【精品】2013-2014年广东省广州市执信中学高一(上)期末数学试卷带解析

2013-2014学年广东省广州市执信中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜50.6＜0.65D．log0.65＜0.65＜50.62．（5.00分）已知直线a、b和平面α，下列推论中错误的是（）A．⇒a⊥b B．⇒b⊥αC．⇒a∥α或a⊂αD．⇒a∥b3．（5.00分）已知=（）A．a3﹣b B．3a﹣b C．D．4．（5.00分）已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay﹣5=0上任意一点，P点关于直线2x+y ﹣1=0的对称点在圆上，则实数a等于（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣205．（5.00分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B．56πC．64πD．14π6．（5.00分）已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0互相平行，则a 的值是（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．07．（5.00分）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．4+B．2+C．3+D．68．（5.00分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f （1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）9．（5.00分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．（5.00分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为1 D．K的最小值为1二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5.00分）在直角坐标系中，直线的倾斜角α=．12．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中直角三角形有个．（要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称）13．（5.00分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AE=AA1，CF=CC1，点A，C到BD的距离之比为3：2，则三棱锥E﹣BCD和F﹣ABD的体积比=．14．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以△ABC的边AB，AC向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分；解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）15．（12.00分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．16．（14.00分）设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（14.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．18．（14.00分）如图，已知圆C：x2+y2+10x+10y=0，点A（0，6）．（1）求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相切的圆N的方程；（2）若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．19．（13.00分）已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．20．（13.00分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f （x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2013-2014学年广东省广州市执信中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜50.6＜0.65D．log0.65＜0.65＜50.6【解答】解：∵50.6 ＞50=1，0.65∈（0，1），log0.65＜log0.61=0，∴50.6 ＞0.65＞log0.65，故选：D．2．（5.00分）已知直线a、b和平面α，下列推论中错误的是（）A．⇒a⊥b B．⇒b⊥αC．⇒a∥α或a⊂αD．⇒a∥b【解答】解：A中，根据线面垂直的定义，我们易得⇒a⊥b正确；B中，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得⇒b⊥α正确；C中，由线面垂直及线面平行的定义，我们易得⊥bb⊥α}⇒a∥α或a⊂α正确；D中，当a∥α，且b∥α时，a与b可能平行，也可能相交，也可能异面，故D 错误；故选：D．3．（5.00分）已知=（）A．a3﹣b B．3a﹣b C．D．【解答】解：∵log25=a，log27=b，∴=log2125﹣log27=3log25﹣log27=3a﹣b．故选：B．4．（5.00分）已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay﹣5=0上任意一点，P点关于直线2x+y ﹣1=0的对称点在圆上，则实数a等于（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣20【解答】解：根据题意得：圆心C在直线2x+y﹣1=0上，由圆的方程得：圆心C坐标为（﹣2，﹣），代入直线2x+y﹣1=0中，得：﹣4﹣﹣1=0，解得：a=﹣10．故选：B．5．（5.00分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B．56πC．64πD．14π【解答】解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选：D．6．（5.00分）已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0互相平行，则a 的值是（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0【解答】解：因为直线l1：ax﹣y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0的斜率为a，即=a，解得a=﹣3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0，两直线重合，当a=﹣3时，已知直线l1：﹣3x+y﹣3=0与直线l2：﹣3x﹣y=1，两直线平行，则实数a的值为﹣3．故选：B．7．（5.00分）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．4+B．2+C．3+D．6【解答】解：由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱．底面直角边为1，高为1的直三棱柱，所以：S表=S侧+2S底=（1+1+）×1+2××1×1=3+．故选：C．8．（5.00分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f （1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【解答】解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）得：﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10，故选：C．9．（5.00分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选：B．10．（5.00分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为1 D．K的最小值为1【解答】解：∵函数的值域为（0，2]由已知中函数，结合对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），故M≥2即K的最小值为故选：B．二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5.00分）在直角坐标系中，直线的倾斜角α=．【解答】解：直线化成斜截式，得y=﹣x+1，∴直线的斜率k=﹣．∵设直线的倾斜角为α，∴tanα=﹣，结合α∈[0，π），得α=．故答案为：12．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中直角三角形有4个．（要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称）【解答】证明：∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形又∵PA⊥圆O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且BC在这个平面内，∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．故答案为：4．13．（5.00分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AE=AA1，CF=CC1，点A，C到BD的距离之比为3：2，则三棱锥E﹣BCD和F﹣ABD的体积比=．【解答】解：∵点A、C到BD的距离之比为3：2，=S△ABD∴△BCD和△ABD的面积之比为3：2，可得S△BCD∵AE=AA1，CF=CC1，∴==∵三棱锥E﹣BCD的体积V 1=S△BCD•AE，三棱锥F﹣ABD的体积V2=S△ABD•CF．∴====•=．故答案为：14．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以△ABC的边AB，AC向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为x+4y﹣14=0．【解答】解：分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N，∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM=OC，MH=OA，∵A（0，2），C（1，0），∴MH=OA=2，AM=OC=1，可得OM=OA+AM=3，由此可得H坐标为（2，3），同理得到F（﹣2，4）∴直线FH的斜率为k==﹣，可得直线FH的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），化简得x+4y﹣14=0．故答案为：x+4y﹣14=0三、解答题：（本大题共6小题，满分80分；解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）15．（12.00分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．【解答】解：（1）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），∵所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，∴可设直线l的方程为2x+y+C=0．…（4分）把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+C=0，即C=2．∴所求直线l的方程为2x+y+2=0．…（6分）（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是﹣1与﹣2．…（8分）则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，…（10分）∴所求直线方程为2x+y﹣2=0…（12分）16．（14.00分）设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由（x+3）（x﹣6）≤0，得﹣3≤x≤6，即A=[﹣3，6]，由0＜x+2＜16，解得﹣2＜x＜14，即B=（﹣2，14），∵阴影部分为A∩C R B，∴A∩C R B=[﹣3，﹣2]．（2）∵C={x|x＞2a且x＜a+1}，∴①2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，成立；②2a＜a+1，即a＜1时，C=（2a，a+1）⊆（﹣2，14），则，解得﹣1≤a＜1．综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．17．（14.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．【解答】解：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC ⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．18．（14.00分）如图，已知圆C：x2+y2+10x+10y=0，点A（0，6）．（1）求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相切的圆N的方程；（2）若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．【解答】解：（1）由圆心N在直线y=x上，故设圆心N（a，a）（a＞0），由圆N与圆C相切，根据题意得到切点为原点O，可得半径为a，圆N方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，将A（0，6）代入得：a2+（6﹣a）2=2a2，即﹣12a+36=0，解得：a=3，则圆N方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18；（2）由圆C方程x2+y2+10x+10y=0，变形得：（x+5）2+（y+5）2=50，∴圆心C（﹣5，﹣5），半径为5，由CD⊥P′Q′，得到CD=5，D为P′Q′中点，令圆C方程中x=0，得到y=0或y=10，即P′Q′=10，P′D=Q′D=5，∵y=x的倾斜角为45°，即∠CP′D=45°，∴△CDP′为等腰直角三角形，同理△CDQ′为等腰直角三角形，∵圆弧PQ恰为圆C周长的，∴CP′⊥CQ′，满足题意，此时直线m方程为直线x=0；由对称性得到CB⊥PQ，且CB=5，设直线m解析式为y﹣6=k（x﹣0），即kx﹣y+6=0，∴=5，整理得：（5k﹣11）2=25（k2+1），即25k2﹣110k+121=25k2+25，移项合并得：110k=96，解得：k=，此时直线m方程为48x﹣55y+330=0，综上，直线m解析式为x=0或48x﹣55y+330=0，．19．（13.00分）已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．【解答】（1）证明：由条件有PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN∴M、N、P、Q四点共面．…（3分）（2）证明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC又AD∩CD=D，∴DE⊥面ACD，又DE∥BC∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD…（6分）（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DR=ED，连结RC …（8分）则ER=BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形…（10分）∴RC∥EB，又AC∥QM∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ的补角）…（11分）∵DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，∴由勾股定理得AC=AR=RC=，…（12分）∵△ACR为正三角形，∴∠ACR=60°，∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°．…（13分）20．（13.00分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．（Ⅰ）当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），时，方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，所以f（x）为“局部奇函数”．…（3分）（Ⅱ）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．…（5分）令，则．设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．…（7分）所以t∈[]时，g（t）．所以，即．…（9分）（Ⅲ）当f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．t=2x+2﹣x≥2，则4x+4﹣x=t2﹣2，从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．…（11分）令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，1°当F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，由当F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣；…（13分）2°当F（2）＞0时，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解等价于解得．…（15分）（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为．…（16分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。