f (0)＋f (0)＝f (0＋0)， 即2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0. ∴f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，∴f (x )－f (－x )＞2⇔2f (x )＞2⇔f (x )＞1. 由(2)知f (－3)＝f [－32＋(－32)]＝f (－32)＋f (－32)＝2f (－32)＝2，∴f (－32)＝1.∴f (x )＞1⇔f (x )＞f (－32)，∵f (x )在R 上为单调减函数， ∴解集为{x |x ＜－32}．跟踪训练2 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}． 例3 解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |.则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 图象关于y 轴对称． (2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝x －2－1，x ≥0，x 2＋2x ＝x ＋2－1，x <0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1，无最大值．单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]． 跟踪训练3 解 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，∴f (－x )＝－x . 又∵f (x )为奇函数，∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝x . 即x ∈[－1,1]时，f (x )＝x .又由f (x )＝f (2－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 由此可得f (x )在[－3,5]上的图象如下：在同一坐标系内画出y ＝12的图象，由图可知在[－3,5]上共有四个交点，∴f (x )＝12在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1与x 4，x 2与x 3关于直线x ＝1对称， ∴x 1＋x 42＝1，x 2＋x 32＝1.∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4. 当堂训练1．偶 [0，＋∞) 2.Q P 3．18 －6或4 4.1 5．f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52)。
第二章基本初等函数(I)复习课
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有 n a n | a | .
式子
n
a 对任意a ∊ R都有意义.
n
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
第二章基本初等函数 复习课
整数指数幂
定义
有理指数幂
无理指数幂
指数
对数
运算性质
定义
定义
指数函数
图象与性质
对数函数
图象与性质
幂函数
1.整数指数幂的运算性质 (1)am· an=am+n (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n (a≠0,m,n∈Z) (3)(am) n =amn (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z) 2.根式
*
(1)ar· as=ar+s (a＞0，r,s∈Q)； (2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)； (3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)(ab) r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
*一般地，当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上 运算律对实数指数幂同样适用.
；
x
x
5
4.5
4
3.5
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
3
1.7
2. 5
<
1 .7
3
0.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-0.5
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元复习课件 新人教A版必修1
非奇非偶
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
函数值的
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
变化情况
0)
a 变化对
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠
y 轴；
近 y 轴；
图象的影
响
越靠近 y 轴
y轴
10、反函数
（1）反函数概念
函数 y=ax（x∈R）与对数函数 y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.即同底的指数函数与对 数函数互为反函数。
（2）反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。
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9
1111.、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
loga
b
；
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6
8、指数函数的性质
函数名称 定义
指数函数
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
y y ax
y ax
y
图象
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性
y1
(0,1)
1
O
0x
y1
(0,1)
1
O
0x
R
（0,+∞）
图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当 0 a 1时， a x N x log a N （符号功能）——熟练转化
常用对数：以 10 为底 log10 N 写成 lg N ；
高中数学 第二章 基本初等函数(I)章末复习课课件 新人教版必修1
1.指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题 主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、 对数的运算时还要注意相互间的转化.
2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知 识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质 的影响则是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，＋∞) 两个区间取值时函数的单调性及图象特点.
交点；同理，当 0<a<1 时，由图②知，两图象也只有一个
交点.因此，不论何种情况，方程只有一个实数解.
答案 B
【训练 2】 设函数 f(x)＝|lg x|，若 0＜a＜b，且 f(a)＞f(b)， 求证：ab＜1. 证明 法一 ∵f(a)＞f(b)，即|lg a|＞|lg b|， ∴(lg a)2＞(lg b)2， ∴(lg a＋lg b)(lg a－lg b)＞0， ∴lg(ab)lgab＞0.由已知 0＜a＜b，得 0＜ab＜1， ∴lgab＜0，故 lg(ab)＜0，∴ab＜1.
7.求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时， 首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数 的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义 域的子集.其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单 调区间.
8.函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及. 考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解 题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有 时起到事半功倍的效果.
图象有两个交点.故选 C.
答案 C
方法二 数形结合思想
本章广泛应用数形结合思想，利用所掌握的指数函数、 对数函数、幂函数以及一次函数、二次函数等函数的 图象，研究这些函数的图象及性质，利用图象的直观 性解不等式.判断方程是否有解、解的个数及二次方程 根的分布问题时，我们常常构造函数，利用函数的图 象求解.
高中数学 第二章 基本初等函数(I)章末复习课课件 新人教版必修1
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要点归纳
方法研修
体验高考
5.理解幂函数的概念、图象和性质. 在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α 分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况.
6.比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数 性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将 它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比， 分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较.
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要点归纳
方法研修
体验高考
方法一 函数思想 函数是描述客观世界变化规律的重要模型，不同的变化规 律需要不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类型的函 数模型，刻画了客观世界中三类不同的变化规律.利用函数 的意义解指数、对数方程，利用函数的单调性比较两数的 大小及解指数、对数不等式是本章中运用函数思想解题的 重要体现.
交点；同理，当 0<a<1 时，由图②知，两图象也只有一个
交点.因此，不论何种情况，方程只有一个实数解.
答案 B
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【训练 2】 设函数 f(x)＝|lg x|，若 0＜a＜b，且 f(a)＞f(b)， 求证：ab＜1. 证明 法一 ∵f(a)＞f(b)，即|lg a|＞|lg b|， ∴(lg a)2＞(lg b)2， ∴(lg a＋lg b)(lg a－lg b)＞0， ∴lg(ab)lgab＞0.由已知 0＜a＜b，得 0＜ab＜1， ∴lgab＜0，故 lg(ab)＜0，∴ab＜1.
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【例 1】 已知函数 f(x)＝lg(ax－kbx)(k＞0，a＞1＞b＞0) 的定义域为(0，＋∞)，问：是否存在实数 a，b，使得 f(x)恰在(1，＋∞)上取正值，且 f(3)＝lg 4？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由. 解 若函数有意义，则 ax－kbx＞0，即abx＞k. 又 a＞1＞b＞0，所以 x＞logabk. 又 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以 logabk＝0.从而 k＝1，那么 f(x)＝lg(ax－bx).