全等三角形的证明复习
2024年中考数学复习 全等三角形的六种模型全梳理(原卷+答案解析)
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
全等三角形的判定复习题
HUNAN CHANGSHA CHANGJUN MIDDLE SCHOOL
判定全等三角形
-----挖掘问题中的隐藏条件
数01
S
S
A
A
S
A
S
A
S
S
A
S
全等三角形的证明方法
01
01.1已知：如图，AB=CD，BC=DA。
则判定△ABC≌△CDA的依据为__S_S__S_
F
C
双全等模型
03 例1：如图，已知∠B=∠C,AD=AE,BD=EC,
求证∠1=∠2
问题特点：
在△DFB和 △EFC 中
直接目标
∠B = ∠C
缺少条件
∠DFB = ∠EFC （对顶角）
DB=EC
攻略 先通过另 外三角形 的全等， 间接得到 需要的条 件
∴ △DFB ≌ △EFC（AAS）
∴ DF=EF
B
C
A
D
全等三角形的证明方法
01
01.1已知：如图，BC∥DA，BC=DA。
则判定△ABC≌△CDA的依据为__S_A__S_
B
C
A
D
全等三角形的证明方法
01
01.1已知：如图，AB∥CD，BC∥DA。
则判定△ABC≌△CDA的依据为__A__S_A_
B
C
A
D
全等三角形的证明方法
01
01.1已知：如图，∠B= ∠ D，BC∥DA。
AE
D
C B
04 如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，现有：
①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180°；
全等三角形的判定总复习
AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已 知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1： 已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，求证BC=BD
初二数学《全等三角形完整复习》课件
全等三角形的对应边相等，对应 角相等。
对应边、对应角关系
对应边关系
在全等的两个三角形中，相等的边互 为对应边。
对应角关系
在全等的两个三角形中，相等的角互 为对应角。
判定方法总结
01
02
03
04
05
SSS判定
SAS判定
ASA判定
AAS判定
HL判定（直角三 角形的…
三边分别相等的两个三角 形全等。
例题
已知三角形ABC中，AB=5cm， AC=3cm，∠BAC=60°，求BC
的长度。
分析
此题考查了全等三角形中的边角 关系，可以通过作辅助线构造全 等三角形，再利用全等三角形的
性质求解。
解答
过点C作AB的垂线，交AB于点D 。在直角三角形ACD中，利用三 角函数求出CD和AD的长度，再 在直角三角形BCD中利用勾股定
1
2
由于△ABC≌△DEF，∠A和∠B的度数已知，因此可 以根据全等三角形的性质求出∠F的度数为180°40°-70°=70°。
3
在△ABC中，因为AB=AC，∠A=36°，所以∠B和 ∠C的度数相等，且它们的和为180°-36°=144°， 因此∠C的度数为144°÷2=72°。
答案解析
解答题解析
似比。
在全等三角形中，对应点之间 的距离相等，而在相似三角形 中，对应点之间的距离成比例
。
06
练习题与答案解析
选择题
下列说法中，正确的 是()
B. 两个等腰直角三角 形一定全等
A. 两个等边三角形 一定全等
选择题
C. 两个直角三角形一定全等 D. 两个全等的等腰直角三角形，它们的腰是对应边
第十二章全等三角形常见全等三角形模型复习讲义人教版数学八年级上册
常见全等三角形模型（压轴）三角形全等的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．证明三角形全等的基本思路：全等三角形中常见的基本模型：1手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE =60°；（3）OA平分∠EOF ．拓展图形：结论：（1）AD=BE ；（2）∠ACB=∠AOB ；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE ；（5）AP=BQ ；（6）CO平分∠AOE ；（7）OA=OB+OC；（8）OE=OC+OD．②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD ．③ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）BD⊥CF；（2）BD=CF．2三垂直模型由△AEB≌△BDC导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△ECD导出AE=CD+DE AB=EC+CD BC=AB+CD3等腰直角三角形型定点是斜边中点，BF=AE（AF=CE），动点在两直角边上滚动的旋转全等：结论：（1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；（2）DE⊥DF；（3）S四边形AFDE=1/2S△ABC．例1．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）BH平分∠AHC；（5）△ABG≌△DBF；（6）等边△GBF；（7）GF∥AC.1．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD=CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面（1），（2）中的结论还成立吗？请简单说明理由．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠P AE的度数和E 点的坐标；（3）点C 在y 轴移动的过程中，若∠APB ＝30°，则点P 的横坐标为 ． 例2．如图1，OA ＝1，OB ＝3，以A 为直角顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ． （1）求点C 的坐标； （2）如图2，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当点P 向下运动时，以P 点为直角顶点，P A 为腰作等腰Rt △APQ ，过Q 作QE ⊥x 轴于E 点，求PO ﹣QE 的值．1．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ）．A ．50B ．62C ．65D ．682．直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且．（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 （填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．3．（1）如图1，OA ＝3，OB ＝6，以点A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC ，则C 点的坐标为 ；（2）如图2，OA ＝3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，若以P 为直角顶点，P A 为腰作等腰直角△APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP ﹣DE 的值；（3）如图3，点F 坐标为（﹣3，﹣3），点G （0，m ）在y 轴负半轴上，点H （n ，0）在x 轴的正半轴上，且FH ⊥FG ，求m +n 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 为边AC 上一点，连接BE 交y 轴于点F ，交x 轴于点G ，作CD ⊥BE 交BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠A B CEF D D A BC E F AD F CE B 图1 图2 图3BE延长线于点D，且CD=BF，连接AD，CF.（1）求证：△ABF≌△ACD；（2）若∠ACF=2∠CBF，求证：∠ACO=∠FCO；（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（0，2），求OC的长.5．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，AF⊥BD 于E，交BC于F，连接DF．求证：∠ADB=∠CDF．例3．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC∆边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为1/cm s，∠变化吗？若变化，则（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ说明理由，若不变，则求出它的度数；∆是直角三角形？（2）何时PBQ（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP ∠变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．交点为M，则CMQ1．如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG 交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．例4．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N 分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．（1）求证：△ANO≌△BMO；（2）求证：OM⊥ON．（3）当M、N分别在线段AB、AC上移动时，四边形AMON的面积如何变化？1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB．AC于M．N，求证：DM=DN；（2）若DM⊥DN分别和BA．AC延长线交于M．N，问DM和DN有何数量关系，并证明．2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．。
全等三角形复习资料(搜集整理版)
特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。
第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS")边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)）2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3）“有三个角对应相等"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边"、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4。
轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。
全等三角形的判定(总复习)
图（1） B D
C
学习提示：公共边，公共角， 对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！
9
二.添条件判全等
B
4、如图，已知AD平分∠BAC， A D 要使△ABD≌△ACD， • 根据“SAS”需要添加条件 ； C AB=AC ∠BDA=∠CDA • 根据“ASA”需要添加条件 ； • 根据“AAS”需要添加条件 ； ∠B=∠C
全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)
三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角) 中，要使两个三角形全等，到底需 要满足哪些条件？
要使两个三角形全等， 应至少有 3 组元素对应相等。
边边边 (SSS) 两边一角 6选 3
两边和它的夹角(SAS)
两角一边
角角角×
两边和它一边的对角 × 两角和夹边(ASA)
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
例、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点 E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平 分线上. M
D C F A E B N
练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处 修建 ? 2、直线表示三条相互交叉的公路 ,现要建一个货
解: 连接AC
在△ABC和△ADC中， AB=AD(已知) BC=DC(已知) AC=AC(公共边)
∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴ ∠ABC=∠ADC (全等三角形的对应角相等)
14
实际运用
9. 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物 树木Ａ，视线 ＡＢ与河岸垂直，然后该人沿河岸 步行１０步（每步约0.75M）到O处，进行标记， 再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20 步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则 河的宽度为 米。 15
三角形全等的判定定理(复习课)
三角形全等的判定定理（复习课）教学目标全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四个方法。
能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。
掌握常规的作辅助线的方法。
教学重点综合运用各种判定方法来证明线段和角相等.教学难点常规的作辅助线的方法。
教学方法观察、比较、合作、交流、探索.教学过程一、基础知识复习1、三角形三边关系定理；三角形的内角和以及三角形的外角和的性质。
2、全等三角形的性质；全等三角形对应元素的寻找方法；3、全等三角形的判定（四种方法）。
注意有边边角和角角角是不能用的。
二、讲解新课1、三角形全等的判定定理，实质上只需要三个条件，注意至少有一个条件是边，就能判定两个三角形全等；2、判定两个三角形全等在几何证时中常常不是结论，而通常是通过证明两个三角形全等，证明两条线段相等或两个角相等，这恰是判定两个三角形全等的目的所在课前练习：1、下列说法中，不正确的是（）（A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（B）面积相等的两个直角三角形全等（C）有一边相等的两个等边三角形全等（D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
2、如图，在∆ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有（）（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对3、已知：如图，∆ABC中，∠C=90︒,，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB=6CM，则∆DEB的周长为（）（A）4 （B）6 （C）10 （D）以上全不对三、巩固与提高1、例题解析例1 已知：如图，在∆ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC 于E，AD与BE相交于H ，且BH=AC ，求∠HCD 的度数。
AB C D EH例 2、已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BD例3、如图，在∆ABC 中∠ACB=90︒，∠BAC=30︒，AD 、CE 分别为∆ABC 的角平分线，AD 、CE 交于点F ，求证：EF=DF A B DCE 1 22、课堂小结3、布置作业 P84 第6题课后反思：。
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三角形的初步知识
复习目标：1、理解并掌握三角形的有关概念：三角形及分类，三角形的角平分线、中线和高线，全等三角形，表示法包括三角形、三角形全等的符号、字母表示法。
2、对三角形的有关概念，不仅要会认，还要求会画，会用符号、字母表示，会用比较严格的几何语言表示。
3、对三角形边、内角、外角的性质，不仅要理解性质的本身，还要求会说明理由，并简单运用。
4、作图及尺规作图。
教学过程：
类型之一三角形的三边关系
三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，即若三角形的三边长分别为a，b，c，则有b＋c>a>b－c(b>c)．
例1现有四根木棒，长度分别为4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
【例1】共有4种方案：
①取4 cm，6 cm，8 cm；由于8－4＜6＜8＋4，能构成三角形；
②取4 cm，8 cm，10 cm；由于10－4＜8＜10＋4，能构成三角形；
③取4 cm，6 cm，10 cm；由于6＝10－4，不能构成三角形，此种情况不成立；
④取6 cm，8 cm，10 cm；由于10－6＜8＜10＋6，能构成三角形．
所以有3种方案符合要求．
变式跟进1[2014·淮安]若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为______．(只需填一个整数)
类型之二三角形的内角和与外角和
三角形的内角和等于180°
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和
（这两个定理可以解决许多有关求三角形角度的问题）．
例2如图1－1，已知∠B＝∠CAB，∠ACD＝∠D，∠BAD＝63°，求∠CAD的度数．
图1-1 图1-2
【例2】解：设∠CAD＝x，
则∠BAC＝63°－x.
又因为∠B＝∠CAB，∠ACD＝∠D，
所以∠B＝∠BAC＝63°－x，∠ACD＝∠D＝2(63°－x)．
在△ABD中，由于三角形的内角和等于180°，
故63°＋(63°－x)＋2(63°－x)＝180°，解得x＝24°，
所以∠CAD＝24°.
【点悟】本题应用了三角形内角和定理以及外角的性质
变式跟进2如图1－2，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC，垂足为D，求∠ABD的度数．
【变式2】解：设∠C＝x，则在△ABC中有x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，∴∠BAC＝120°，∠DAB＝60°，
∴∠ABD＝90°－60°＝30°.
类型之三全等三角形的性质与判定
全等三角形的对应边和对应角相等，所以在平面几何中，说明两线段相等，两个角相等，两条直线互相平行，两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过三角形全等来实现，有时在整个解题过程中往往要多次证三角形全等，才能解决待证(或待求)的问题．
例3如图1－3，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并说明判断的理由．
图1-3 图1-4 图1-5
【例3】设法证明△BDE≌△CDF.
解：AD是△ABC的中线．
理由如下：在直角△BDE和直角△CDF中，
∵BE＝CF，
∠BDE＝∠CDF，
∠BED＝∠CFD，
∴△BDE≌△CDF.
∴BD＝CD.故AD是△ABC的中线．
【点悟】本题意在考查寻找隐含条件，推出所需要的条件，证明两个三角形全等，并利用全等三角形解决问题．
变式跟进3如图1－4，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是____________________________ ___________ (写出一个即可)．
变式跟进4如图1－5，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2.
求证：AB＝AD.
【变式4】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAC＝∠DAE.
∴△ABC≌△ADE(ASA)．∴AB＝AD.
类型之四角平分线的性质与垂直平分线的性质
1、角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且它所在的直线是角的对称轴，线上的点到角两边的距离相等；
2、线段的垂直平分线是指经过线段的中点并且与线段垂直的直线，它的主要性质是：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，反之，到线段的两个端点距离相等的点，在它的垂直平分线上．
例4如图1－6，在直角△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是_______．
图1-6 图1-7
变式跟进5如图1－7，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E.若∠CAE＝∠B＋30°，求∠AEB的度数．
【变式5】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，∠B＝∠EAB，
∵∠C＝90°，∠CAE＝∠B＋30°，
∴∠CAE＋∠EAB＋∠B＝∠B＋30°＋∠B＋∠B＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠AEB＝180°－∠B－∠EAB＝180°－20°－20°＝140°.
课堂小结：证明过程要由已知条件一步一步有理有据的推理出结论！
课堂作业：作业本复习题。