广东省惠州市2018-2019学年高一数学上册期末考试题

机密★启用前 考试时间：2018年1月26日 15：00-17：00惠州市2018—2018学年第一学期期末考试高一数学试题全卷满分150分，时间120分钟；本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意：1． 答题前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卡上． 2． 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，已知AB a =，AC b =，且点D 是BC 的中点，则AD =（ ）（A ）a b + （B ）a b - （C ）1122a b + （D ）1122a b - 2．若3sin()25πα-=，则cos 2α=（ ）（A ）725- （B ）725（C ）45- （D ）2425 3．设全集R U =，集合{}062<--=x x x A ，{}22150B x x x =+-≤，则=B C A U （ ）（A ）)52(，- （B ）φ （C ）)32(，- （D ）]32[，- 4．已知函数x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），)(x f 的反函数为)(1x f-，若9)2(1=-f ，则=a ( ) （A ）2 （B ）3 （C ）21（D ）315．已知(1,0)A 、(0,1)B ，(,1)C x -，若,,A B C 三点共线，则线段AC 的长等于（ ）（A （B ）（C ）2 （D 6．已知函数⎩⎨⎧>-≤=1),1(log 1,2)(3x x x x f x ，且1)(0=x f ，则=0x （ ）（A ）0 （B ）4 （C ）0或4 （D ）1或37．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ） （A ）1y x -= （B ）ln y x = （C ）||y x = （D ）3y x = 8．对于任意向量a 、b ，下列命题中正确的是 ( )（A ）若a 、b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b > （B ）a b a b +≤+ （C ）a b a b ≥ （D ）a b a b -≤- 9．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h ，低潮时水深为9m ，高潮时水深为15m ． 每天潮涨潮落时，该港口水的深度()y m 关于时间()t h 的函数图像可以近似地看成函数sin()y A t k ωϕ=++的图像，其中024t ≤≤，且3t =时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是 （ ） （A ）3sin 126y t π=+ （B ）3sin 126y t π=-+ （C ）3sin1212y t π=+ （D ）3cos1212y t π=+10．平面内有三个向量a 、b 、c ，其中a 与b 的夹角为90︒，且1a b ==，22c =，若c a b λμ=+，则22λμ+=（ ）（A ）12 （B ）4 （C ）2 （D ）8 11．把函数()sin y x x R =∈的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到图象的函数表达式为 （ ） （A ）sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ （B ）sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ （C ）1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭ （D ）1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为 （ ）（A ）14 （B ）16 （C ）18（D ）20第Ⅱ卷注意事项：第II 卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．函数()lg(5)f x x =+-的定义域为 ．14．在直角坐标系中，已知角α的终边经过点34(,)55P ，将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π得到角θ的终边，则cos θ= ． 15．计算：()20.5350.2582log 25-+-= ．16．设函数()cos()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>)．若f x ()在区间203π[,]上具有单调性，且2033f f f ππ-==-()()()，则ω= ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知平面向量32a =(,)，12b =-(,)，41c =(,)． （1）求满足n m +=的实数m ，n ； （2）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k 的值．18．（本小题满分12分）已知α、β都是锐角，43α=tan ，β=sin 2αβ+tan()的值．19．（本小题满分12分）已知函数()af x bx x=+(其中a ，b 为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两点． （1）求a ，b 的值，判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）证明：函数()f x 在区间)+∞上单调递增．20．（本小题满分12分）已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若函数()f x 在[3π-，23π]上的最大值与最小值之和为1+，求实数a 的值.21．（本小题满分12分）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2,b x =，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若26235f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求512f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．22．（本小题满分12分）已知R a ∈，函数())f x x x a =-（. （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a ≥时，求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．惠州市2018—2018学年第一学期期末考试高一数学试题 参考答案 2018.1一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789 101112答案 CABBDCDBADBC1．【解析】由向量加法的平行四边形法则可知，11()()22AD AB AC a b =+=+，故选C. 2．【解析】因为3sin()cos 25παα-==，则2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=-，故选A.3．【解析】解得(2,3)A =-，[5,3]B =-，则(,5)(3,)R C B =-∞-+∞，得RA CB φ=，故选B . 4．【解析】由1(2)9f -=知(9)2f =，则log 92a =，即29a =，且0a >得3a =，故选B.5．【解析】因,,A B C 三点共线，则AB //AC ，且(1,1)AB =-、(1,1)AC x =--，则1(1)1(1)0x -⨯--⨯-=得2x =，则(1,1)AC =-，得1AC =+=故选D .6．【解析】当1x ≤时()21xf x ==，得01x =<成立；当1x >时3()log (1)1f x x =-=，得41x =>也成立，故选C .7．【解析】结合图像和函数性质，由题意易知选D.8．【解析】因向量有方向，无法比较大小，则A 答案错；由 cos a b a b θ⋅=，且c o s1θ≤易知 a b a b ⋅≤，则C 答案错，而 a b a b -≥-则D 答案错，故选B .9．【解析】由两次高潮的时间间隔12h 知12T =，且212(0)T πωω==>得6πω=，又由最高水深和最低水深得3A =，12k =，将3t =代入解析式3sin()126y t πϕ=++15=得0ϕ=，故选A .10．【解析】（法一）由a 与b 的夹角为90︒可建立平面直角坐标系，则(1,0)a =，(0,1)b =，得(,)c a b λμλμ=+=，则2c λ=+=得228λμ+=；（法二）由c a bλμ=+得22()c a b λμ=+，则222222c a b a b λμλμ=++⋅，且22c =，1a =，1b =，0a b ⋅=，得228λμ+=； 故选D.11．【解析】由sin y x =的图像横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变）得到sin 2y x =的图像，再将sin 2y x =的图像向左平移6π得到sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+的图像，故选B.12．【解析】由()0g x =得()lg f x x =，即求函数()y f x =与lg y x =图像的交点个数，而()y f x =是偶函数且图像关于直线1x =对称，则周期为2，由题意画出两个函数在0x >的图像如图所示，且两个都是偶函数，可知两函数图像交点个数为2918⨯=个，故选C ．二、填空题：（每小题5分，共20分）13、 (2,5) 14、35- 15、 2 16、113【解析】由2050x x ->⎧⎨->⎩，得25x <<，故函数定义域为(2,5).14【解析】由三角函数定义知3cos 5α=，则3cos cos()cos 5θαπα=+=-=-.15【解析】原式()1223235122log 54-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2242=-=.16【解析】因()f x 在2[0,]3π内单调，则223T π>，43T π>，由2()(0)()33f f f ππ-==-得,03π⎛⎫-⎪⎝⎭间有对称轴6x π=-，20,3π⎛⎫⎪⎝⎭间有对称中心(0,)3π，简图如下图所示，则()4362T πππ=--=，得2T π=，所以1ω=.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）∵(,2)mb m m =-，(4,)nc n n = 得(4,2)mb nc n m m n +=-+ ……………… 2分且(3,2)a mb nc ==+∴4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，得58,99m n == ………………………… 5分 （2）∵(34,2)a kc k k +=++，2(5,2)b a -=- ……………………………… 6分且()(2)a kc b a +⊥-∴5(34)2(2)0k k -⨯++⨯+= ……………………………… 9分∴1118k =-………………………………10分18．（本小题满分12分）【解析】∵sin10β=，且β是锐角得cosβ==…………………………………… 3分∴sintan3cosβββ==，…………………………………… 5分则22tan3tan241tanβββ==--，…………………………………… 8分且4tan3α=∴tan tan2tan(2)1tan tan2αβαβαβ++=-………………………………… 10分43()73443241()34+-==-⨯-………………………………… 12分19．（本小题满分12分）【解析】（1）∵函数()f x的图像经过(1,3)、(2,3)两点∴3232a bab+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2,1a b==………………………… 2分∴ 函数解析式2()f x x x=+ ，定义域(00+-∞∞，）（，） …………………… 3分∵22()()()(x)f x x x f x x-=+-=-+=-- ………………………… 4分 ∴ 函数解析式2()f x x x=+是奇函数 ………………………… 5分（2）设任意的1x 、2x ,)∈+∞，且12x x < …………………………… 6分12()()f x f x -=121222x x x x +-- …………………………… 7分2121122()()x x x x x x -=--21122()(1)x x x x =-- 1221122()x x x x x x -=- …………………………… 9分∵12,x x ≥>，且 12x x <∴ 122x x ⋅>，则1220x x -<，且210x x -> 得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x < …………………………… 11分∴函数()f x 在区间2,)+∞上单调递增． ………………………………12分20．（本小题满分12分）【解析】（1）函数()sinxcoscos sinsin coscos sincos 6666f x x x x x a ππππ=++-++2sin coscos 6x x a π=++ …………………………… 2分cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………………… 4分 ∴2T π= …………………………… 6分（2）∵ 233x ππ-≤≤∴5666x πππ-≤+≤…………………………… 7分∴ 1sin()126x π-≤+≤∴ 当66x ππ+=-即3x π=-时，min ()1f x a =-当62x ππ+=即3x π=时，ma ()2f x a =+ …………………………… 10分则211a a ++-=，得a =…………………………… 12分21．（本小题满分12分） 【解析】（1）由题意得()sin 222sin(2)3f x a b x x x π==-=-……………………… 2分 因为函数sin y x =的单调递增区间为3[2k ,2k ],k Z 22ππππ++∈∴由32k 22k ,k Z 232x πππππ+≤-≤+∈得 ………………… 3分511k k ,k Z 1212x ππππ+≤≤+∈ ………………… 5分∴ 函数()f x 的单调递减区间为511[k ,k ],k Z 1212ππππ++∈ ………………………… 6分（2） ∵ ()2sin(2)3f x x π=-∴ )sin(2]3)322(2sin[2)322(παππαπα+=-+=+f56sin 2=-=α53sin -=∴α， ………………………… 8分∴)22sin(2]3)125(2sin[2)125(παππαπα+=-+=+f ………………………… 9分 α2cos 2= ………………………… 10分)sin 21(22α-= ………………………… 11分2514])53(21[22=-⨯-= ………………………… 12分22．（本小题满分12分） 【解析】函数22,0()(),0x ax x f x x x a x ax x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ …………………… ……… 1分（1）∵ 0a >，函数()f x 的图像如图所示∴当0x ≥时，222()()24a a f x x ax x =-=--则，函数()f x 在区间(0,)2a 递减，在区间(,)2a+∞递增 …………………… 3分当0x <时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+则，函数()f x 在区间(,0)-∞递增 …………………… 4分∴综上可知，函数()f x 的增区间为(,0)-∞，(,)2a+∞，减区间为(0,)2a……… 5分 （2）0a =时，函数22,0(),0xx f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩在区间1[,1]2-上是单调递增函数则min 11()()24f x f =-=- ………………………… 6分0a >时，当12a ≥即2a ≥时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,1]递减 且11()242a f -=--，(1)1f a =- ………………………… 7分若1()(1)2f f -≥，即52a ≥时，min ()(1)1f x f a ==-若1()(1)2f f -<，即522a ≤<时，min 11()()242a f x f =-=--当12a <即02a <<时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,]2a 递减，在(,1]2a 递增，如图所示 且11()242a f -=--，2()24a a f =-； ………………………… 10分 而02a <<时，21424a a --<-，即1()()22a f f -<所以02a <<时，m i n11()()242af x f =-=-- ………………………… 11分 且此时对0a =，min 11()()242a f x f =-=--14=-也成立∴综上所述，502a ≤<时，min 1()42af x =--52a ≥时，min ()1f x a =- ………………………… 12分图1 图21-1/2 1-1/2。