非线性弦振动方程的精确解

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弦振动方程-数值求解02

数学物理方程之基于数值计算方法的弦振动方程求解2数学物理方法中的平行四边形法则目录摘要、关键词…………………………………………… 2页有限差分法介绍………………………………………… 3页程序描述………………………………………………… 6页计算机处理……………………………………………… 8页Matlab作图…………………………………………… 10页特别鸣谢………………………………………………… 11页摘要、关键词摘要：继上次关于弦振动方程的“平行四边形法则”求解之后，我们又从数值计算的角度入手，对弦振动方程进行计算和模拟，从而验证“平行四边形法则”解弦振动方程的正确性。

关键词：有限差分法、数值计算、弦振动方程附：弦振动方程：4(0,)(1,)0(,0)(1),(,0)8tt xxtu uu t u tu x x x u t x =⎧⎪==⎨⎪=-=⎩211((1))()'()()''()()+()()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h -=+-+-+-……！211((1))()'()''()+()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h +=+++ ……！()((1))'()()u ih u i h u ih o h h--=+((1))()'()()u i h u ih u ih o h h+-=+2((1))((1))'()()2u i h u i h u ih o h h+--=+有限差分法介绍以弦振动方程为例：2(,)(0,)(,)0(,0)()(,0)()tt xx t u a u f x t u t u l t u x x u x x ⎧=+⎪==⎪⎨=Φ⎪⎪=ψ⎩对于一定的u （x ，t ），我们用“差分”代替“微商”，从而将数差值描述，可得：以及将第一个式子的右边第一项移至左边,得： ^…同理可得，两式做差：22((1))((1))ih =h u i h u i h u +--（）(,)(,)ni u x t u i x n t u =∆∆=1122(,)n n n i i i tt tt u u u u u i n t +--+==∆1122(,)n n n i i i xx xx u u u u u i n x +--+==∆21122(,)n n n i i i tt uu u u a f i n x+--+=+∆2222ta r x∆=∆ 2122122112(1)(,)n n n n n i i i i iu r u r u r u n t f i n ---+-=+-+-+∆用中心差分的一阶导数表示二阶导数，化简：由此引入则则弦振动方程可以表示为：我们定义为网格比则由此可知，每一个格点u （i ，11(,0)()()2i it u u u x x i t--=ψ=ψ=∆(,0)t u i 1i u 202020221121221221100,/10.5(2(1)2()(,)0,0/12(1)(,)ni i i i n n n n i i i i i l x u r u r u r u t i x t f i x n t n i l x r u r u r u n t f i x n t +----+-=∆-⎧⎪=+-++∆Φ∆+∆∆∆=<<∆-⎨⎪+-+-+∆∆∆⎩ 其他n)均由u （i+1，n+1）、u （i ，n ）、u(i-1,n-1)、 u(i,n-2)等其余四点所确定：由此我们可以采用“递归”的思想，借助计算机进行快速计算，从而得到各个格点的值.值得注意的是,①在边界上u ≡0.②在初始层上的点(即u （i ，0））无法用上述公式计算，还需借助初始条件，即：012020201211(,0)()2(1)(,1)i i i i i i u i u x u r u r u r u u t f i -+-∴==Φ=+-+-+由和两式相加，消去可得020*********.5(2(1)2()(,)i i i i u r u r u r u t i x t f i x n t +-=+-++∆Φ∆+∆∆∆综上：届此，我们可以将此式编入程序（采用“递归”思想），详细代码见下一节。

振动理论06(1-2)-非线性振动

6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。

单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。

具有非齐次定解条件的弦振动方程的解

具有非齐次定解条件的弦振动方程的解弦振动方程描述了弦的振动行为，而非齐次定解条件指的是在方程中加入外力或边界条件，使方程不再是齐次的，并且给出了初值或边界条件。

$$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = c^2\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + F(x,t)$$其中，$u(x,t)$是弦在位置$x$、时间$t$的位移，$c$是传播速度，$F(x,t)$是外力函数。

我们以一根不可伸长的、固定在两端的弦为例，假设我们已知弦的初始位移$u(x, 0)$和初始速度$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x, 0)$，以及边界条件$u(0, t)$和$u(L, t)$。

其中，$L$是弦的长度。

为了解非齐次定解条件下的弦振动方程，可以使用分离变量法或叠加法。

首先，我们假设振动解可以表示为分离变量的形式：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将上述表达式代入弦振动方程中，得到：$$X''(x)T(t) = \frac{1}{{c^2}}T''(t)X(x) +\frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$由于左边只含有$x$的变量，右边只含有$t$的变量，因此必须等于一个常数，我们设其为$-\omega^2$：$$\frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\omega^2 =\frac{{T''(t)}}{{c^2T(t)}} + \frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$上述方程可以拆分为两个方程：1. $X''(x) + \omega^2 X(x) = 0$（齐次方程）2. $T''(t) + c^2\omega^2 T(t) = F(x,t)$（非齐次方程）解第一个方程，得到一般解：$$X(x) = A\sin(\omega x) + B\cos(\omega x)$$其中，$A$和$B$是待定常数。

弦振动方程的导出与定解条件

弦的一端的运动规律已知，以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买）时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩：平时成绩:30%（考勤+作业）卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（“微小”是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小）我们将在上述假定下来导出弦振动方程。先讨论振动过程中不受外力作用时弦振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2

用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程

用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程
迭代摄动法是求解非线性振动方程的常用方法，在求解含立方项强非线性振动
方程中同样有广泛的应用。

这种方法在许多工业领域应用非常广泛，包括汽车引擎、航空航天、航天器调节系统以及船舶引擎等。

迭代摄动法是通过迭代来求解含立方项强非线性振动方程的有效方法，它的核
心思想是通过不断迭代，对各变量进行调整和更新，从而实现求解该方程的目的。

具体而言，它采用一种采样算法，利用不同的初始输入给定条件，通过一个累加过程，实现持续的输入改变，增加累积误差，以期更新函数的参数值，从而最终接近实际的解决方案。

经过上述迭代，即可求解出该含立方项强非线性振动方程的最优解。

这种方法
的关键是快速准确的迭代过程，而其次是注重迭代的准确性。

在迭代摄动法中，应用反射原理，使每一步迭代功能变得更强，以达到快速求解及最优解的目的。

另外，迭代摄动法在求解含立方项强非线性振动方程时，还能够通过智能化衍
生（intelligent derivation）算法等方法降低参照错误，使它们更好地适应这些不同场景下的变化，进一步提高求解的精确度。

总而言之，迭代摄动法作为求解含立方项强非线性振动方程的有效工具，具有
快速更新、参照误差小等优点，因而在许多工业领域有着广泛的应用。

浅谈对结构动力学的认识

浅谈对结构动力学的认识摘要：简单地讲述了对结构动力学的整体认识，介绍了结构动力学的发展历程，结构动力问题的几大特点，结构动力问题的分类，结构系统的动力自由度及其离散方法（包括集中质量法、广义坐标法和有限单元法），建立运动方程的方法（包括利用达朗贝尔(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虚位移原理建立振动方程，哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程）。

关键词：结构动力学；质量；阻尼；运动方程On understanding of structure dynamics Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle).Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion1结构动力学发展简介结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。

非线性振动渐近解法-2012.3.26

非线性振动渐近解法概述李鹤hli@非线性振动不像线性振动那样有统一的求解方法。

一般来说，要对非线性系统求精确解几乎是不可能的。

迄今为止，仅有少数的非线性振动问题可以得到精确的解析解。

为了尽可能深入了解系统的非线性性质，发展了各种渐近的解析方法。

本课程主要讨论如下形式的典型振动方程：()t x x f xp x ,,20 ε=+方程右端的函数f 可以是位移x 、速度x 的非线性项，由于ε是小参数，因此这种非线性项相比线性项要小，这种系统称为拟线性系统，也称弱非线性系统。

当f 不显含时间t ，()x x f x p x ,20ε=+称为自治系统。

反之，称为非自治系统。

当0=ε时，系统运动是频率为0p 的周期性运动：()ϕ+=t p a x 0cos当0≠ε时，可以理解为对系统周期运动()ϕ+=t p a x 0cos 的一种扰动，把解按小参数的幂次展开，寻求满足一定误差要求的渐近解，这类方法统称为摄动法，也称为小参数法。

这类方法最早由法国数学家庞加莱(Poincare)研究行星运动时提出来的。

泊松(Poisson)也用来研究单摆的大摆动问题。

本课程主要介绍如下方法：1. 传统小参数法，正规摄动、奇异摄动2. 常数变易法和平均法3. 渐近法4. 多尺度法5. 等效线性化法6. 谐波平衡法本课程依次介绍以上方法，先讨论自治系统，并结合非线性振动中一些著名的方法，如杜芬方程，范德波方程进行求解。

然后，将以上方法推广到非自治系统中去。

传统小参数法——正规摄动李鹤hli@对于如下典型的自治系统振动方程：()x x f xp x ,20ε=+其中ε是小参数。

当0=ε时，变成无阻尼单自由度自由振动问题，系统的固有频率是0p 。

当0≠ε时，方程的解可以写成()t x x ,ε=将其在0=ε附近展开成泰勒级数，()()()()"+′′+′+==2,0!21,0,0,εεεt x t x t x t x x设()()()",,0!21,,0,,0210x t x x t x x t x =′′=′=则()()()"+++=t x t x t x x 2210εε这样就得到了自治系统振动方程的级数形式的解。

非线性振动方程多重解求解方法

ｔａｋｐｒｏｉｏｕｉｎｎｅｉｆｒｎｘｅｎｌｅｃｔｔｏｓｒｃｅｉｄｃｓｌｔｓｕｄｒｄｆｅｅｔｅｔｒａｘｉｉｎ．Ｆｏｈｅｅｔｒｂｅｏａｒｔｓｗｏｐｏｌｍｓ，ｔｅｈｍｏｏｙｍｅｈｏｓｅｌｙｄｈｏｔｐｔｄｗａｍｐｏｅＳｈｔｔｅｉｉｉｌｉｅａｉｅｖｌｅｃｕｄｂｈｓｄｅｓｌ．ＴｈｏｕｉｎｃｒｅｖｒｉｇｗｉｈｅｔｒｌｅｃｔｔｏｓｔａｋｄＯｔａｈｎｔａｔｒｔｖａｕｏｌｅｃｏｅａｉｙｅｓｌｔｏｕｖａｙｎｔｘｅｎａｘｉｉｎｗａｒｃｅａｗｉｈｒｄｃ — ｏｒｃｔｏ．Ｂｏｈｔｅｓａｌｎｄｕｓａｌｅｉｄｃｓｌｔｏｏｌｅｃｌｕａｅｙｕｉｇｔｉｔｏ．ｔｔｅｐｅｉｔｃｒｅｔｍｅｈｄｈｔｈｔｂｅａｎｔｂｅｐｒｏｉｏｕｉｎｓｃｕｄｂａｃｌｔｄｂｓｎｈｓｍｅｈｄＴｈｅｓｂｌｔｆｔｅｍｅｈｄｗａｅｉｅｈｏｇａｃｌｔｎｆｉｇｏｃｌａｏｑｔｏｅｆａｉｉｉｏｈｔｏｓｖｒｆｄｔｒｕｈｃｌｕａｉｇａＤｕｎｓｉｔｒｅｕａｉｎ．ＩｓｓｏｈａｈｉｌｔｎｙｉｌｔｗａｈｗｎｔｔｔｅｓｍｕａｉｏｒｓｌｓｕｉｇｔｉｍｅｈｄｇｅｗｅｌｔｔｅｈｅｒｔｃｌｐｒｘｍａｅｎｅａｄｈｎｍｅｉａｏｅｕｉｇｅｕｔｓｎｈｓｔｏａｒｅｌｗｉｈｈｔｏｅｉａａｐｏｉｔｏｓｎｔｅｕｒｃｌｎｓｓｎＲｕｇＫｕｔｎ— ａｍｅｈｄ．ｔｏＫｅｗｏｄｎｎｉｅｒｖｂａｉｎ；ｍｕｔｌｓｌｔｎ；ｈｒｎｃｂｌｎｅｍｅｈｄ；ｐｒｄｉｔｃｒｅｔｍｅｈｄ；ｙｒｓ：ｏｌａ；ｉｒｔｏｎｌｉｅｏｕｉｐｏａｍｏｉａａｃｔｏｅｃ— ｏｒｃｔｏ

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弦振动方程是数学物理方程中的经典方程之
一
中的孤立子提供了方便．对双曲函数法的思想进行推广，从而获得方程（１）的更多的精确解．这种方法也同样适用于求解其它非线性发展方程（）组．
．
对非线性弦振动，其方程虽早已获得 … ，但
ＡｂｔａｔＷｉｙｅｂｌｕｃｉｎｍｅｈｄ，ａｃａｓｏｘｃｉｋｓｌｔｒｖｌｔｎｏｔｅｅｕｔｎｏｏｉｅｒｓｒｃ：ｔｈｐｒｏａｆｎｔｏｔｏｈｌｓｆｅａｔｋｎｏｉｙｗａｅｓｕｉｓｔｈｑａｉｆｎｎｎａａｏｏｏｌｖｂｄｉｒ“ ｓｒｎｒｏｔｉｅｔｉｇａｅｂａｎｄ．ＭｏｅｖｒｔｅｈｕｈｆｈｐｒｏａｕｃｉｎｍｅｈｄｓｘｅｄｄＯｈｔｒｏｅ，ｈｔｏｌｔｏｙｅｂｌｆｎｔｔｏｉｇｏｅｔｎｅＳｔａｍＯｅｘｃｌｅａｔ
收稿日期：２０．１００１１－；修改稿收到日期：Ｔ０－：５３｝００２￣
维普资讯
第３卷２０８０２年第２期
Ｖｏ＿８２ＯＮｏ２ｌ３Ｏ２
西北师范大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏＮｒｗｓＮｒａＵｉ￣ｌ（ａｒｃｎｅｏｒｌｆｏｈｅｔｏｍｌｎｖｉＮｔａＳｉｃ）ｎＬｅｙｕｌｅ
行了推广、从而获得了更多的精确解．这种方法也适用于求解其把非线性发展方程
ห้องสมุดไป่ตู้
关键词：非线性弦振动方程；双曲函敷法；精确解；孤立波解
中图分类号：Ｏ２１７２．；０３２４文献标识码：Ａ文章编号：１１８Ｘ（０＇０一５．１－８２０）２Ｃ１３９０２Ｏ ∞
ｓｌｔｎｒｕｃｓｆｌｅｉｅ．Ｉｉｄｃｔｓｔａｅｍｅｈｄｉａｓｕｔｂｅｆｒｓｌｎｔｅｏｌｅｒｅ０ｕ；ｎｏｕｉｓｅｓｃｅｓｌｄｒｄｏａｕｙｖｔｎｉｅｔｔｔｏｓｌｓｉｌｏｏｖｇｏｒｎｎｉａｖｌｔａｈｈｏａｉｈｎ０
考虑其行波解
（）＝（，，）
＝
且用这种方法成功地找到了若干非线性方程的精确孤立波解．文献［］该法又作了进一步的完善，４对以求找到非线性方程的更多的精确解．笔者用文献：、４］的双曲函数法，成功地得到了方程３］［中（１的３组扭状孤立波解，为进一步研究非线性弦）
Ｔｅｅａｔｓｌｔｎｏｔｅｅｕｔｎｏｏｌｎａｉｒｔｇｓｒｎｈｘｃｏｕｉｓｔｈｑａｉｆｎｎｉｅｒｖｂａｉｔｉｇｏｏｎ
ＳＩＹｕｔｎＨＮＧＸｅｒｎ，ＤＮＷｅ —ｈｈＫＡｉ—ａ，ＬｅｐＨ — ，Ｏｕ —ｅｅＵＡｎｓａ，ＺＯＪｎｂｏ０Ｋ — ｕ
非线性弦振动方程的精确解
石玉仁，洪学仁，段文山，赵金保，吕克璞
（西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州７０７）３００
摘
要：利用双曲函数击，找到了非线性弦振动方程的一类扭状精确孤立波解
在此基础上又对双曲函数法的思想进
其物理意义却并不十分明确．文献［用变分原理２］推导出了非线性弦振动方程
一
２ Ⅱ“
一２一＝０，ｕ
‘ｌＪ
１非线性弦振动方程的精确孤立波解
１１双曲函数法简介．对文献３］出的双曲函数法简述如下：提
对于含２个独立变量，的方程ｔＫ（， “ ，， Ⅱ Ⅱ， “ …）＝０，（２）ｒ、
、
从能量的角度赋予了其明确的物理意义，且更进一
步用减缩摄动法将（）１化为易于求解的ＫＶ方程，ｄ并给出了它的近似解．本文旨在寻求方程（）１的精
确解．为求解非线性偏微分方程，近年来文献［在３］齐次平衡法思想的基础上，提出了双曲函数法，并
ｅｕｔｎｑａｉｓ．ｏ
Ｋｅｒ：ｎｎｉｅｒｖｂｒｔｇｓｎｑａｉｎ：ｈｐｄ￣ｈｕｃｉｎｍｅｈｄ：ｙｗｏｄｓｏｌａｉａｉｕｉｇｅｕｔｎｎｏｙｅｏｆｎｔｔｏｏ
ａｔｓｌｔ；ｓｌａｙｗａｅｓｌｔｎｃｏｕｉｎｏｏｉｒｖｏｕｉｔｏ
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