沪科版9上数学 比例的性质与黄金分割作业含答案
九年级数学上册22.1比例线段(第2课时)课后训练(新版)沪科版
Word 文档仅限参照第 2 课时 比率线段的性质1．假如 x ∶ y ＝2∶3，则以下各式不建立的是 ( ) ．A. ．x y 5B ． y x 1C ．x1D ． x 2 4y3y32y3y 252．已知 是线段 A.B 延伸线上一点，且∶ ＝5∶2，则∶＝ () ．MA.M BMA.BBMA. ．5∶2B ．3∶2C ．2∶3D ．5∶ 33．已知点C 是线 段 A.B 的黄金切割点，且 ＜ ，则以下等式中建立的是() ．22A.CCB22A. ． A.B ＝A.C · CB B ． CB ＝ A.C · A.BC ． A.C ＝CB · A.BD ． A.C ＝2CB · A.B4．已知ab a cbc＝ k ，则 k 的值是 __________ ．c ba5．据 相关测试，当气温与人体正常体温的比为黄金 比值时，人体感觉最舒坦．所以夏天使用空调时温度调到 __________ ℃时最舒坦． ( 人体正常体温按 37 ℃计算，结果保存整 数)6．已知5x y1 ，求 x ， x y的值．3x 2 y 2yx y7．( 创新应用 ) 宽与长的比是5 12的矩形叫黄金矩形．心理测试表示：黄金矩形令人心旷神怡， 它给我们以协调、均匀的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方 法概括以下 ( 以下图 ) ：第一步：作一个正方形 A.BCD ；第二步：分别取 A.D ， BC 的中点 M ，N ，连结 MN ；第三步：以 N 为圆心， ND 长为半径画弧，交 BC 的延伸线于 E ；第四步：过 E 作 EF ⊥ A.D ，交 A.D 的延伸线于 F . 请你依据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形．Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照参照答案1答案： D2 分析： 联合表示图可知， A.B ∶ BM=3∶2.答案： B 3 答案： B4 分析： 分两种状况：①当 A. ＋ b ＋ c ≠0时，∵ab ac bc＝ k ，c ba∴ab ac b c＝ k ，c b a∴ k ＝ 2.②当 A.＋ b ＋ c ＝0 时，则 A.＋ b ＝－ c ， ∴ k ＝－ 1.故答案为 2 或－ 1.答案： 2 或－1 5：设调到 x℃时最舒坦，则x≈0.618 ，解得 x ≈23.答案： 23376解：由 5xy 1，得 2(5 x ＋ y ) ＝3x － 2y ，3x2y2 即 7 ＝－ 4 y ，所以 x4xy7设 x ＝ －4k ， y ＝7k ，则x y4k 7k 3 .xy4k 7k117 证明：在正方形 A.BCD 中，取 A.B ＝ 2A. ， ∵ N 为 的中点，BC∴ NC ＝ 1BC ＝ A. .2在 Rt △ DNC 中，ND ＝ NC 2 CD 2＝ a 2(2a)25a .又∵ NE ＝ ND ，∴ CE ＝NE － NC ＝( 5 －1)A..∴ CE( 5 1)a5 1 . CD2a 2故矩形 DCEF 为黄金矩形．Word 文档仅限参照。
沪科版-数学-九年级上册-考题点拨-比例线段
考题点拨：比例线段1、中考导航（1）线段的比；（2）比例线段及比例性质；（3）黄金分割。
2、经典考题追踪例1、如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA、PB当PA2=PB·AB,即PA≈0.618AB时,则称点P是线段AB的黄金分割点,现已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点,如图所示,那么线段PB的长约为（）。
A、6.18B、0.382C、0.618D、3.82点拨：根据黄金分割比约为0.618可知AP约为0.618×10＝6.18，从而可知PB约为10－6.18＝3.12。
解答：D例2、要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为__________。
点拨：由图1知一个小菱形的一条对角线的长度为8cm，所以小菱形和大菱形的相似比为1︰11，所以共需小菱形11×11＝121个。
解答：121个。
易错点点拨易错点1、概念理解不清：易错点导析：相似多边形必须各边对应成比例，且各角相等，而不是只要各角相等或各边对应成比例即可。
例：下列说法正确的是（）A、两个矩形相似B、两个梯形相似C、两个正方形相似D、两个平行四边形相似错解：A错解点拨：相似多边形必须各边对应成比例，且各角相等。
正解：C易错点2、考虑问题不全面：易错点导析：有很多开放题结果不唯一，可以有很多种种不同的结果，考虑问题应该全面，而不能只考虑其中一种情况。
例：已知线段3，4，6与x 是成比例线段，则_______=x 。
错解：8x =错解点拨：本题是一道开放题，结果不唯一，可以有346x ⨯=、364x ⨯=、463x ⨯=，所以x 应有3种不同的结果，而不仅仅只有一种。
正解：2x =、 4.5x =或8x =。
拓展与创新1、已知342b a c a c b c b a -+=-+=-+，则4::2a b c = 。
点拨：仿照等比性质的证明方法，令243a b c b c a c a b k +-+-+-===，则可得关于a ，b ，c 的一个以k 为字母系数的三元一次方程组，解这个方程组即可得a ，b ，c （用字母系数k 表示），进而可得4::2a b c 。
九年级数学上册：19.2《黄金分割》课后零失误训练及答案
19.2 黄金分割基础能力训练★回归教材 注重基础◆黄金分割的定义1.已知AB=10 cm,P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,则PQ=________.2.已知线段AB=1,点P 是线段AB 的黄金分割点,则AP=________.3.已知线段AB=b,C 为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)： (1)=BA AC _______;(2)=ACBC _______； (3)=BC AC _______;(4)AC －BC=________. 4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢?有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.5.(2009·南京模拟)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在∠A=36°的△ABC 中,AB=AC,BD 是∠ABC 的角平分线,交AC 于D,若AC=4 cm,则BC=___________.6.若S 是线段PQ 的黄金分割点,且PS>SQ,则( )A.SQ 2=PS·PQB.PS 2=SQ·PQC.PQ PS PS ∙=22D.22PQ PS PS SQ +∙= 7.已知M 是线段AB 的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出线段AB 、AM 、BM 之间的比例式.(2)如果AB=12 cm,求AM 、BM 的长.8.如图19－2－4所示,线段AB 长10cm,点C 是线段AB 的黄金分割点,AC>BC,设以AC 为边的正方形ACDE 的面积为S 1,以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为S 2,试比较S 1和S 2的大小.◆黄金分割点的作图9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB 为已知线段,以AB 为边作正方形ABCD ；取AD 的中点E,联结EB ；延长DA 至F,使EF=EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH,点H 就是AB 的黄金分割点. 任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗?10.求作已知线段AB 的黄金分割点.(不写作法)综合创新训练★登高望远 课外拓展◆创新应用11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用.◆开放探索13.若一个矩形的短边与长边的比值为215-(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD 为一边作正方形AEFD.(2)探究：(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形?若是,请说明理由;若不是,也给予说明.(3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).参考答案1答案：)25(10-cm2答案：215-或253- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个. 3答案：(1)215-(2)215-(3)215+(4)b )25(- 4答案：23℃ 5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 为黄金三角形,∴AC BC 为黄金比. ∴AC BC 215-=,∴)15(2-=BC cm.6答案：B。
初三九年级数学学沪科 第22章 训练习题课件22.1.3 比例的性质
基础巩固练
7．[2019·安徽月考]如图，线段 AB＝1，点 P1 是线段 AB 的黄金
分割点(AP1＜BP1)，点 P2 是线段 AP1 的黄金分割点(AP2＜
P1P2)，点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，以
此类推，则线段 AP2 019 的长度是( )
A．3－2
52 019
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核心必知
1．比例的性质 (1)基本性质：如果ab＝dc，那么 ad＝bc(b，d≠0)．反之也成立； (2)合比性质：如果ab＝dc，那么a＋b b＝c＋d d(b，d≠0)； (3)等比性质：如果ba11＝ab22＝…＝abnn，且 b1＋b2＋…＋bn≠0，那么
基础巩固练
3．根据比例的性质填空： (1)若 ab＝cd，且 abcd≠0，根据比例的基本性质，可将该等式转
化为__ac_＝__db___．(答案不唯一) (2)若ab＝12，根据合比性质，则a＋b b＝___32_____． (3)若a3＝b4＝5c，根据等比性质，则a＋bc＋c＝___1_52____．
当 a＋b＋c≠0 时，k＝（b＋c）＋（a＋a＋b＋b）c ＋（a＋c）＝12 . 故 k 的值是－1 或12. 故选 D.
能力提升练
11．[中考·山西]宽与长的比是 52－1(约 0.618)的矩形叫做黄金 矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀 称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作 正方形 ABCD，分别取 AD，BC 的中点 E，F，连接 EF；以 点 F 为圆心，以 FD 的长为半径画弧，
【点拨】∵C 是线段 AB 的黄金分割点， 且 BC＞AC， ∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2，S2＝AC·AB，∴S1＝S2.
242 比例线段(2)(作业)-黄金分割-2021-2022学年九年级数学上(沪教版)(原卷版)
24.2比例线段（2）-黄金分割一、单选题1．已知线段AB 的长为a ，P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，那么AP 的长为（ ）A B C ．1)a D ．1)a2．已知C 是AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长为（ ）．A ．2)B ．(6-C ．1)D ．(33．下列说法正确的是（ ）A ．每一条线段有且只有一个黄金分割点B ．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C ．若点C 把线段AB 黄金分割，则AC 是AB 和BC 的比例中项D ．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6184．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点（其中AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ）A ．BC AC =B ．AC BC =C ．AB 2＝AC 2+BC 2D ．BC 2＝AC•BA5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AB 的长度为8cm ，那么BP 的长度是（ ）A ．12-B ．9-C ．4D ．46．点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，下列说法正确的有（ ）AB ，352AB ，③AB ：AC=AC ：BC ，④AC≈0.618AB A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割数”，把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”，则△ADC 的面积为（ ）A ．5-B ．5C ．20-D ．10-8．如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（40）cm B ．（40）cm C ．（120﹣cm D ．（160）cm9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（10.6182≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm10．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a cb d=； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则1．其中正确的判断有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭12．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中90ACB EJD ∠=∠=︒，CB EJ =，连结,HF CJ ，得到4个全等的四边形HFGI ，四边形HFBA ，四边形CJEA ，四边形JCBD ．CJ 分别交AB ，ED 于点M ，N ，若:5:9MN CJ =，且5AB =，则HF 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知线段AB 的长为10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝_____cm ．（结果保留根号） 14．已知线段AB 长是2,P 是线段AB 上的一点，且满足2·,APAB BP =那么AP 长为____．15．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，则AC 的长为_____．16．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，ACBC >．那么AC BC -=________．17．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AP的长度为8cm ，那么AB 的长度是______cm ．18．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是2，则ABC 的面积是_______．19．已知点C ，D 在线段AB 上，::3:1:4AC CD DB =，M 是线段AC 中点，N 是线段BD 中点，线段24AB cm =，则线段MN =__________．20．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了有关黄金矩形的问题．并建立起比例理论，他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比．所谓黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合这一比例．则在黄金矩形中宽与长的比值是______．21．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．22．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为_____；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，AP n的长度为_____．三、解答题23．（1）已知35ab=，求a bb+的值；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．24．如图，设线段AC＝1.（1）过点C画CD△AC，使CD12＝AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？25．已知：如图，线段AB＝2，BD△AB于点B，且BD＝12AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．26．（1）已知35ab=，求a bb+的值；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，AB=BP的长度27（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．()1操作：请你在如图所示的黄金矩形()ABCD AB AD>中，以短边AD为一边作正方形AEFD；()2探究：在()1中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．28．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.29．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM ，DM 的长； （2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？30．如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，求3S ：2S 的值．31．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至点F ，使得EF BE ，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．（1）请你证明这个结论；（2）延长GH 交CD 于点I ，则正方形AHGF 与矩形ICBH 的面积有怎样的关系，说出你的理由． 32．阅读与思考（图①）黄金分割是指把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．如图①，点C 把线段AB 分成两部分，如果=AC BC AB AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．它们的比值为． 我们可以通过下面的方法得到线段AB 的黄金分割点： ①过点B 作BD AB ⊥，使12BD AB =；②连接AD ，在AD 上截取DE DB =；③在AB 上截取AC AE =．则点C 为线段AB 的黄金分割点．如下是证明点C 是线段AB 的黄金分割点的部分证明过程： 证明：设2AB a =，则BD a =， …（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）应用：如图②是一个包装盒的封口面，线段BD 是这个包装盒的造型线．为了视觉美观，现要在造型线BD 上找一点作为丝带打结点．请你用尺规作图的方式找出这个点（保留作图痕迹，不写作法）．（图②）33．如图，点A 坐标是(0，0)，点C 坐标是(2，2)，现有E 、F 两点分别从点D (0，2)和点B (2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q 为EF 中点．设运动时间为t ．（1）在运动过程中始终与线段EC 相等的线段是 ；四边形CEAF 面积＝ ． （2）当t ＝1秒时，求线段CQ 的长．（3）过点B 作BP 平行于CF 交EC 于点P ．当t ＝ 时，线段AP 最短，此时作直线EP 与x 轴交于点K ，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．。
沪科版九年级数学上 24.1 比例线段(2)(含答案)
24.1 比例线段(2)◆轻松入门知识点一 比例的性质1．若4a=5b ，则a ∶b= ．2．已知234a b c ==，则a b c a b c+-=-+ ． 3．已知433a b b +=，则b a = ． 知识点二 比例性质的简单应用4．在1∶500000的地图上，A ，B 两地相距6cm ，那么，A ，B 两地的实际距离是（ ）A ．60㎞B ．1.2㎞C ．30㎞D ．20㎞5．已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为 ．6．李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他在某一时刻测得一棵小树的高为1.5米 ，其影长为1.2米．同时，他测得这棵大树的影长为3米，则这棵大树的实际高度为______米．◆快乐晋级7．（易错题）若a ：b=3：2，且b 2= ac ，则b ：c=( )A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：48．（创新题）已知正数a 、b 、c ，且 k ba c a cbc b a =+=+=+ ，则下列四个点中在正比例函数y=kx 图象上的点的坐标是（ ）A. (1，21 )B. (1，2)C. (1，- 21) D.(1，-1) 9．（创新题）甲、乙两地的距离为2.4千米，画在地图上的距离为8cm ，这张地图的比例尺为 ．10．（易错题）在比例尺1∶30 000的地图上，如果两点的图上距离为5厘米，那么两点的实际距离为 千米．11．（易错题）若32=b a ，则 ba a - =__________ 12．（应用题）梯形的中位线与两底之和的比是_____________ 13．（易错题）已知75===f e d c b a 则 f d b e c a 7272+-+-=______， d b c a --22 =_______．14．（易错题）已知yx y x y x 求,21243=+-的值.15．（易错题）已知x ：y=3：5，y ：z=2：3，求z y x z y x +-++2的值.16．（创新题）已知如图：25==EC AE BD AD ，求BD AB ，AC CE 的值.◆拓展探究 17．某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m 长的竹杆竖直放置时的影长为1.5m ，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上．他测得落在地面上的影长为21m ，留在墙上的影高为2m ．你能帮助他求出旗杆的高度吗？E D CB A答案:1．5:42．133．13 4．C5．1:20000006．415．7．B8．A9．1∶3000010．1.511．-2；12．1：2；13．75、75 14．9.415．31.1716．7.2AB BD =2.7CE AC = 17．设旗杆的高度为x 米，依题意则有:5.11212=-x 解得x ＝16，∴旗杆的高度为16米．。
新沪科版九年级数学上册课件：比例的性质与黄金分割
第22章
第2课时 比例的性质与黄金分割
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点 1 比例的基本性质
1.若 2a=3b,则 a∶b 等于( B )
A.2∶3
B.3∶2
C.2∶5 D.3∶5
【变式拓展】不为 0 的四个实数 a,b,c,d 满足 ab=cd,改写成比例式
A.
2 2
B.
5-1 2
C.3-2 5
D.
5+1 2
第22章
第2课时 比例的性质与黄金分割
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
11.若������+������ ������
=
������ ������+������
=
������+������ ������=k,且
a+b+c≠0
则
k
的值为(
解:原矩形 ABCD 是黄金矩形.
理由:设矩形 BCFE 的长 BC 为 x,
∵四边形 BCFE 为黄金矩形,∴宽 FC 为 52-1x,
∵四边形 AEFD 是正方形,∴AB=x+ 52-1x= 52+1x,
则������������
������������
=
������ 52+1������
=
52-1,∴原矩形 ABCD 是黄金矩形.
D
是
AB 的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
黄金分割点,∴������������������������
=
������������������������,∴������������△△������������������������������������
专题22.1比例线段-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(沪科版)[含答案]
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专题22.1 比例线段【十大题型】【沪科版】【题型1 由成比例线段直接求值】 【题型2 比例尺】【题型3 由比例的性质判断结论正误】 【题型4 由比例的性质求参数的值】【题型5 由比例的性质求代数的值】 【题型6 由比例的性质进行证明】 【题型7 由比例的性质比较大小】 【题型8 比例的应用】 【题型9 由黄金分割求值】 【题型10 黄金分割的应用】知识点1：成比例线段1.比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d=）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足2b ac =．2.成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 由成比例线段直接求值】【例1】（23－24九年级·上海宝山·期中）1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．2cm 3cm 4cm 6cm ，，，B ．2cm 3cm 4cm 5cm ，，，C ．1cm 2cm 3cm 4cm ，，，D ．3cm 4cm 6cm 9cm ，，，【变式1－1】（23－24九年级·广东梅州·期中）2．根据45a b =，可以组成的比例有（ ）A ．:5:4a b =B ．:4:5a b =C ．:4:5a b =D ．:54:a b=【变式1－2】（23－24九年级·浙江嘉兴·期中）3．已知:1:2a b =，且210a b +=．(1)求a 、b 的值；(2)若c 是a 、b 的比例中项，，求c 的值．【变式1－3】（23－24九年级·全国·课后作业）4．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，试猜想线段AC ，AB ，CD ，BC 是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.【题型2 比例尺】【例2】（2024·江苏泰州·三模）5．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km ，当地图上比例尺由11000∶变为1500∶时，则地图上两个校区的路程增加了cm ．【变式2－1】（23－24九年级·江苏无锡·期末）6．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．【变式2－2】（23－24九年级·上海奉贤·期中）7．如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ）A ．6厘米B ．15厘米C ．60厘米D ．150厘米【变式2－3】（23－24九年级·陕西西安·期末）8．西安市大雁塔广场占地面积约为667000m 2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）A ．一个篮球场的面积B ．一张乒乓球台台面的面积C ．《华商报》的一个版面的面积D ．《数学》课本封面的面积知识点2：比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：()a cad bc bd bd=Û=¹0x yx y =Û3=223（2）反比性质：()a c b dabcd b d a c=Û=¹023(0)23x y xy x y=Û=¹（3）更比性质：a c a b b d c d=Û=或(0)d cabcd b a=¹x y x y 2=Û=233或3(0)2y xy x =¹（4）合比性质：(0)a c a b c dbd b d b d++=Û=¹223(0)33x x y y y y ++=Û=¹（5）分比性质：(0)a c a b c dbd b d b d--=Û=¹332(0)22y y x x x x --=Û=¹（6）合分比性质：a c a b c d bd a b c d++=Û=--(0,,)bd a b c d ¹¹¹223(0,)323x x y y x y y x y ++=Û=¹¹--（7）等比性质：(0)a c mb d n b d n ===+++¹L L (0)a c m ab d n b d n b+++Þ=+++¹+++L L L 已知x y z234==，则当0x y z ++¹时，x y z x y z2342+3+4===++．【题型3 由比例的性质判断结论正误】【例3】（23－24九年级·江苏淮安·阶段练习）9．若34x y =，则下列各式中不正确的是（ ）A ．74x y y +=B ．14x y y -=C ．43x y=D ．2113x y x +=【变式3－1】（23－24九年级·河南平顶山·期中）10．下列结论中，错误的是（ ）A ．若45a c =，则45a c =B ．若16a b b -=，则76a b =C ．若23a cb d ==（b ﹣d ≠0），则23a c b d -=-D ．若34a b =，则a ＝3，b ＝4【变式3－2】（23－24九年级·山东泰安·期中）11．若a cb d=（a 、b 、c 、d 、m 均为正数），则下列结论错误的是（ ）A ．ad bc=B ．2222a cb d =C ．22ad c b ad=D ．a m cb m d+=+【变式3－3】（2024·甘肃陇南·一模）12．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A ．舞蹈社不变，溜冰社减少B ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【题型4 由比例的性质求参数的值】【例4】（23－24九年级·河南郑州·期末）13．已知222a b ck b c a c a b===+++，则k =（ ）A ．1B ．1±C ．1或2-D ．2【变式4－1】（23－24九年级·安徽亳州·阶段练习）14．已知a ，b ，c 满足438324a b c +++==且12a b c ++=，试求a ，b ，c 的值．【变式4－2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）15．已知a ，b ，c 为ABC V 的三边长，且36a b c ++=，345a b c ==．(1)求线段a ，b ，c 的长；(2)若线段x 是线段a ，b 的比例中顶（即a xx b=），求线段x 的长．【变式4－3】（23－24九年级·山东烟台·期中）16．如果()0a c ek b d f b d f===++¹，且()3a c e b d f ++=++，那么k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．13D ．12【题型5 由比例的性质求代数的值】【例5】（23－24九年级·四川眉山·阶段练习）17．如果312234x y z +--==，且18x y z ++=，则2x y z --的值为 ．【变式5－1】（23－24九年级·山东青岛·期末）18．已知()2520b a c b d d +=¹=，则22a c b d++的值为 ．【变式5－2】（23－24九年级·陕西西安·期中）19．已知532a b c==．(1)求a bc+的值；(2)若29a b c +-=，求2a b c -+的值．【变式5－3】（23－24九年级·四川乐山·期末）20．已知a b c 、、满足112234a b c -+-==，试求222a b c +-的最大值 ．【题型6 由比例的性质进行证明】【例6】（23－24九年级·山东淄博·期末）21．已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b=，求a bb +与a b a b -+的值；(2)如果(),a ca b c d b d =¹¹，求证a c b a d c=--；(3)如果a c ab d b +=+，求证ac b d=．【变式6－1】（2024九年级·全国·专题练习）22．已知==ax by cz ，且1111x y z ++=.求证：()3323232a x b y c z a b c ++=++.【变式6－2】（23－24九年级·全国·单元测试）23．已知::a b c d =，且b nd ¹，求证：a a ncb b nd-=-．【变式6－3】（23－24九年级·重庆大渡口·期末）24．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x ，y ，z 满足y z z x x yk x y z +++===，求2x y z --的值”时，采用了引入参数法k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x ，y ，z 之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设y z z x x yk x y z+++===，则有：y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，将以上三个等式相加，得()()2x k z k x y z ++=++.Q x ，y ，z 都为正数，\2k =，即2y zx+=，.\20x y z --=.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x ，y ，z 满足222x y zk y z z x x y===+++，求k 的值；（2）已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a ，b ，c 互不相等，求证：8950a b c ++=.【题型7 由比例的性质比较大小】【例7】（23－24九年级·河北保定·期末）25．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y zC x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（ ）A ．A B C>>B ．A B C<<C ．C A B>>D ．A C B<<【变式7－1】（23－24九年级·浙江杭州·期中）26．如果a ，b ，c 满足b c a b ==，则a ，b ，c 之间的关系是（ ）A ．a b c=+B ．a b c >+C ．a b c <+D ．222a b c =+【变式7－2】（2024九年级·北京西城·专题练习）27．已知0257a b c ==¹，设1x a b c =++， a cy b +=， a b c z a +-=，试判断x ，y ，z 的大小关系．【变式7－3】（23－24九年级·广东珠海·期末）28．已知a ，b ，c ，d 都是互不相等的正数.（1）若2a b =，2cd =，则b a d c，a c b d （用“＞”，“＜”或“=”填空）；（2）若,a c b d=请判断b a b +和dc d+的大小关系，并证明；（3）令,a b t cd==若分式232a c b da cb d ++-+--的值为3，求t 的值.【题型8 比例的应用】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）29．如图，以O 为支点，木棍OA 所受的重力为G ．根据杠杆原理，在A 处需一竖直向上的拉力F 才能保持木棍不动，若向上的拉力F 与重力G 大小之比为3:7，6cm OD =，则CD 的长为 ．【变式8－1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）30．在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为 6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为 0.6 米，则综合楼高为米．【变式8－2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）31．装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？【变式8－3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）32．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答）知识点3：黄金分割若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =×）C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB AB =»，0.382.BC AB AB =»，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）【题型9 由黄金分割求值】【例9】（2024·内蒙古包头·三模）33．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 4个结论：①36A Ð=°，②PB =，③PA AD =，④PT PA =．请填写你认为正确的结论序号： ．【变式9－1】（23－24九年级·河北保定·期末）34．如图，已知点C ，D 都是线段AB 的黄金分割点，如果4CD =，那么AB 的长度是（ ）A ．2B ．6-C ．8+D ．2【变式9－2】（23－24九年级·山东青岛·期末）35．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD 的边BC 取中点O ，以O 为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABEF ，若4CE =，则AB = ．【变式9－3】（23－24九年级·河南许昌·期末）36．如图，已知线段2AB =，经过点B 作BD AB ^，使12BD AB =，连接AD ，在AD 上截取DE BD =；在AB 上截取AC AE =，则:=AC AB ．【题型10 黄金分割的应用】【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）37．古希腊时期，0.618»，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【变式10－1】（2024·广东·二模）38．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm，则眼梢到鼻翼的距离为cm． 2.236»，结果保留两位小数）【变式10－2】（23－24九年级·山东德州·阶段练习）39．如图1在线段AC 上找一个点B ，B 把AC 分成AB 和BC 两段，其中AB 是较小的一段，满足AB BC BC AC =：：，则B 为线段AC 的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B 为AC 的黄金分割点（AB BC >)，AC 长度为15cm ，则AB 的长度cm ；(结果用根号表示)【变式10－3】（23－24九年级·陕西西安·阶段练习）40．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点（AP BP >），若线段AB 的长为10cm ，则BP 的长为 cm ．（结果保留根号）1．A【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答【详解】解：A ．∵2634´=´，∴四条线段成比例，符合题意；B ．∵2534´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；C ．∵1423´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；D ．∵3946´¹´，∴四条线段成比例，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．A【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．【详解】解：Q 45a b =，\:5:4a b =，故选：A ．3．(1)2a =，4b =；(2)c =±．【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．（1）利用:1:2a b =，可设a k =，2b k =，则410k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2c ab =，即28c =，然后根据平方根的定义求解；【详解】（1）解：∵:1:2a b =，∴设a k =，2b k =，∵210a b +=，∴410k k +=，∴2k =，∴2a =，4b =；（2）∵c 是a 、b 的比例中项，∴28c ab ==，∴c =±4．线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD=，理由见解析【分析】根据直角三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ×=×，整理变形即得答案.【详解】解：线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD =（或AB AC BC CD =）.验证如下：根据三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ×=×，所以AB CD AC BC ×=×，即AB BC AC CD =.【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若a cb d =，则ad=bc ，反之也成立，即若ad=bc ，则a c b d=.解题的关键是由直角三角形的面积得出AB CD AC BC ×=×.5．220【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．根据=图上距离比例尺实际距离进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．【详解】解：实际路程为2.2220000km cm =，当比例尺为1:1000时，图示距离为2200002201000cm =，当比例尺为1:500时，图上距离为220000440500cm =，∴440220220cm -=，故答案为：220 ．6．1:30000【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是120cm :36km 120:36000001:30000==．故答案为：1:30000．7．A【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；【详解】解：∵比例尺为1:50000，实际距离是3千米，∴图上距离300000(1:50000)6cm =´=，故选：A ．8．C【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案．【详解】设其缩小后的面积为xm 2 ，则x:667000=(1:2000) 2，x=0.16675m 2，其面积相当于报纸的一个版面的面积.故选C.【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.9．B【分析】设3x k =，4y k =．代入选项计算结果，即可得到答案．【详解】解：设3x k =，4y k =，A ．34744x y k k y k ++==，正确，故A 选项不符合题意；B ．34144x y k k y k --==-，原式错误，故B 选项符合题意；C ．44312343x k k k y =×==×=，正确，故C 选项不符合题意；D ．23241133x y k k x k ++×==，正确，故D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．10．D【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A 正确，利用先化积，再化比例可判定B ，利用换元计算可判断C ，设比值，取k =1与k ≠1，可判断D ．【详解】解：A 、若45a c =，则54a c =，而45a c =，54a c =正确，不合题意；B 、若16a b b -=，则6（a ﹣b ）＝b ，故6a ＝7b ，则76a b =，正确，不合题意；C 、若23a c b d ==（b ﹣d ≠0）2233a b c d ==，，则()22223333b d b d ac bd b d b d ---===---，正确，不合题意；D、若34ab=，设34a kb k==，，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1，a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．11．D【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．【详解】A、∵a cb d=，两边同乘以bd得：ad bc=，故A正确，不合题意；B、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，故B正确，不合题意；C、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，两边同乘以da得：22ad cb ad=，故C正确，不合题意；D根据a cb d=不能得出a m cb m d+=+，故D不正确，符合题意；故答案为：D.【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可．12．D【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa b c++，乙占全部的ba b c++，丙占全部的ca b c++．【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．13．C【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当0a b c ++¹时，根据等比性质计算得出结果；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，代入2c k a b=+计算得出结果．【详解】解：分两种情况：①当0a b c ++¹时，得2221a b c k b c a c a b++==+++++；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，22c k a b ==-+；综上所述，k 的值为1或2-．故选：C ．14．5a =，3b =，4c =【分析】本题主要考查了比例的性质，设438324a b c k +++===，得出34a k =-，23b k =-，48c k =-，根据91512a b c k ++=-=，求出3k =，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．【详解】解：设438324a b c k +++===，则34a k =-，23b k =-，48c k =-，∴91512a b c k ++=-=，解得：3k =，∴5a =，3b =，4c =．15．(1)91215a b c ===，，(2)x =【分析】（1）设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，再结合题意可列出关于k 的等式，解出k 的值，即可求出线段a ，b ，c 的长；（2）由题意可直接得出912x x =，解出x 的值（舍去负值）即可．【详解】（1）由题意可设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，∵36a b c ++=，∴34536k k k ++=，解得：3k =，∴91215a b c ===，，；（2）∵a x xb =，∴912x x =，整理，得：2108x =，解得：x =．【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k 法”是解题关键．16．B【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得,,a bk c dk e fk ===，代入()3a c e b d f ++=++，即可求解．【详解】解：Q a c e k b d f===，,,a bk c dk e fk \===，Q ()3a c e b d f ++=++．()3bk dk fk b d f \++=++，3k \=，故选：B ．17．15-【分析】此题考查了比例的性质，设312234x y z k +--===，得出23x k =-，31y k =+，42z k =+，再根据18x y z ++=，求出k 的值，从而得出x ，y ，z 的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：设312234x y z k +--===，则23x k =-，31y k =+，42z k =+，18x y z ++=Q ，23314218k k k \-++++=，2k \=，1x \=，7y =，10z =，2271015x y z \--=--=-；故答案为15-．18．25##0.4【分析】先求出2225d a c b ==，再根据比例的性质即可得．【详解】解：()2520a d d c b b +==¹Q ，2252a c d b =\=，2225a cb d +\=+，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．19．(1)4(2)814【分析】本题主要考查了比例的性质，通过532a b c ==，设出()5320a k b k c k k ===¹，，是解题的关键．（1）设()5320a k b k c k k ===¹，，，则532a b k k c k++=，据此可得答案；（2）设()5320a k b k c k k ===¹，，，由29a b c +-=得到5349k k k +-=，解方程求出94k =，则812103294a b c k k k k -+=-+==．【详解】（1）解：∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，∴5342a b k k c k++==；（2）∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，，∵29a b c +-=∴5349k k k +-=．∴94k =，∴812103294a b c k k k k -+=-+==．20．25【分析】设112234a b c k -+-===，得到关于k 的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．【详解】解：设112234a b c k -+-===，∴a -1=2k ，b +1=3k ，c -2=4k ，即a =2k +1，b =3k -1，c =4k +2，∴a 2+b 2−c 2= (2k +1)2+(3k -1)2−(4k +2)2=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-(16k 2+16k +4)=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-16k 2-16k -4=-3k 2-18k -2=-3(k 2+6k +9-9)-2=-3(k +3) 2+25∵(k +3) 2≥0，则-3(k +3) 2≤0，∴a 2+b 2−c 2的最大值为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．21．(1)4a b b+=，12a b a b -=+(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：（1）先根据已知条件得到14a b a b b +=+=，3a b =，再把3a b =代入a b a b -+中进行求解即可；（2）设a c k b d==，则a kb =，c kd =，再分别计算出a b a -和c d c -的值即可证明结论；（3）求出bc ad =，进而可得a cb d =。