2019年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷
昆明理工大学线性代数试卷
昆明理工大学 2015级 试卷( A 卷 )考试科目： 线性代数 考试日期： 命题教师：集体命题 一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则12A -= ；2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- =- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A = ；4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =；5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为__________；6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则()A r =__________；7. 已知n 元非齐次线性方程组Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；8. 设A 为正交矩阵，且0A <，则A =__________；9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；10.设112 -，，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .11（8分）、计算4阶行列式 40123210342403110D -=---.12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 求矩阵X 使得AX B =.14（12分）、设线性方程组123123123+ 11x x x aax x x x x ax +=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，证明：（1）当1a ≠时方程组有唯一解，并求唯一解； (2) 当1a =时方程组有无穷多解，并求通解.15(4分)、设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关. 证明向量1α可由23,αα线性表示.。
昆明理工大学考研试题高等代数(2015-2016年)
1. (10 分) 设 p 是一个奇素数, 多项式 f (x) x p px 1. 证明: f (x) 在有理数域上不可约.
2. (10 分) 计算 n 阶行列式
a1 a2 a1 a2
an an .
a1
a2 an
3. (15 分) 若向量组1,2 ,,s s 2 线性无关, 讨论
1 1 1
5、 （15 分）求 A 2 1 0 的逆矩阵。
1
1
0
6、 （20 分）设V 是数域 F 上全体 n 阶方阵构成的空间，V1 是V 中全体对称方阵构成的子 空间，V2 是V 中全体反对称方阵构成的子空间。证明：V V1 V2 。
7、 （15 分）设1, 2 , , n 是线性空间V 中一组向量，T 是V 的一个线性变换。证明： T (L(1, 2 , ,n )) L(T1, T2 , , Tn ) 。
利用维数公式证明：W1 W2 .
10. (10 分) 设 (x1, x2 ,, xn ), ( y1, y2 ,, yn ) 为实空间 Rn 中任意两个向量, A (aij ) 为
n 阶实矩阵. 证明： Rn 对于内积 A T 做成欧氏空间的充要条件是 A 为正定矩阵.
第2页共2页
昆明理工大学 2015 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
8.
设矩阵
A
2 3
x 1
2 1
与
B
0 0
2 0
0 y
相
似，
则
x=
，y
=
。
1 1 1
9.
欧氏空间
R3
中一组基
0
,
1
,
1
的度量矩阵是
。
昆明理工大学高等代数历年考研真题(2016-2020)
是
。
4. 设方阵 A 满足 Ak O ，则 (E A)1 =
。
5. 若实二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3 是正定的，则 t 的
取值范围是
。
6. 设线性空间V L f1(x), f2 (x), f3 (x), f4 (x), 其中 f1(x) 1 x, f2 (x) 1 x,
1 0
1 1.
（1）求W 的一组基；
（2）证明W 是 的不变子空间；
（3）将 看成W 上的线性变换，求W 的一组基，使 在该基下的矩阵为对角矩阵。
三、证明题 （共 30 分）
1. （15 分）设V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 1,2 , , n 是V 的一个基，V1 是由
1 2 n 生成的子空间，V2
(1) 求由基 (I) 到基 (I I) 的过渡矩阵 C ；
(2) 求向量 1 22 3 4 在基 (I) 下的坐标。 5. （20 分）设 1, 2 , 3 是欧氏空间V 的一组标准正交基， T 是V 的线性变换。已知
T (1) 1 2 2 3,T ( 2 ) 1 2 2 3,T ( 3) 21 2 3. (1) 证明 T 是一个对称变换； (2) 求V 的一组标准正交基，使 T 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
1. （15 分）计算 n 阶行列式 1 2 3 n 1 n 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 . 0 0 0 2n 0 0 0 0 n 1 1 n
2. （15 分）当 a, b 取何值时，下列非齐次线性方程组
有解？ 并求其通解。
ax1 x2 x1 bx2
x3 x3
2020 年昆明理工大学高等代数考研真题
2019年全国硕士研究生招生考试研究生高等代数A卷试题及参考答案
姓名： 报考专业： 准考证号码：密封线内不要写题2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题科目名称：高等代数（√A 卷□B 卷）科目代码：614考试时间： 3 小时 满分 150 分可使用的常用工具：□无 □计算器 □√直尺 □√圆规（请在使用工具前打√）注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1、设,A B 均是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）。
（A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A --与1B B --相似2、设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是 （ ）。
(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω3、二次型()123,,f x x x 在正交变换X PY = 下的标准形为2221232+-y y y ，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则()123,,f x x x 在变换X QY =下的标准形是（ ）。
(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y4、所有4阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V 的维数是 （ ）。
（A ） 4维 （B ） 16维 （C ） 8维 （D ） 10维5、设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数k ，l ，向量组1α＋3αk ，2α＋3αl 线性无关是向量组1α，2α，3α线性无关的（ ）。
（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件6、设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（ ）。
昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第一 学期课程试卷 A一、填空11 1 12 345 12.1.=49 16 25 827641252． 设 A 、B 为 4阶方阵，且 | A 13 B81，则|AB | 1/2.| 2 ,3. 给定矩阵 A ，且 AE 可逆, 满足 ABEA 2B ,则B AE.1 0 01 0 04．设 A0 1 1 ，则 A 121 .0 12115．已知1,2, 3 线性相关 ,3不能由 1,2 线性表示，则1,2 线性 相关．116．设 12 ,2t ,32 ，且 1,2,3 线性相关， 则 t8．3611 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3 12．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零， 又R(A) 2 ，则齐次线性方程组AxO 的通解为81 k 1 ( kR ).113 0 19. 向量组11的一个最大线性无关组为1, 22 ,3 1,4 1 1131,2,4.10. 设 A 为 n 阶方阵 , Ax0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为0.二、单项选择x3 1x2 y 4z2 1.. 若 y0 21 , 则30 2 ( A )z21121(A)1 ； (B )2 ； (C )1 ；(D) 0.2．设 A , B , C 均为二阶方阵， ABAC ，则当 (C ) 时，可以推出 B C ．1 0 1 1 0 1 1 1 (A) A;(B)A; (C) A; (D) A.1 011 13. 下列结论正确的是 ( A ) ．( A )1,2,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量1,2,3 线性相关，则 1 , 2 线性相关；(C ) 若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A 有 n 个不同的特征值 ;( D ) 若方程组 AxO 有非零解，则 Axb 有无穷多解 .14 4. 已知, 3 是四元方程组 Ax2， 241 ,2b 的三个解，其中 R( A)3,13 3，444则以下不是方程组Axb 的通解为 ( D ) .21 11 123 1 0 2 ;0 2 0 2 ;( D ) k2 2 ( A ) k2 3 ( B ) k; ( C ) k2 1 .1 3 1 344242245. 设向量组1 ,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B ）( A ) 12,23,31;( B ) 1,2 ,31;(C )1,2,213 2 ;( D )2,3,223.．若 n 阶矩阵 A , B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A）6( A ) A 与B 相似;(B) A B ，但|A B| 0;(C )AB ;(D) A 与 B 不一定相似，但 | A | |B |.7. 设 Ap11 p1, Ap22 p2 , 且12 , 则以下结论正确的是（ B ） .( A ) p1p2不一定是A的一个特征向量;( B )p1p2一定不是A的一个特征向量 ;(C ) p1p2一定是A的一个特征向量 ;( D )p1p2为零向量 .x 1x 2x 41,三、 k 为何值时 ,线性方程组x 1 2 x2x 3 2 x 4 3 ,有解，并在有解时求通解 . x 1x 2x 3x4 6 ,x 2x4k1101111011解 :1212301112A11160010510101k0101k1101111011011120111200105001050010k 20 0 00k 3当 k3时，方程组有解，1000401013A010，0500000x 1440 x 2 3 x 4，（12分）通解为 X3k1 x 3550 x 4x 401a0b四、已知矩阵 A010的特征值之和为1，特征值之积为 1 ．b00(1) 求a , b( b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1. APa101001解a0, b 1.A010, 21b10001E A010(21 )1, 3 1 .1 ) (121010110101当121时， E A000000,p11, p20101000011011011当31时，EA020010, p301010001 0111取 P10011有P AP0111a 11a1a1五、计算 D n a 2 a 21 a 2.a n a n a n1111 n a 2a21a2解 D r1r n a i（1)i1a n a n a n1c2c1100 n a210（ a i1)c ni1c1a n01 n（ a i 1 )(1) n 1i1六、设 A 为3阶矩阵， 1 ,2为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足A32 3，证明（ 1）1 ,2,3线性无关；（）令P1,2,3，求1.2P AP证明 k 11k2 2k 33O (1)，A ( k 1 1 k 22k 33)O即 k1 1k 22k 3 (23)O (2) (2)-(1)2 k 11k3 2O因为1,2 线性无关，k 1k 30 ,代入（ 1），得 k 22O ,2O , k 2 01,2,3 线性无关1 0（2）P 1AP0 1 1 01《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷 B一、填空1 2 3 61. 设2 2 2 2 又 是 aij 的代数余子式 则A42A 43 A 44 =0| A | | ( a ij )4 4 |1 0 7, A ij, A 41234182 设 A 、B 为 3阶方阵，且 | A|2, 3 B181 ，则|A1B| 1/6 .3. 设 A 为方阵 ,满足 A20,则 A1AE.A 2 E21 1 01 31 04．设 A130，则A 1 1 1 0.2 215．向量组 1 , 2 ,3 ,1 线性相 关．6．设 A 是 mn 矩阵 , R ( A )r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是r n1 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3128．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3，则 A 有特征值3 .1 319. 向量组11 3 的一个最大线性无关组为1 ,2.1, 2,35 8 911710．属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关.二、单项选择a11a 12 a 13 a11a 12a 21a221.. 若 a21a 22a 231 , 则a 13a 23a31a32 a33a12 a22(A)1；(B )2 ； (C)1；2．设 A 为 m n 矩阵，且 m n ，则一定有 ( D ) ．(A)RAm ;(B)R A n ; (C ) m R An ;(D) RAm .3. 下列结论错误的是 ( D ) ．a31a 32a 33(A).a32(D) 0.( A )1, 2 ,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量 1,2 ,3 线性无关，则1,2 线性无关；(C )n 阶方阵 A 与对角阵相似是 A 有 n 个不同的特征值的必要条件;( D ) 若方程组 Ax O 有非零解，则Axb 有无穷多解 .4. 设矩阵 A m n 的秩 R ( A ) mn ，下述结论中正确的是D.( A ) A 的任意 m 个列向量必线性无关； ( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；(C ) 齐次线性方程组Ax0 只有零解；( D ) 非齐次线性方程组Axb 必有无穷多解 .5. n 阶矩阵 A , B , C 满足 ABCE , 则下列各式中成立的是D.( A ) ACBE ;( B )CBA E ;(C )BACE ;( D )BCAE1．设矩阵 Aab4 2 的秩为 2，则 C624a 2（ A ） a0 , b0 ； （ B ） a 0 , b 0 ； （ C ） a0 , b 0 ； （ D ） a0 , b 0 .7. A , B 均为 n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（ ） AB 0 , 则 A O , 或 B O ；（ ） 0 ,则A0, 或B0 ；AB AB（C）AB O,则A O,或B O ；（D）AB O,则 A0,或 B 0．三、 k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．x1x2x 3x 4x 51,3 x1 2 x2x 3x4 3 x 50 ,x 2 2 x 3 2 x 4 6 x 5k .111111解 A32113001226k11111111111101226301226301226k00000k 3当 k3时， R( A)R(B )2 5 , 所以有依赖于 3 个独立参数的无穷多解．10115201226300000k3x1x 3x4 5 x52x 2 2 x 3 2 x 4 6 x53得 x 3x 3x 4x 4x 5x 511522263x c11c20c300(c1 , c2 , c3R ).01000000101四、已知矩阵A010 ,求可逆矩阵P 与对角阵,使得 P 1. AP101101解E A010( 1 )(2),10 , 21, 3 2 ，101进一步可求得相应的特征向量为101p10 , p21, p30。
2017年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷
2017年云南昆明理工大学高等数学考研真题A 卷一 、单项选择题（每小题5分，共45分）1．二元函数y x y x z sin 2+=，则=∂∂x z（ ）（A ）y xy sin 2+ （B ）y x x cos 2+（C ） y x xy sin 2+ （D ） y y x sin 2+2．函数)(x f 在0=x 处可导的充分必要条件是( )(A) )(x f 在0=x 处连续.(B) )()0()(x o Ax f x f +=-, 其中A 是常数.(C) )0('+f 与)0('-f 都存在.(D) )('lim 0x f x →存在.3. 设函数)(x f 为连续函数, ⎰⎰=ty t dx x f dy t F )()(1,则=)2('F ( )(A) )2(f (B) )2(2f (C) )2(f - (D) 04．若 y=f(sinx)，则dy=( )（A ） f ′(sinx)sinxdx （B ） f ′(sinx)cosxdx（C ） f ′(sinx)dx （D ） f ′(sinx)dcosx5．函数f(x)=1xe x 1-的所有间断点是（ ）(A) x=0 (B) x=1(C) x=0，x=-1 (D) x=0，x=16. 设函数()()2931f x x x x =++，则高阶导数()(12)f x =( )(A) 12! (B) 11!(C) 10! (D) 07. 设函数()21f x x x +=+，则=)(x f （ ）（A ） x(x+1) （B ） (x+1) (x-2)（C ）x(x-1)（D ） (x-1) (x+2)8．无穷限积分⎰+∞-=0dx xe x （ ） （A ） 1-（B ） 1 （C ） 21-（D ） 219．已知函数f(x)=ax 2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=( )(A) 0 (B) 3(C)) 2 (D) 1二、填空题（每小题5分，共45分）1．计算不定积分⎰=+dx x x 231 . 2. 设方程x y y =+ln 确定隐函数)(x y y =，则='y .3. 计算 =-+→xx x x cos 1)1ln(lim 0 . 4. 微分方程0'3''=+y xy 的通解为 .5. 点)0,1,2(到平面0543=++zy x 的距离=d . 6. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin 1)(2tan x ae x x e x f x x在x=0处连续，则a= .7．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t t y t t x 所确定，则=dxdy .. 8.. 计算积分 dx ⎰10⎰+=122x x xydy __________. 9．函数34)(4+-=x x x f 在区间[0, 2]的最小值 .三、解答题（需写出解题过程，共60分）1． 设函数)(u f 在),0(+∞内具有二阶导数，且)(22y x f z +=满足等式 .02222=∂∂+∂∂yz x z （1） 验证;0)(')(''=+uu f u f （10分） （2） 若0)1(=f ，1)1('=f ，求函数)(u f 的表达式。
昆明理工大学2019年硕士研究生招生入学考试试题A卷
昆明理工大学2019年硕士研究生招生入学考试试题(A卷) 考试科目代码：813 考试科目名称：运筹学
考生答题须知
1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
昆明理工大学2019年硕士研究生招生入学考试试题。
2019昆明理工大学843高等代数研究生入学考试试题A卷考研真题硕士研究生专业课考试试题
第 1 页 共 2 页昆明理工大学2019年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)考试科目代码：843考试科目名称 ：高等代数考生答题须知 1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
一、填空题（每小题3分，共30分）1. 当= 时，与有公共根。
2. 设是阶方阵，且，则 。
3. 已知向量组线性无关， 则线性 。
4. 已知方阵满足，则 。
5. 当满足 时，二次型是负定的。
6. 已知数域上线性空间中线性无关的元素组为，现令，则子空间的维数是 ，它的一组基为 。
7. 已知阶方阵的特征值为，则矩阵的特征值为 ，行列式 。
8. 已知矩阵与矩阵相似，则 ， 。
9. 设矩阵，则满足 时，矩阵为度量矩阵。
λ2()f x x x λ=+2()4g x x x λ=++A n ||2A =1*14A A -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭123,,ααα11232233123,,23βαααβααβααα=-+=+=-+A 3245A A A E O --+=1(2)A E --=k 2221231231213(,,)2(1)22f x x x x x k x kx x x x =--+---P V 1234,,,αααα112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+112233441234{|,,,}W k k k k k k k k P ββββ=+++∈3A 1,1,2-322B A A =-||B =20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭10002000B y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x =y =1210204t A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭t A。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年云南昆明理工大学高等代数考研真题A 卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
1. 当λ= 时，2
()f x x x λ=+与2
()4g x x x λ=++有公共根。
2. 设A 是n 阶方阵，且||2A =，则1
*
14A A -⎛⎫+-= ⎪
⎝⎭。
3.
已
知
向
量
组
123
,,ααα线
性
无
关
，
则
11232233123,,23βαααβααβααα=-+=+=-+线性 。
4. 已知方阵A 满足3
2
45A A A E O --+=，则1
(2)A E --= 。
5.
当
k
满足
时
，
二
次
型
222
1231231213(,,)2(1)22f x x x x x k x kx x x x =--+---是负定的。
6. 已知数域P 上线性空间V 中线性无关的元素组为1234,,,αααα，现令
112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+，
则子空间112233441234{|,,,}W k k k k k k k k P ββββ=+++∈的维数是 ，它的一组基为 。
7. 已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则矩阵3
2
2B A A =-的特征值为 ，行列式||B = 。
8. 已知矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵10002000B y -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
相似，则x = ，
y = 。
9. 设矩阵1210204t A t ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则t 满足 时，矩阵A 为度量矩阵。
10. 已知22
R
⨯的子空间12(,),W L A A = 其中121101,,0011A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则W ⊥的
一组标准正交基为 。
二、计算题（共90分）
1. （15分）计算n 阶行列式
12311
1
0002200.00020
11n n n
n n
⋅⋅⋅--⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--
2.
（
15
分
）
已
知向
量
组
2123(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2),(2,,)T T T T αααβλλ=-=-=-=-，试问λ取何值时，β可
由123,,ααα线性表出，并写出其表达式。
3. （20分）求一个正交变换, 将二次型
222123123121323
(,,)44448T f x x x x Ax x x x x x x x x x ==++-+-
化为标准形。
4. (20分) 已知线性空间4P 的两组基为
12341234(I)(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2);(I I)(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2).
ααααββββ========
(1) 求由基(I)到基(I I)的过渡矩阵C ；
(2) 求向量12342αββββ=++-在基(I)下的坐标。
5. （20分）设123,,γγγ是欧氏空间V 的一组标准正交基，T 是V 的线性变换。
已知 112321233123()2,()2,()2.T T T γγγγγγγγγγγγ=+-=-+=-++
(1) 证明T 是一个对称变换；
(2) 求V 的一组标准正交基，使T 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
三、证明题 （共30分）
1. （15分） 设12,,W W W 都是线性空间V 的子空间，112,W W V W W ⊆=⊕。
证明：
12dim dim dim()W W W W =+⋂。
2. （15分）设1ω和2ω的是n 维线性空间V 的两个线性变换，证明：21()()V V ωω⊆的充分必要条件是存在线性变换3ω使得213ωωω=。